精品解析：辽宁省阜新市实验中学2024—2025学年九年级上学期期末考试数学试卷

2024-2025学年度（上）期末教学质量检测 九年级数学试卷 考试时间120分钟 试卷满分120分 Hi，各位同学请注意：务必将试题答案写在答题卡对应的位置上，否则不得分，千万记住哟！ 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此可得答案． 【详解】解：A、是一元二次方程，符合题意； B、未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合题意； C、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； D、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：A． 2. 如图，图中几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识，左视图是指视点在物体的左侧，投影在物体的右侧的视图．找到从左面看所得到的图形即可，注意看不到的线应该表示为虚线． 【详解】解：从左面看该几何体，得到的视图是一个矩形，且中间有两条水平的虚线． 如图： 故选：B． 3. 已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查根与判别式的关系，一元二次方程有两个相等的实数根，判别式等于0．根据根与判别式的关系列式求解即可得到答案； 【详解】∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， 故选：C 4. 已知是反比例函数的图象上的三点，且，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质，根据反比例函数的性质以及函数在象限内的增减性求解即可． 【详解】解：对于反比例函数，， ∴反比例函数的图象位于第一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小， ∵在反比例函数的图象上，且， ∴， 故选：B． 5. 中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小陶家有一个菱形中国结装饰，测得，直线交两对边于点E，F，则线段EF的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质以及勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．根据菱形的性质得到，根据勾股定理求出，再利用面积计算即可． 【详解】解：四边形为菱形， ， ， ， ， ， ． 故选C． 6. 下列命题中，正确的是（ ） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 一组邻边相等的四边形是菱形 C. 平行四边形的对角线互相平分且相等 D. 正方形的对角线互相垂直平分且相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的判定，菱形的判定，平行四边形的性质，正方形的性质，再逐一分析判断即可，掌握以上基础知识是解本题的关键． 【详解】解：A、对角线相等平行四边形为矩形；故不符合题意； B、一组邻边相等的平行四边形是菱形；故不符合题意； C、平行四边形的对角线互相平分；故不符合题意； D、正方形的对角线互相垂直平分且相等；故符合题意； 故选：D． 7. 手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的，如图1中小狗手影就是我们小时候常玩的游戏．在一次游戏中，小明的手距离墙壁米，爸爸拿的光源与小明手的距离为米，如图．在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度变为原来的一半，则小明的手与光源的距离应（ ） A. 增加米 B. 增加米 C. 增加米 D. 减少米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，根据题意，作出图形，利用相似三角形的性质，构造方程，进行解答，即可．令点为光源，为小明的手，为小狗手影，根据相似三角形的判定和性质，则，得到，设，则，根据题意，，则，计算得到答案，即可． 【详解】解：点为光源，为小明的手，为小狗手影， ∴， 作交于点，延长交于点，则， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设， ∴， ∵在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度变为原来的一半， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴小明的手与光源的距离为：（米）． 故选：B． ， 8. 如图，矩形顶点在双曲线上，点在反比例函数第二象限的图象上，若矩形面积为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的比例系数的几何意义，解题的关键是掌握反比例函数中比例系数的几何意义：过双曲线上任意一点作轴、轴的垂线，所得的矩形的面积为．据此列式解答即可． 【详解】解：如图，设交轴于点， ∵四边形是矩形，且顶点在双曲线上，点在反比例函数第二象限的图象上， ∴，， ∴， ∴，，，， ∴，， ∵矩形面积为， ∴， ∴． 故选：A． 9. 如图，等腰直角中，，是的中线，以D为圆心，为半径画弧，交于点E．以B为圆心，为半径画弧，交于点M，则下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割、勾股定理等知识，正确求出各条线段的长度是解题关键．设，则，利用勾股定理求出，从而可得的长，然后逐项判断即可得． 【详解】解：设， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， 由作图可知，， ∴． A、，，则此项不成立，不符合题意； B、，，则此项不成立，不符合题意； C、，，则此项不成立，不符合题意； D、，，则此项成立，符合题意； 故选：D． 10. 如图，在菱形中，，点M，N分别在和上，沿将折叠，点A恰好落在边上的点E处．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作，根据菱形的性质得，其中，然后设，可表示，根据勾股定理得，进而得出接下来根据勾股定理列出方程，求出解即可得出答案． 【详解】如图所示，过点M作，交的延长线于点F， ∵四边形是菱形，且， ∴，其中． 在中，，设， ∴， 根据勾股定理，得． ∴， 根据折叠得， 在中，， 即， 解得， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了菱形性质，折叠的性质，直角三角形的性质，勾股定理，解一元二次方程，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若，则______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键．先根据已知等式可得，再代入化简即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案：5． 12. 如表是某种植物的种子在相同条件下发芽率试验的结果． 种子个数 100 400 900 1500 2500 4000 发芽种子个数 92 352 818 1336 2251 3601 发芽种子频率 0.92 0.88 0.91 0.89 0.90 0.90 根据表中的数据，可估计该植物的种子发芽的概率为_______； 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值，据此可得答案． 【详解】解：由表格中的数据可知，随着试验次数的增加，发芽种子频率逐渐稳定在附近， ∴可估计该植物的种子发芽的概率为， 故答案为：． 13. 某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度，采用以下方法：如图，把支架放在离树适当距离的水平地面上的点F处，再把镜子水平放在支架上的点E处，然后沿着直线后退至点D处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A，再用皮尺分别测量，，观测者目高的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度．已知于点D，于点F，于点B，米，米，米，米，则这棵树的高度（的长）是______米． 【答案】4.1 【解析】 【分析】过点作水平线交于点，交于点，根据镜面反射的性质求出，再根据对应边成比例解答即可． 【详解】过点作水平线交于点，交于点，如图， ∵是水平线，都是铅垂线． ∴米，米，米， ∴（米）， 又根据题意，得， ∴， ，即 ， 解得：米， ∴(米)． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，通过作辅助线构造相似三角形，并利用相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键． 14. 如图，在矩形中，是边的中点，连接交于点F，若恰好平分，，则四边形的面积为______． 【答案】30 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．先根据矩形的性质可得，，，根据等腰三角形的判定可得，从而可得，再求出和的面积，然后证出，根据相似三角形的性质可得，从而可得，求出的面积，最后根据四边形的面积等于的面积减去的面积即可得． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是边的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为， 故答案为：30． 15. 如图，正方形的边长为6，E，F分别是边和的中点，P是线段上一点，连接，过点D作线段的垂线，交直线于点Q，当是以为腰的等腰三角形时，线段的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，解直角三角形，等腰三角形的判定， 分两种情况，当时，根据正方形的性质可得，则，进而求出，再解直角三角形可得；当时，根据正方形的性质求出，即可求出，接下来根据，可得答案． 【详解】解：如图所示，当时， ∵四边形是正方形，点E，F是的中点， ∴． 在中，，即， ∴，则， ∴， ∴， 则． 在中，， 即． 如图所示，当时， ∵四边形是正方形，点E，F是的中点， ∴． 在中，， ∴， ∴． ∵，， ∴． 在中，， ， 即． 故答案为：或． 三、解答题（本题共8道小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解下列方程 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）把方程左边利用提公因式法分解因式，再解方程即可； （2）先把原方程化为一般式，再利用公式法解方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． 17. 一次访谈活动，主办方邀请9名学生参加活动，在场地安排了9把椅子（每个方格代表一把椅子，横为排，竖为列）按图示方式摆放，其中圆点表示已经有学生入座的椅子． （1）如图1，如果有两名学生入座，又有一名学生随机入座，则这三名同学刚好在同一直线上的概率为_________； （2）如图2，如果有五名学生入座（剩余座位分别记为A，B，C，D），又有甲、乙两名同学随机入座，请用树状图或列表法求甲和乙坐在同一横排且相邻的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了概率公式求概率，列表法求概率，熟练掌握求概率的方法是解题的关键． （1）根据图形，结合题意，根据概率公式直接求解即可； （2）根据图形，结合题意，列表法求概率即可． 【小问1详解】 解：如图1，共有7个空位置，只有当坐在第3排第2列的那个位置时，符合题意，则这三名同学刚好在同一直线上的概率为； 故答案为： 【小问2详解】 解：列表如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共有12种等可能的结果，其中甲和乙坐在同一横排且相邻的共有4种等可能的结果， ∴． 18. 如图，在四边形中，，对角线与交于点O，于点E，交于点F． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求线段的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形判定与性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、二次根式的应用等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键． （1）先证出，根据全等三角形的性质可得，再证出四边形是平行四边形，然后根据矩形的判定即可得证； （2）先利用勾股定理可得，利用三角形的面积公式可得，再根据矩形的性质可得，然后在中，利用勾股定理求解即可得． 【小问1详解】 证明：∵， ∴和都是直角三角形， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）已证：四边形是矩形， ∴， ∴在中，． 19. 如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． （1）求此反比例函数和一次函数的表达式； （2）求的面积； （3）根据图象直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】（1）反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为； （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，能够熟练运用待定系数法求得函数的解析式；能够运用数形结合的思想观察两个函数值的大小关系是解题的关键． （1）点代入可求出反比例函数的解析式，从而得到点B的坐标，再把点A，B的坐标代入，可求出一次函数的解析式，即可； （2）设直线与x轴交于点C，求出点C的坐标，再根据，即可求解； （3）直接观察函数图象，即可求解． 【小问1详解】 解：把点代入得：，解得：， ∴反比例函数的解析式为， 把点代入得：，解得：， ∴点， 把点，代入，得： ， 解得：， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：如图，设直线与x轴交于点C， 对于，当时，，解得：， ∴， ∴， ∵，， ∴； 【小问3详解】 解：观察图象得：当或时，一次函数的图象位于反比例函数的图象的下方， ∴关于x的不等式的解集为或． 20. 如图，某厂房外有一盏路灯，点A发出的灯光能通过窗户照射到厂房内的地面上，经过窗户最高点C的光线落在地面F处，经过窗户最低点D的光线落在地面E处，其中点B，O，E，F在同一直线上．经测量得知：窗户距离地面的高度米，米，米，米． （1）求路灯的高； （2）求窗户的高． 【答案】（1）8米 （2）米 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质的运用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）由图可知，得到，从而得到，米，米，米，米，即可得解； （2）由图可知，得到，从而得到，米，米，米，米，得到，再由即可得解； 【小问1详解】 解： 又由图可知： 解得： 故路灯的高为8米； 【小问2详解】 又 解得： ， 故窗户的高为米 21. 某地一种植户，年承包种植橙子树亩，由于第一年收成不错，该种植户每年都增加种植面积，到年共种植亩．假设每年的增长率相同． （1）求该种植户这两年种植橙子亩数的平均增长率． （2）某水果店销售该种橙子，成本价是元/千克，在销售中发现，当这种橙子的单价定为元/千克时，每天可卖出千克，在此基础上，单价每提高元，每天就少卖千克，若该水果店一天销售这种橙子所获得的利润是元，为了让顾客得到实惠，单价应定为多少元/千克？ 【答案】（1）答：该种植户这两年种植橙子亩数的平均增长率为， （2）答：单价应定为元/千克． 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是掌握一元二次方程的应用，根据题意，找到等量关系，列出方程，进行解答，即可． （1）设该种植户这两年种植橙子亩数的平均增长率为，根据题意，列出方程，解出，即可； （2）设单价应定为元/千克，根据题意，列出方程，，解出，即可． 【小问1详解】 解：设该种植户这两年种植橙子亩数的平均增长率为， ∴根据题意，， 解得：，（舍）， 答：该种植户这两年种植橙子亩数的平均增长率为． 【小问2详解】 解：设单价应定为元/千克， 根据题意， ， 整理得：， 解得：，， ∵要让顾客得到实惠， ∴满足题意； 答：单价应定为元/千克． 22. 如图，在正方形中，P为对角线上任意一点，以为斜边在的左侧构造等腰直角．求证：点E在线段的垂直平分线上． 小亮的思路是： 如图1，连接交于点O，再通过构造相似三角形来解决这个问题． 小颖的思路是： 如图2，过点E作的垂线，N为垂足，交于点O，再通过构造全等三角形来解决这个问题： 请回答下列问题： （1）①如图1，与的数量关系是_________； ②如图2，与相等的角是________； （2）请你选择其中一种思路，写出完整的证明过程； （3）连接，将线段绕点E顺时针旋转，得到线段，连接．若正方形的边长为4，的长为，请直接写出四边形的面积． 【答案】（1）①；② （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）①由正方形的性质和等腰直角三角形的性质得到，据此可证明；②根据垂线的定义和三角形内角和定理得到，再由平角的定义得到，则； （2）小亮的思路：连接，证明，则可证明，得到，则垂直平分，即点E在线段的垂直平分线上；小颖的思路，过点P作于H，证明，得到；再证明，得到；则可证明，进而得到垂直平分，即点E在线段的垂直平分线上； （3）连接交于O，连接，证明，得到，则；由勾股定理得，则；根据，得到，则；过点F作交延长线与H，则，求出，则，利用勾股定理得到，则，最后根据列式求解即可． 【小问1详解】 解①∵四边形是正方形， ∴， ∵是以为斜边得到等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴ ∵是以为斜边得到等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：选择小亮的思路，证明如下： 如图所示，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵是以为斜边得到等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的角平分线， 又∵， ∴垂直平分， ∴点E在线段的垂直平分线上； 选择小颖的思路，证明如下： 如图所示，过点P作于H， ∵， ∴， ∵∵是以为斜边得到等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴垂直平分， ∴点E在线段的垂直平分线上； 【小问3详解】 解；如图所示，连接交于O，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴，； 由（2）的结论可知， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴； 由（2）可知， ∴， ∴， ∴； 如图所示，过点F作交延长线与H，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，正方形的性质，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题的关键． 23. 如果点，分别在正比例函数和反比例函数的图象上，且点，关于轴对称，则称点与点为“正反等值对称点”．例如，在平面直角坐标系内，点在的图象上，点在的图象上，则点与点为“正反等值对称点”． （1）如果点在的图象上，点的“正反等值对称点”在的图象上，则________； （2）点在正比例函数的图象上，点的“正反等值对称点”在的图象上，点． ①如图1，若，四边形为平行四边形，求的值； ②如图2，过点作轴的垂线，与的图象交于点，点在轴的正半轴上，且，过点作轴的垂线，交的图象于点（点在线段上方），交线段于点，连接，，设的面积为，求关于（点横坐标）的函数表达式； ③在②的条件下，连接，，点在轴的正半轴上，以，为邻边构造矩形，使，的长是关于（点横坐标）的函数，直线与轴相交于点，与函数的图象相交于点，与函数的图象相交于点，当点是线段中点时，请直接写出的值． 【答案】（1） （2）①；②；③ 【解析】 【分析】（1）设，则，根据“正反等值对称点”的意义求出，即可得解； （3）①根据平行四边形性质得，根据“正反等值对称点”的意义得点的横坐标为，点的横坐标为，继而得到点的坐标为，点的坐标为，即可得解； ②根据“正反等值对称点”的意义确定，再根据即可得解； ③根据，确定，再画出图形，确定，继而得出，，，，再根据，求解即可。 【小问1详解】 解：∵点在的图象上，点的“正反等值对称点”在的图象上， 设，则 ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 ①∵， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵点在正比例函数的图象上，点的“正反等值对称点”在的图象上， ∴点与点关于轴对称， ∴点的横坐标为，点的横坐标为， ∵， ∴点的坐标为， ∴点的坐标为， ∴， ∴的值为； ②∵点在轴的正半轴上，且， ∴，， ∵，点作轴的垂线，与的图象交于点， ∴， ∵点在正比例函数的图象上，点的“正反等值对称点”在的图象上， ∴， ∴，，轴 ∴反比例函数的解析式为， ∵点在轴的正半轴上，过点作轴的垂线，交的图象于点（点在线段上方）， ∴当时，，即，， ∴，且， ∴，且， ∴关于（点横坐标）的函数表达式为； ③如图， 由②知：，，， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∵直线与轴相交于点，与函数的图象相交于点，与函数的图象相交于点，如图， 当时，， ∴， 当时，，得：， ∴， ∴， 当时，，得：， ∴， ∴， ∵点是线段中点， ∴，即， 解得：或（不符合题意，舍去）， 经检验，是原方程的解且符合题意， 综上所述，的值为。 【点睛】本题属于一次函数和反比例函数的综合题，考查了“正反等值对称点”的意义，轴对称的性质，函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，列函数关系式，中点的定义，分式方程及一元二次方程的应用等知识点。正确理解“正反等值对称点”的意义是解题的关键。 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度（上）期末教学质量检测 九年级数学试卷 考试时间120分钟 试卷满分120分 Hi，各位同学请注意：务必将试题答案写在答题卡对应的位置上，否则不得分，千万记住哟！ 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，图中几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知是反比例函数的图象上的三点，且，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小陶家有一个菱形中国结装饰，测得，直线交两对边于点E，F，则线段EF的长为（ ） A B. C. D. 6. 下列命题中，正确的是（ ） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 一组邻边相等的四边形是菱形 C. 平行四边形的对角线互相平分且相等 D. 正方形的对角线互相垂直平分且相等 7. 手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的，如图1中小狗手影就是我们小时候常玩的游戏．在一次游戏中，小明的手距离墙壁米，爸爸拿的光源与小明手的距离为米，如图．在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度变为原来的一半，则小明的手与光源的距离应（ ） A. 增加米 B. 增加米 C. 增加米 D. 减少米 8. 如图，矩形的顶点在双曲线上，点在反比例函数第二象限的图象上，若矩形面积为，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，等腰直角中，，是的中线，以D为圆心，为半径画弧，交于点E．以B为圆心，为半径画弧，交于点M，则下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在菱形中，，点M，N分别在和上，沿将折叠，点A恰好落在边上的点E处．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若，则______． 12. 如表是某种植物的种子在相同条件下发芽率试验的结果． 种子个数 100 400 900 1500 2500 4000 发芽种子个数 92 352 818 1336 2251 3601 发芽种子频率 0.92 0.88 091 0.89 0.90 0.90 根据表中的数据，可估计该植物的种子发芽的概率为_______； 13. 某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度，采用以下方法：如图，把支架放在离树适当距离的水平地面上的点F处，再把镜子水平放在支架上的点E处，然后沿着直线后退至点D处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A，再用皮尺分别测量，，观测者目高的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度．已知于点D，于点F，于点B，米，米，米，米，则这棵树的高度（的长）是______米． 14. 如图，在矩形中，是边中点，连接交于点F，若恰好平分，，则四边形的面积为______． 15. 如图，正方形的边长为6，E，F分别是边和的中点，P是线段上一点，连接，过点D作线段的垂线，交直线于点Q，当是以为腰的等腰三角形时，线段的长为______． 三、解答题（本题共8道小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解下列方程 （1） （2） 17. 一次访谈活动，主办方邀请9名学生参加活动，在场地安排了9把椅子（每个方格代表一把椅子，横为排，竖为列）按图示方式摆放，其中圆点表示已经有学生入座的椅子． （1）如图1，如果有两名学生入座，又有一名学生随机入座，则这三名同学刚好在同一直线上的概率为_________； （2）如图2，如果有五名学生入座（剩余座位分别记为A，B，C，D），又有甲、乙两名同学随机入座，请用树状图或列表法求甲和乙坐在同一横排且相邻的概率． 18. 如图，在四边形中，，对角线与交于点O，于点E，交于点F． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求线段的长． 19. 如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． （1）求此反比例函数和一次函数的表达式； （2）求的面积； （3）根据图象直接写出关于x的不等式的解集． 20. 如图，某厂房外有一盏路灯，点A发出的灯光能通过窗户照射到厂房内的地面上，经过窗户最高点C的光线落在地面F处，经过窗户最低点D的光线落在地面E处，其中点B，O，E，F在同一直线上．经测量得知：窗户距离地面的高度米，米，米，米． （1）求路灯的高； （2）求窗户的高． 21. 某地一种植户，年承包种植橙子树亩，由于第一年收成不错，该种植户每年都增加种植面积，到年共种植亩．假设每年的增长率相同． （1）求该种植户这两年种植橙子亩数的平均增长率． （2）某水果店销售该种橙子，成本价是元/千克，在销售中发现，当这种橙子单价定为元/千克时，每天可卖出千克，在此基础上，单价每提高元，每天就少卖千克，若该水果店一天销售这种橙子所获得的利润是元，为了让顾客得到实惠，单价应定为多少元/千克？ 22. 如图，在正方形中，P为对角线上任意一点，以为斜边在的左侧构造等腰直角．求证：点E在线段的垂直平分线上． 小亮思路是： 如图1，连接交于点O，再通过构造相似三角形来解决这个问题． 小颖的思路是： 如图2，过点E作的垂线，N为垂足，交于点O，再通过构造全等三角形来解决这个问题： 请回答下列问题： （1）①如图1，与的数量关系是_________； ②如图2，与相等的角是________； （2）请你选择其中一种思路，写出完整的证明过程； （3）连接，将线段绕点E顺时针旋转，得到线段，连接．若正方形的边长为4，的长为，请直接写出四边形的面积． 23. 如果点，分别在正比例函数和反比例函数的图象上，且点，关于轴对称，则称点与点为“正反等值对称点”．例如，在平面直角坐标系内，点在的图象上，点在的图象上，则点与点为“正反等值对称点”． （1）如果点在的图象上，点的“正反等值对称点”在的图象上，则________； （2）点在正比例函数的图象上，点的“正反等值对称点”在的图象上，点． ①如图1，若，四边形为平行四边形，求的值； ②如图2，过点作轴的垂线，与的图象交于点，点在轴的正半轴上，且，过点作轴的垂线，交的图象于点（点在线段上方），交线段于点，连接，，设的面积为，求关于（点横坐标）的函数表达式； ③在②的条件下，连接，，点在轴的正半轴上，以，为邻边构造矩形，使，的长是关于（点横坐标）的函数，直线与轴相交于点，与函数的图象相交于点，与函数的图象相交于点，当点是线段中点时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$