精品解析：四川省 自贡市蜀光中学2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

自贡市蜀光中学学校2024～2025学年度上期九年级期末考试数学 注意事项: 1.本试卷共6页，满分150分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色签字笔写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确． 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效;在试题卷、草稿纸上答题无效． 3．考试结束后，将答题卡收回． 第I卷（选择题） 一、单选题（每题4分，共48分） 1. 一副扑克牌中有“黑桃”、“红桃”、“梅花”、“方块”四种花色，其中外轮廓既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，中心对称图形的定义；理解定义：“如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．” 是解题的关键． 【详解】解：A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； D.既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 2. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 当时，y随x的增大而增大 C. 有最小值4 D. 顶点坐标是 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据函数图象与各系数之间的关系，结合二次函数图象的性质逐一判断即可． 【详解】解：在中，， 图象开口向下，故选项A错误； 二次函数的图象关于直线对称，且开口向下， ∴当时，y随x的增大而增大，故选项B正确； ∴当时，有最大值4，故选项C错误； ∵二次函数 ∴顶点坐标是，故选项D错误； 故选：B． 3. 将抛物线绕原点O旋转，则旋转后的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，解题的关键是根据原点旋转得到关于原点对称． 根据抛物线绕原点O旋转得到旋转后的抛物线与原抛物线关于原点对称，即可得到答案； 【详解】解：∵抛物线绕原点O旋转， ∴旋转后的抛物线与原抛物线关于原点对称， ∴旋转后的抛物线：， 即． 故选：D． 4. 下列说法正确的是（ ） A. “买中奖率为的奖券10张，中奖”是必然事件 B. 福山气象局预报说“明天的降水概率为”，意味着福山明天一定下雨 C. “汽车累计行驶，从未出现故障”是不可能事件 D. 抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为0.5 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了随机事件，概率的意义和概率公式，正确理解概率的意义是解题的关键．根据随机事件的概念、概率的意义和概率公式分别对每一项进行分析，即可得出答案． 【详解】解：A、“买中奖率为的奖券10张，中奖”是随机事件，原说法错误，不符合题意； B、福山气象局预报说“明天的降水概率为”， 是随机事件，不一定下雨，原说法错误，不符合题意． C、“汽车累计行驶，从未出现故障”是随机事件，原说法错误，不符合题意； D、拋掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为0.5，原说法正确，符合题意． 故选：D． 5. 已知是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】欲求的值，先把代此数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值即可求出的值． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴， ，即 ∴ = = = =． 故选：B． 【点睛】此题考查一元二次方程根与系数的关系：，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 6. 在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些小球除颜色外都相同，小红通过多次试验发现，摸出黄球的频率稳定在0.25左右，则袋子中红球的个数最有可能是（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 以上均不正确 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．设袋子中黄球有x个，根据摸出黄球的频率稳定在0.25左右列出关于x的方程，求出x的值，从而得出答案． 【详解】解：设袋子中黄球有x个，根据题意，得： ， 解得：， ∴袋子中黄球的个数最有可能是5个，红球有（个） 故选：C． 7. 明明在解关于x方程时，抄错了a的符号，解出其中一个根是．则原方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有一个实数根是： C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查根的判别式及一元二次方程的解，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键． 根据抄错a的符号时得出的根，可求出正确的a的值，再判断出根的判别式的正负即可解决问题． 【详解】解：将代入方程得， 解得， 所以a的正确值为， 则原方程为， 所以， 所以原方程有两个不相等的实数根. 故选：D. 8. 如图，已知抛物线（）的顶点坐标是，与x轴的两个交点是A，B，其中点B的坐标是，则下列结论正确的是：（ ） A. B. C. 点A的坐标为 D. 【答案】D 【解析】 【分析】依据题意，由抛物线开口向上，从而，又顶点为，故对称轴是直线，从而，再结合抛物线交轴于负半轴，则故可判断；又抛物线与轴有两个交点，判别式，故可判断；又对称轴是直线，，从而，故可判断C；又，再结合当时，，从而可以判断D．本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 【详解】解：抛物线开口向上， ． 顶点为， 对称轴是直线． ． 又抛物线交轴于负半轴， ． ，故A错误． 又∵抛物线与轴有两个交点， 判别式，故B错误． 对称轴是直线，， ，故C错误． ， 又当时，， ． ，故D正确． 故选：D． 9. 我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．内方圆径若能知，堪作算中第一．”其大意为：有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远．如果你能求出正方形边长和圆的直径，那么你的计算水平就是第一了．如图，设正方形的边长是x步，则列出的方程是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了正方形的性质以及由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出圆的面积是解题关键．直接利用圆的面积减去正方形面积，进而得出答案． 【详解】解：设正方形的边长是x步，则列出的方程是： 故选：B． 10. 黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱．摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．其原理是：如图，将正方形的底边取中点E，以E为圆心，线段为半径作圆，其与底边的延长线交于点F，这样就把正方形延伸为矩形，称其为黄金矩形．若，则（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割点、正方形的性质、勾股定理、一元二次方程的应用等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 设，根据题意得出，在中，由勾股定理，可得，代入数值并求解，即可获得答案． 【详解】解：设， ∵四边形是正方形， ， ∵点为中点， ， 又∵， ， ∴在中，由勾股定理，可得， 即， 整理可得， 解得：(舍去)， ， 故选：D． 11. 如图，半径为3的扇形AOB，∠AOB=120°，以AB为边作矩形ABCD交弧AB于点E，F，且点E，F为弧AB的四等分点，矩形ABCD与弧AB形成如图所示的三个阴影区域，其面积分别为，，，则为（ ）（取） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作辅助线，计算OG和矩形的长AB，宽GH的长，根据S1+S3-S2=S△AOB+S矩形ABCD-S扇形OAF-S△EOF-S扇形OBE-（S扇形OEF-S△EOF），代入计算即可． 【详解】 解：连接OE、OF，过O作OH⊥EF于H，交AB于G， ∵点E，F为弧AB的四等分点，∠AOB=120°， ∴∠AOF=∠BOE=30°，∠EOF=60°， ∵OA=OB， ∴∠BOG=60°， ∵OB=3， ∴OG=，BG=， ∴AB=2BG=3， Rt△EOH中，∠EOH=30°，OE=3， ∴EH=， ∴OH=， ∴GH=-， ∴S1+S3-S2=S△AOB+S矩形ABCD-S扇形OAF-S△EOF-S扇形OBE-（S扇形OEF-S△EOF）， =+-， = =， 故选A． 【点睛】此题考查了圆的综合，涉及了勾股定理、扇形的面积、矩形的面积、圆的有关性质、垂径定理及直角三角形30度角的性质，综合考查的知识点较多，解答本题关键还是基本知识的掌握，要求会运用数形结合思想解题． 12. 如图，在平面直角坐标系中，的圆心坐标，半径为5，函数的图象被截得的弦的长为8，则的值为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作轴于，交于，作于，连接，由于，，易得点坐标为，则为等腰直角三角形，也为等腰直角三角形．由，根据垂径定理得，在中，利用勾股定理求得的长，即可求解． 【详解】解：作轴于，交于，作于，连接，如图， 的圆心坐标是， ，， 把代入得， 点坐标为， ， 为等腰直角三角形， 也为等腰直角三角形， ， ， 在中，， ， ， ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用，涉及圆的性质、垂径定理、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识点．求出到轴的距离、求得点的坐标是解题的关键． 第II卷（非选择题） 二、填空题（每题4分，共24分） 13. 已知是一元二次方程，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，可得，求解即可得到答案，熟练掌握一元二次方程的定义是解此题的关键． 【详解】解：是一元二次方程， ， 解得． 故答案为：． 14. 关于的一元二次方程中，=_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义解题即可． 【详解】解：由题可得：， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程． 15. 圆心角为，半径为3的扇形的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据扇形的面积公式计算． 【详解】扇形的面积． 故答案为． 【点睛】本题考查了扇形面积计算：设圆心角是，圆的半径为的扇形面积为，则或(其中为扇形的弧长)． 16. 有五张正面分别标有，，0，1，2的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为a，将该数字加1记为b，则关于x的一元二次方程有解的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式，根据概率公式计算概率等知识点，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 由题意可得，由关于的一元二次方程有解可得且，解不等式即可求出的取值范围，然后根据概率公式即可求出方程有解的概率． 【详解】解：由题意可得：， 关于的一元二次方程有解， 且， 解得：且， 或， 数字，使得关于的一元二次方程有解的概率为：， 故答案为：． 17. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB＝30°，，则阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接，由垂径定理可知，，，由可知，，求解的长，根据，计算求解即可得阴影部分面积． 【详解】解：如图，连接， ∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB， ∴由垂径定理可知，， ∴为等腰三角形底边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，含30°的直角三角形，扇形的面积．解题的关键在于明确． 18. 如图，的顶点O是坐标原点，点，点，点M是边上一动点，从O向A运动，连接，过点A作于点C，连接．当取得最小值时，的坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、两点之间的距离公式、三角形的三边关系、点的坐标与图形等知识，正确找出点的运动轨迹是解题关键．先求出，再根据圆周角定理可得在点的运动过程中，点的运动轨迹是在以的中点为圆心、长为直径的半圆上，设的中点为点，的中点为点，连接，从而可得当点共线时，取得最小值，然后利用点的坐标的中点公式求解即可得． 【详解】解：∵点，点， ∴， ∵， ∴在点的运动过程中，始终有， ∴如图，在点的运动过程中，点的运动轨迹是在以的中点为圆心、长为直径的半圆上， 设的中点为点，的中点为点，连接， ∴，，即， ∴， 由三角形的三边关系得：，当且仅当点共线时，等号成立， 即当点共线时，取得最小值， ∴此时， ∵点为的中点， ∴， ∴点为的中点， 设点的坐标为，则， 又∵， ∴，解得， ∴点的坐标为， 故答案为：． 三、解答题（共78分） 19. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是利用配方法解一元二次方程，把方程化为，再进一步解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，． 20. 随着科技的进步，购物支付方式日益增多．为了解某社区居民支付的常用方式（A微信，B支付宝，C现金，D其他），某学习小组对红星社区部分居民进行问卷调查，根据调查结果，绘制成如下统计图． 根据统计图表中的信息，解答下列问题： （1）______，______，在扇形统计图中C种支付方式所对应的圆心角为______度； （2）本次调查中用现金支付方式的居民里有2名男性，其余都是女性，现从该种支付方式中随机选2名居民参加线上支付方式培训，求恰好都是女性的概率． 【答案】（1）20；18；36 （2）恰好都是女性的概率为． 【解析】 【分析】本题考查了统计图、列表法或树状图求概率，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据统计图中的信息，列式计算即可； （2）由题意得，用现金支付方式的居民里有名女性，根据题意列出表格，结合表格再利用概率公式即可求得答案． 【小问1详解】 解：由统计图可得，本次调查的总人数为：， ， ， 在扇形统计图中C种支付方式所对应的圆心角为． 故答案为：20；18；36． 【小问2详解】 由题意得，用现金支付方式的居民共有5人， 用现金支付方式的居民里有2名男性，其余都是女性， 用现金支付方式的居民里有名女性， 设男性为、，女性为、、，列表得： 由列表可知，共有20种等可能的结果，恰好选到都是女性的情况有6种， 恰好都是女性的概率． 答：恰好都是女性的概率为． 21. 在小正方形边长为1的网格图中，画有，，，． （1）画出以点为旋转中心，将沿顺时针方向旋转后的图形． （2）若点坐标为，在图中画出相应的直角坐标系． （3）若是点关于原点的对称点，则点的坐标为________． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． （1）利用网格特点和旋转的性质画出点、的对应点即可； （2）利用点坐标建立平面直角坐标系； （3）根据关于原点对称的点的坐标特征求解． 【小问1详解】 解：如图，为所作； 【小问2详解】 解：如图； 【小问3详解】 解：如图，点的坐标为． 故答案为：． 22. 如图，直角三角形中，，点E为上一点，以为直径的上一点D在上，且平分． （1）证明：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为半径， ∴是切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定、勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定定理、勾股定理是解题的关键． （1）连接，根据平行线判定推出，推出，根据切线的判定推出即可； （2）设，根据勾股定理得出，求出，再根据线段的和差求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设， 在中，，， ∴， 由勾股定理，得：， 解得：， ∴， ∴． 23. 为了迎接新年的到来，某商场销售一批拜年服，平均每天可售出40件，每件盈利60元，为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件拜年服每降价1元，商场平均每天可多售出2件， （1）写出商场每天的利润W元与每件拜年服降价x元之间的函数关系式．（不要求写出自变量的取值范围）． （2）若商场平均每天销售这种拜年服的盈利要达到3000元，则每件拜年服应降价多少元? （3）每件拜年服降价多少元时，商场每天盈利最多?最多盈利为多少元? 【答案】（1）W＝−2x2＋80x＋240 （2）30元 （3）每件衬衫应降价20元时，商场平均每天盈利最多，每天最多盈利3200元 【解析】 【分析】（1）设每件衬衫应降价x元，则每天多销售2x件，根据盈利＝每件的利润×数量列出函数解析式即可； （2）令W＝3000，解方程即可，并根据为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，取x的值即可； （3）根据（1），由二次函数的性质及顶点坐标求出结论． 【小问1详解】 解：设每件拜年服降价x元，则每天多销售2x件， 根据题意得：W＝（60−x）（40＋2x）＝−2x2＋80x＋2400， ∴商场每天的利润W元与每件拜年服降价x元之间的函数关系式W＝−2x2＋80x＋240； 【小问2详解】 令W＝3000，则−2x2＋80x＋2400＝3000， 解得：x1＝10，x2＝30， ∵要扩大销售，减少库存， ∴每件拜年服应降价30元； 【小问3详解】 由（1）得： W＝−2x2＋80x＋2400＝−2（x−20）2＋3200， ∵−2＜0， ∴x＝20时，W最大＝3200元． ∴每件衬衫应降价20元时，商场平均每天盈利最多，每天最多盈利3200元． 【点睛】本题考查了二次函数和列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，销售问题的数量关系的运用，二次函数的运用，解答时求出函数的解析式是关键． 24. 如图，坡的坡度为，坡面长26米，，现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体(用阴影表示)修建一个平行于水平线的平台和一条新的斜坡(请将下面两小题的结果都精确到米，参考数据：)． （1）若修建的斜坡的坡角(即)恰为，则此时平台的长为多少米？ （2）坡前有一建筑物，小明在D点测得建筑物顶部H的仰角为30°，在坡底A点测得建筑物顶部H的仰角为60°，点B、C、A、G、H在同一平面内，点C、A、G在同一条水平直线上，问建筑物高为多少米？ 【答案】（1）7米 （2）建筑物高约为米． 【解析】 【分析】（1）根据题意解直角三角形即可得出答案； （2）过点D作，垂足为P，再解直角三角形即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵坡的坡度为，坡面长26米，D为的中点， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴，而， ∴，， ∴（米）； 则平台的长为7米； 【小问2详解】 过点D作，垂足为P． 在中，， 同理可得：， 在矩形中，，， 在中， ， ∴， ∵， ∴ ， 解得：， ∴（米）， 答：建筑物高约为米． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形中坡角问题，仰角问题，根据图形构建直角三角形，进而利用锐角三角函数得出答案是解题关键． 25. 在矩形中，，，点从点出发沿边以的速度向点移动（点可以与点重合），同时，点从点出发沿以的速度向点移动（点可以与点重合），其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为秒． （1）如图1，几秒后，的长度等于? （2）如图1，几秒后，的面积等于四边形面积的? （3）若以为圆心，为半径作．如图2，若与四边形的边有三个公共点，则的取值范围为_____．（直接写出结果，不需说明理由） 【答案】（1）后长度等于 （2）1秒或2秒后，的面积等于四边形面积的 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，则，由勾股定理可得，进行计算即可得到答案； （2）表示出，计算出，由的面积等于四边形面积的，可得，进行计算即可得到答案； （3）当时，如图，与四边形有两个公共点，如图，当经过点时，与四边形有两个公共点，则，由勾股定理可得，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：根据题意可得：， ， ， ， 解得：或（舍去）， 后的长度等于； 【小问2详解】 解：根据题意可得：， ，， ，， ， 的面积等于四边形面积的， ， 解得：或， 1秒或2秒后，的面积等于四边形面积的； 【小问3详解】 解：当时，如图，与四边形有两个公共点， ， 如图，当经过点时，与四边形有两个公共点，则， ， 根据题意可得：， ，， ，， ，， ， 解得：（舍）或， 当时，与四边形的边有三个公共点， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、三角形的面积公式、一元二次方程的应用、圆的基本性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 26. 已知抛物线与轴交于点，． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，抛物线与轴交于点，点为线段上一点（不与端点重合），直线，分别交抛物线于点，，设面积为，面积为，求的值； （3）如图，点是抛物线对称轴与轴的交点，过点的直线（不与对称轴重合）与抛物线交于点，，过抛物线顶点作直线轴，点是直线上一动点．求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）设，直线为，求出，直线为，求出，联立方程组得，，再根据，即可求解； （）设直线为，由得，得，设，，联立直线与抛物，得，根据根与系数的关系可得：，，作点关于直线的对称点，连接，则有，过点作于F，则，则，，根据勾股定理得，根据二次函数的性质，即可求出最小值． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于点，， ， 解得， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 设，直线为，据题意得， ，解得， ∴， 联立得， 解得或， ∴， 设，直线，据题意得， ，解得， ∴， 联立得， 解得或， ∴， ， ， ∴； 【小问3详解】 设直线为，由得， ∴， ∴， 设，， 联立直线与抛物线， 得， ， 根据根与系数的关系可得：，， 作点关于直线的对称点，连接， 由题意得直线，则， ∴， 过点作于F，则． 则，， 在中， ， 即当时，，此时， 此时直线为，符合不与对称轴重合， 故的最小值为． 【点睛】本题考查了二次函数和一次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，解一元二次方程，根的判别式，勾股定理，轴对称的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 自贡市蜀光中学学校2024～2025学年度上期九年级期末考试数学 注意事项: 1.本试卷共6页，满分150分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色签字笔写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确． 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效;在试题卷、草稿纸上答题无效． 3．考试结束后，将答题卡收回． 第I卷（选择题） 一、单选题（每题4分，共48分） 1. 一副扑克牌中有“黑桃”、“红桃”、“梅花”、“方块”四种花色，其中外轮廓既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 当时，y随x的增大而增大 C. 有最小值4 D. 顶点坐标是 3. 将抛物线绕原点O旋转，则旋转后的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. “买中奖率为的奖券10张，中奖”是必然事件 B. 福山气象局预报说“明天的降水概率为”，意味着福山明天一定下雨 C. “汽车累计行驶，从未出现故障”是不可能事件 D. 抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为0.5 5. 已知是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. B. C. D. 3 6. 在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些小球除颜色外都相同，小红通过多次试验发现，摸出黄球的频率稳定在0.25左右，则袋子中红球的个数最有可能是（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 以上均不正确 7. 明明在解关于x的方程时，抄错了a的符号，解出其中一个根是．则原方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有一个实数根是： C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 8. 如图，已知抛物线（）的顶点坐标是，与x轴的两个交点是A，B，其中点B的坐标是，则下列结论正确的是：（ ） A. B. C. 点A的坐标为 D. 9. 我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．内方圆径若能知，堪作算中第一．”其大意为：有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远．如果你能求出正方形边长和圆的直径，那么你的计算水平就是第一了．如图，设正方形的边长是x步，则列出的方程是（　　） A. B. C. D. 10. 黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱．摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．其原理是：如图，将正方形的底边取中点E，以E为圆心，线段为半径作圆，其与底边的延长线交于点F，这样就把正方形延伸为矩形，称其为黄金矩形．若，则（ ） A. B. C. D. 11. 如图，半径为3的扇形AOB，∠AOB=120°，以AB为边作矩形ABCD交弧AB于点E，F，且点E，F为弧AB的四等分点，矩形ABCD与弧AB形成如图所示的三个阴影区域，其面积分别为，，，则为（ ）（取） A. B. C. D. 12. 如图，在平面直角坐标系中，的圆心坐标，半径为5，函数的图象被截得的弦的长为8，则的值为（ ） A. 6 B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题（每题4分，共24分） 13. 已知是一元二次方程，则______． 14. 关于的一元二次方程中，=_____． 15. 圆心角为，半径为3的扇形的面积为_______． 16. 有五张正面分别标有，，0，1，2的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为a，将该数字加1记为b，则关于x的一元二次方程有解的概率为______． 17. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB＝30°，，则阴影部分的面积为______． 18. 如图，的顶点O是坐标原点，点，点，点M是边上一动点，从O向A运动，连接，过点A作于点C，连接．当取得最小值时，的坐标是_______． 三、解答题（共78分） 19. 解方程： 20. 随着科技的进步，购物支付方式日益增多．为了解某社区居民支付的常用方式（A微信，B支付宝，C现金，D其他），某学习小组对红星社区部分居民进行问卷调查，根据调查结果，绘制成如下统计图． 根据统计图表中的信息，解答下列问题： （1）______，______，在扇形统计图中C种支付方式所对应的圆心角为______度； （2）本次调查中用现金支付方式的居民里有2名男性，其余都是女性，现从该种支付方式中随机选2名居民参加线上支付方式培训，求恰好都是女性的概率． 21. 在小正方形边长为1的网格图中，画有，，，． （1）画出以点为旋转中心，将沿顺时针方向旋转后的图形． （2）若点坐标为，在图中画出相应的直角坐标系． （3）若是点关于原点的对称点，则点的坐标为________． 22. 如图，直角三角形中，，点E为上一点，以为直径的上一点D在上，且平分． （1）证明：是的切线； （2）若，，求的长． 23. 为了迎接新年的到来，某商场销售一批拜年服，平均每天可售出40件，每件盈利60元，为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件拜年服每降价1元，商场平均每天可多售出2件， （1）写出商场每天的利润W元与每件拜年服降价x元之间的函数关系式．（不要求写出自变量的取值范围）． （2）若商场平均每天销售这种拜年服的盈利要达到3000元，则每件拜年服应降价多少元? （3）每件拜年服降价多少元时，商场每天盈利最多?最多盈利为多少元? 24. 如图，坡的坡度为，坡面长26米，，现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体(用阴影表示)修建一个平行于水平线的平台和一条新的斜坡(请将下面两小题的结果都精确到米，参考数据：)． （1）若修建的斜坡的坡角(即)恰为，则此时平台的长为多少米？ （2）坡前有一建筑物，小明在D点测得建筑物顶部H的仰角为30°，在坡底A点测得建筑物顶部H的仰角为60°，点B、C、A、G、H在同一平面内，点C、A、G在同一条水平直线上，问建筑物高为多少米？ 25. 在矩形中，，，点从点出发沿边以的速度向点移动（点可以与点重合），同时，点从点出发沿以的速度向点移动（点可以与点重合），其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为秒． （1）如图1，几秒后，的长度等于? （2）如图1，几秒后，的面积等于四边形面积的? （3）若以为圆心，为半径作．如图2，若与四边形的边有三个公共点，则的取值范围为_____．（直接写出结果，不需说明理由） 26. 已知抛物线与轴交于点，． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，抛物线与轴交于点，点为线段上一点（不与端点重合），直线，分别交抛物线于点，，设面积为，面积为，求的值； （3）如图，点是抛物线对称轴与轴的交点，过点的直线（不与对称轴重合）与抛物线交于点，，过抛物线顶点作直线轴，点是直线上一动点．求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $