2026年中考数学高频压轴题训练二次函数压轴题（相似三角形问题）

2026年中考数学高频压轴题训练二次函数压轴题（相似三角形问题） 一、单选题 1．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当四边形的周长最小时，点D的坐标为（ ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·安徽六安·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象过正方形的三个顶点、、，则的值是多少？（   ） A． B． C． D．或 3．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，一段抛物线为，与x轴交于，两点，顶点为；将绕点旋转得到，顶点为；与组成一个新的图象，垂直于y轴的直线l与新图象交于点，，与线段交于点，设，，均为正数，，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23九年级下·浙江绍兴·自主招生）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点是线段上一动点，过点分别作，的垂线，垂足分别为两点，则的最小值是（　　） A．3 B． C． D． 5．（2025·广东广州·一模）如图，在平面直角坐标系中，与轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点，点是线段上方抛物线上一点，过点作轴，且与延长线相交于点，连接交于点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，函数的图象与轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点，点是上方抛物线上一点，连接交于点，连接，，记的面积为，的面积为，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25九年级下·内蒙古呼和浩特·开学考试）如图，以扇形的顶点为原点，半径所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，点的坐标为，若拋物线与只有一个公共点，则 ；若抛物线与扇形的边界总有两个公共点，则实数k的取值范围是 ． 8．（25-26九年级上·山东德州·月考）如图，已知二次函数图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，在对称轴上存在一点P，使以P，A，O，B为顶点的四边形为平行四边形，写出此时点P的坐标 ． 9．（25-26九年级上·江苏连云港·月考）如图，是抛物线在第一象限上的点，过点分别向轴和轴引垂线，垂足分别为，则四边形周长的最大值为 ． 10．（25-26九年级上·北京·月考）如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，若点M是直线下方抛物线上一动点，求四边形面积的最大值为 ． 11．（2025九年级上·江苏连云港·专题练习）如图，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点．若为轴上一个动点，连接，则的最小值为 ． 12．（25-26九年级上·四川绵阳·月考）如图，已知抛物线的图象与轴交于两点（点在点左侧），与轴交于点，在轴正半轴有一点满足，点为直线下方抛物线上的一个动点，连接，过点作交轴于点为轴上一个动点，为轴上一个动点，平面内有一点，连接，，，，当最大时，则的最小值 ． 三、解答题 13．（2023九年级下·上海·月考）如图在直角坐标平面内，抛物线与y轴交于点A，与x轴分别交于点B、点，点D是抛物线的顶点． (1)求：抛物线的表达式及顶点D的坐标； (2)点P在直线上，连接，若以O、P、C为顶点的三角形与相似，求点P的坐标． 14．（24-25九年级上·吉林松原·期末）如图，抛物线与x轴交于点和点．点C是抛物线上的一个动点，抛物线的对称轴交x轴于点E，点F是位于x轴上方抛物线对称轴上的动点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点C的纵坐标是3，求点C的坐标； (3)若点C在对称轴的右侧，且轴，连接、，当四边形是平行四边形时，求点C的坐标； (4)在（3）的条件下，连接，在x轴上方的对称轴上是否存在点P，使是直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 15．（22-23九年级上·四川泸州·期末）如图1，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，其中两点的坐标分别为和． (1)求该抛物线的解析式； (2)P是抛物线上位于直线上方的一个动点，过点P作轴交于点D，作于点E，过点E作轴于点F，当最大时，求点P的坐标； (3)如图2，点M是抛物线对称轴上位于x轴上方的一动点，点N是第二象限内该二次函数图像上的动点，且位于抛物线对称轴左侧．若以点N为直角顶点的与相似，直接写出符合条件的点N的坐标． 16．（2023上海·模拟预测）已知抛物线，与轴交于两点，与轴交于点，． (1)请直接写出抛物线的解析式： ． (2)如图1，点在第一象限内抛物线上的一点，过点作轴的垂线交的延长线于点，交的延长线于点，当与相似时，求点的坐标； (3)如图2，抛物线的对称轴交轴于点为第二象限内抛物线上的一点，直线分别交轴于两点，分别交抛物线的对称轴于两点． ①求的值； ②若，求点的坐标． 17．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）已知抛物线 对称轴为直线，交轴于点，交轴于、两点 (1)请直接写出抛物线解析式并直接写出顶点的坐标； (2)若点在抛物线上，且试确定满足条件的点的个数； (3)如图，直线：与直线：相交于抛物线与轴所围成的区域内部一点，连接、，若，试判断，的数量关系并证明． 18．（25-26九年级上·四川泸州·期末）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点．，为二次函数图象上两点． (1)求二次函数的表达式； (2)是否存在实数，使得．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)已知是二次函数图象上异于点，的一点，作△．若直线与线段，分别交于点，，且，请求出所有满足条件的的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】抛物线与x轴的另一个交点为E点，把E点向上平移3个单位得到F点，连结交对称轴于D点，如图，先证明四边形为平行四边形得到，则，利用等线段代换得到四边形的周长，根据两点之间线段最短可判断此时四边形的周长最小，再解方程得，从而确定抛物线的对称性为直线，，接着确定，然后利用待定系数法求出直线的解析式为，于是解方程组得到D点坐标． 【详解】解：抛物线与x轴的另一个交点为E点，把E点向上平移3个单位得到F点，如图， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴此时四边形的周长最小， 令，则， 解得，， ∴，， ∴， 令，则， ∴， 设过点，的直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∵抛物线的对称轴为， ∴解方程组得， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和最短路线问题． 2．C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，设正方形的对角线长为，则，，，然后代入得，解得，然后求出的值即可，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：设正方形的对角线长为，则，，， 把，的坐标代入解析式可得：， 解得， ∴， 故选：． 3．C 【分析】本题考查二次函数与x轴的交点，二次函数的性质，抛物线的旋转等知识，首先证明，由，推出即可解决问题． 【详解】解：一段抛物线与x轴交于，两点，顶点为； 将绕点旋转得到，则的顶点为； ∴翻折后的抛物线的解析式为， ∵设，，均为正数， ∴点，在第四象限， 根据对称性可知：， ∵， ∴， 即， 故选：C． 4．D 【分析】令抛物线解析式中和，求出与坐标轴交点，计算得；再利用三角形面积关系，得出，进而推导出；接着令，分和两种情况，结合全等三角形（）、相似三角形（）的判定与性质，以及角平分线性质等，计算得出的最小值为． 【详解】解：对于抛物线，令，即， 解得， ， ， 令，则， ， 在中， ， ， ， ， ， ， 令，则， 当时，， 在内，随m的增大而减小， 当，即时，有最小值， 平分， 在和中，， ， ， 而， ， ，即， 解得，； 当时，与上面的解题过程相同． 的最小值是． 故选：D． 【点睛】本题考查了抛物线与坐标轴交点坐标的求解、待定系数法求一次函数解析式及一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的性质。解题关键是通过证明（利用三角形面积关系建立等式），再结合角平分线性质推导全等与相似三角形，最后分区间用三角形三边关系及一次函数的性质确定的最小值． 5．A 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的性质，相似三角形的判定与性质，设与交于点，求出，，则有解析式为，设，则，然后证明，由性质得，最后由二次函数的性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设与交于点， 由得，当时，， 解得：，， ∴，， ∴， 当时，， ∴， 设解析式为， ∴，解得：， ∴解析式为， 设， ∵轴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 当时，则的最大值为， 故选：． 6．B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，抛物线与轴的交点及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键．先将转化为，过点作轴的平行线交的延长线于点，得到，从而得到，将转化为，利用待定系数法求出直线的函数解析式，设点的坐标为，点的坐标为，表示出的长，进而表示出，最后根据二次函数的图象与性质求得最大值． 【详解】解：由题知， 如图所示，过点作轴的平行线交的延长线于点， 轴， ， ， ， 对于函数， 令，则有， 解得，， ，， ， 令，则有， ， 设直线的函数解析式为，则有： ，解得， 直线的函数解析式为， ， 设点的坐标为，点的坐标为， ， ， ， ， ， 抛物线开口向下，当时，有最大值，最大值为， 即的最大值为． 故选：B． 7． 1 / 【分析】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根的判别式；主要利用了联立两函数解析式确定交点个数的方法，根据图形求出有一个交点时的最大值与最小值是解题的关键．根据求出直线的解析式，然后与抛物线解析式联立求出有一个公共点时的k值，即为一个交点时的最大值；再求出抛物线经过点B时的k的值，即为一个交点时的最小值，然后写出k的取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴直线的解析式为； 联立二次函数解析式得：，消去y并整理得：， ， 解得：； 此时抛物线与的边界只有一个公共点； 把点B坐标代入中，得， 解得：， 此时抛物线与扇形的边界也只有一个公共点； 综上，当时，此时抛物线与扇形的边界总有两个公共点； 故答案为：1；． 8．或 【分析】本题考查了二次函数的性质，平行四边形的性质． 根据二次函数的性质求出，，设，根据平行四边形的性可知，即，即可求出点P的坐标． 【详解】解：当时，，则， 当时，， 解得：， ∴， 设， ∵以P，A，O，B为顶点的四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， 即或． 故答案为：或． 9． 【分析】本题考查了二次函数的最值及二次函数的图像上点的坐标特征，最后根据二次函数的性质求最值是解题的关键．设点P的坐标为，，根据四边形的周长得到：，再由二次函数的性质即可求得最大值． 【详解】解：设点P的坐标为，， 由题意可知：四边形的周长， ∴， 当时，C有最大值． 故答案为：． 10．4 【分析】本题考查二次函数以一次函数的综合应用，涉及二次函数的图象与性质，一次函数解析式的求解，熟练掌握二次函数的最值的求解是解决本题的关键． 先求出抛物线与坐标轴的交点坐标，再通过设点的坐标，将四边形的面积表示为关于点横坐标的函数，最后根据二次函数的性质求出面积的最大值． 【详解】解：连接，过点作轴交于点， 令，则，因式分解可得， 解得，， 所以，， 那么． 令，则，所以． 设直线的解析式为， 把，代入可得， 将代入，得，解得， 所以直线的解析式为． 设，则． 所以． ， 其中． ． 则． 对于二次函数， 可得． 把代入， 可得． 故答案为：4． 11． 【分析】本题考查了二次函数的图象，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短等知识，关键在于把求最小值转化为求的最小值；连接，过点P作于点G，连接，过点A作于点H；由B、C的坐标得，则有，从而；于是求最小值转化为求的最小值；利用勾股定理即可求得最小值． 【详解】解：连接，过点P作于点G，连接，过点A作于点H，如图， ， ， ， ， ∴， 的最小值为的长， ∵， ， 在中， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，勾股定理． 先求出A、B、C、E的坐标，然后求出的解析式为，连接，作轴交于Q，根据，可得设，则，，故当时，，此时P的坐标为．将P点关于y轴对称得到坐标为，将G点关于x轴对称得到坐标为，连接交于y轴于点M，交于x轴于点N，则，然后利用两点间距离公式求解即可． 【详解】解：当时，，故， ， 当时，或，故，， ，， ，， ，则， 设解析式为， 代入，，得， 解得， ∴的解析式为， 连接，作轴交于Q， ， 设，则， ， ， 当时，，此时P的坐标为． 将P点关于y轴对称得到坐标为，将G点关于x轴对称得到坐标为， 连接交于y轴于点M，交于x轴于点N， 则． 故答案为：． 13．(1)， (2)或． 【分析】（1）利用待定系数法求出、的值，得到抛物线的表达式，再化为顶点式，写出顶点D的坐标即可； （2）先求出，再根据坐标两点的距离公式和勾股定理逆定理，得到是直角三角形，且，进而推出，得到，再结合等腰直角三角形的性质，得出，若以O、P、C为顶点的三角形与相似，且是锐角三角形，则也是锐角三角形，且点在第四象限，利用待定系数法求出直线的表达式，进而设，过点作于点，则，，根据相似三角形的判定定理分两种情况讨论：利用角的正切值分别求解即可． 【详解】（1）解：抛物线与x轴分别交于点B、点， ， 解得：， 抛物线的表达式为， ， 顶点D的坐标为； （2）解：抛物线与y轴交于点A， 当时，， , ,， ，，， ， 是直角三角形，且， ，， ， ， ，， ， ，即， 若以O、P、C为顶点的三角形与相似，且是锐角三角形， 也是锐角三角形，且点在第四象限， 设直线的表达式为， 则，解得：， 直线的表达式为， 点P在直线上， 设， 如图，过点作于点，则，， 当时，则， ， ， 解得，此时， 点P的坐标为． 当时，则， ， ， 解得，此时， 点P的坐标为． 综上可知，若以O、P、C为顶点的三角形与相似，点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，勾股定理及其逆定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形的应用等知识，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． 14．(1) (2)或 (3) (4)存在，点P的坐标为或 【分析】本题考查用待定系数求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定； （1）将点和点代入抛物线解析式，即可求解； （2）点C的纵坐标是3，令，求解即可； （3）由抛物线的解析式可得对称轴为，再由平行四边形的性质可得点C的横坐标为，令，，即可求出点C的坐标； （4）分类讨论：当时，过点C作轴，证明可得，可求出点P的坐标；当时，证明可得，可求出点P的坐标． 【详解】（1）解：将点和点代入抛物线解析式得： ，解得：， ∴抛物线解析式为． （2）解：∵点C的纵坐标是3， 令，解得：或， ∴或． （3）解：若点C在对称轴的右侧，且轴，连接、，当四边形是平行四边形时，如图所示： ∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴点C的横坐标为， 令，， ∴． （4）解：当时，过点C作轴，如图所示： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，如图所示： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴或（舍去）， ∴． 综上：存在，点P的坐标为或． 15．(1) (2) (3) 【分析】已知抛物线过和两点，将两点坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法即可求出b和c的值，从而得到抛物线解析式. 【详解】（1）解：两点的坐标分别为和，且都在抛物线的图像上 解得 ∴抛物线的解析式为 （2）∵抛物线与x轴交于点两点，对称轴为直线，B点的坐标为． ∴ 设直线的解析式为 解得 ∴直线的解析式为：   设，则      延长交于点G， ，     是等腰直角三角形             ∴当时，最大为 此时 （3）由题意可得： 抛物线对称轴为，设， 已知，分两种相似情况： ①当时，，解得： ②当时，，解得： 【点睛】解决相似三角形与二次函数结合的问题，需要先确定相似的情况，再利用相似三角形的性质，结合坐标与图形的性质，通过建立方程求解点的坐标，体现了分类讨论思想和方程思想的应用. 16．(1) (2)点P的坐标为或 (3)①；②点N的坐标为． 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，相似三角形的判定和性质，三角函数，解一元二次方程． (1)将点A代入抛物线求出a的值即可求出抛物线的解析式． (2)分两种情况，一种是，根据两直线平行k相等，再代入点A就可以求出此时直线的解析式，和抛物线联立就可以求出点P的坐标；另一种根据相似三角形对应边成比例，列方程求解即可． (3)①设点N的坐标，表示线段长度，列比值算出数值即可； ②转换题干中的比值，把斜线的比值转换为水平线的比值，表示线段长度，列式求解即可． 【详解】（1）将代入抛物线中，得 ，解得． ∴抛物线的解析式为 故答案为： （2）令，则，解得， ∴， 令， ∴， 设直线的解析式为，代入点A、C，得： 解得 ∴， 设直线的解析式为，代入点B、C，得： 解得 ∴， 设点P的横坐标为m，则纵坐标为， 则点， ， ， ， ， ①当时， ， 设直线的解析式为， 代入点A， ，解得， ∴， 令， 解得， 当时， ， ∴． ②当时， ， ∴， ∴ 解得 (舍)， ， 当时， ， ∴． 综上所述，点P的坐标为或 （3）①过点N作垂直x轴于点K， 设点N的坐标为， 则， ， ， ∴． ②∵， ， ∴， 过点N向抛物线的对称轴作垂线，分别交y轴和对称轴于点J、H， ∴， ∴， ∵点N的坐标为， ∴， ∴， 解得， 此时 ， ∴点N的坐标为． 17．(1)抛物线解析式为，顶点的坐标为； (2)当时，满足条件的点有个；当时，满足条件的点有个；当时，满足条件的点有个； (3)，证明过程见解析． 【分析】（1）由抛物线的对称轴直线可得，由抛物线与轴的交点坐标可得，即可得抛物线的解析式，化为顶点式，即可得顶点的坐标； （2）由，可得点的坐标，用待定系数法可得直线的解析式为，可得的面积，设与平行且与抛物线有唯一公共点的直线为，可得点的坐标，可得当点在直线下方的抛物线上时，的面积最大值，由图象，结合的取值范围，分类讨论，即可确定满足条件的点的个数； （3）设直线的解析式为，直线的解析式为，交点为，分别与抛物线的解析式联立，可得，，，，根据勾股定理可得、、、，由已知结合对顶角相等，证明，可得，可得，可得，由直线与直线相交于抛物线与轴所围成的区域内部一点，可知，，即可得，的数量关系． 【详解】（1）解：∵抛物线 ，对称轴为直线，交轴于点， ∴，， ∴， ∴， ∴顶点， ∴抛物线解析式为，顶点的坐标为． （2）解：中，令，可得，， ∵抛物线，交轴于、两点， ∴、， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 设与平行且与抛物线有唯一公共点的直线为， 由可得， ， ∴， ∴， 由，可得， ∴， ∴， ∴， ∴当点在直线下方的抛物线上时，的面积最大为， ∵，，， ∴， 令，可得， 又∵， ∴当时，满足条件的点有个；当时，满足条件的点有个；当时，满足条件的点有个． （3）解：，的数量关系为， 证明：∵直线：与直线：相交于抛物线与轴所围成的区域内部一点，设， ∴直线的解析式为，直线的解析式为， 由，可得， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 由，可得， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在抛物线与轴所围成的区域内部， ∴， ∴， ∵直线与直线相交， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，求一次函数的解析式，一次函数与二次函数综合，勾股定理，公式法解一元二次方程，一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式，三角形相似的判定和性质，熟练掌握 相关知识是解题的关键． 18．(1) (2) (3)或． 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，相似三角形的判定及性质等： （1）采用待定系数法求解即可； （2）可知，，据此即可求得答案； （3）过点，，，分别作轴的垂线，分别交于点，，，可知，根据题意可知，点的坐标为，求得直线的表达式为，同理可得，直线的表达式为，直线的表达式为，得到，可知，求得． 【详解】（1）解：二次函数图象经过，，三点，可得 解得 所以，二次函数表达式为． （2）解：存在， 因为，在二次函数图象上， 可得，． 根据题意，得． 变形，得． 解得． （3）解：如图所示，过点，，，分别作轴的垂线，分别交于点，，，可知． 根据题意可知，点的坐标为． 设直线的表达式为， 可得 解得 所以，直线的表达式为， 同理可得，直线的表达式为， 直线的表达式为． 直线和直线均可看作由直线平移得到，所以． 所以． 所以． 所以． 所以． 所以． 因为直线与线段相交于点，可得 ． 解得． 所以点的横坐标为． 所以，可得 ． 解得，． 所以或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $