1.3第1课时 平方差公式的认识 课件 -2024—2025学年北师大版七年级数学下册

北师版七年级数学下册 1.3乘法公式 第1课时 平方差公式的认识 第一章 整式的乘除 从前，有一个狡猾的地主，把一块边长为20米的正方形土地租给张老汉种植．第二年，他对张老汉说:“我把这块地的一边减少5米，相邻的另一边增加5米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何?”张老汉一听，觉得好像没有吃亏，就答应道:“好吧.”回到家中，他把这事和邻居们－讲，大家都 说:“张老汉，你吃亏了!”他非常吃惊． 情境导入 你认为张老汉是否吃亏了? 新课导入 计算下列各题： （1）（x + 2）（x – 2） （2）（1 + 3a）（1 – 3a） （3）（x + 5y）（1 – 5y） （4）（2y + z）（2y – z） （1）（x + 2）（x – 2） = x2 – 2x + 2x – 4 = x2 – 4 （2）（1 + 3a）（1 – 3a） = 1 – 3a + 3a – 9a2 = 1 – 9a2 （3）（x + 5y）（x – 5y） （4）（2y + z）（2y – z） = x2 – 5xy + 5xy – 25y2 = x2 – 25y2 = 4y2 – 2yz + 2yz – z2 = 4y2 – z2 观察以上算式及其运算结果， 你有什么发现？ 再举两例验证你的发现. (a + b)(a - b) = a2 - b2 （1）(3m + 1)(3m - 1); （2）(x2 + y)(x2 - y). = 9m2 - 3m + 3m - 1 =9m2 - 1. = x4 - x2y + yx2 - y2 = x4 - y2. ①（x＋1)(x－1) ② (m＋2)(m－2) ③ (2m＋1)(2m－1) ④ (5y＋z)(5y－z） 算一算：看谁算得又快又准. 学习新课 ②（m＋2)(m－2)=m2 －4 ③（2m＋1)(2m－1)=4m2－1 ④（5y＋z)(5y－z)= 25y2－z2 ①（x＋1)(x－1)=x2－1 探索猜想：这些计算结果有什么特点？你发现了什 么规律？ =x2－12 =m2－22 =(2m)2－12 =(5y)2－z2 两数和与这两数差的积,等于这两数的平方的差. (a+b)(a−b)=a2−b2 两数和与这两数差的积,等于它们的平方差. 公式变形: (a−b)(a+b) =a2−b2 (b+a)(−b+a)=a2−b2 总结平方差公式: =(相同项)2-（互为相反数项)2 公式结构理解: 注意：这里的两数可以是两个单项式，也 可以是两个多项式等. (a+b)(a-b) = a2-b2 相同为a 相反为b (1+x)(1-x) (-3+a)(-3-a) (0.3x-1)(1+0.3x) (1+a)(-1+a) 填一填： 多项式×多项式 相同项 相反的项 结果 a b a2-b2 1 x －3 a 12-x2 (-3)2-a2 a 1 a2-12 0.3x 1 ( 0.3x)2-12 (a-b)(a+b) 练一练：口答下列各题： (l)(－a+b)(a+b)=_________. (2)(a－b)(b+a)= __________. (3)(－a－b)(－a+b)= ________. (4)(a－b)(－a－b)= _________. a2－b2 a2－b2 b2－a2 b2－a2 典例精析 例1 利用平方差公式计算： (1) (5＋6x)(5－6x ) (2) (x－2y)(x+2y) (3) (－m+n)(－m－n) 注意：1.先把要计算的式子与公式对照; 2.哪个是a ?哪个是b? 例2 利用平方差公式计算： (1) ( )( ) (2) (ab+8)(ab-8) 合作探究： (a-b)(-a-b)=?你是怎样做的？ 观 看 微 课 要求：1.熟记平方差公式； 2.明确公式的特征， 并会正确运用公 式。 （a + b）（a – b）= a2 – b2 两数和与这两数差的积，等于它们的平方差. 平方差公式 例 1 利用平方差公式计算： （1）（5 + 6x）（5 – 6x）； （2）（x – 2y）（x + 2y）； （3）（– m + n）（– m – n）； 解（1）（5 + 6x）（5 – 6x） = 52 –（6x）2 = 25 – 36x2 （2）（x – 2y）（x + 2y） = x2 –（2y）2 = x2 – 4y2 （3）（– m + n）（– m – n） = （– m）2 – n2 = m2 – n2 (a+b)(a−b)=a2−b2 两数和与这两数差的积,等于它们的平方差. 公式变形: (a−b)(a+b) =a2−b2 (b+a)(−b+a)=a2−b2 总结平方差公式: =(相同项)2-（互为相反数项)2 (1+x)(1-x) (-3+a)(-3-a) (0.3x-1)(1+0.3x) (1+a)(-1+a) 多项式×多项式 相同项 相反的项 结果 a b a2-b2 1 x －3 a 12-x2 (-3)2-a2 a 1 a2-12 0.3x 1 ( 0.3x)2-12 (a-b)(a+b) 练一练：口答下列各题： (l)(－a+b)(a+b)=_________. (2)(a－b)(b+a)= __________. (3)(－a－b)(－a+b)= ________. (4)(a－b)(－a－b)= _________. a2－b2 a2－b2 b2－a2 b2－a2 想一想 （a – b）（– a – b）= ？等于什么？ （a – b）（– a – b） = –（a – b） （a + b） = –（a2 – b2） = b2 – a2 例 2 利用平方差公式计算 （1）（ x – y）（ x + y）； （2）（ab + 8）（ab – 8）. 解 （1）（ x – y）（ x + y）； = （ x）2 – y2； = x2 – y2； （2）（ab + 8）（ab – 8）. = （ab）2 – 82 = a2b2 – 64 拓展 （1）（an + b）（an – b） 解（1）（an + b）（an – b） =（an）2 – b2 = a2n – b2 （2）（a + 1）（a – 1）（a2 + 1） 解（2）（a + 1）（a – 1）（a2 + 1） = （a2 – 1）（a2 + 1） =（a2）2 – 1 = a4 – 1 知1－讲 平方差公式的几种常见变化及应用 变化形式 应用举例 (1)位置变化 (b+a)(－b+a)=(a+b)(a－b)=a2－b2 (2)符号变化 (－a－b)(a－b)=(－b－a)(－b+a) =(－b)2－a2=b2－a2 (3)系数变化 (3a+2b)(3a－2b) =(3a)2－(2b)2 =9a2－4b2 (4)指数变化 (a3 +b2)(a3－b2)=(a3)2－(b2)2 =a6－b4 知1－讲 变化形式 应用举例 (5)增项变化 (a－b+c)(a－b－c)=(a－b)2－c2 (6)连用公式 (a+b)(a－b)(a2+b2)=(a2－b2)(a2+b2)=a4－b4 (7)增因式 变化 (－a－b)(－a+b)(a－b)(a+b) =[(－a)2－b2](a2－b2)=(a2－b2)2 多项式与多项式是如何相乘的？ (x＋3)(x＋5) =x2＋5x＋3x＋15 =x2＋8x＋15. (a+b)(m+n) =am +an +bm +bn 复习巩固 1.下列式子可用平方差公式计算吗? 为什么? 如果能够，怎样计算? (1) (a+b)(-a−b) (2) (a−b)(b−a) (3) (a+2b)(2b+a) (4) -(a−b)(a+b) (5) (-2x+y)(y−2x) (不能) (不能) (不能) ( 能 ) (不能) −(a2−b2)= −a2+b2 计算： （1）（3x+7y）（3x-7y）； （2）（0.2x-0.3）（0.2x+0.3）； （3）（mn-3n）（mn+3n）； 1. 解:（1）原式=（3x）2-（7y）2=9x2-49y2； （2）原式=（0.2x）2-0.32=0.04x2-0.09； （3）原式=（mn）2-（3n）2=m2n2-9n2； 达标检测 计算： （1）（an+b）（an-b）； （2）（a+1）（a-1）（a2+1）. 2. 解:（1）原式=（an）2-b2=a2n-b2； （2）原式=（a2-1）（a2+1）=a4-1． 课堂小结 平方差公式 内容 注意 两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差. 1.符号表示：(a+b)(a－b)=a2－b2 2.紧紧抓住 “一同一反”这一特征,在应用时,只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式;不能直接应用公式的,要经过变形才可以应用. 作业布置： A层：习题1.9 第1题 B层：思考习题1.9 第2题 Lavf57.62.100 $$