2025年中考数学三轮冲刺专题：圆中相似三角形及三角函数综合训练

2025年中考数学三轮冲刺专题：圆中相似三角形及三角函数综合训练 1．如图1，AB为半圆的直径，O为圆心，C为圆弧上一点，AD垂直于过C点的切线，垂足为D，AB的延长线交直线CD于点E． （1）求证：AC平分∠DAB； （2）若AB＝4，B为OE的中点，CF⊥AB，垂足为点F，求CF的长； （3）如图2，连接OD交AC于点G，若，求sin∠E的值． 2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AO是△ABC的角平分线．以O为圆心，OC为半径作⊙O． （1）求证：AB是⊙O的切线． （2）已知AO交⊙O于点E，延长AO交⊙O于点D，tanD，求的值． （3）在（2）的条件下，设⊙O的半径为3，求AB的长． 3．已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB＝∠AEC． （1）求证：BD是⊙O的切线； （2）求证：CE2＝EH•EA； （3）若⊙O的半径为5，sinA，求BH的长． 4．如图所示：⊙O与△ABC的边BC相切于点C，与AC、AB分别交于点D、E，DE∥OB．DC是⊙O的直径．连接OE，过C作CG∥OE交⊙O于G，连接DG、EC，DG与EC交于点F． （1）求证：直线AB与⊙O相切； （2）求证：AE•ED＝AC•EF； （3）若EF＝3，tan∠ACE时，过A作AN∥CE交⊙O于M、N两点（M在线段AN上），求AN的长． 5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A、D的⊙O分别交AB、AC于点E、F． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）若BE＝8，sinB，求⊙O的半径； （3）求证：AD2＝AB•AF． 6．如图1，AB是⊙O的直径，直线AM与⊙O相切于点A，直线BN与⊙O相切于点B，点C（异于点A）在AM上，点D在⊙O上，且CD＝CA，延长CD与BN相交于点E，连接AD并延长交BN于点F． （1）求证：CE是⊙O的切线； （2）求证：BE＝EF； （3）如图2，连接EO并延长与⊙O分别相交于点G、H，连接BH．若AB＝6，AC＝4，求tan∠BHE． 7．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，点P是半径OB上一动点（不与O，B重合），过点P作射线l⊥AB，分别交弦BC，于D，E两点，在射线l上取点F，使FC＝FD． （1）求证：FC是⊙O的切线； （2）当点E是的中点时， ①若∠BAC＝60°，判断以O，B，E，C为顶点的四边形是什么特殊四边形，并说明理由； ②若tan∠ABC，且AB＝20，求DE的长． 8．如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙于点E，F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O交于点C，连接BC，AF． （1）求证：直线PA为⊙O的切线； （2）若BC＝6，，求cos∠ACB的值和线段PE的长． 9．如图，AC是⊙O的弦，OD⊥AC，连接OA，OC，点B在⊙O外，AB＝AC，连接BC交OD于E，交OA于F，OE＝OF． （1）求证：AB是⊙O的切线； （2）若OF＝3，，求⊙O的半径． 10．如图1，在⊙O中，直径AB＝10，D是AB上的动点，过点D作EF⊥AB交⊙O于点E，F连接BE，取BE的中点H，连接FH交AB于点M，并延长FH交⊙O于点C，连接CB． （1）当点D与圆心O重合时，如图2所示，求FM•FC的值． （2）在点D的运动过程中，的值是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由． （3）连接OH，DH，当△ODH是等腰三角形时，求tanC的值． 11．如图，在菱形ABCD中，DH⊥AB于H，以DH为直径的⊙O分别交AD，BD于点E，F，连接EF． （1）求证：①CD是⊙O的切线； ②△DEF∽△DBA； （2）若AB＝5，DB＝6，求sin∠DFE． 12．已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，以边AC为直径作⊙O，与AB边交于点D，点M为边BC的中点，连接DM． （1）求证：DM是⊙O的切线； （2）点P为直线BC上任意一动点，连接AP交⊙O于点Q，连接CQ． ①当tan∠BAP时，求BP的长； ②求的最大值． 13．如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上的一点，CD⊥AD于点D，AD交⊙O于点F，连接AC，若AC平分∠DAB，过点F作FG⊥AB于点G，交AC于点H，延长AB，DC交于点E． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）求证：AF•AC＝AE•AH； （3）若sin∠DEA，求的值． 14．如图，已知AD，EF是⊙O的直径，AD＝6，⊙O与▱OABC的边AB，OC分别交于点E，M，连接CD并延长，与AF的延长线交于点G，∠AFE＝∠OCD． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若GF＝1，求cos∠AEF的值； （3）在（2）的条件下，若∠ABC的平分线BH交CO于点H，连接AH交⊙O于点N，求的值． 15．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，以AD为直径作⊙O交AB于点E． （1）求证：CD为⊙O的切线； （2）若，，求⊙O的半径． 16．如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O，分别交AC，BC于点D，E，点F在BC上，∠CDF＝∠ABD． （1）求证：DF是⊙O的切线； （2）若，tan∠CDF，BC，求⊙O的半径． 17．如图，已知⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，D是圆上一点，E是DC延长线上一点，连接AD、AE，且AD＝AE，CA＝CE． （1）求证：直线AE是⊙O的切线； （2）若sinE，⊙O的半径为3，求AD的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$