基本初等函数、函数与方程学案-2025届高三数学二轮专题复习

05 基本初等函数、函数与方程 【复习目标】 1、考点归纳 (1)二次函数、分段函数、幂函数、指数函数、对数函数的图象性质； (2)以基本初等函数为依托，考查函数与方程的关系、函数零点存在性定理； (3)利用函数解决简单的实际问题. 2、易错易混点归纳 对数运算的前提条件真数大于0容易忽略。 【思维导图】 【重要考点、易错易混点的注释】 1.对数式的运算公式 （1）loga（MN）＝logaM＋logaN；（2）loga＝logaM－logaN； （3）logaMn＝nlogaM；（4）＝N；（5）logaN＝. 注：a，b＞0且a，b≠1，M＞0，N＞0. 2.指数函数与对数函数的图象与性质 指数函数y＝ax（a＞0，a≠1）与对数函数y＝logax（a＞0，a≠1）的图象和性质，分0＜a＜1，a＞1两种情况，当a＞1时，两函数在定义域内都为增函数，当0＜a＜1时，两函数在定义域内都为减函数. 3.函数的零点问题 （1）函数F（x）＝f（x）－g（x）的零点就是方程f（x）＝g（x）的根，即函数y＝f（x）的图象与函数y＝g（x）的图象交点的横坐标； （2）确定函数零点的常用方法：①直接解方程法；②利用零点存在定理；③数形结合，利用两个函数图象的交点求解. 4.常用结论 （1）换底公式的推广：logab·logbc·logcd＝logad（a，b，c均大于0且不等于1，d＞0）； （2）指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx；④y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b＞0.在第一象限内，指数函数y＝ax（a＞0，a≠1）的图象越高，底数越大. （3）对数函数的图象与底数大小的比较 如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数.故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大. 【典例探究】 考点一　基本初等函数的图象与性质 学法指导：基本初等函数性质的应用技巧（1）对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值，当底数a的值不确定时，要注意分a＞1和0＜a＜1两种情况讨论；（2）由指数函数、对数函数与其他函数复合而成的函数，往往通过换元法转化为若干个基本初等函数，然后根据复合函数的性质与相关函数的性质之间的关系进行判断. 【例1】　（多选）已知函数f（x）＝ln ，下列说法正确的是（　　） A.f（x）为奇函数 B.f（x）为偶函数 C.f（x）在（ ，＋∞）上单调递减 D.f（x）的值域为（－∞，0）∪（0，＋∞） 【解析】f（x）＝ln ，令＞0，解得x＞或x＜－，∴f（x）的定义域为（ －∞，－）∪（ ，＋∞），又f（－x）＝ln ＝ln ＝ln（ ）－1＝－ln ＝－f（x），∴f（x）为奇函数，故A正确，B错误；又f（x）＝ln ＝ln（ 1＋），令t＝1＋，t＞0且t≠1，∴y＝ln t，又t＝1＋在（ ，＋∞）上单调递减，且y＝ln t为增函数，∴f（x）在（ ，＋∞）上单调递减，故C正确；∴y＝ln t的值域是（－∞，0）∪（0，＋∞），故D正确. 考点二　指数、对数、幂值的大小比较 学法指导：指数式、对数式、幂值大小的比较方法 解决指数、对数、幂型代数式比较大小问题，首先要比较代数式结构形式的异同，若底数相同，则考虑用指数函数单调性解决；若指数相同，则考虑用幂函数的单调性解决；若底数、指数都不相同，则考虑通过分析代数式的大致范围来比较大小.其次要注意特殊值0，1的应用，有时候要借助其“桥梁”作用来比较大小. 【例2】（1）（2024·武汉四调）记a＝30.2，b＝0.3－0.2，c＝log0.20.3，则（　　） A.a＞b＞c B.b＞c＞a C.c＞b＞a D.b＞a＞c （2）若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则（　　） A.a＞2b B.a＜2b C.a＞b2 D.a＜b2 【解析】（1）因为b＝0.3－0.2＝（）0.2，幂函数y＝x0.2在（0，＋∞）上单调递增，又＞3，所以（）0.2＞30.2＞30＝1，所以b＞a＞1，又对数函数y＝log0.2x在（0，＋∞）上单调递减，所以c＝log0.20.3＜log0.20.2＝1，故b＞a＞1＞c.故选D. （2） 由指数和对数的运算性质可得2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log2b.令f（x）＝2x＋log2x，则f（x）在（0，＋∞）上单调递增.又∵22b＋log2b＜22b＋log2b＋1＝22b＋log2（2b），∴2a＋log2a＜22b＋log2（2b），即f（a）＜f（2b），∴a＜2b.故选B. 考点三 函数的零点 学法指导：判断函数零点个数的方法（1）利用零点存在定理判断； （2）代数法：求方程f（x）＝0的实数根；（3）几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y＝f（x）的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解. 【例3】（1）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（4＋x）＝f（x），当x∈[0，2]时，f（x）＝2x－2，则f（x）在区间（0，8）上零点的个数为（　　） A.2 B.3 C.4 D.5 （2）已知函数f（x）＝有三个零点x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，则x1＋x2＋x3的取值范围是 . 【解析】（1）因为f（4＋x）＝f（x），所以函数的周期为4，当x∈[0，2]时，令f（x）＝2x－2＝0，得x＝1，即f（1）＝0，因为函数是偶函数且周期为4，所以有f（1）＝f（－1）＝f（3）＝f（7）＝f（－3）＝f（5）＝0，所以f（x）在区间（0，8）上零点的个数为4. （2）函数f（x）＝有三个零点x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，设g（x）＝则函数g（x）的图象与直线y＝t的三个交点的横坐标分别为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，作出函数g（x）的图象，如图所示.由图可知1≤t＜4，且x1，x2是关于x的方程－x2－4x－t＝0的两个不等实根，所以x1＋x2＝－＝－4，x3满足－t＝0，即x3＝log2t，因为1≤t＜4，所以log21≤log2t＜log24，即0≤x3＜2.所以－4≤x1＋x2＋x3＜－2，即x1＋x2＋x3的取值范围是[－4，－2）. 【训练检测】 1.　（多选）（2024·乌鲁木齐第二次质量监测）已知函数f（x）＝，g（x）＝，则（　　） A.函数f（x）在R上单调递增 B.函数f（x）g（x）是奇函数 C.函数f（x）与g（x）的图象关于原点对称 D.g（2x）＝f2（x）＋g2（x） 【解析】对于A，因为y＝ex在R上单调递增，y＝－e－x在R上单调递增，所以f（x）＝在R上单调递增，故A正确；对于B，因为f（x）g（x）＝·＝，所以f（－x）g（－x）＝＝－f（x）g（x），所以f（x）g（x）为奇函数，故B正确；对于C，因为f（x）为奇函数，图象关于原点对称，而g（x）为偶函数，图象关于y轴对称，所以f（x）与g（x）的图象不会关于原点对称，故C错误；对于D，f2（x）＋g2（x）＝（）2＋（）2＝＋＝＝g（2x），故D正确.综上，选A、B、D. 2.（2024·江西名校联盟）已知a＞0且a≠1，函数f（x）＝－x在（0，＋∞）的最大值为－3，则f（x）在（－∞，0）的最小值为 【解析】函数f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），关于原点对称，由f（－x）＋f（x）＝＋x＋－x＝2，得f（－x）－1＝－[f（x）－1]，令g（x）＝f（x）－1，则g（－x）＝－g（x），所以函数g（x）为奇函数，因为函数f（x）＝－x在（0，＋∞）的最大值为－3，所以函数g（x）在（0，＋∞）的最大值为－4，所以函数g（x）在（－∞，0）的最小值为4，所以f（x）在（－∞，0）的最小值为4＋1＝5. 3.已知幂函数f（x）＝xn的图象过点（2，8），设a＝f（20.3），b＝f（0.32），c＝f（log20.3），则a，b，c的大小关系是（　　） A.b＜c＜a B.a＜c＜b C.a＜b＜c D.c＜b＜a 【解析】D　因为幂函数f（x）＝xn的图象过点（2，8），所以8＝2n，解得n＝3，即f（x）＝x3，故函数f（x）在R上为增函数.因为20.3＞20＝1，0＜0.32＜0.30＝1，log20.3＜log21＝0，所以a＝f（20.3）＞b＝f（0.32）＞c＝f（log20.3）.故选D. 4.（2024·嘉兴模拟）已知函数f（x）＝log2（x＋1）－＋m在区间（1，3]上有零点，则m的取值范围为（　　） A.（－，0） B.［－，0） C.（－∞，－］∪（0，＋∞） D.（－∞，－）∪（0，＋∞） 【解析】B　由于函数y＝log2（x＋1），y＝m－在区间（1，3]上单调递增，所以函数f（x）在（1，3]上单调递增，由于函数f（x）＝log2（x＋1）－＋m在区间（1，3]上有零点，则即解得－≤m＜0.因此，实数m的取值范围是［－，0），故选B. 5.（2023·全国乙卷文8题）（由函数零点个数求参数）函数f（x）＝x3＋ax＋2存在3个零点，则a的取值范围是（　　） A.（－∞，－2） B.（－∞，－3） C.（－4，－1） D.（－3，0） 【解析】B　由题意知f'（x）＝3x2＋a，要使函数f（x）存在3个零点，则f'（x）＝0要有2个不同的根，则a＜0.令3x2＋a＝0，解得x＝±.令f'（x）＞0，则x＜－或x＞，令f'（x）＜0，则－＜x＜.所以f（x）在（－∞，－）和（，＋∞）上单调递增，在（－，）上单调递减，所以要使f（x）存在3个零点，则即解得＞1，即a＜－3.故选B. 【预习要求】 1、 认真阅读必修一教材p64---p142、熟悉本节课的“复习目标”、“重要考点”、“易混易错点”； 2、 能合本说出指、对、幂函数的相关知识点。 3、能合本说出初等函数知识体系的思维导图。 高三数学 第 1 页（共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$