第四章 指数函数与对数函数 章末检测-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2024-2025学年郑州市中牟高中高一上学期数学 第四章　指数函数与对数函数章末检测 测试时间：120分钟　满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若＝，则(　　) A．a∈R B．a＝0 C．a> D．a≤ 2．设函数f(x)＝，则f(－2)＋f(log210)＝(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A．4 B．5 C．6 D．7 3．函数f(x)＝ln x＋3x－1－6的零点所在区间为(　　) A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) 4．如图是根据原卫生部公布的《中国7岁以下儿童生长发育参照标准》绘制的我国7岁以下女童身高的中位数散点图，则下列可近似刻画身高y(单位：cm)随年龄x变化规律的函数模型是(　　) A．y＝mx＋n(m>0) B．y＝m＋n(m>0) C．y＝max＋n(m>0，a>1) D．y＝mlogax＋n(m>0，a>1) 5．已知函数f(x)＝是(1，＋∞)上的减函数，则实数a的取值范围是(　　) A． B． C． D． 6．若函数f(x)＝loga(x＋1)＋2(a>0且a≠1)的图象恒过定点P，则函数g(x)＝e(m＋1)x2－nx的单调递增区间为(　　) A． B． C． D． 7．若方程x2＋ ln x－4＝0在区间(a，b)(a，b是整数，且b－a＝1)上存在一个实数根，则a＋b＝(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 8．已知2 023a＝2 035，2 035b＝2 023，c＝log2 0502 023，则(　　) A．ac<bc B．ca<cb C．logac>logbc D．logca>logcb 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分．若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分． 9．若logab<0，则函数f(x)＝ax＋b的大致图象可以是(　　) 10．已知函数f(x)＝ln x＋ln (2－x)，则(　　) A．f(x)的定义域为(0，2) B．f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减 C．y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称 D．y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称 11．已知函数f(x)＝若函数y＝f(x)－m有三个零点x1，x2，x3，且x1<x2<x3，则(　　) A．1<m≤4 B．－≤x3<－ C．函数f(x＋1)的增区间为[－2，－1] D．x＋x＋logm的最小值为8＋ 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知函数f(x)＝ax－1＋1(a>0，a≠1)的图象恒过点A，试写出一个同时满足下列条件的对数型函数g(x)的解析式：________． ①图象恒过点A；②是偶函数；③在(0，＋∞)上单调递减． 13．函数f＝－ln x＋2的零点在区间，k∈Z，则k＝__________． 14．设函数f(x)＝，则函数f(x)的单调递增区间为________．若关于x的方程f2(x)－af(x)＋2＝0恰有6个不同的实数解，则实数a的取值范围为________．(本题第一空2分，第二空3分) 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)计算题： (1)(0.027)－－＋－(－1)0； (2)2log23＋log2－lg ＋lg 25－lg 8－ln . 16．(15分)已知函数f(x)＝且点(4，2)在函数f(x)的图象上． (1)求函数f(x)的解析式，并在图中的直角坐标系中画出函数f(x)的图象； (2)若方程f(x)－2m＝0有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围． 17．(15分)已知f(x)＝9x－2×3x＋4，x∈[－1，2]. (1)设t＝3x，x∈[－1，2]，求t的最大值与最小值； (2)求f(x)的最大值与最小值． 18．(17分)2023年3月22日17时09分，我国在酒泉卫星发射中心使用快舟一号甲运载火箭，成功将天目一号气象星座03～06星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．受此激励，某同学对航天知识产生了浓厚的兴趣．通过查阅资料，他发现在不考虑气动阻力和地球引力等造成的影响时，火箭是目前唯一能使物体达到宇宙速度，克服或摆脱地球引力，进入宇宙空间的运载工具．早在1903年齐奥尔科夫斯基就推导出火箭的最大理想速度公式：v＝ωln ，被称为齐奥尔科夫斯基公式，其中ω为喷流相对火箭的速度，m0和mk分别是火箭初始质量和发动机熄火(推进剂用完)时的质量，被称为火箭的质量比． (1)某火箭的初始质量为160吨，喷流相对火箭的速度为2千米/秒，发动机熄火时的火箭质量为40吨，求该火箭的最大理想速度(保留2位有效数字)； (2)根据现在的科学水平，通常火箭的质量比不超过10.如果喷流相对火箭的速度为2千米/秒，请判断该火箭的最大理想速度能否超过第一宇宙速度7.9千米/秒，并说明理由． (参考数据：ln 2≈0.69) 19．(17分)设m为给定的实常数，若函数y＝f在其定义域内存在实数x0，使得f＝f＋f成立，则称函数f为“G函数”． (1)若函数f＝2x为“G函数”，求实数x0的值； (2)证明：函数h＝2x＋x2为“G函数”； (3)若函数f＝lg 为“G函数”，求实数a的取值范围． 第四章　指数函数与对数函数 1．D　[由＝＝＝，可得1－2a≥0，即a≤.] 2．D　[函数f(x)＝，log210>log22＝1， 所以f(－2)＋f(log210)＝log24＋2log210－1＝2＋2log25＝2＋5＝7.故选D.] 3．C　[f(1)＝ln 1＋31－1－6＝－5<0，f(2)＝ln 2＋32－1－6＝ln 2－3<0，f(3)＝ln 3＋33－1－6＝ln 3＋3>0，f(x)＝ln x＋3x－1－6为(0，＋∞)上的连续函数，且单调递增，由零点存在定理得f(x)＝ln x＋3x－1－6的零点所在区间为(2，3)，故选C.] 4．B　[A选项，由散点图知身高y随年龄x变化不是线性增长，故A错误；C选项，指数函数模型中y随x增长越来越快，与图象不符合，故C错误；D选项，对数函数模型在x＝0时没有意义，故D错误；B选项符合散点图中y随x增长越来越慢，且在x＝0时有意义，故选B.] 5．C　[由题意得，解得0<a≤，故选C.] 6．A　[在函数f(x)＝loga(x＋1)＋2(a>0且a≠1)中，令x＋1＝1，得x＝0，f(0)＝2，因此函数f(x)的图象恒过定点(0，2)，依题意，m＝0，n＝2，函数g(x)＝ex2－2x定义域为R， 令u＝x2－2x，函数u＝x2－2x在(1，＋∞)上单调递增，在(－∞，1)上单调递减，而函数y＝eu在R上递增， 因此函数g(x)在(1，＋∞)上单调递增，在(－∞，1)上单调递减， 所以函数g(x)＝e(m＋1)x2－nx的单调递增区间为(1，＋∞).故选A.] 7．A　[令f(x)＝x2＋ln x－4，易知f(x)在(0，＋∞)上为增函数，又f(1)＝－3<0，f(2) ＝ln 2>0，由零点存在定理，知存在唯一一个x0∈(1，2)，使得f(x0)＝0，此时a＝1，b＝2，满足b－a＝1，所以a＋b＝3.] 8．B　[a＝log2 0232 035>log2 0232 023＝1，b＝log2 0352 023<log2 0352 035＝1.因为b＝，c＝，且log2 0231＝0<log2 0232 035<log2 0232 050，所以b>c>0，即a>1>b>c>0.由幂函数的性质可知，ac>bc，故A错误；由指数函数的性质可知，ca<cb，故B正确；因为logbc>logb1＝0，logac<loga1＝0，所以logac<logbc，故C错误；由对数函数的性质可知，logca<logcb，故D错误．故选B.] 9．BC　[logab<0＝loga1，则当0<a<1时，y＝logax在定义域内单调递减，∴b>1，此时f(x)＝ax＋b>1，且f(x)在定义域内单调递减，B成立，D错误；当a>1时，y＝logax在定义域内单调递增，∴0<b<1，f(x)在定义域内单调递增，可x趋近于－∞时，f(x)趋近于b，A错误，C成立．故选BC.] 10．ABC　[要使f(x)＝ln x＋ln (2－x)有意义，则，解得0<x<2，所以f(x)的定义域为(0，2)，所以A正确；f(x)＝ln [x(2－x)]＝ln [－(x－1)2＋1]，由复合函数的单调性知，函数f(x)＝ln x＋ln (2－x)在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，所以B正确；f(1－x)＝ln (1－x)＋ln (x＋1)，f(1＋x)＝ln (x＋1)＋ln (1－x)，所以f(1－x)＝f(1＋x)，所以y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以C正确；f＝ln ＋ln ＝ln ，f＝ln ＋ln ＝ln ，所以f＝f＝ln ，所以D错误．故选ABC.] 11. ABD　[如图所示， 对于A，方程f＝m有三个解⇔y＝f与y＝m有3个交点，从图中可以看出A正确； 对于B，令log＝4得x＝－，即B点的坐标为，令log ＝1得x＝－，即C点的坐标为，由图可知x3的范围应该介于B，C之间，可以取B点，不能取C点，所以－≤x3<－，故B正确； 对于C，f的增区间为，所以f的增区间为，故C错误； 对于D，x1，x2关于x＝－2对称，所以x1＋x2＝－4，m＝4＝4，令4＝4得x＝－3或x＝－1，由图可知x1∈，x＋x＋logm＝x＋＋log4(x1＋2)2＝2＋＋8，2＋＋8≥2＋8＝8＋， 当2＝时，即x1＝－－2∈时成立，故D正确．故选ABD.] 12．[解析]　函数f(x)＝ax－1＋1中，令x－1＝0，解得x＝1，f(1)＝a0＋1＝2，所以f(x)的图象恒过点A(1，2).取g(x)＝log|x|＋2，则g(1)＝2，满足条件①；g(x)＝g(－x)，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，则g(x)是偶函数，满足条件②；易知g(x)在(0，＋∞)上单调递减，满足条件③.故答案可以为g(x)＝log|x|＋2. [答案]　g(x)＝log|x|＋2(答案不唯一) 13．[解析]　由题意知，函数y＝，y＝－ln x在(0，＋∞)上单调递减， 所以函数f(x)＝－ln x＋2在(0，＋∞)上连续且单调递减， 又f(e2)＝－ln e2＋2＝>0，f(e3)＝－ln e3＋2＝－1<0， 所以ff<0，则函数f(x)的零点分布在区间(e2，e3)上， 又因为函数f(x)的零点在区间(ek，ek＋1)(k∈Z)上，所以k＝2. [答案]　2 14．[解析]　 作出f(x)的图象如图所示，由图可知f(x)的单调递增区间为(－∞，0]，[1，＋∞).令f(x)＝t，因为f2(x)－af(x)＋2＝0恰有6个不同的实数解，所以g(t)＝t2－ at＋2＝0在区间(1，2]上有2个不同的实数解，因此，解得2<a<3. [答案]　(－∞，0]，[1，＋∞)　(2，3) 15．[解]　(1)原式＝－49＋－1＝－50＋＝－45. (2)原式＝3－3＋lg －＝1－＝－. 16．[解]　(1)∵点(4，2)在函数f(x)的图象上， ∴f(4)＝loga4＝2， ∴a＝2， ∴f(x)＝. 函数f(x)的图象如图所示． (2)∵方程f(x)－2m＝0有两个不相等的实数根， ∴直线y＝2m与函数y＝f(x)的图象有两个不同的交点． 结合图象可得 2m≤2，解得m≤1， ∴实数m的取值范围为(－∞，1]. 17．[解]　(1)∵x∈[－1，2]，函数t＝3x在[－1，2]上单调递增，故有≤t≤9，故t的最大值为9，t的最小值为. (2)设t＝3x，由f(x)＝9x－2×3x＋4，即y＝t2 －2t＋4＝(t－1)2＋3，可得此二次函数的对称轴为t＝1，且≤t≤9， 故当t＝1即x＝0时，函数f(x)有最小值3，当t＝9即x＝2时，函数f(x)有最大值67. 18．[解]　(1)由题意，ω＝2，m0＝160，mk＝40， ∴v＝ωln＝2×ln ＝2ln 4＝4ln 2≈2.8， ∴该火箭的最大理想速度为2.8千米/秒． (2)∵≤10，ω＝2， ∴v＝ωln≤2ln 10. ∵e7.9>27.9>27＝128， ∴7.9＝ln e7.9>ln 128>ln 100＝2ln 10， 即vmax＝2ln 10<7.9. ∴该火箭的最大理想速度不能超过第一宇宙速度7.9千米/秒． 19．[解]　(1)由f(x)＝2x为“G函数”，得f＝f＋f(2)，即2x0＋2＝2x0＋22， 解得x0＝log2，故实数x0的值为log2. (2)证明：由h＝2x＋x2，则h＝2x0＋1＋，h＋h＝2x0＋x＋3， 令2x0＋1＋＝2x0＋x＋3，得2x0＝－2x0＋2，设y＝2x，g(x)＝－2x＋2, 如图可知，两函数图象有一个交点，即存在实数x0，使得h＝h＋h成立， 所以函数h＝2x＋x2为“G函数”． (3)函数f＝lg 有意义，则a>0，定义域为R. 因为函数f＝lg 为“G函数”，所以存在实数x0使得f＝f＋f成立， 即存在实数x0使得lg ＝lg ＋lg ， 所以存在实数x0使得＝a成立， 即(a－2)x＋2ax0＋2a－2＝0， 所以当a＝2时，x0＝－，满足题意； 当a≠2时，Δ＝4a2－4(a－2)(2a－2)≥0，即a2－6a＋4≤0，解得3－≤a≤3＋且a≠2， 所以实数a的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $$