精品解析：黑龙江省哈尔滨市第七十三中学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

哈田中（哈73中）2024-2025学年度上学期 高二学年期中考试数学 考试时间：120分钟 卷面分值：150分 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名､考号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号. 3.答非选择题时，必须将答案书写在专设答题页规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答.在试题卷上答题无效. 5.考试结束后，只交试卷答题页. 一､单项选择题（本题含8小题，每题5分，共40分.每题只有一个选项符合题意） 1. 直线倾斜角是（ ） A. B. C. D. 不存在 2. 两平行直线与之间的距离为（ ） A. B. C. D. 3. 椭圆可以看作由圆进行伸缩变换得到，模仿圆的面积公式，数学家得到椭圆的面积公式：椭圆的面积．若椭圆的面积是椭圆的4倍，则椭圆的焦距为（ ）． A B. C. D. 4. 如图，三棱锥中，分别是棱的中点，点在线段上，且，设，则的值分别是（ ） A. B. C. D. 5. 过点的直线与圆，则直线被圆所截得的弦长的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 6. 已知直线：与双曲线：交于，两点，点是弦的中点，则双曲线的渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 7. 椭圆的左，右焦点为，且，点P是椭圆C上异于左、右端点的一点，若M是的内心，且，则实数（ ） A. B. C. D. 8. 已知点M为椭圆上任意一点，A，B是圆上两点，且，则的最大值与最小值的和是（ ） A. 20 B. C. 40 D. 二､多项选择题（本题含3小题，每题6分，共18分.在每题给出的四个选项中，有多个选项符合题意，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知圆的方程为，则下列说法正确的是（ ） A. 圆半径为5 B. 点在圆外 C. 圆关于直线对称 D. 圆被直线截得的弦长为2 10. 为了迎接二十大的召开，我国全体航空人以昂扬的精神面貌、实际行动，践行“航空报国，航空强国”的初心使命.2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图，在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与轴交于点.若过原点的直线与上半椭圆交于点，与下半圆交于点，则（ ） A. 椭圆的长轴长为 B. 线段长度的最大值为 C. 的周长为 D. 不算椭圆在轴上的端点，轴上方椭圆上存在2个点，使得 11. 已知椭圆上有一点P，分别为左､右焦点，，的面积为S，则下列选项正确的是（ ） A. 若，则 B. 使得为直角三角形的点共6个 C. 若为钝角三角形，则 D. 的最大值是9 三､填空题（本题含3小题，每题5分，共15分） 12. 若，则方程表示的圆的个数为______． 13. 平行六面体中，以顶点为端点三条棱长都为1，且两两夹角为，求的值是__________． 14. 已知点为双曲线 的一个焦点，以点为圆心的圆与的渐近线相切，且与交于两点，若轴，则的离心率为__________． 四､解答题（本题含5小题，共77分，解答题写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 在菱形ABCD中，对角线BD与x轴平行，，点E是线段BC的中点． （1）求直线AE方程； （2）求过点A且与直线DE垂直的直线． 16. 已知圆，点为圆上任意一点，点，线段的中点为，点的轨迹为曲线． （1）求点的轨迹的方程； （2）求曲线与公共弦长． （3）求过点并与相切的直线方程． 17. 如图，三棱柱中，平面为正三角形，是边的中点，. （1）求证：平面平面； （2）求平面和平面夹角的余弦值. 18. 设椭圆过两点，为坐标原点. （1）求椭圆的方程； （2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，且？若存在，写出该圆的方程，若不存在，说明理由. 19. 已知椭圆C：的离心率为，直线与椭圆仅有一个公共点. （1）求椭圆C的方程； （2）若直线l：，试问在x轴上是否存在一定点M，使得过M的直线交椭圆于P，Q两点，交l于N，且满足，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 哈田中（哈73中）2024-2025学年度上学期 高二学年期中考试数学 考试时间：120分钟 卷面分值：150分 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名､考号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号. 3.答非选择题时，必须将答案书写在专设答题页规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答.在试题卷上答题无效. 5.考试结束后，只交试卷答题页. 一､单项选择题（本题含8小题，每题5分，共40分.每题只有一个选项符合题意） 1. 直线倾斜角是（ ） A. B. C. D. 不存在 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线的方程可得出所求直线的倾斜角. 【详解】直线垂直于轴，该直线的倾斜角为. 故选：B. 【点睛】本题考查利用直线的方程求直线的倾斜角，属于基础题. 2. 两平行直线与之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用两平行直线的距离公式即可得到结论． 【详解】化简直线可得： 根据平行线间距离公式知, 故选：B. 3. 椭圆可以看作由圆进行伸缩变换得到，模仿圆的面积公式，数学家得到椭圆的面积公式：椭圆的面积．若椭圆的面积是椭圆的4倍，则椭圆的焦距为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据椭圆面积公式建立关于的方程，求值，再根据椭圆方程求，求焦距. 【详解】依题意，，解得，故椭圆的焦距为． 故选：B 4. 如图，三棱锥中，分别是棱的中点，点在线段上，且，设，则的值分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图形关系，利用向量的加减法和数乘运算可得，由此可得结果. 【详解】， . 故选：D. 5. 过点的直线与圆，则直线被圆所截得的弦长的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出圆心、半径，然后判断点和圆的位置关系.根据垂径定理可知，当时，弦长最小.根据两点间的距离公式，求出，即可得出答案. 【详解】由已知可得，圆心，半径 因为，所以点在圆内. 当时，圆心到直线的距离有最大值. 设弦长为，由垂径定理可知，， 所以，. 故选：A. 6. 已知直线：与双曲线：交于，两点，点是弦的中点，则双曲线的渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据点差法得到，然后结合的坐标和直线的斜率得到，即可得到双曲线的渐近线方程. 【详解】解：设，，可得，， 两式相减可得， 点是弦的中点，且直线：， 可得，，， 即有，即， 双曲线的渐近线方程为．经验证此时直线与双曲线有两个交点. 故选：B． 7. 椭圆的左，右焦点为，且，点P是椭圆C上异于左、右端点的一点，若M是的内心，且，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设的内切圆半径为，由可得，进而得到，由可得，同除以即可求解. 【详解】 设的内切圆半径为， 则 ，，， 可得 . ，解得. 又因为，所以，即， 所以，即，解得（舍去负值）， 所以. 故选：A 8. 已知点M为椭圆上任意一点，A，B是圆上两点，且，则的最大值与最小值的和是（ ） A. 20 B. C. 40 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，设圆心为，通过向量加法与数量积的公式，找出与的关系，结合点也是椭圆的右焦点，求出的范围，即可求解. 【详解】设圆的圆心为，易知是圆的一条直径， 因此 ， 因为点是椭圆的右焦点，点在椭圆上，所以， 所以，即， 所以的最小值为，最大值为， 又因为，所以的最大值与最小值的和是． 故选：C. 二､多项选择题（本题含3小题，每题6分，共18分.在每题给出的四个选项中，有多个选项符合题意，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知圆的方程为，则下列说法正确的是（ ） A. 圆半径为5 B. 点在圆外 C. 圆关于直线对称 D. 圆被直线截得的弦长为2 【答案】BD 【解析】 【分析】根据圆方程得到圆心，半径，得到A错误，代入点坐标得到B正确，圆心不过直线得到C错误，计算弦长得到D正确，得到答案. 【详解】，即，圆心，半径， 圆的半径为，A错误； ，故点在圆外，B正确； 圆心不在直线上，故C错误； 当时，，解得或，故弦长为2，D正确. 故选：BD 10. 为了迎接二十大的召开，我国全体航空人以昂扬的精神面貌、实际行动，践行“航空报国，航空强国”的初心使命.2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图，在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与轴交于点.若过原点的直线与上半椭圆交于点，与下半圆交于点，则（ ） A. 椭圆的长轴长为 B. 线段长度的最大值为 C. 的周长为 D. 不算椭圆在轴上的端点，轴上方椭圆上存在2个点，使得 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据给定的条件，求出椭圆的短半轴长，半焦距，求出长轴长判断选项A；求出长度范围判断选项B；利用椭圆的定义求出焦点三角形周长判断选项C；计算判断选项D即可求解. 【详解】由题意可知：半圆所在椭圆的半焦距，短半轴长，得出长半轴长，则椭圆的长轴长为，故选项A正确； 因，，因此，故选项B正确； 因点是椭圆的两个焦点，则的周长为：，故选项C正确； 由题意，显然，在中， ，所以不可能为直角，不算椭圆在轴上的端点外，轴上方椭圆上不存在点，使得，故选项错误， 故选：ABC. 11. 已知椭圆上有一点P，分别为左､右焦点，，的面积为S，则下列选项正确的是（ ） A. 若，则 B. 使得为直角三角形的点共6个 C. 若为钝角三角形，则 D. 的最大值是9 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，利用椭圆的定义结合余弦定理和三角形的面积公式可求得结果，对于B，利用余弦定理求出，结合椭圆的性质进行判断，对于C，当时，为钝角三角形，从而可求出三角形面积的范围，对于D，利用基本不等式结合椭圆的定义求解. 【详解】对于A，由，得，则， 设，则由椭圆的定义， 在中，，则余弦定理得， ，所以，，得， 所以的面积为，所以A正确， 对于B，当时，为直角三角形的点有2个，当时，为直角三角形的点有2个， 设椭圆的上顶点为，则，在中， ， 所以为锐角，所以在中不可能为是直角， 综上，使得为直角三角形的点共4个，所以B错误， 对于C，设，由选项B可知，当时，为钝角三角形， 当时，，得， 所以时，， 所以，即，所以C正确， 对于D，因为，所以， 当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最大值为16，所以D错误， 故选：AC 【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆的几何性质，考查余弦定理的应用，解题的关键是利用椭圆的定义结合其性质求解，考查计算能力，属于较难题. 三､填空题（本题含3小题，每题5分，共15分） 12. 若，则方程表示的圆的个数为______． 【答案】1 【解析】 【分析】将方程配成标准式，再把的值逐一代入检验，可得结论． 【详解】解：方程 即方程， 可以表示以，为圆心、半径为的圆． 当时，圆心、半径为0，不表示圆． 当时，圆心、半径为1，表示一个圆． 当时，圆心，、，不表示圆． 当时，圆心，、，不表示圆． 综上可得，所给的方程表示的圆的个数为1， 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查圆的标准方程的特征，属于基础题． 13. 平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为，求的值是__________． 【答案】1 【解析】 【分析】选定基底，根据空间向量的加减运算表示出，再根据空间向量的数量积的运算，即可求得答案. 【详解】由题意得， ， 则 , 故答案为：1. 14. 已知点为双曲线 的一个焦点，以点为圆心的圆与的渐近线相切，且与交于两点，若轴，则的离心率为__________． 【答案】 【解析】 【详解】双曲线的焦点到渐近线的距离为，由轴得，，所以，． 四､解答题（本题含5小题，共77分，解答题写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 在菱形ABCD中，对角线BD与x轴平行，，点E是线段BC的中点． （1）求直线AE的方程； （2）求过点A且与直线DE垂直的直线． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可设，利用，求出的坐标，利用中点坐标公式求出E的坐标，进而可求AE的方程； （2）先求得，再利用两直线垂直，斜率之积为求出直线DE斜率，进而可得到答案． 【小问1详解】 四边形ABCD为菱形，轴，轴，∴可设， ，， 解得：（舍）或，. 中点坐标为，点坐标为， 由中点坐标公式得，， 直线AE的方程为，即. 【小问2详解】 可求，则过点A且与直线DE垂直的直线斜率为： 所求直线方程为：，即． 16. 已知圆，点为圆上任意一点，点，线段的中点为，点的轨迹为曲线． （1）求点的轨迹的方程； （2）求曲线与的公共弦长． （3）求过点并与相切的直线方程． 【答案】（1）；（2）；（3）或. 【解析】 【分析】（1）设点，，根据相关点法求解即可；、 （2）先根据题意求得与的公共弦所长直线的方程，再结合圆的弦长问题计算即可； （3）先考虑斜率不存在时得满足题意，再考虑斜率存在时，设斜率为，得方程为，再根据直线与圆相切求解即可. 【详解】解（1）：设点，， ∵ 线段的中点为，， ∴ ，故， 又∵ 为圆上任意一点， ∴ ， ∴ 将代入得 ∴点的轨迹的方程为 （2） 两式做差得公共弦所在直线方程为： 点到之距离 所求与公共弦长为： （3）当过点的切线斜率不存在时，即轴时，直线，显然与相切，满足条件； 当过点的切线斜率存在时，设直线斜率为， 可知，即 由与相切得到直线的距离为，即：，解得 所以 综上，所求直线方程为：或. 【点睛】本题考查相关点法求曲线的轨迹方程，圆的切线方程，弦长等问题，考查数学运算能力，是中档题. 17. 如图，三棱柱中，平面为正三角形，是边的中点，. （1）求证：平面平面； （2）求平面和平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由题可证明平面平面，然后由面面垂直性质可得 平面，即可完成证明； （2）建立空间直角坐标系，可求出平面和平面的法向量，即可得答案. 【小问1详解】 证明：因三棱柱中平面，， 所以平面，又平面，所以平面平面 因为为正三角形，为的中点，所以，平面ABC. 又平面平面，所以平面，又平面 所以平面平面. 【小问2详解】 如图，以为坐标原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，，，，， 设平面法向量， 则，取； 设平面的法向量， 则，取. 设平面和平面夹角的大小为， 所以 18. 设椭圆过两点，为坐标原点. （1）求椭圆的方程； （2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，且？若存在，写出该圆的方程，若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）根据椭圆过两点，直接代入方程解方程组，即可椭圆的方程； （2）先假设存在，设出两个交点坐标和直线的斜率存在时的方程，根据直线与圆相切及，得出方程组，从而求解出结果，再讨论斜率不存在时的情况即可. 【小问1详解】 因椭圆过两点， 将，的坐标代入椭圆的方程得， 解得，， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 假设满足题意的圆存在，其方程为，其中， 设该圆的任意一条切线和椭圆交于，两点， 当直线的斜率存在时，令直线的方程为，① 将其代入椭圆的方程并整理得， 由韦达定理得，，② 因为，所以，③ 将①代入③并整理得， 联立②得，④ 因为直线和圆相切，因此，由④得， 所以存在圆满足题意. 当切线的斜率不存在时，则， 由椭圆方程得，显然， 综上所述，存在圆满足题意. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线的探索性问题主要体现在以下几个方面：（1）探索点是否存在；（2）探索曲线是否存在；（3）探索命题是否成立．解决此类问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化．其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在．反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法． 19. 已知椭圆C：的离心率为，直线与椭圆仅有一个公共点. （1）求椭圆C的方程； （2）若直线l：，试问在x轴上是否存在一定点M，使得过M的直线交椭圆于P，Q两点，交l于N，且满足，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）； （2）存在，(4，0). 【解析】 【分析】(1)根据离心率列出一个方程，联立直线方程和椭圆方程由再得一个方程，结合本身a、b、c的关系即可解出a、b、c的值，从而确定椭圆的标准方程； (2)设，，，，直线PQ的方程为，由，得，即，联立直线PQ与椭圆方程，得和，从而可求m、n、t的关系，再结合N是l和直线PQ的交点即可求出m的值，从而可判定PQ是否过定点. 【小问1详解】 ∵，∴，， 将代入，整理得， ∴，解得， ∴，， ∴椭圆C的方程为. 【小问2详解】 设，，，，直线PQ的方程为， 由，得，即. 将代入椭圆方程，整理得， ，即， ∴，. ∴. 将(1，n)代入，可得，代入上式可得. 当直线PQ的方程为时，也满足题意. 故定点M为(4，0). 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$