精品解析：四川省德阳市旌阳区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题

2024年秋期九年级期末考试试卷数学 说明：本试卷总分150分，考试时间：120分钟． 一、单选题（每题4分，共48分） 1. 下面是一些常见的交通标志，其中既是轴对称又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示的电路图，同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率是（　　） A. B. C. D. 1 3. 将二次函数y＝向左平移5个单位，再向上平移3个单位，所得新抛物线表达式为（　　） A. B. C. D. 4. 下列关于抛物线的判断中，错误的是（　　） A. 形状与抛物线相同 B. 对称轴是直线 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 当时， 5. 如图，下列条件中不能判定的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知m，n是方程的两根，则的值为（ ）． A. B. C. 4 D. 5 7. 如图，为的直径，弦，垂足为点E，连接，若的半径为4，，则（ ） A. B. C. D. 8. 若圆锥的底面半径为，母线长为，则它的侧面展开图的圆心角的大小是（ ） A. B. C. D. 9. 若函数y＝ax2﹣x+1（a为常数）的图象与x轴只有一个交点，那么a满足( ) A. a＝ B. a≤ C. a＝0或a＝﹣ D. a＝0或a＝ 10. 如图，点，在反比函数的图象上，A，B的纵坐标分别是3和6，连接，，则的面积是（     ） A. 1.5 B. 3 C. 9 D. 13 11. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过A（4，0）、B（0，4），⊙O的半径为2（O为坐标原点），点P是直线AB上的一动点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为（　　） A. B. 2 ﹣1 C. 2 D. 3 12. 已知二次函数的图象如图所示，给出以下结论：①；②；③；④；⑤．其中结论正确的个数有　　 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每题4分，共24分） 13. 若把代数式化为的形式，其中，为常数，则________． 14. 如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，若点恰好落在线段上，、交于点，则的度数是______． 15. 如图所示，在平行四边形中，点在上，且，则_____． 16. 如图，在△ABO中，∠AOB=90°，OA=OB，点A在反比例函数的图象上．若点B在反比例函数的图象上，则k的值为__________． 17. 如图，中，，，在以为圆心，半径为的圆上运动，为的中点，则的最小值是________． 18. 如图，将抛物线在轴下方的图象沿轴翻折到轴上方，原抛物线轴上方的图象与翻折得到图象组成一个新函数的图象，若直线与新函数的图象有三个交点，则的取值范围是________． 三、解答题（共78分） 19. 解方程： （1）； （2）； 20. 校园文化是学校的灵魂，实外西区校长肖明华推出《读100本名著》、《听100首名曲》、《赏100幅名画》、《懂100个名人》每一系列文化活动，为了解学生对这些文化活动的喜爱情况，我校组织学生会成员随机抽取了部分学生进行调查，被调查的学生必须从《读100本名著》（记为A）、《听100首名曲》（记为B）、《赏100幅名画》（记为C）、《懂100个名人》（记为D）中选择自己最喜爱的一个栏目，它可以写出一个自己喜爱的其他校园文化栏目（记为E），根据调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答句题： （1）在这项调查中，共调查了__________名学生； （2）将条形统计图补充完整，其中扇形统计图中“B”所在扇形圆心角的度数为__________； （3）在选择“E”的学生中抽取2名女生，2名男生，现从这四名学生中随机选出两名学生参加座谈会，请用列表法或画树状图的方法求出刚好选到同性别学生的概率． 21. 如图，是正三角形内的一点，且．若将绕点A逆时针旋转后，得到． （1）求点与点之间的距离； （2）求的度数． 22. 如图，的顶点A是反比例函数的图象与一次函数的图象在第二象限的交点，轴于点，且． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求一次函数与反比例函数图象的两个交点A，的坐标以及的面积； （3）当为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值． 23. 某商城在“双11”期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个14元，标价为每个20元． （1）商城举行了“感恩老用户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个16.2元售出，求每次降价的百分率； （2）市场调研表明：当每个标价20元时，平均每天能售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能多售出10个，若商城要想销售这种商品每天的销售额为1280元，则每个应降价多少元？ 24. 如图，已知，是的直径，与相切，切点为，弦，连接并延长交的延长线点． （1）证明：是的切线； （2）若，，求的长． 25. 已知，如图抛物线与轴交于点，与轴交于、两点，点在点左侧，点的坐标为，． （1）求抛物线的解析式； （2）若点是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值； （3）若点在轴上，点在抛物线上，是否存在以为顶点且以为一边的平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋期九年级期末考试试卷数学 说明：本试卷总分150分，考试时间：120分钟． 一、单选题（每题4分，共48分） 1. 下面是一些常见的交通标志，其中既是轴对称又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义，即可求解． 【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：D． 2. 如图所示的电路图，同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率是（　　） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，其中同时闭合两个开关能形成闭合电路的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：把S1、S2、S3分别记为A、B、C， 画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中同时闭合两个开关能形成闭合电路的结果有4种，即AB、AC、BA、CA， ∴同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率为． 故选：B． 【点睛】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比，列出树状图是解题的关键． 3. 将二次函数y＝向左平移5个单位，再向上平移3个单位，所得新抛物线表达式为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：将二次函数y＝向左平移5个单位，再向上平移3个单位，所得新抛物线表达式为， 故选：B． 【点睛】本题考查了是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 4. 下列关于抛物线的判断中，错误的是（　　） A. 形状与抛物线相同 B. 对称轴是直线 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据二次函数的性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、抛物线形状与相同，此选项不符合题意； B、抛物线对称轴，此选项不符合题意． C、对于抛物线，由于，当时，函数值y随x值的增大而减小，此选项错误，符合题意； D、抛物线，抛物线开口向下，抛物线与x轴的交点为，所以当时，，此选项不符合题意． 故选：C． 5. 如图，下列条件中不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定．熟记相关判定定理即可求解． 【详解】解：∵与中，， A. ，∴能判定； B. ，∴不能判定； C. ，∴，∴能判定； D. ，∴能判定． 故选：B． 6. 已知m，n是方程的两根，则的值为（ ）． A. B. C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，方程根的定义．利用一元二次方程根与系数的关系得到，再根据一元二次方程根的定义得到，最后整体代入即可解决问题． 【详解】解：，是方程的两根， ∴，，即， ∴ ． 故选：A． 7. 如图，为的直径，弦，垂足为点E，连接，若的半径为4，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键． 根据题意得出 ，进而根据含0度角的直角三角形的性质得出，在中，勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：∵为的直径， 弦 ∴， ， ， 在中， 则， ， ， 故选： D． 8. 若圆锥的底面半径为，母线长为，则它的侧面展开图的圆心角的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算．根据圆锥的母线长等于展开图扇形的半径，求出圆锥底面圆的周长，也即是展开图扇形的弧长，然后根据弧长公式可求出圆心角的度数． 【详解】解：圆锥的底面半径为， 则底面周长为， 圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，即侧面展开图的扇形弧长为， 母线长为，则扇形的半径为， 根据弧长公式可得：，解得：， 故选：B． 9. 若函数y＝ax2﹣x+1（a为常数）的图象与x轴只有一个交点，那么a满足( ) A. a＝ B. a≤ C. a＝0或a＝﹣ D. a＝0或a＝ 【答案】D 【解析】 【分析】由题意分两种情况：①函数为二次函数，函数y=ax2-x+1的图象与x轴恰有一个交点，可得Δ=0，从而解出a值；②函数为一次函数，此时a=0，从而求解． 【详解】解：①函数为二次函数，y=ax2﹣x+1（a≠0）， ∴Δ=1﹣4a=0， ∴a=； ②函数为一次函数， ∴a=0， ∴a的值为或0； 故选：D． 【点睛】此题考查了二次函数的性质，根的判别式，一次函数的性质，对函数的情况进行分类讨论是解题的关键． 10. 如图，点，在反比函数的图象上，A，B的纵坐标分别是3和6，连接，，则的面积是（     ） A. 1.5 B. 3 C. 9 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】设轴于点D，轴于点C，由题意求出，，则，，，由反比例函数的几何意义可得，然后代入即可求值． 本题考查了反比例函数的性质及k的几何意义，熟练掌握反比例函数的性质和几何意义是解题的关键． 【详解】解：如图，设轴于点D，轴于点C， 由条件可知，， ∴，，， 由反比例函数的几何意义可得， ∴， 故选：C． 11. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过A（4，0）、B（0，4），⊙O的半径为2（O为坐标原点），点P是直线AB上的一动点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为（　　） A. B. 2 ﹣1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】连接OP、OQ，根据勾股定理知 当PO⊥AB时，线段PQ最短，即线段PQ最小. 【详解】解：如图，连接OP、OQ． ∵PQ是⊙O的切线， ∴OQ⊥PQ； 由勾股定理知， ∵当PO⊥AB时，线段PQ最短； 又∵A（4，0）、B（0，4）， ∴OA＝OB＝4， ∴， ∴， ∵OQ＝2， ∴． 故选C． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质、坐标与图形性质以及矩形的性质等知识点．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角来解决有关问题． 12. 已知二次函数的图象如图所示，给出以下结论：①；②；③；④；⑤．其中结论正确的个数有　　 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】观察抛物线与x轴的交点情况即可对①作出判断；根据抛物线的开口方向、对称轴的位置及抛物线与y轴的交点位置即可对②作出判断；根据抛物线的对称轴为直线x=1，即可对③作出判断；观察图象当x=-2时，y>0，从而可对④作出判断；观察图象当x=3时，y<0，从而可对⑤作出判断． 【详解】抛物线与轴有两个交点， ，即， 故①正确； 抛物线开口向上， ， 对称轴在轴的右侧， ， 抛物线与轴交于负半轴， ， ， 故②正确； ， ， 故③错误； 时，， ，即， 故④错误； 根据抛物线的对称性可知，当时，， ， 故⑤正确， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，涉及数形结合；对于此类问题，一般是看抛物线的开口方向可确定a的符号、看对称轴的位置可确定b的符号、看抛物线与y轴的交点位置确定c的符号，看抛物线与x轴交点的个数确定判别式的符号，根据函数图象可确定的符号．关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． 二、填空题（每题4分，共24分） 13. 若把代数式化为的形式，其中，为常数，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的配方法:根据完全平方公式，将常数项进行分解，将x2-8x+17 进行配方可得(x-4)2+1，即可求解. 【详解】∵ = =(x-4)2+1， ∴h=4，k=1， ∴h+k=4+1=5. 故答案为5. 【点睛】本题主要考查了解配方法.熟练掌握和理解配方法:根据完全平方公式，将常数项进行分解，变形为完全平方公式，这是解答此题的关键所在. 14. 如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，若点恰好落在线段上，、交于点，则的度数是______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，三角形内角和定理，等边对等角，根据三角形内角和得出，根据旋转的性质得出，，，再求出，进而，根据三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， 根据旋转可得：，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图所示，在平行四边形中，点在上，且，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，设，，，则，利用相似三角形的性质求出平行四边形的面积，即可解决问题，解题的关键是学会利用参数解决问题． 【详解】解：设，，，则， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为:． 16. 如图，在△ABO中，∠AOB=90°，OA=OB，点A在反比例函数的图象上．若点B在反比例函数的图象上，则k的值为__________． 【答案】-2 【解析】 【分析】分别过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，交x轴于点C，D两点，先可证明⊿AOC≌⊿OBD，得到OC=BD，AC=OD，从而得到点A，B的坐标关系，设点A坐标为（x，y）,则点B的坐标为（-y，x），分别代入对应的函数解析式，变形比较即可得到k的值． 【详解】解：如图，分别过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，交x轴于点C，D两点， ∴∠ACO=∠BDO=90º， 又∵∠AOB=90°， ∴∠BOD+∠AOC=90°, ∵∠OAC+∠AOC =90°， ∴∠BOD=∠OAC， 在⊿AOC和⊿OBD中 ∴⊿AOC≌⊿OBD(AAS) ∴OC=BD，AC=OD 因此，设点A坐标为（x，y）,则点B的坐标为（-y，x）, ∵点A（x，y）在反比例函数的图象上， ∴， 又∵点B（-y，x）在反比例函数的图象上， ∴，即， 故k=-2， 故答案为：-2 【点睛】本题主要考查反比例函数图像上点的坐标特征及全等三角形的判定和性质，通过证明⊿AOC≌⊿OBD，得到OC=BD，AC=OD，从而得到点A，B的坐标关系是解题的关键． 17. 如图，中，，，在以为圆心，半径为的圆上运动，为的中点，则的最小值是________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系、三角形的中位线定理的知识，作的中点E，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理求得和的长，即可求解． 【详解】解：如图，设的中点为，连接，， ∵M是的中点，E是的中点， ∴为的中位线， ∴． ∴点在以为圆心，为半径的圆上运动， ∵中，E是的中点，，， ∴， ∴， 当点在下方时， ∴此时最小，为． 故答案为：． 18. 如图，将抛物线在轴下方的图象沿轴翻折到轴上方，原抛物线轴上方的图象与翻折得到图象组成一个新函数的图象，若直线与新函数的图象有三个交点，则的取值范围是________． 【答案】或者 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的综合， 如图所示，过点A的直线与新图象有三个公共点，将直线向下平移到恰在点E处相切，此时与新图象也有三个公共点，准确画出图形，问题随之得解． 【详解】解：如图所示，过点A的直线与新图象有三个公共点，将直线向上平移到恰在点E处相切，此时与新图象也有三个公共点， 令， 解得：，， ∴，， ∵将抛物线在轴下方的图象沿轴翻折到轴上方， ∴翻折之后的二次函数的解析式为：， 将一次函数与二次函数联立得：， 整理得：， 令， 解得：， 当一次函数过点A时，将代入得：， 解得：， ∴若直线与这个新图象有3个交点，则b的取值范围为：或者， 故答案为：或者． 三、解答题（共78分） 19. 解方程： （1）； （2）； 【答案】（1），； （2），； 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法． （1）先利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程． （2）利用因式分解法把原方程转化为或，然后解两个一次方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ，； 【小问2详解】 解：， ， 可得或， 解得，． 20. 校园文化是学校的灵魂，实外西区校长肖明华推出《读100本名著》、《听100首名曲》、《赏100幅名画》、《懂100个名人》每一系列文化活动，为了解学生对这些文化活动的喜爱情况，我校组织学生会成员随机抽取了部分学生进行调查，被调查的学生必须从《读100本名著》（记为A）、《听100首名曲》（记为B）、《赏100幅名画》（记为C）、《懂100个名人》（记为D）中选择自己最喜爱的一个栏目，它可以写出一个自己喜爱的其他校园文化栏目（记为E），根据调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答句题： （1）在这项调查中，共调查了__________名学生； （2）将条形统计图补充完整，其中扇形统计图中“B”所在扇形圆心角的度数为__________； （3）在选择“E”的学生中抽取2名女生，2名男生，现从这四名学生中随机选出两名学生参加座谈会，请用列表法或画树状图的方法求出刚好选到同性别学生的概率． 【答案】（1）150 （2） 补全条形统计图如下： （3）刚好选到同性别学生的概率为 【解析】 【分析】本题主要考查条形与扇形统计图及概率，熟练掌握条形及扇形统计图和概率的求解是解题的关键； （1）根据统计图可知最喜欢A栏目所占百分比和人数，然后问题可求解； （2）根据（1）可知被调查的人数为150名，然后利用总人数减去A、C、D、E的人数，进而求出“B”所占百分比，最后问题可求解； （3）根据列表法可进行求解概率． 【小问1详解】 解：由统计图可知： 共调查的学生人数为（名）； 故答案为150； 【小问2详解】 解：由统计图可知：“D”的人数为（名）， ∴“B”的人数为（名）， ∴扇形统计图中“B”所在扇形圆心角的度数为； 故答案为； 【小问3详解】 解：由题意可列表如下： 男1 男2 女1 女2 男1 / （男1，男2） （男1，女1） （男1，女2） 男2 （男2，男1） / （男2，女1） （男2，女2） 女1 （女1，男1） （女1，男2） / （女1，女2） 女2 （女2，男1） （女2，男2） （女2，女1） / 共有12种情况，其中刚好选到同性别学生的有4种情况，所以刚好选到同性别学生的概率为． 21. 如图，是正三角形内的一点，且．若将绕点A逆时针旋转后，得到． （1）求点与点之间的距离； （2）求的度数． 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理等知识．解题的关键是熟练掌握旋转的性质． （1）连接，根据旋转的性质，证明是等边三角形，进而可得点P与点之间的距离； （2）根据勾股定理的逆定理可判断是直角三角形，且，根据计算求解即可． 【小问1详解】 解：如图，连接， 由旋转的性质得，，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴点P与点之间的距离为6； 【小问2详解】 解：在中， ∵， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴的度数为． 22. 如图，的顶点A是反比例函数的图象与一次函数的图象在第二象限的交点，轴于点，且． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求一次函数与反比例函数图象的两个交点A，的坐标以及的面积； （3）当为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值． 【答案】（1）反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为 （2） （3）当或时，一次函数的值大于反比例函数的值 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象与性质是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据反比例函数图象在第二、四象限，可得，进而问题可求解； （2）设一次函数的图象与轴的交点为，然后可得点的坐标为，进而联立反比例函数与一次函数解析式可得点A、C坐标，最后根据割补法可求解面积； （3）由（2）及函数图象可进行求解 【小问1详解】 解：∵轴于点，且， ∴， ∴， ∵反比例函数图象在第二、四象限， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：设一次函数的图象与轴的交点为， 令，得， ∴点的坐标为， 由，解得，或， ∴，， ∴； 【小问3详解】 解：∵，， ∴根据图象可知：当或时，一次函数的值大于反比例函数的值． 23. 某商城在“双11”期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个14元，标价为每个20元． （1）商城举行了“感恩老用户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个16.2元售出，求每次降价的百分率； （2）市场调研表明：当每个标价20元时，平均每天能售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能多售出10个，若商城要想销售这种商品每天的销售额为1280元，则每个应降价多少元？ 【答案】（1）；（2）4元． 【解析】 【分析】（1）设每次降价的百分率为，根据降价后的价格降价前的价格降价的百分率），则第一次降价后的价格是元，第二次后的价格是元，据此即可列方程求解； （2）假设每个应降价元，降低售价的同时，销售量就会提高，“一减一加”，根据销售额售价销量，即可列方程求解． 【详解】解：（1）设每次降价的百分率为， 依题意得：， 解得，（不合题意，舍去） 答：每次降价的百分率是； （2）假设下调元，依题意得：． 解得或． ∵20-12=8＜14，故舍去， 答：每个应降价4元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 24. 如图，已知，是的直径，与相切，切点为，弦，连接并延长交的延长线点． （1）证明：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， 为圆的切线， ，即， ， 又为圆的半径， 为圆的切线； （2）3 【解析】 【分析】本题考查切线的性质和判定，切线长定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关判定和性质，是解题的关键： （1）连接，证明，推出，即可得证； （2）切线长定理，得到，勾股定理求出的长，设，则，再利用勾股定理进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，分别切于D，B， ， ，即， ， ， 设，则， ， 解得：， ． 25. 已知，如图抛物线与轴交于点，与轴交于、两点，点在点左侧，点的坐标为，． （1）求抛物线的解析式； （2）若点是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值； （3）若点在轴上，点在抛物线上，是否存在以为顶点且以为一边的平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）13.5 （3）存在，，或 【解析】 【分析】（1）根据，，求出C点坐标，把点的坐标代入，即可求出函数解析式； （2）过点作轴分别交线段于点，设，然后求出的表达式，利用，转化为二次函数求最值； （3）①过点作轴交抛物线于点，过点作交轴于点，此时四边形为平行四边形；②平移直线交轴于点，交轴上方的抛物线于点，由题意可知点的纵坐标为3，从而可求得其横坐标． 【小问1详解】 解：∵的坐标为， ∴， ∵，点在轴下方， ∴， ∵将代入抛物线的解析式， 可得，解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 如图1所示，过点作，交于点， ∵该抛物线的对称轴为，， ∴， ∴， ∴， 设的解析式为， ∵将代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为3， ∴的最大面积， ∴， ∴四边形的面积的最大值为13.5； 【小问3详解】 存在，理由如下： ①如图2，过点作轴交抛物线于点，过点作交轴于点，此时四边形为平行四边形， ∵，令， ∴， ∴； ②平移直线交轴于点，交轴上方的抛物线于点，当时，四边形为平行四边形，当时，四边形为平行四边形， ∵， ∴的纵坐标均为3， 令，可得， 解得， ∴． 综上所述，存在3个点符合题意，坐标分别是，或． 【点睛】本题是二次函数综合题，涉及待定系数法求二次函数的解析式、利用二次函数求最值、平行四边形的判定与性质等知识，根据题意作出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $