第10章 三角恒等变换 单元测试 -2024-2025学年高一下学期数学苏教版（2019）必修第二册

密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 第10章　三角恒等变换 全卷满分150分　考试用时120分钟 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知命题p:tan α=2,q:cos 2α=-,则p是q的(　　) A.充分必要条件　　　B.充分不必要条件 C.必要不充分条件　　　D.既不充分也不必要条件 2.已知sin x-2cos x=sin(x+φ),则sin φ-2cos φ=(　　) A.0　　　B. C.- 3.如图所示,cos 2∠AOB=(　　) A. C. 4.已知a=,b=cos 330°,c=,则(　　) A.c>a>b　　　B.c>b>a C.a>c>b　　　D.b>a>c 5.已知α,β为锐角,sin,则β=(　　) A. C. 6.在△ABC中,已知=nsin C,=ncos C,若tan=-3,则n的值为(　　) A.无解　　　B.2 C.3　　　D.4 7.古希腊数学家波克拉底曾研究过的几何图形如图所示,此图由三个半圆构成,直径分别为直角三角形ABC的斜边AB,直角边BC,AC,N为AC的中点,点D在以AC为直径的半圆上,已知以直角边AC,BC为直径的两个半圆的面积之比为3∶1,sin∠DAB=,则cos∠DNC的值为(　　) A. 8.对于函数f(x)=,下列说法正确的是(　　) A.最小正周期为2π B.在区间上单调递增 C.当x=+kπ(k∈Z)时,函数取到最大值 D.若f(α)=,则tan α=2 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.已知tan α,tan β是方程3x2+5x-7=0的两个实数根,则下列关系式中一定成立的是(　　) A.tan(α+β)=- C.sin[2(α+β)]= 10.《周髀算经》中给出了弦图,弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的大正方形,若图中直角三角形的两锐角分别为α,β,其中小正方形的面积为4,大正方形的面积为9,则下列说法正确的是(　　) A.每一个直角三角形的面积均为 B.3sin β-3cos α=2 C.3sin β-3sin α=2 D.cos(α-β)= 11.重庆荣昌折扇(如图1)是中国四大名扇之一,其精雅宜士人,其华灿宜艳女,深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗赞曰:“开合清风纸半张,随机舒卷岂寻常;金环并束龙腰细,玉栅齐编凤翅长.”荣昌折扇的平面图如图2中的扇形COD所示,其中∠COD=,OC=3OA=3,动点P在弧上(含端点),连接OP交扇形AOB的弧于点Q,且(x>0,y>0),则下列说法正确的是(　　) 　 A.若y=2x,则·　　　B.x+y∈ C.·∈·≥-2 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.已知cos α=-<α<π,则sin=　　　　.  13.设f(x)=,则f(28°)+f(29°)+f(30°)+f(31°)+f(32°)=　　　　.  14.若关于x的方程sin x+2cos x+2-m=0在x∈上有且只有一个实数解,则实数m的取值范围为　　　　.  四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分13分)如图,锐角α的始边与x轴的非负半轴重合,终边与单位圆交于点A(x1,y1),将射线OA按逆时针方向旋转后与单位圆交于点B(x2,y2),记f(α)=x1+x2. (1)求f(α)的取值范围; (2)若f(α)=,求tan α的值. 16.(本小题满分15分)在斜△ABC中,A≠B,2sin(2A-2B)=sin 2A-sin 2B. (1)求tan Atan B的值; (2)求的最小值. 17.(本小题满分15分)已知函数f(x)=2sin xsin+cos 2x. (1)求f(x)的增区间和最值; (2)若函数g(x)=f(x)-a在x∈上有且仅有2个零点,求实数a的取值范围. 18.(本小题满分17分)某大型商场为迎接新年的到来,在自动扶梯AC(其长度大于5米)的C点的正上方悬挂竖直高度为5米的广告牌DE.如图所示,广告牌底部的点E正好为DC的中点,自动扶梯AC的坡度为(即∠CAB=30°).某人在扶梯上的点P处(异于点C)观察广告牌的视角为∠DPE=θ,当此人在A点时,观察广告牌的视角(即∠DAE)的正切值为. (1)设BC的长为m米,用m表示tan∠DAB; (2)求自动扶梯AC的长度; (3)当某人在扶梯上观察广告牌的视角θ最大时,求CP的长. 19.(本小题满分17分)定义:μ=[sin2(θ1-θ0)+sin2(θ2-θ0)+…+sin2(θn-θ0)]为实数θ1,θ2,…,θn对θ0的“正弦方差”. (1)若θ1=,θ3=π,则实数θ1,θ2,θ3对θ0的“正弦方差”μ的值是与θ0无关的定值吗?证明你的结论; (2)若θ1=,θ2=α,θ3=β,α∈,β∈(π,2π),实数θ1,θ2,θ3对θ0的“正弦方差”μ的值是与θ0无关的定值,求α,β的值. 答案与解析 第10章　三角恒等变换 1.B　由cos 2α=cos2α-sin2α=,解得tan α=±2, 故p⇒q,qp,所以p是q的充分不必要条件.故选B. 2.C　sin x-2cos x=sin xcos φ+cos xsin φ,　 所以cos φ=,sin φ=-,则sin φ-2cos φ=-.故选C. 3.C　由题意知OA=, 则sin∠AOx=,cos∠AOx=,sin∠BOx=,cos∠BOx=, 故cos∠AOB=cos(∠AOx-∠BOx)=cos∠AOxcos∠BOx+sin∠AOxsin∠BOx =, 故cos 2∠AOB=2cos2∠AOB-1=2×.故选C. 4.C　因为tan 45°=1, 所以a==tan(45°+16°) =tan 61°>tan 45°=1. b=cos 330°=cos(-30°+360°)=cos 30°. c= ==cos 29°. 由y=cos x的单调性可知1>cos 29°>cos 30°, 所以a>c>b.故选C. 5.C　因为α∈,所以α-∈,所以cos>0, 又sin,所以cos, 所以cos α=cos, 则sin α=. 因为α,β∈,所以α+β∈(0,π),所以sin(α+β)>0, 又cos(α+β)=-,所以sin(α+β)=,　 所以sin β=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α=, 所以β=.故选C. 6.A　由tan=-3,得tan A=2,则cos A≠0, 由=nsin C,=ncos C,知cos B,cos C≠0,则=tan C,则tan A=tan B·tan C=2, 因为tan A=tan(π-B-C)=-tan(B+C)=-=tan B+tan C, 所以tan B+tan C=2,设tan B=t,则tan C=2-t, 所以t(2-t)=2,即t2-2t+2=0,其判别式Δ=4-8=-4<0,即该方程无解,故不存在这样的三角形,即n无解.故选A. 7.A　由以AC,BC为直径的两个半圆的面积之比为3∶1,可知其直径之比为∶1,即tan∠BAC=, 又∠BAC∈,所以∠BAC=, 因为sin∠DAB=,∠DAB∈, 所以cos∠DAB=, 则cos∠DAN=coscos∠DAB+sin∠DAB=, 故cos∠DNC=cos 2∠DAN=2cos2∠DAN-1=2×,故选A. 8.C　因为f(x)=cos 2x+sin 2x-cos 2x=sin 2x, 所以f(x)的最小正周期T==π,故A不正确; 对于B,当x∈时,2x∈,由正弦函数y=sin x的单调性知B不正确; 对于C,当x=+kπ(k∈Z)时,f(x)=(k∈Z),故C正确; 对于D,由f(α)=,得sin 2α=,即sin αcos α=,所以,即2tan2α-5tan α+2=0,解得tan α=或tan α=2,又α∈,所以tan α=,故D错误.故选C. 9.ABD　∵tan α,tan β是方程3x2+5x-7=0的两个实数根, ∴由根与系数的关系可得tan α+tan β=-,tan α·tan β=-. 对于A,tan(α+β)=,故A正确; 对于B,,故B正确; 对于C,sin[2(α+β)]=2sin(α+β)cos(α+β)= =,故C错误; 对于D,cos2(α+β)=,故D正确. 故选ABD. 10.ACD　由题可知,每一个直角三角形的面积均为(9-4)×,故A正确; 如图,设直角三角形中角α,β的对边分别为a,b, 则,a2+b2=9, sin β=,cos β=,sin α=,cos α=, 则3sin β-3cos α=0,故B错误; 由B中分析知3sin β-3sin α=b-a,由,a2+b2=9得ab==2,所以3sin β-3sin α=b-a=2,故C正确; cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=,故D正确. 故选ACD. 11.BC　如图,作OE⊥OC,以O为原点,OC,OE所在直线分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系, 则A(1,0),C(3,0),B, 设Q(cos θ,sin θ),θ∈,则P(3cos θ,3sin θ), 由可得cos θ=3x-y,sin θ=y, 若y=2x,则cos θ=3x-y=0,sin θ=1,所以=(0,3),又,所以·,故A错误; 易得y=sin θ,x=cos θ+sin θ, 所以x+y=sin θ+cos θ+sin θ=sin θ+cos θ=, 因为θ∈,所以θ+∈, 所以sin∈,所以x+y∈,故B正确; 由于=(1-3cos θ,-3sin θ),=--3cos θ,-3sin θ, 所以·=(1-3cos θ,-3sin θ)·--3cos θ,-3sin θ=, 由B知sin∈, 所以·∈,故C正确; ··(-2cos θ,-2sin θ)=-sin θ+3cos θ=-2, 由于θ∈,所以θ-∈, 所以-3≤-2≤3,即·∈[-3,3],故D错误. 故选BC. 12.答案　 解析　由<α<π,得,故sin. 13.答案　 解析　f(x)+f(60°-x)= =, 所以f(28°)+f(32°)=, 所以f(28°)+f(29°)+f(30°)+f(31°)+f(32°)=2. 14.答案　[3,4)∪{+2} 解析　方程sin x+2cos x+2-m=0在x∈上有且只有一个实数解,即方程sin x+2cos x+2=m在x∈上有且只有一个实数解,即函数y=sin x+2cos x+2的图象和直线y=m在x∈上有且只有一个交点. 令f(x)=sin x+2cos x+2=sin(x+θ)+2,其中tan θ=2,不妨设θ为锐角,由x∈,可得x+θ∈, 所以当x+θ=,即x=-θ时, f(x)max=+2. 当x=0时, f(0)=0+2+2=4; 当x=时, f =1+0+2=3. 函数y=f(x)在x∈上的图象如图所示, 由图可知3≤m<4或m=+2,即实数m的取值范围为[3,4)∪{+2}. 15.解析　(1)由题意得∠AOB=,x1=cos α,x2=cos,(2分) ∴f(α)=x1+x2=cos α+cos=cos α+cos αcos-sin αsincos α-sin α=.(4分) ∵α为锐角,∴0<α<, ∴-, ∴f(α)的取值范围是.(6分) (2)∵f(α)=, ∴cos, 又,(8分) ∴sin α=sin,(10分) cos α=cos, ∴tan α=.(13分) 16.解析　(1)因为2sin(2A-2B)=sin 2A-sin 2B, 所以2sin[2(A-B)]=sin[(A+B)+(A-B)]-sin[(A+B)-(A-B)], 所以4sin(A-B)cos(A-B)=2cos(A+B)sin(A-B),(2分) 因为A≠B,-π<A-B<π,所以sin(A-B)≠0, 所以2cos(A-B)=cos(A+B), 所以2cos Acos B+2sin Asin B=cos Acos B-sin Asin B, 整理,得cos Acos B=-3sin Asin B,(4分) 因为△ABC为斜三角形,所以cos Acos B≠0, 所以tan Atan B=-.(7分) (2)因为tan C=-tan(A+B)=-, tan Atan B=-, 所以tan A+tan B=-tan C,(9分) 所以 =-3(tan A+tan B)+=4tan C+,(12分) 由tan Atan B=-<0可知,A和B中有一个是钝角,所以C为锐角,即tan C>0, 所以4tan C+≥4,当且仅当4tan C=,即tan C=时,等号成立,(14分) 所以的最小值为4.(15分) 17. 解析　(1)f(x)=2sin xsin+cos 2x=2sin x·+cos 2x=sin2x+ sin 2x+cos 2x=sin 2x+cos 2x=sin 2x+cos 2x+.(3分) 令-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z, 解得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z, 故f(x)的增区间为,k∈Z.(6分) 易得f(x)的最大值为,最小值为-.(8分) (2)若函数g(x)=f(x)-a在x∈上有且仅有2个零点, 则函数y=f(x),x∈的图象与直线y=a有且仅有2个交点.(11分) 由(1)可得当x∈时, f(x)在上单调递增,在上单调递减, 又f(0)=1, f , f =0, 所以实数a的取值范围为.(15分) 18.解析　(1)因为在直角三角形ABC中,∠CAB=30°,∠B=90°,BC=m米,所以AB=m米,(2分) 因为DE=5米,E是DC的中点,所以DB=2DE+BC=(10+m)米, 所以在Rt△DAB中,tan∠DAB=.(5分) (2)由(1)知tan∠DAB=. 易知在直角三角形EAB中,tan∠EAB=, 因为tan∠DAE=,∠DAB=∠EAB+∠DAE, 所以tan∠DAB=tan(∠EAB+∠DAE) =, 即,解得m=或m=5,(8分) 当m=时,AC=2m=5(舍去), 当m=5时,AC=2m=10, 所以自动扶梯AC的长度为10米.(10分) (3)作PQ⊥BC于点Q,如图所示, 设CQ=x米,则PQ=x米,PC=2x米, 由(2)可知x∈(0,5],tan∠DPQ=,tan∠EPQ=,(12分) 当tan∠DPE取最大值时,∠DPE最大,(13分) 易得tan∠DPE=tan(∠DPQ-∠EPQ)= =≤,当且仅当x=时,等号成立,(16分) 所以当视角θ最大时,CP=2x=5(米).(17分) 19.解析　(1)“正弦方差”μ的值是与θ0无关的定值.(1分) 证明如下:若θ1=,θ3=π, 则μ= =[1-cos(2π-2θ0)] = =(3分) = =(-cos 2θ0+cos 2θ0)=.(5分) (2)由题意得, μ= =[1-cos(2β-2θ0)] = =(sin 2θ0+cos 2αcos 2θ0+sin 2αsin 2θ0+cos 2βcos 2θ0+sin 2βsin 2θ0) =[sin 2θ0(1+sin 2α+sin 2β)+cos 2θ0(cos 2α+cos 2β)],(7分) 因为μ的值是与θ0无关的定值, 所以(9分) 因为α∈,β∈(π,2π),所以2α∈(π,2π),2β∈(2π,4π), 由cos 2α+cos 2β=0可知,2α+2β=5π或2β-2α=π,即α+β=或β-α=, 若β-α=,则sin 2α+sin 2β=sin 2α+sin(π+2α)=0≠-1,故舍去.(11分) 对sin 2α+sin 2β=-1,cos 2α+cos 2β=0两式的等号两边分别平方后相加,可得2+2cos(2β-2α)=1,即cos(2β-2α)=-, 因为2β-2α∈(0,3π),所以2β-2α=或或,即β-α=或或.(13分) 当时,解得不满足题意; 当时,解得满足题意; 当时,解得满足题意.(16分) 故或(17分) 学科网（北京）股份有限公司 $$