精品解析：浙江省丽水市2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试卷

2024学年第一学期初中教学质量监测 九年级数学试题卷 考生须知： 1.全卷共三大题，24小题，满分为120分．考试时间为120分钟，本次考试采用闭卷形式． 2.全卷分为卷Ⅰ（选择题）和卷Ⅱ（非选择题）两部分，全部在答题纸上作答．卷Ⅰ的答案必须用2B铅笔填涂；卷Ⅱ的答案必须用黑色字迹钢笔或签字笔写在答题纸相应位置上． 3.请用黑色字迹钢笔或签字笔在答题纸上先填写姓名和准考证号． 4.本次考试不得使用计算器． 卷Ⅰ 说明：本卷共有1大题，10小题，共30分．请用2B铅笔在答题纸上将你认为正确的选项对应的小方框涂黑、涂满． 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 若，则等于（　） A. B. C. D. 2. 已知的半径为4，点在外，的长可能是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 下列各组图形中，一定相似的是（ ） A. 所有直角三角形 B. 所有等边三角形 C. 所有等腰三角形 D. 所有锐角三角形 4. 如图，在中，，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 某地区林业局考察一种树苗移植的成活率，将调查数据绘制成统计图，则可估计这种树苗移植成活的概率约是（　） A. B. C. D. 6. 将抛物线先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线经过点（　） A. B. C. D. 7. 如图，四个三角形的顶点都在方格子的格点上，下列两个三角形中相似的是（ ） A. ①④ B. ①③ C. ②③ D. ②④ 8. 二次函数中，自变量x与函数y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 … y … 8 5 4 5 8 … 下列结论：①函数y有最大值；②函数图象开口方向向上；③该函数图象的对称轴是直线；④当时，y随x的增大而增大．其中正确的是（　） A ①② B. ①④ C. ②④ D. ②③ 9. 如图，为的直径，点C在上，若，，则的长为（　） A. B. C. D. 10. 如图，在平行四边形中，，，，是边上的动点，连接，过点作于点．则的值是（　） A. B. C. D. 卷Ⅱ 说明：本卷共有2大题，14小题，共90分．请用黑色字迹钢笔或签字笔将答案写在答题纸的相应位置上． 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知，则_______． 12. 二次函数的顶点坐标为_______． 13. 有8张卡片，每张卡片上分别写有不同的从1到8的一个自然数，从中任意抽出一张卡片，卡片上的数是3的倍数的概率是______． 14. 把一个足球垂直地面向上踢，t（秒）后该足球的高度h（米）适用公式h=20t﹣5t2．则经过_____秒时球的高度为15米． 15. 如图，在菱形中，与相交于点O，，垂足为点M，交于点N，连接，若，则的值为_______． 16. 如图，C是以为直径半圆O上的一点，且，将沿弦折叠交于点D，E是的中点，连接恰好经过圆心O，若，则的长为______． 三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22，23题每题10分，第24题12分，共72分） 17. 已知二次函数的图象经过点． （1）求c的值； （2）判断点是否在该函数的图象上，并说明理由． 18. 如图，直角三角形中，，，．请画一个正方形，使它的四个顶点都在直角三角形的边上． （1）请画出一种符合题意的示意图； （2）根据你画出的图形，计算正方形的边长． 19. 在课外活动时间，小李、小吴、小张做“互相踢毽子”的游戏，毽子从一人传给另一人就记为踢一次． （1）从小李开始，经过两次踢毽子后，毽子踢到小吴处的概率是多少？（用画树状图或列表法说明） （2）经过两次踢毽子后，若要使毽子踢到小吴处可能性最大，则应从谁开始踢？请说明理由． 20. 一个长方体木箱沿着斜面下滑，当木箱滑至如图所示位置时，，已知木箱高，斜面坡角为．（参考数据：，，） （1）过点B作于点E，求的长（精确到）； （2）求木箱端点A距地面的高度（精确到）． 21. 已知：如图，连结正五边形各条对角线，就得到一个五角星图案． （1）求五角星顶角的度数； （2）当正五边形的边长时，求五角星图案内部正五边形的边的长． 22. 如图，在等腰中，，D，E分别是边上的点，连接与交于点F，． （1）如图1，当时，求证：； （2）如图2，当时，求的值（用含k的代数式表示）． 23. 已知二次函数（m为常数）． （1）若函数图象经过点，求二次函数的表达式； （2）当时，y有最大值为，求m的值； （3）若点，都在该函数图象上，当时，求m的取值范围． 24. 已知：如图，是的两条直径，E为半径上一点（不与点O，C重合），作交于点F，过点F，D分别作的垂线，垂足为点H，G，连接． （1）当点E是的中点时，求的度数； （2）当时，求的值； （3）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年第一学期初中教学质量监测 九年级数学试题卷 考生须知： 1.全卷共三大题，24小题，满分为120分．考试时间为120分钟，本次考试采用闭卷形式． 2.全卷分为卷Ⅰ（选择题）和卷Ⅱ（非选择题）两部分，全部在答题纸上作答．卷Ⅰ的答案必须用2B铅笔填涂；卷Ⅱ的答案必须用黑色字迹钢笔或签字笔写在答题纸相应位置上． 3.请用黑色字迹钢笔或签字笔在答题纸上先填写姓名和准考证号． 4.本次考试不得使用计算器． 卷Ⅰ 说明：本卷共有1大题，10小题，共30分．请用2B铅笔在答题纸上将你认为正确的选项对应的小方框涂黑、涂满． 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 若，则等于（　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质．根据比例的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 2. 已知的半径为4，点在外，的长可能是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可以求得OP的取值范围，从而可以解答本题． 【详解】解：∵⊙O的半径为4，点P在⊙O外， ∴OP＞4， 故选：D． 【点睛】本题考查点和圆的位置关系，解答本题的关键是明确题意，求出OP的取值范围． 3. 下列各组图形中，一定相似的是（ ） A. 所有直角三角形 B. 所有等边三角形 C. 所有等腰三角形 D. 所有锐角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用相似三角形的判定方法分别分析得出答案． 【详解】解：A、直角三角形的对应角不一定相等、对应边不一定成比例，不一定相似，故此选项错误； B、任意两个等边三角形对应角相等、对应边成比例，一定相似，故此选项正确； C、任意两个等腰三角形的对应边不一定成比例，不一定相似，故此选项错误； D、任意两个锐角三角形对应角不一定相等、对应边不一定成比例，不一定相似，故此选项错误； 故选B． 【点睛】本题考查的是相似图形的判定，掌握对应角相等，对应边成比例的两个图形，叫做相似图形是解题的关键． 4. 如图，在中，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正切的定义，根据正切的定义求解即可，熟练掌握角的正切值等于角的对边比邻边是解此题的关键． 【详解】解：在中，， ， 故选：B． 5. 某地区林业局考察一种树苗移植的成活率，将调查数据绘制成统计图，则可估计这种树苗移植成活的概率约是（　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率．由于树苗数量巨大，故其成活的概率与频率可认为近似相等．由图可知，成活概率在上下波动，故可估计这种树苗成活的频率稳定在，成活的概率估计值为． 【详解】解：这种树苗成活的频率稳定在，成活的概率估计值约是． 故选：C． 6. 将抛物线先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线经过点（　） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移.二次函数图象平移规律：“上加下减，左加右减”，据此求解即可. 【详解】解：将抛物线先向左平移1个单位，再向下平移3个单位后的解析式为:， 当时，， 当时，， 观察四个选项，选项C符合题意， 故选：C. 7. 如图，四个三角形的顶点都在方格子的格点上，下列两个三角形中相似的是（ ） A. ①④ B. ①③ C. ②③ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】利用勾股定理计算出每个三角形的三边，即可判断哪两个三角形相似． 【详解】三角形①的三边分别为；三角形②的三边分别为：；三角形③的三边分别为；三角形④的三边分别为：．显然三角形①③的三边成比例，即，即三角形①③相似． 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定、勾股定理等知识，关键是用勾股定理计算每个三角形的三边． 8. 二次函数中，自变量x与函数y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 … y … 8 5 4 5 8 … 下列结论：①函数y有最大值；②函数图象的开口方向向上；③该函数图象的对称轴是直线；④当时，y随x的增大而增大．其中正确的是（　） A. ①② B. ①④ C. ②④ D. ②③ 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据题意可得函数的对称轴为：直线，从而得到抛物线开口向上，当时，y随x的增大而增大，函数有最小值4，即可求解． 【详解】解：由数据可得：当和3时，对应y的值相等， ∴函数的对称轴为：直线， ∴顶点坐标为， ∵数据从到0对应的y值不断减小， ∴抛物线开口向上，当时，y随x的增大而减少，函数有最小值， 故说法②③正确，①④错误． 故选：D． 9. 如图，为的直径，点C在上，若，，则的长为（　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，弧长公式．连接，利用圆周角定理和勾股定理求得，推出是等腰直角三角形，求得，利用弧长公式计算即可求解． 【详解】解：连接， ∵为的直径，，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴的长为， 故选：D． 10. 如图，在平行四边形中，，，，是边上的动点，连接，过点作于点．则的值是（　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、解直角三角形、相似三角形的判定和性质等知识点，添加适当的辅助线构造出全等三角形是解答本题的关键． 过点作，交的延长线于点，根据平行四边形的性质得，，在中，，证明出，得到，代入数据，即可求出的值． 【详解】解：过点作，交的延长线于点， 四边形是平行四边形， ，，，， ，， 在中，， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：A． 卷Ⅱ 说明：本卷共有2大题，14小题，共90分．请用黑色字迹钢笔或签字笔将答案写在答题纸的相应位置上． 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了比例的性质．外项之积等于内项之积，据此得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为： 12. 二次函数的顶点坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式求顶点坐标是解答此题的关键． 直接根据二次函数的顶点式解析式写出顶点坐标即可． 【详解】解：二次函数的顶点坐标为， 故答案为：． 13. 有8张卡片，每张卡片上分别写有不同的从1到8的一个自然数，从中任意抽出一张卡片，卡片上的数是3的倍数的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比. 分别求出从1到8的数中3的倍数的个数，再根据概率公式解答即可． 【详解】解：有8张卡片，每张卡片上分别写有不同的从1到8的一个自然数，从中任意抽出一张卡片，共有8种结果，其中卡片上的数是3的倍数的有3和6两种情况，所以从中任意抽出一张卡片，卡片上的数是3的倍数的概率是． 故答案为： 14. 把一个足球垂直地面向上踢，t（秒）后该足球的高度h（米）适用公式h=20t﹣5t2．则经过_____秒时球的高度为15米． 【答案】1或3 【解析】 【分析】根据题意，解一元二次方程15=20t﹣5t2即可解答． 【详解】解：当h=15时，由15=20t﹣5t2得：t2﹣4t+3=0， 解得：t1=1，t2=3， 答：经过1或3秒时球的高度为15米． 故答案为：1或3． 【点睛】本题考查二次函数的应用、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解答的关键． 15. 如图，在菱形中，与相交于点O，，垂足为点M，交于点N，连接，若，则的值为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，斜边中线的性质．根据菱形的性质结合斜边中线的性质求得，设，则，利用勾股定理求得，利用等积法求得，证明，利用相似三角形的性质求得，据此求解即可． 【详解】解：∵菱形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 故答案为：． 16. 如图，C是以为直径的半圆O上的一点，且，将沿弦折叠交于点D，E是的中点，连接恰好经过圆心O，若，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．连接，，作于点，由折叠的性质得，利用圆周角定理和三角形的外角性质求得得到，再证明是等腰直角三角形，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，，作于点， 由折叠的性质得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵E是的中点， ∴， ∵为半圆O的直径， ∴， ∴， ∵恰好经过圆心O， ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22，23题每题10分，第24题12分，共72分） 17. 已知二次函数的图象经过点． （1）求c的值； （2）判断点是否在该函数的图象上，并说明理由． 【答案】（1） （2）点在这个二次函数的图象上．理由见解析 【解析】 【分析】本题考查二次函数的解析式，求函数值，待定系数法求二次函数解析式是解题的关键． （1）把代入求解即可； （2）把代入二次函数判断即可． 【小问1详解】 解：把代入得 ， ； 【小问2详解】 解：由（1）得二次函数的解析式为， 当时，， 在这个二次函数的图象上． 18. 如图，直角三角形中，，，．请画一个正方形，使它的四个顶点都在直角三角形的边上． （1）请画出一种符合题意的示意图； （2）根据你画出的图形，计算正方形的边长． 【答案】（1）见解析 （2）正方形的边长为． 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，相似三角形的判定和性质． （1）作的平分线，交于点，过点分别作和的垂线，垂足分别为和，则四边形即为所作； （2）设正方形的边长为，证明，利用相似三角形的性质列式，计算即可求解． 【小问1详解】 解：如图，正方形即为所作， ； 【小问2详解】 解：设正方形的边长为， ∴，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴正方形的边长为． 19. 在课外活动时间，小李、小吴、小张做“互相踢毽子”的游戏，毽子从一人传给另一人就记为踢一次． （1）从小李开始，经过两次踢毽子后，毽子踢到小吴处的概率是多少？（用画树状图或列表法说明） （2）经过两次踢毽子后，若要使毽子踢到小吴处的可能性最大，则应从谁开始踢？请说明理由． 【答案】（1）毽子踢到小吴处的概率是 （2）经过两次踢毽子后，若要使毽子踢到小吴处的可能性最大，则应从小吴开始；理由见详解 【解析】 【分析】本题主要考查概率，熟练掌握利用树状图求解概率是解题的关键； （1）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率． （2）分类讨论，根据树状图可得出毽子踢到小王处的概率最小的答案． 【小问1详解】 解：由题意可得树状图如图所示： ∴毽子踢到小吴处的概率是； 【小问2详解】 解：当从小吴开始踢时，则树状图如图所示： ∴毽子踢到小吴处的概率是； 当从小张开始踢时，经过两次踢毽子后，树状图如图所示： ∴毽子踢到小吴处的概率是， 综上所述：经过两次踢毽子后，若要使毽子踢到小吴处的可能性最大，则应从小吴开始 20. 一个长方体木箱沿着斜面下滑，当木箱滑至如图所示位置时，，已知木箱高，斜面坡角为．（参考数据：，，） （1）过点B作于点E，求的长（精确到）； （2）求木箱端点A距地面的高度（精确到）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形和勾股定理的应用，数量掌握三角函数的相关应用是解题关键． （1）由即可求出答案； （2）过点A作于点H，交于点G，求出，设，则,，则，由得到，即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵点B作于点E， ∴， ∵斜面坡角为，， ∴； 【小问2详解】 过点A作于点H，交于点G， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， 即， 解得（负值舍去）， ∴， ∴， 即木箱端点A距地面的高度为． 21. 已知：如图，连结正五边形各条对角线，就得到一个五角星图案． （1）求五角星顶角的度数； （2）当正五边形的边长时，求五角星图案内部正五边形的边的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出，，再求出，由角和差关系得到即可； （2）设，证明，进一步得到，，证明，得到，则，解得（不合题意，舍去），即可求出的长． 【小问1详解】 解：∵五边形正五边形， ∴，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 则， 解得 经检验，是分式方程的解，但，不合题意，舍去， ∴， 即五角星图案内部正五边形的边的长为． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、三角形内角和定理、等腰三角形的判定和性质、多边形内角和定理、解一元二次方程等知识，证明是解题的关键． 22. 如图，在等腰中，，D，E分别是边上的点，连接与交于点F，． （1）如图1，当时，求证：； （2）如图2，当时，求值（用含k的代数式表示）． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明是等边三角形，再利用证明，即可得到； （2）过点D作交于点P，证明，推出，再证明，由得到． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：过点D作交于点P， 则，， ∵，即， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质和等腰三角形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键． 23. 已知二次函数（m为常数）． （1）若函数图象经过点，求二次函数的表达式； （2）当时，y有最大值为，求m的值； （3）若点，都在该函数的图象上，当时，求m的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质． （1）把代入函数解析式求出，即可得到答案； （2）根据的取值分，，三种情况讨论求解即可； （3）根据题意得到，，由得到，即可求出m的取值范围． 【小问1详解】 解：∵该函数的图象经过点， ∴， 解得：， ∴函数的表达式为， 【小问2详解】 ∴函数的对称轴为直线，开口向上， ∵当时，y有最大值为， ∴当时，或时取得最大值，， 当时，即， ∴当时，函数取得最大值，即，解得，，不合题意，舍去； 当时，即 ∴当时，函数取得最大值，即，解得，，符合题意； 综上所述，的值为； 【小问3详解】 ∵点，都在该函数的图象上， ∴， ∵， ∴，即 解得 24. 已知：如图，是的两条直径，E为半径上一点（不与点O，C重合），作交于点F，过点F，D分别作的垂线，垂足为点H，G，连接． （1）当点E是的中点时，求的度数； （2）当时，求的值； （3）求证：． 【答案】（1）的度数为； （2）； （3）见解析． 【解析】 【分析】（1）推出是线段的垂直平分线，得到，证明是等边三角形，据此即可求解； （2）设，，，设的半径为，则，在中，利用勾股定理求得，在中，利用勾股定理求得，据此求解即可； （3）延长交于点，延长交于点，延长交于点，连接，，，，利用垂径定理，三角形的中位线定理得到，利用垂径定理得到，再利用四边形的内角和定理和邻补角的性质得到，再利用相等的圆心角所对的弧相等的性质，等弧对等弦的性质得到则结论可得． 【小问1详解】 解：连接，， ∵，点E是的中点， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴的度数为； 【小问2详解】 解：∵， ∴设，，，设的半径为， ∴， 在中，，即， 解得， 在中，， ∴； 【小问3详解】 证明：延长交于点，延长交于点，延长交于点，连接，，，，如图， ∵， ∴， ∵为直径，， ∴， ∴为的中位线， ∴， ∵为直径，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，矩形的判定与性质，三角形的中位线定理，添加适当的辅助线和利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$