河南省信阳市淮滨县2024-2025学年八年级上学期1月期末考试数学试题

2024-2025 学年度上期八年级学业水平测试 数学试题 一、选择题(每小题 3分，共 30 分) 1.若分式 �+2 �−2 的值为 0，则 x的值是( ) A. - 2 B. 2 C. ±2 D.任意实数 2.华为手机使用了自主研发的海思麒麟芯片，目前最新的型号是麒麟 990.芯片是由很 多晶体管组成的，而芯片技术追求是体积更小的晶体管，以便获得更小的芯片和更低的电力 功耗，而麒麟 990 的晶体管的宽度达到了 0.000000007 毫米，将数据 0.000000007 用科学 记数法表示为( ) �. 7 × 10−8 �. 7 × 10−9 �. 0.7 × 10−8 �. 0.7 × 10−9 3.下列各式从左到右的变形，一定正确的是( ) �. � � = � 2 �2 �. � � = �+1 �+1 �. � � = �� �2 �. −�+1 � =− �+1 � 4.如图, 点 A、D 在线段 BC 的同侧,连接 AB、AC、DB、DC,已 知∠ABC=∠DCB,老师要求同学们补充一个条件使△ABC≌△DCB.以 下是四个同学补充的条件，其中错误的是( ) A. AC=DB B. AB=DC C. ∠A=∠D D. ∠ABD=∠DCA 5.下列运算结果正确的是( ) �. �2 3 = �6 �. �3�4 = �12 �. �8 ÷ �2 = �4 D. 2a+3b=5ab 1-5ABCAA6-10BADCA 6. − 2 5 2023 ⋅ − 5 2 2024 的计算结果是( ) A. 2 5 �. − 2 5 �. 5 2 �. − 5 2 7.如图所示，为估计池塘岸边 A、B 的距离，小方在池塘的一侧选取一点 O，测得 OA=15 米, OB=10 米, A、B 间的距离不可能是 ( ) A. 5 米 B. 15 米 C. 10 米 D. 20 米 8.一项工作由甲单独做，需要 a天完成；如果由甲、乙两人合作，则可提前 2 天完成， 则乙单独做每天可以完成这项工作的( ) �. 2 �+2 �. 2 �−2 �. 2 � �+2 �. 2 � �−2 9.如图，将正五边形一角沿直线 MN 折叠，折叠后得到点 D'，则∠1+∠2=( ) A. 108° B. 72° C. 216° D. 144° 10.如图，点 C 是线段 BG 上的一点，以 BC，CG 为边向两边作正方 形，面积分别是 S ₁ 和 S ₂ ，两正方形的面积和 �1 + �2 = 20,已知 BG=6，则图中阴影部分面积为( ) A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 二、填空题(每小题 3分，共 15 分) 11. 计算: � − 3.14 0 − 1 2 −2 = ______. 12. 将一把直尺和一块含 30°和 60°的三角板 ABC 按如图所示的位置放置，若∠ CDE=46°, 那么∠BAF 的度数为 . 13. 小宇用 6 − 2 × 180∘计算一个多边形的内角和，则该多边形共 条对角线. 14.如图，在平面直角坐标系中，以点 A为圆心，适当的长为半径画 弧，分别交 x 轴，AB 于点 E，F；再分别以点 E，F 为圆心，大于 1 2 ��的 长为半径画弧，两弧在∠BAO 内部交于点 P，作射线 AP，交 y 轴于点 D. 已知点 D的坐标是(0,-4),AB=12, 则 ���的面积为 . 15.如图，等腰三角形 ABC 的底边 BC 长为 6，面积是 24，腰 AC 的 垂直平分线 EF 分别交 AC, AB 边于 E, F 点. 若点 D 为 BC 边的中点, 点 M为线段 EF 上一动点，则 ���周长的最小值为 . 三、解答题(共 8题，75 分) 16. (8 分) 化简: 1 � + 2 2 − � + 1 � − 1 ; 2 � − 2� − 1 � ÷ � − 1 � 17. (8 分)如图, 在 �����中， ∠� = 90∘. (1)尺规作图：作 ∠�的角平分线 AP，交 BC 于点 D.(基本作图，保留作图痕迹，不写 作法，并标明字母) (2) 若. �� = 3, �� = 4, �� = 5,求 BD 的长及 ���的面积. 18.(8 分))为了践行习近平总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某地 计划在规定时间内种植梨树 6000 棵.开始种植时，由于志愿者的加入，实际每天种植梨树的 数量比原计划增加了 20%，结果提前 2天完成任务.问原计划每天种植梨树多少棵? 19.(9 分).对于正数 x, 规定: � � = � �+1 ,例如： � 1 = 1 1+1 = 1 2 , � 2 = 2 2+1 = 2 3 , � 1 2 = 1 2 1 2+1 = 1 3 (1) 求值: � 3 + � 1 3 = ____: � 4 + � 1 4 = _____ (2) 猜想 � � + � 1 � = ______,并证明你的结论。 20.(10 分 )图 a 是一个长为 2m、宽为 2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长 方形，然后按图 b的形状拼成一个正方形. (1)图 b 中的阴影部分的正方形的边长等于 . (2)请用两种不同的方法求图 b中阴影部分的面积. (3)观察图 b，你能写出以下三个代数式之间的等量关系吗?代数式： �+ � 2, � − � 2, ��. (4) 若 x, y 都是有理数, � − � = 4, �� = 5,求� + �的值. 21.(10 分)如图, AE 与 BD 相交于点 C, �� = ��, �� = ��, �� = 8��,点 P 从点 A 出 发，沿 A→B→A方向以 2cm/s 的速度运动，占 Q 同时从点 D 出发，沿 D→E方向以 1��/�的 速度运动，当点 P到达点 A时，P、Q两点同时停止运动，设点 P的运动时间为 ts. (1) 当点 P在 A→B运动时, �� = _____;；(用含 t的代数式表示) (2) 求证: �� = ��; (3) 当 P, Q, C 三点共线时, 求 t的值. 22.(10 分)我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分 解因式的方法还有分组分解法、十字相乘法等。 ①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫做 分组分解法。例如， �2 − 2�� + �2 − 4 = �2 − 2�� + �2 − 4 = � − � 2 − 22 = � − � − 2 � − � + 2 ②十字相乘法：教科书 �121的“阅读与思考”栏目中有介绍。 (1)根据以上方法，按照要求分解因式： ①运用分组分解法) 4�2 + 4� − �2 + 1 = ____; ②运用十字相乘法) �2 + 7� − 18 = _____; ; �2 − �� − 12�2 = _____;(a+b)²+4(a+b)- 5= ____ ; x⁴ -3x²-4= _____ ; (2)已知 a,b,c 为 ���三边长， �2 + �2 + �2 − 4� − 4� − 6� + 17 = 0,求 ���的周长. 23. (12 分) 课本 p53 有如下内容: 活动 2用全等三角形研究“筝形” 如图，四边形 ABCD 中， �� = ��, �� = ��..我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫 做“筝形”.请你自己画一个筝形，用测量、折纸等方法猜想筝形的角、对角线有什么性 质，然后用全等三角形的知识证明你的猜想. 请结合教材内容，解决下面问题： (1)【概念理解】 如图，在正方形网格中，点 A，B，C是网格线交点，请在网格中画出筝形 ABCD； (2)【性质探究】 ①如图 1：小文通过连接筝型的一条对角线得到一对全等的三角形，进而得到筝形角的 性质“筝形有一组对角相等”，这两个三角形全等的理由是： ②如图 2，连结筝形的两条对角线.你能发现筝形对角线有那些性质吗?请写出一条： (3)【拓展应用】 ①如图 3，在 ���中,· ∠� = 80∘,∠� = 40∘,点 D、E分别是边 BC,AB 上的动点,当四 边 形 AEDC 为 筝 形 时 ， 请 直 接 写 出 ∠ BED 的 度 数 ： . ②填空:如图 4, 在筝形 ABCD 中, 过点 D 作 DE∥AB 交 BC 于点 E, 若 �� = 5, �� = 3, 则 AB 的长为 . ③如图，如果点 B为△���内一点, DB 平分∠ADC, 且 AB=CB, 求证:AD=CD. 2024-2025 学年度上期八年级学业水平测试 数学试题参考答案及评分标准 一、选择题(每小题 3分，共 30 分) 1-5ABCAA6-10BADCA 二、填空题(每小题 3分，共 15 分) 11.-3 12.15° 13.9 14.24 15.11 三、解答题(共 8题，75 分) 16.(8 分) 1 原式 = x2 + 4x + 4 − x2 − 1 = x2 + 4x + 4 − x2 + 1 = 4x + 5. 2 解：原式 = a 2−2a+1 a ÷ a−1 a = a−1 2 a ⋅ a a−1 = a − 1 17.(8 分)(1)如图, AP 即为所求; (2)在. RtABC 中， 由勾股定理得， AC = AB2 + BC2 = 32 + 42 = 5,由(1)知, AD 平分 ∠BAC,∴点 D到 AC 的距离=BD 的长设 BD = x, ∴ 1 2 × 3 × 4 = 1 2 × 3x + 1 2 × 5x,解得 x = 3 2 , ∴ BD = 3 2 , ∴ SACD = 1 2 × 5 × 3 2 = 15 4 . 18.解：设原计划每天种植梨树 x棵，则实际每天种植梨树 1 + 20% x 棵， 根据题意得： 6000 x − 6000 (1+20 = 2, 解得： x = 500, 经检验， x = 500 是所列方程的解，且符合题意 . 答：原计划每天种植梨树 500 棵. 19.(9 分)解：(1) f 3 = 3 3+1 = 3 4 ,f 1 3 = 1 3 1 3+1 = 1 4 ∴ f 3 + f 1 3 = 3 4 + 1 4 = 1, f 4 + f 1 4 = 4 5 + 1 5 = 1; 故答案为: 1, 1; (2)1, 故答案为： 1 证明： � � + � 1 � = � �+1 + 1 � 1 �+1 = � �+1 + 1 �+1 = 1 20.(10 分 )(1)图 b 中阴影部分的正方形的边长等于 m− n, (2)①图 b 中阴影部分的面积是： m− n 2 = m2 − 2mn + n2 ②图 b 中阴影部分的面积是： S大正方形-4S 矩形 = m+ n 2 − 4mn = m2 − 2mn + n2, (3) m− n 2= m+ n 2 − 4mn (4)当 � − � = 4, �� = 5 时， � + � 2 = � − � 2 + 4�� = 42 + 20 = 36 � + � = 6, 21.(10 分 )(1)解: 点 P 从点 A 出发, 沿 A→B→A 方向以 2cm/s 的速度运动，点 Q 同时 从点 D出发，沿 D→E方向以 1cm/s 的速度运动，设点 P的运动时间为 ts . 根据题意得： AP=2cm, 则 BP=(8-2t) cm, 故答案为: (8-2t) cm. (2)证明: 在△ABC 和△EDC 中, �� = �� ∠ACB = ∠ECD �� = �� ∴△ABC≌△EDC(SAS), ∴AB=ED . (3)解：根据题意得： DQ= tcm, AP=2cm, 则 EQ=(8-t) cm, ∵△ABC≌△EDC, ∴∠A=∠E, DE=AB=8cm, ∵P, Q, C 三点共线, ∴∠ACP=∠ECQ, 在△ACP 和△ECQ 中, �� = �� ∠A = ∠E ∠ACP = ∠E�� ∴△ACP≌△ECQ(ASA), ∴AP=EQ, ∴当 0≤t≤4时, 2t=8-t, 解得： t = 8 3 , 当 4<t≤8 时, AP=(16-2t) cm, ∴16-2t=8-t, 解得: t=8, ∴综上所述，当 P、C、Q三点共线时，t的值为 8或 8 3 . 22.(10 分 ) 1 ①4x2 + 4x − y2 + 1 = 4x2 + 4x + 1 − y2 = 2x + 1 2 − y2 = 2x + y + 1 2x − y + 1 ; ②x2 − 7x + 8 = � − 8 � + 1 �2 − �� − 12�2 = � − 4� � + 3� (a+b)²+4(a+b)-5= = a + b + 5 a + b − 1 ; x⁴ -3x²-4= �2 − 4 �2 + 1 = � − 2 � + 2 �2 + 1 2 ∵ a2 + b2 + c2 − 4a − 4b − 6c + 17 = 0, ∴ a2 − 4a + 4 + b2 − 4b + 4 + c2 − 6c + 9 = 0, ∴ a − 2 2 + b − 2 2 + c − 3 2 = 0, ∴ a = 2, b = 2, c = 3, ∴ a + b + c = 2 + 2 + 3 = 7. ∴ ABC 的周长为 7. 23.(12 分 )(1)解：在正方形网格中，点 A，B，C 是网格线交点，如图 1， 四边形 ABCD 即为所求； ①证明: 在筝形 ABCD 中, AB = AD, CB = CD.如图 2. 连接 AC. 在△ABC 与△ADC 中, �� = �� �� = �� �� = �� ∴△ABC≌△ADC(SSS), ∴∠B=∠D; ②解：有一条对角线平分一组对角(答案不唯一)； 证明：在 ABC 与 ADC 中， �� = �� �� = �� �� = �� ∴△ ABC ≅△ ADC SSS ， ∴∠CAB = ∠CAD,∠ACB = ∠ACD,即 AC 平分 ∠BAD、∠BCD; ①解: 分两种情况: a.当筝形 AEDC 中, ∠CDE = ∠A = 80∘时， 如图 4 − 1, ∴∠BDE = 180∘ −∠CDE = 180∘ − 80∘ = 100∘; B.当筝形 AEDC 中, ∠AED = ∠C 时，如图 4 − 2, ∵∠C = 180∘ −∠A −∠B = 180∘ − 80∘ − 40∘ = 60∘, ∴∠AED = ∠C = 60∘, ∴∠BDE = ∠AED −∠B = 60∘ − 40∘ = 20∘, 综上，当四边形 AEDC 为筝形时， ∠BDE 的度数为 100∘或 20∘. ②解: ∵AB=BC, BD⊥AC, ∴∠ABD=∠CBD, ∵DE∥AB, ∴∠ABD=∠EDB, ∴∠EDB=∠DBE, ∴DE=BE=5, ∴BC=BE+CE=5+3=8, ∴AB=8, 故答案为：8； ③证明: 如图 3, 过点 B作 DE⊥DC 于 E, 过点 B作 BF⊥AD 于 F, ∵DB 平分∠ADC, DE⊥DC, DF⊥AD, ∴BF=BE, 又∵AB=CB, ∴Rt△ABF≌Rt△CBE(HL), ∴∠DAB=∠DCB, ∵AB=CB, ∴∠BAC=∠BCA, ∴∠BAC+∠DAB=∠BCA+∠BCD, ∴∠DAC=∠DCA, ∴AD=CD .