1.4 数列在日常经济生活中的应用 课件-2024-2025学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

— 第一章 数列 — 1.4 数列在日常经济生活中的应用 1.掌握单利、复利的概念和区别及它们本利和的计算公式. 2.掌握零存整取模型、定期自动转存模型、分期付款模型的本质特点,并学会应用. 学习目标 分期付款方式通常由银行和分期付款供应商联合提供.银行为消费者提供相当于所购物品金额的个人消费贷款,消费者用贷款向供应商支付货款,同时供应商为消费者提供担保,承担不可撤销的债务连带责任.使用分期付款方式消费的年轻人通常被称为“分期族”. 你知道分期付款时每期还款的金额是依据什么算出来的吗? 依据等差数列和等比数列为数学模型算出来的. 新课导入 知识点1:单利与复利 (1)单利的计算是仅在原有本金上计算利息,对本金所产生的利息不再计算利息,以符号P代表本金,n代表存期,r代表利率,S代表本金与利息和(以下简称本利和),则有S=P(1+nr). (2)复利:指一笔资金除本金产生利息外,在下一个计息周期内,以前各计息周期内产生的利息也计算利息的计息方法.复利的计算公式是S=P(1+r)n. 新知讲授 注意: 复利在第二次以后计算时,将上一次得到的利息也作为了本金,而单利每一次的计算都是将开始的本金作为本金计息.单利的实质是等差数列,复利的实质是等比数列. 新知讲授 角度1 零存整取模型 例1 银行有一种叫作零存整取的储蓄业务,即每月定时存入一笔相同数目的现金,这是零存;到约定日期,可以取出全部本利和,这是整取(现在有一年、三年、五年3种,年利率分别为1.35%, 1.55%, 1.55%).规定每次存入的钱不计复利. (1)若每月存入金额为x元,月利率r保持不变,存期为n个月,试推导出到期整取时本利和的公式; (2)若每月初存入500元,到第3年整取时的本利和是多少?(精确到0.01元) 新知讲授 解:(1)根据题意,第1个月存入的金额为x元,到期利息为xrn元;第2个月存入的金额为x元,到期利息为xr(n-1)元……第n个月存入的金额为x元,到期利息为xr元. 而本金为nx元,这样就得到本利和公式 因此,各月利息之和为xr(1+2+…+n)= 即 ① (2)根据题意知,x=500,r= ,n=36,代入①式,本利和为 (元). (3)根据题意知,y=2000,r= ,n=12,代入①式,得 ≈165.46(元). 所以每月初应存入165.46元. (3)若每月初存入一定金额,希望到1年后整取时取得本利和2 000元,则每月初应存入的金额是多少?(精确到0.01元) 角度2 定期自动转存模型 例2 某家庭打算10年以后新买一套住房,决定以一年定期的方式存款,计划从2016年起每年年初到银行新存入a元,年利率p保持不变,并按复利计算,到2024年初将所有存款和利息全部取出,则这个家庭共取回多少元? 解:设从2016年年初到2024年年初的本利和组成数列{an},到2024年为止,把2016年末存款的本利和看作a1,则2023年末存款的本利和为an, 则a1=a(1+p),a2=a(1+p)2+a(1+p),…, an=a(1+p)n+a(1+p)n-1+…+a(1+p) =(1≤n≤8) 新知讲授 所以这个家庭应取出的钱数为 S8=a(1+p)+[a(1+p)2+a(1+p)]+…+[a(1+p)8+a(1+p)7+…+a(1+p)] =[]+[]+…+[] ==. 新知讲授 “零存整取模型”,存期n,每一次存款到期后的利息构成等差数列,到期后每一次存款的本利和也构成等差数列. “定期自动转存模型”,到期后每一次存款的本利和构成等比数列. 归纳总结 新知讲授 等额本息还款是将银行贷款本金与总利息按照还款期限进行等额划分,每个月的还款额是相同的. 等额本金还款是指每期的还款本金是一样的,每期利息会随本金额的减少而减少.不过,前期支付的本金和利息较多,还款压力比较大. 知识点2:还款方式 新知讲授 角度3 分期付款问题 例3 某人在2015年年初向银行申请个人住房公积金贷款20万元购买住房,月利率为3.375‰,按复利计算,每月等额还贷一次,并从贷款后的次月初开始还贷.如果10年还清,那么每月应还贷多少元?(参考数据:1.003 375120≈1.498 28) 解:方法一 由题意知借款总额a=200 000(元),还款次数n=12 10=120, 还款期限m=10(年)=120(个月),月利率r=3.375‰. 代入公式得每月还款数额为, 故如果10年还清,每月应还贷约2 029.66元. 新知讲授 例3 某人在2015年年初向银行申请个人住房公积金贷款20万元购买住房,月利率为3.375‰,按复利计算,每月等额还贷一次,并从贷款后的次月初开始还贷.如果10年还清,那么每月应还贷多少元?(参考数据:1.003 375120≈1.498 28) 方法二 设每月应还贷x元,共付款12 10=120(次), 则有x[1+(1+0.003 375)+(1+0.003 375)2+…+(1+0.003 375)119]=200 000 (1+0.003 375)120, 解得x≈2 029.66. 故每月应还贷约2 029.66元. 新知讲授 1.某人在一年12个月中,每月10日向银行存入1 000元,假设银行的月利率为5‰(按单利计算),则到第二年的元月10日,此项存款一年的利息之和是( ) A.5(1+2+3+…+12)元 B.5(1+2+3+…+11)元 C.1 000[1+5‰+(5‰)2+…+(5‰)11]元 D.1 000[1+5‰+(5‰)2+…+(5‰)12]元 A 当堂检测 2.按复利计算,存入一笔5万元的三年定期存款,年利率为4%,则3年后支取可获得利息为( ) A.(5 0.04)3万元 B.5(1+0.04)3万元 C.3 (5 0.04)万元 D.[5(1+0.04)3-5]万元 3.用分期付款方法购买电器一件,价格为1 150元,购买当天先付150元,以后每月这一天都交付50元,并加付欠款的利息,月利率为1%,分20次付完.若交付150元以后的第一个月开始算分期付款的第一个月,则全部贷款付清后,买这件家电实际花 元. D 1255 当堂检测 总 结 数列在经济生活中的应用 $$