精品解析：安徽省六安市裕安区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题

2024—2025学年度第一学期期末考试八年级数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 一次函数y=2x-b的图象经过两个点A(-1，y1)和B(2，y2)，则y1，y2的大小关系是（ ） A. y1>y2 B. y1<y2 C. 当b>0时，y1>y2 D. 当b<0时，y1>y2 3. 现有两根木棒，它们的长分别是20和30，若不改变木棒的长短，要钉成一个三角形木架，则应在下列四根木棒中选取（ ） A. 9的木棒 B. 36的木棒 C. 50的木棒 D. 60的木棒 4. 如图，已知，下列条件中不能判定的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题中，真命题是（ ） A. 1的平方根是±1 B. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C. 三角形的外角大于任何一个内角 D. 垂直于同一条直线的两条直线互相平行 6. 如图，某电信公司手机的收费标准有两类，已知每月应缴费用（元）与通话时间（分）之间的关系如图所示，当通话时间为分钟时，按这两类收费标准缴费的差为（　　） A. 30元 B. 20元 C. 15元 D. 10元 7. 如图，将一张长方形纸片斜折过去，使顶点A落在处，为折痕，然后再把折过去，使之与在同一条直线上，折痕为，若，则的度数（ ） A. B. C. D. 8. 已知△ABC的内角分别为∠A、∠B、∠C，下列能判定△ABC是直角三角形的条件是（ ） A. ∠A=2∠B=3∠C B. ∠C=2∠B C. ∠A+∠B=∠C D. ∠A：∠B：∠C= =3：4：5 9. 如图所示，在四边形ABCD中，，，，，在AD上找一点P，使的值最小；则的最小值为（ ） A. 4 B. 3 C. 5 D. 6 10. 如图．在平面直角坐标系中，点，，，…和，，，…分别在直线和x轴上，，，，…都是等腰直角三角形，如果点，那么点的纵坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11. 函数y＝中，自变量x的取值范围是_______． 12. 命题“如果a+b=0，那么a，b互为相反数”的逆命题为____________________________. 13. 把函数向左平移3个单位，平移后的直线解析式为______． 14. 如图, 在 中, ．点 在直线 上, 动点 从 点出发 沿 的路径向终点 运动; 动点 从 点出发沿 路径向终点 运动．点 和 点 分别以每秒 和 的运动速度同时开始运动, 其中一点到达终点时另一点也停 止运动, 分别过点 和 作 直线 于 直线 于 ．当点 运动时间为___________秒时, 与 全等． 三、解答题（本大题共9小题，共90分） 15. 已知y与x+3成正比例，且x=3时，y=12． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）当x=-2时，求对应的函数值y． 16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10网格中，已知ABC的顶点均为网格线的交点． （1）将ABC先向下平移7个单位长度，再向左平移6个单位长度得到A1B1C1，画出A1B1C1； （2）画出A1B1C1关于直线l成轴对称的A2B2C2． 17. 如图，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．D为线段AC上任一点，连接BD，过C点作且AD=CE，试说明BD和AE之间的关系，并证明． 18. 如图，一次函数的图象分别与轴，轴的正半轴交于点、，一次函数的图象与直线交于点，且交于轴于点． （1）求的值及点、的坐标； （2）求的面积； （3）若点是轴上的一个动点，当时，求出点的坐标． 19. 已知：如图，在ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边BC，AC上，AD＝AE． （1）若∠BAD＝30°，则∠EDC＝ °；若∠EDC＝20°，则∠BAD＝ °． （2）设∠BAD＝x，∠EDC＝y，写出y与x之间的关系式，并给出证明． 20. 如图，已知：等边三角形ABC，点D是AB的中点，BC⊥DE，垂足为E，求证：BC=4BE 21. 定义：关于x的一次函数y＝ax+b与y＝bx+a（ab≠0）叫做一对交换函数，例如：一次函数y＝3x+4与y＝4x+3就是一对交换函数． （1）一次函数y＝2x﹣b的交换函数是　 　； （2）当b≠﹣2时，（1）中两个函数图象交点的横坐标是　 　； （3）若（1）中两个函数图象与y轴围成的三角形的面积为4，求b的值． 22. 甲，乙两厂积极生产某种物资共500吨，乙厂的生产量是甲厂的2倍少100吨，这批防疫物资将运往地240吨，地260吨，运费如下：（单位：吨） 目的地 生产厂 甲 20 25 乙 15 24 （1）求甲，乙两厂各生产了这批物资多少吨？ （2）设这批物资从乙厂运往地吨，全部运往，两地的总运费为元，求与之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案． 23. （1）【K图横型建立】 如图1，在等腰直角三角形中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E．求证：； （2）【模型应用】 ①如图2，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线绕着点A逆时针旋转45°至直线，求直线的函数表达式； ②如图3，在平面直角坐标系中，点，作轴于点A，作轴于点C，P是线段上的一个动点，点Q是直线上的动点且在第一象限内．问点A，P，Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出此时点Q的坐标，若不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期期末考试八年级数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了点的坐标，解答本题的关键是掌握好四个象限的点的坐标的特征； 根据象限点的特征，第一象限正正，第二象限负正，第三象限负负，第四象限正负，即可求解． 【详解】解：因为点的横坐标是正数，纵坐标是负数， 所以点在平面直角坐标系的第四象限． 故选：D 2. 一次函数y=2x-b的图象经过两个点A(-1，y1)和B(2，y2)，则y1，y2的大小关系是（ ） A. y1>y2 B. y1<y2 C. 当b>0时，y1>y2 D. 当b<0时，y1>y2 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数的性质 时，y随x增大而增大，来解答即可． 【详解】解：∵在一次函数y＝2x-b中，k＝2＞0， ∴y随x的增大而增大， ∵， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了比较一次函数函数值的大小，解题关键是掌握一次函数的性质． 3. 现有两根木棒，它们的长分别是20和30，若不改变木棒的长短，要钉成一个三角形木架，则应在下列四根木棒中选取（ ） A. 9的木棒 B. 36的木棒 C. 50的木棒 D. 60的木棒 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形中“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，进行分析得到第三边的取值范围；再进一步找到符合条件的数值． 【详解】解：根据三角形的三边关系，得 第三边应大于两边之差，即30-20=10；而小于两边之和，即30+20=50． 只有36符合条件． 故选：B． 【点睛】本题利用了三角形中三边的关系求解，掌握三边关系是解题的关键. 4. 如图，已知，下列条件中不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即，直角三角形可用定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．根据三角形全等的判定定理：逐一判断即可． 【详解】解：A、， ，故A选项不符合题意； B、∵， ∴， ， ，故B选项不符合题意； C、∵ ， ∴，故C选项不符合题意； D、，，不能判断，故D选项符合题意， 故选：D． 5. 下列命题中，真命题是（ ） A. 1的平方根是±1 B. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C. 三角形的外角大于任何一个内角 D. 垂直于同一条直线的两条直线互相平行 【答案】A 【解析】 【分析】真命题是指正确的命题，根据题目依次分析出正确的命题即可得出答案． 【详解】A．1的平方根是±1，原命题为真命题，符合题意； B．两条平行线被第三条直线所截时，同位角相等，故原命题是假命题，不符合题意； C．三角形的外角大于任何一个内角是假命题，当三角形为钝角三角形时，外角小于内角，不符合题意； D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故原命题是假命题，不符合题意． 故选A． 【点睛】本题借真假命题考查了平方根，平行线的性质和判定，三角形的外角定义，理解并运用概念是本题的关键． 6. 如图，某电信公司手机的收费标准有两类，已知每月应缴费用（元）与通话时间（分）之间的关系如图所示，当通话时间为分钟时，按这两类收费标准缴费的差为（　　） A. 30元 B. 20元 C. 15元 D. 10元 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，待定系数法求得解析式，分别令，求得是的值，进而即可求解． 【详解】解：设类收费的解析式为，代入 ，， 得， 解得， ∴， 类收费的解析式为，代入， 得， 解得， ∴， ∴当时，，， ∴（元）， 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求解析式，求得解析式是解题的关键． 7. 如图，将一张长方形纸片斜折过去，使顶点A落在处，为折痕，然后再把折过去，使之与在同一条直线上，折痕为，若，则的度数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，运用折叠的性质及各角间的关系是解答的关键．由折叠的性质及的度数，即可求得结果． 【详解】解：由折叠的性质得：，， ∵， ∴， 故选：A． 8. 已知△ABC的内角分别为∠A、∠B、∠C，下列能判定△ABC是直角三角形的条件是（ ） A. ∠A=2∠B=3∠C B. ∠C=2∠B C. ∠A+∠B=∠C D. ∠A：∠B：∠C= =3：4：5 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理依次计算判断． 【详解】解：A、设∠C=2x，则∠B=3x，∠A=6x， ∵， ∴， 解得， ∴∠A=6x=， ∴△ABC不是直角三角形，故该选项不符合题意； B、当∠C=20°，∠B=10°时符合题意，但是无法判断△ABC是直角三角形， 故该选项不符合题意； C、∵∠A+∠B=∠C，， ∴，即△ABC是直角三角形， 故该选项符合题意； D、设∠A=3x，∠B=4x，∠C=5x， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴△ABC不是直角三角形， 故该选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查了三角形内角和定理，熟记三角形内角和为180度并应用是解题的关键． 9. 如图所示，在四边形ABCD中，，，，，在AD上找一点P，使的值最小；则的最小值为（ ） A. 4 B. 3 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】先作出点C关于AD的对称点，判断出CC'=BC，进而判断出∠C'=30°，再构造出直角三角形，利用含30°角的直角三角形的性质即可得出结论． 【详解】解∶如图，延长CD至C'，使C'D=CD， ∵∠ADC=90°，C'D=CD， ∴点C'与点C关于AD对称， 连接C'B交AD于P'，此时P'C'+BP'=BC'最小， ∵∠A=∠ADC=90° ∴CD//AB， ∴∠C'=∠ABC'，∠BCC'=180°-∠ABC= 120°， ∵C' D=CD，∠ADC=90° ∴CC' =2CD， ∵BC=2CD， ∴CC' =BC， ∴∠C'=∠CBC'， ∴∠C'=∠ABC'=∠CBC'=30°， 过点B作BE⊥CD交DC的延长线于E， 则BE=AD=2， 在Rt△BEC'中，∠C'=30°， BE=2， ∴BC' =2BE=4， 即PB+ PC的值最小值为4， 故选∶A． 【点睛】此题主要考查了轴对称的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质，判断出CC'= BC是解本题的关键． 10. 如图．在平面直角坐标系中，点，，，…和，，，…分别在直线和x轴上，，，，…都是等腰直角三角形，如果点，那么点的纵坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形以及规律型：点的坐标，通过运算发现纵坐标的规律是解题的关键．设点，，，…，坐标，结合函数解析式，寻找纵坐标规律，进而解题即可． 【详解】解：过作轴于，过作轴于，过作轴于，…， 如图， ∵在直线上， ∴， ∴； 设，，，，…， ， 则有， ，，…， 又∵，，，…，都是等腰直角三角形，轴，轴，轴，…， ∴，，，…， ∴，，…， ， 将点的坐标依次代入直线解析式得到： ， ， ， …，， 又∵ ， ∴， ， ，…，； 故选：A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11. 函数y＝中，自变量x的取值范围是_______． 【答案】x≥﹣1． 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0，列出不等式组，计算即可． 【详解】由题意得，x+1≥0， 解得，x≥﹣1， 故答案为：x≥﹣1． 【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数非负性，分母不等于0，是解题的关键． 12. 命题“如果a+b=0，那么a，b互为相反数”的逆命题为____________________________. 【答案】如果a，b互为相反数，那么a+b=0 【解析】 【分析】交换原命题的题设与结论即可得到其逆命题. 【详解】解：逆命题为：如果a，b互为相反数，那么a+b=0. 故答案为：如果a，b互为相反数，那么a+b=0. 【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了逆命题． 13. 把函数向左平移3个单位，平移后的直线解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数图象的平移，根据平移的性质“左加右减自变量，上加下减常数项”，即可找出平移后的直线解析式． 【详解】解：由题意，得 ． 故答案为：． 14. 如图, 在 中, ．点 在直线 上, 动点 从 点出发 沿 的路径向终点 运动; 动点 从 点出发沿 路径向终点 运动．点 和 点 分别以每秒 和 的运动速度同时开始运动, 其中一点到达终点时另一点也停 止运动, 分别过点 和 作 直线 于 直线 于 ．当点 运动时间为___________秒时, 与 全等． 【答案】2或6##6或2 【解析】 【分析】对点P和点Q是否重合进行分类讨论，通过证明全等即可得到结果； 【详解】解：如图1所示： 与全等， ， ， 解得∶； 如图2所示： 点与点重合， 与全等， ， 解得∶； 故答案为∶或． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，准确分析计算是解题的关键． 三、解答题（本大题共9小题，共90分） 15. 已知y与x+3成正比例，且x=3时，y=12． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）当x=-2时，求对应的函数值y． 【答案】（1）y=2x+6； （2）y=2； 【解析】 【分析】（1）根据题意可设 ，再由x=3时，y=12，可得 ，即可求解； （2）把x=-2代入，即可求解． 【小问1详解】 解：∵y与x+3成正比例， ∴可设 ， ∵x=3时，y=12， ∴， 解得： ， ∴y与x之间的函数表达式为 ； 【小问2详解】 解：当x=-2时， ． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，求函数值，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式的基本步骤是解题的关键． 16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10网格中，已知ABC的顶点均为网格线的交点． （1）将ABC先向下平移7个单位长度，再向左平移6个单位长度得到A1B1C1，画出A1B1C1； （2）画出A1B1C1关于直线l成轴对称的A2B2C2． 【答案】（1）如图，△A1B1C1为所作； （2）如图，△A2B2C2为所作． 【解析】 【分析】（1）利用网格特点和平移的性质画出A、B、C的对应点A1、B1、C1即可； （2）利用网格特点和轴对称的性质画点A1、B1、C1的对称点A2、B2、C2即可． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查轴对称、图像的平移的性质，找出对称点是作图的关键． 17. 如图，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．D为线段AC上任一点，连接BD，过C点作且AD=CE，试说明BD和AE之间的关系，并证明． 【答案】 BD=AE，AE⊥BD； 证明：∵，∠BAC=90°， ∴∠ACE=90°， 在△ABD和△CAE中， ∴△ABD≌△CAE（SAS）， ∴BD=AE， ∴∠ABD+∠EAB=∠CAE+∠EAB=90° ∴ ∴AE⊥BD ∴BD=AE，AE⊥BD． 【解析】 【分析】先证∠ABD=∠CAE，再证△ABD≌△CAE即可得出答案． 【详解】略 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 18. 如图，一次函数的图象分别与轴，轴的正半轴交于点、，一次函数的图象与直线交于点，且交于轴于点． （1）求的值及点、的坐标； （2）求的面积； （3）若点是轴上的一个动点，当时，求出点的坐标． 【答案】（1），，； （2）2 （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）根据函数值，可得相应自变量的值，根据自变量的值，可得相应的函数值； （2）根据待定系数法，可得的解析式，根据函数值为零，可得点坐标，根据三角形的面积公式，可得答案； （3）设，可得，然后根据时，即可求出点的坐标． 【小问1详解】 解：一次函数的图象经过点， 得， 解得， 一次函数的图象分别与轴，轴的正半轴交于点、， 当时，， 解得，即， 当时，，即， ，，； 【小问2详解】 解：把点一次函数，得，解得， ， 当时，，即． ， ； 【小问3详解】 解：点是轴上的一个动点，设， ， ， ， 或， 点的坐标为或． 【点睛】本题考查了两条直线相交或平行问题，一次函数的性质，（1）利用了自变量与函数值的对应关系，（2）利用了三角形的面积公式，（3）利用了分类讨论的方法，掌握一次函数的性质是解题关键． 19. 已知：如图，在ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边BC，AC上，AD＝AE． （1）若∠BAD＝30°，则∠EDC＝ °；若∠EDC＝20°，则∠BAD＝ °． （2）设∠BAD＝x，∠EDC＝y，写出y与x之间的关系式，并给出证明． 【答案】（1）15，40； （2）y与x之间的关系式为y＝x， 证明：设∠BAD＝x，∠EDC＝y， ∵AB＝AC，AD＝AE， ∴∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED， ∵∠AED＝∠C+∠EDC＝∠B+y， ∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠EDC， ∴∠B+x＝∠B+y+y， ∴2y＝x， ∴y＝x． 【解析】 【分析】（1）设∠EDC＝m，则∠B＝∠C＝n，根据∠ADE＝∠AED＝m+n，∠ADC＝∠B+∠BAD即可列出方程，从而求解． （2）设∠BAD＝x，∠EDC＝y，根据等腰三角形的性质可得∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED＝∠C+∠EDC＝∠B+y，由∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠EDC即可得∠B+x＝∠B+y+y，从而求解． 【详解】解：（1）设∠EDC＝m，∠B＝∠C＝n， ∵∠AED＝∠EDC+∠C＝m+n， 又∵AD＝AE， ∴∠ADE＝∠AED＝m+n， 则∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝2m+n， 又∵∠ADC＝∠B+∠BAD， ∴∠BAD＝2m， ∴2m+n＝n+30，解得m＝15°， ∴∠EDC的度数是15°； 若∠EDC＝20°，则∠BAD＝2m＝2×20°＝40°． 故答案是：15；40； （2）略 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质以及一元一次方程的应用，灵活运用等腰三角形的性质成为解答本题的关键． 20. 如图，已知：等边三角形ABC，点D是AB的中点，BC⊥DE，垂足为E，求证：BC=4BE 【答案】 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=60°，AB= BC， ∵DE⊥BC， ∴∠DEB=90°，∠BDE=30°， ∴BD=2BE， ∵点D是AB的中点， ∴AB=2BD， ∴BC= AB=4BE． 【解析】 【分析】利用含30度角的直角三角形的性质证得BD=2BE，由已知得到AB=2BD，即可证BC=4BE． 【详解】略 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，能够得出BD=2BE是解答此题的关键． 21. 定义：关于x的一次函数y＝ax+b与y＝bx+a（ab≠0）叫做一对交换函数，例如：一次函数y＝3x+4与y＝4x+3就是一对交换函数． （1）一次函数y＝2x﹣b的交换函数是　 　； （2）当b≠﹣2时，（1）中两个函数图象交点的横坐标是　 　； （3）若（1）中两个函数图象与y轴围成的三角形的面积为4，求b的值． 【答案】（1）y＝﹣bx+2；（2）x＝1；（3）6或-10 【解析】 【分析】（1）根据题目中的交换函数的定义进行求解，即可写出一次函数y＝2x﹣b的交换函数； （2）根据题意和（1）中的结果，可以求得当b≠﹣2时，（1）中两个函数图象交点的横坐标； （3）根据题意和（1）、（2）的结果，可以求得两函数图象与y轴的交点坐标及与y轴围成的三角形的高，则利用三角形面积公式建立关于b的方程，计算后即可得出b的值． 【详解】解：（1）由题意可得： 一次函数y＝2x﹣b的交换函数是y＝﹣bx+2， 故答案为：y＝﹣bx+2； （2）当一次函数y＝2x﹣b与交换函数y＝﹣bx+2相交时， 则2x﹣b＝﹣bx+2，解得x＝1， 即当b≠﹣2时，（1）中两个函数图象交点的横坐标是x＝1， 故答案为：x＝1； （3）函数y＝2x﹣b与y轴的交点是（0，﹣b），函数y＝﹣bx+2与y轴的交点为（0，2）， 由（2）知，当b≠﹣2时，（1）中两个函数图象交点的横坐标是x＝1， ∵（1）中两个函数图象与y轴围成的三角形的面积为4， ∴＝4， 解得b＝6或b＝﹣10， 即b的值是6或﹣10． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质、三角形的面积等知识，明确题意，熟练掌握一次函数的图象与性质是解答此题的关键． 22. 甲，乙两厂积极生产某种物资共500吨，乙厂的生产量是甲厂的2倍少100吨，这批防疫物资将运往地240吨，地260吨，运费如下：（单位：吨） 目的地 生产厂 甲 20 25 乙 15 24 （1）求甲，乙两厂各生产了这批物资多少吨？ （2）设这批物资从乙厂运往地吨，全部运往，两地的总运费为元，求与之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案． 【答案】（1）甲厂生产这批物资200吨，乙厂生产这批物资300吨 （2）甲厂200吨全部运往地；乙厂运往地240吨，运往地60吨 【解析】 【分析】（1）设这批防疫物资甲厂生产了a吨，乙厂生产了b吨，根据题意列方程组解答即可； （2）根据题意得出y与x之间的函数关系式以及x的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可； 【小问1详解】 解：设甲厂生产这批物资吨，乙厂生产这批物资吨；由题意，得 ，解得，， 所以甲厂生产这批物资200吨，乙厂生产这批物资300吨． 【小问2详解】 解：∵ ， ∵， ∴， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∴当时运费最小． 所以总运费的方案要是：甲厂200吨全部运往地；乙厂运往地240吨，运往地60吨． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用、一次函数的最值问题，解答本题的关键在于读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程和不等式组求解． 23. （1）【K图横型建立】 如图1，在等腰直角三角形中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E．求证：； （2）【模型应用】 ①如图2，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线绕着点A逆时针旋转45°至直线，求直线的函数表达式； ②如图3，在平面直角坐标系中，点，作轴于点A，作轴于点C，P是线段上的一个动点，点Q是直线上的动点且在第一象限内．问点A，P，Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出此时点Q的坐标，若不能，请说明理由． 【答案】（1）证明：∵为等腰直角三角形， ∴，． 又∵，， ∴， 又∵， ∴． 在和中，，，， ∴； ∴，， ∴； （2）①；②或 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，待定系数法求一次函数解析式等知识点，灵活运用全等三角形的性质是解题的关键． （1）利用角的数量关系可求得，，因此可证出，再通过全等三角形对应边相等转化即可； （2）①：过点B作交于C，过C作轴于D，同理可得，利用全等三角形的性质求出C的坐标，再利用待定系数法求的解析式即可； ②设点，同理可得：，利用全等三角形的性质建立方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：①过点B作交于C，过C作轴于D， ∵， ∴为等腰直角三角形， 同理， ∴，， ∵， 令，则， ∴， 令，则， ∴， ∴，， ∴． ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入中， 得 解得，，， 则的解析式：； ②：如图，设点，过作于，交轴于， 则， 当时， 同理可得：， ∴，即， 解得：或， 故：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $