精品解析：安徽省亳州市涡阳县蔚华中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题

2023级高二上学期12月份月考三 数学 第I卷（选择题共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简直线方程，求得直线的斜率，进而求得直线的倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为，直线，即， 所以直线的斜率，所以倾斜角． 故选：D． 2. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】方程化为抛物线标准方程直接得出准线方程. 【详解】由，得，, 所以该抛物线的准线方程为． 故选：D． 3. 在空间直角坐标系中，已知点，若点与点关于平面对称，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出点的坐标可得答案. 【详解】由点与点A关于平面对称，可得，所以. 故选：A. 4. 圆：与圆：的位置关系是（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 【答案】C 【解析】 【分析】将两圆方程写成标准式，计算出两圆圆心距，利用几何法可判断出两圆的位置关系. 【详解】圆：的标准方程为，圆心为，半径为， 圆：的标准方程为，圆心为，半径为， 所以两圆圆心距为，所以， 因此两圆的位置关系为相交. 故选：C. 5. 若双曲线经过点，且它的两条渐近线方程是，则双曲线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设双曲线为，利用点求得，进而确定正确答案. 【详解】由题可设双曲线方程为且， 又在双曲线上，所以， 则双曲线的方程是，即． 故选：B． 6. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线平行求出参数，再由平行线间的距离得解. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，解得，经验证符合题意， 所以直线即与直线之间的距离． 故选：C． 7. 6名同学排成一排照相，其中甲､乙两人相邻的排法共有（ ） A. 120种 B. 240种 C. 360种 D. 480种 【答案】B 【解析】 【分析】利用捆绑法求解. 【详解】甲和乙两人相邻，有种方法；将甲､乙两人看成一个元素，和其他四名同学，共5个元素全排列，有种方法， 所以甲､乙两人相邻的排法共有种方法． 故选：B． 8. 已知四面体中，两两垂直，与平面所成角的正切值为，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，根据条件求出平面的法向量，利用向量法求出点到平面的距离. 【详解】如图，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 设，，则， 所以，． 设平面的法向量为，则， 令，得，故． 因为直线与平面所成角的正切值为， 所以直线与平面所成角的正弦值为， 即，解得， 所以平面的一个法向量为， 故到平面的距离为． 故选：D． 二､多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 若方程所表示的曲线为，则（ ） A. 曲线可能是圆 B. 若为椭圆，且焦点在轴上，则 C. 若，则为椭圆 D. 若为双曲线，且焦点在轴上，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】AC选项，计算出时，曲线表示圆，A正确，C错误；B选项，根据焦点在轴上的椭圆所满足的条件得到不等式，求出答案；D选项，根据焦点在轴上的双曲线所满足的条件得到不等式，求出答案. 【详解】当，即时，方程为，表示圆心为原点，半径为的圆，故A正确，C错误； 若为椭圆，且焦点在轴上，则，解得，故B正确； 若为双曲线，且焦点在轴上，方程即，则，解得，故D正确． 故选ABD． 10. 下列命题中，正确的是（ ） A. 两条不重合直线的方向向量分别是，，则 B. 直线l的方向向量，平面的法向是，则 C. 两个不同的平面，的法向量分别是，，则 D. 直线l的方向向量，平面的法向量，则直线l与平面所成角的大小为 【答案】AC 【解析】 【分析】由可判断A；由可判断B；由可判断C；根据线面角的向量公式直接计算可判断D. 【详解】A选项：因为，且不重合，所以，A正确； B选项：因为，所以 所以或，B错误； C选项：因为，所以，C正确； D选项：记直线l与平面所成角为，则， 因为，所以，D错误. 故选：AC 11. 已知圆和直线，则下列说法正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 圆被轴截得的弦长为 C. 直线与圆恒相交 D. 直线被圆截得最短弦长时，直线的方程为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，整理直线的方程，令系数为0即可解；对于B，令，解得，计算弦长即可；对于C，判断直线定点与圆的位置关系即可；对于D，直线被圆截得弦最短时，则，借助直线垂直时斜率关系求斜率，进而得到直线方程. 【详解】直线的方程整理得， 由，得，所以直线过定点，故A正确； 在圆方程中，令，得，解得， 所以圆被轴截得的弦长为，故B错误； 因为，所以在圆内，则直线与圆一定相交，故C正确； 直线被圆截得弦最短时，，且，所以， 则直线的方程为，即，故D正确． 故选：ACD. 第II卷（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若4名同学报名参加3个课外活动小组，每名同学限报其中一个小组，则不同的报名方法共有 _________________种 【答案】81 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理列式计算得解. 【详解】依题意，每名同学有3种报名方法， 根据分步乘法原理：不同的报名方法共有种. 故答案为：81 13. 直线与双曲线（）相交于，两点，且，两点的横坐标之积，则双曲线的离心率为_____. 【答案】## 【解析】 【分析】设（），由对称性可知，由，两点的横坐标之积为解得点坐标，代入双曲线的方程，求得，进而求离心率即可. 【详解】由，两点在直线上，设（），由对称性可知， ，两点关于原点对称，所以， 由，两点的横坐标之积为，得，解得， 所以，代入双曲线方程得，解得， 所以， 所以离心率为. 故答案为：. 14. 已知圆的圆心在直线上，且过点，，则圆的方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题设可得线段中垂线方程为，联立已知直线求圆心坐标，进而得半径，即可得圆的方程. 【详解】由题设，且中点为，故线段中垂线方程为， 由题意知，圆心也在上，联立，可得圆心为， 所以半径，故圆的方程为. 故答案为： 四､解答题：本大题共5个小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知的三个顶点． （1）求边上的中线所在直线的方程； （2）求边上的高所在直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出的中点坐标，求出中线所在直线的斜率，代点斜式即可求解； （2）求出直线的斜率，即可得到边上的高线的斜率，利用直线方程的点斜式，即可求解. 【小问1详解】 由题意得，边的中点， 则中线所在直线的斜率为， 所以边上的中线所在直线的方程为，即． 【小问2详解】 由题意得，，则边上的高所在直线的斜率， 所以边上的高所在直线的方程为，即． 16. 口袋中装有8个白球和10个红球，每个球编有不同的号码，现从中取出2个球 （1）正好是白球､红球各一个的取法有多少种？ （2）至少有一个白球的取法有多少种？ （3）两球的颜色相同的取法有多少种？ 注：结果均用数字作答． 【答案】（1）80 （2）108 （3）73 【解析】 【分析】（1）由分步乘法即可得解； （2）分为白球、红球各一个和两个全是白球，结合分类加法即可得解； （3）分为两球全是白球和两球全是红球，结合分类加法即可得解. 【小问1详解】 取出1个白球，有8种取法；取出1个红球，有10种取法， 所以取出两个球正好是白球、红球各一个的取法有种． 【小问2详解】 至少有一个白球分为白球、红球各一个和两个全是白球， 取出的两个球全是白球的取法有种， 所以至少有一个白球共有种取法． 【小问3详解】 两球的颜色相同分为两球全是白球和两球全是红球， 取出的两个球全是红球的取法有种， 所以两球的颜色相同的取法有种． 17. 已知直线经过点，圆. （1）若直线经过圆的圆心，求直线的方程； （2）若直线与圆相切，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先将圆的一般方程化为标准方程，求出圆心，然后利用两点式直线方程求解即可. （2）按照直线的斜率是否存在分类讨论，利用圆心到直线的距离等于半径求解切线方程即可. 【小问1详解】 将圆化为标准方程为， 所以圆的圆心坐标为，半径为2， 所以直线经过点， 由两点式可得直线的方程为， 整理得直线的方程为. 【小问2详解】 由（1）知，当直线的斜率不存在时，即直线的方程为， 此时直线与圆相切，满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离，解得， 故直线的方程为． 综上，直线的方程为或． 18. 如图，在长方体中，点E、F分别在，上，且，． （1）求证：平面； （2）当，，时，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1） 因为平面，平面，所以． 又，，所以平面 因为平面，所以 同理：因为平面，平面，所以． 又，，所以平面 因为平面，所以 又因为，，所以平面 （2） 【解析】 【分析】（1）以线面垂直判定定理去证明即可解决； （2）建立空间直角坐标系，以向量法去求平面与平面的夹角的余弦值即可解决. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系如图． 则，，，，，． 所以，且是平面的一个法向量． ， 设平面的法向量为 则，即 所以，令，得． 则平面的一个法向量为． 所以． ， 所以． 所以平面与平面的夹角的余弦值为． 19. 若一个椭圆的焦距为素数（素数又叫质数，即大于1，只能被1和本身整除的自然数），且离心率的倒数也为素数，则称这样的椭圆为“朴素椭圆”. （1）证明：椭圆为“朴素椭圆”； （2）是否存在实数，使得椭圆为“朴素椭圆”？若存在，求的值；若不存在，请说明理由； （3）设斜率为2的直线经过椭圆的右焦点，且与交于两点，，试问是否为“朴素椭圆”，说明你的理由. 【答案】（1） 由已知椭圆， 即，， 则， 所以焦距，离心率，即， 所以该椭圆的焦距为质数，离心率的倒数也为质数， 即椭圆为“朴素椭圆”. （2） 椭圆的焦距为， 离心率， 若存在实数，使得椭圆为“朴素椭圆”， 则，均为质数， 又，所以，，，，， 即，，，，， 则，，，，，这些数都不是质数， 所以不存在实数，使得椭圆为“朴素椭圆”； （3） 设的右焦点为， 则直线方程为， 设直线与椭圆的交点为，， 联立， 得，， 则，， ， 解得， 则的焦距为为质数， 离心率，其倒数为质数， 所以为“朴素椭圆”. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的方程可得焦距与离心率，再根据“朴素椭圆”的定义判断即可； （2）根据椭圆的方程可得焦距与离心率，再根据“朴素椭圆”的定义计算即可； （3）联立直线与椭圆，根据韦达定理及弦长公式可得，进而可判断. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是采用设线法，联立椭圆方程得到韦达定理，再利用弦长公式代入计算即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023级高二上学期12月份月考三 数学 第I卷（选择题共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 在空间直角坐标系中，已知点，若点与点关于平面对称，则（ ） A. B. C. D. 4. 圆：与圆：的位置关系是（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 5. 若双曲线经过点，且它的两条渐近线方程是，则双曲线的方程是（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ） A. B. C. D. 7. 6名同学排成一排照相，其中甲､乙两人相邻的排法共有（ ） A. 120种 B. 240种 C. 360种 D. 480种 8. 已知四面体中，两两垂直，与平面所成角的正切值为，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 若方程所表示的曲线为，则（ ） A. 曲线可能是圆 B. 若为椭圆，且焦点在轴上，则 C. 若，则为椭圆 D. 若为双曲线，且焦点在轴上，则 10. 下列命题中，正确的是（ ） A. 两条不重合直线的方向向量分别是，，则 B. 直线l的方向向量，平面的法向是，则 C. 两个不同的平面，的法向量分别是，，则 D. 直线l的方向向量，平面的法向量，则直线l与平面所成角的大小为 11. 已知圆和直线，则下列说法正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 圆被轴截得的弦长为 C. 直线与圆恒相交 D. 直线被圆截得最短弦长时，直线的方程为 第II卷（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若4名同学报名参加3个课外活动小组，每名同学限报其中一个小组，则不同的报名方法共有 _________________种 13. 直线与双曲线（）相交于，两点，且，两点的横坐标之积，则双曲线的离心率为_____. 14. 已知圆的圆心在直线上，且过点，，则圆的方程为__________. 四､解答题：本大题共5个小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知的三个顶点． （1）求边上的中线所在直线的方程； （2）求边上的高所在直线的方程． 16. 口袋中装有8个白球和10个红球，每个球编有不同的号码，现从中取出2个球 （1）正好是白球､红球各一个的取法有多少种？ （2）至少有一个白球的取法有多少种？ （3）两球的颜色相同的取法有多少种？ 注：结果均用数字作答． 17. 已知直线经过点，圆. （1）若直线经过圆的圆心，求直线的方程； （2）若直线与圆相切，求直线的方程. 18. 如图，在长方体中，点E、F分别在，上，且，． （1）求证：平面； （2）当，，时，求平面与平面的夹角的余弦值． 19. 若一个椭圆的焦距为素数（素数又叫质数，即大于1，只能被1和本身整除的自然数），且离心率的倒数也为素数，则称这样的椭圆为“朴素椭圆”. （1）证明：椭圆为“朴素椭圆”； （2）是否存在实数，使得椭圆为“朴素椭圆”？若存在，求的值；若不存在，请说明理由； （3）设斜率为2的直线经过椭圆的右焦点，且与交于两点，，试问是否为“朴素椭圆”，说明你的理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $