基本初等函数、函数与方程学案（1）-2025届高三数学一轮复习

基本初等函数、函数与方程（1） 【复习目标】 1.基本初等函数的图象与性质是高考考查的重点，利用函数性质比较大小、解不等式是常见题型. 2.函数零点的个数判断及利用零点个数求参数范围是常考题型，常以压轴题的形式出现. 3.函数模型及应用是近几年高考的热点，通常考查指数函数、对数函数模型． 1、考点归纳 1、(1)指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)互为反函数，其图象关于y＝x对称，它们的图象与性质分0＜a＜1，a＞1两种情况，着重关注两函数图象中的异同； (2)由指数函数、对数函数与其他函数复合而成的函数，其性质的研究往往通过换元法转化为两个基本初等函数的有关性质，然后根据复合函数的性质与相关函数的性质之间的关系进行判断； (3)对于幂函数y＝xα的性质要注意α>0和α<0两种情况的不同．　 2、判断函数在某个区间上是否存在零点的方法 (1)解方程：当函数对应的方程易求解时，可通过解方程判断方程是否有根落在给定区间上； (2)利用零点存在性定理进行判断； (3)画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断． 3．判断函数零点个数的方法 (1)直接求零点：令f(x)＝0，则方程解的个数即为零点的个数； (2)利用零点存在性定理：利用该定理还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点； (3)数形结合法：对于给定的函数不能直接求解或画出图形时，常会通过分解转化为两个能画出图象的函数的交点问题．　 4、解函数应用题的步骤 (1)审题：缜密审题，准确理解题意，分清条件和结论，理清数量关系． (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型． (3)求模：求解数学模型，得出数学结论． (4)反馈：将得到的数学结论还原为实际问题的意义． 2、 易错易混点归纳 构建函数模型解决实际问题的失分点 (1)不能选择相应变量得到函数模型． (2)构建的函数模型有误． (3)忽视函数模型中变量的实际意义． 【典例探究】 考点一 指对幂函数的图象的识别与应用 学法指导：(1)指数函数、对数函数的图象与性质受底数a的影响，解决与指数函数、对数函数有关的问题时，首先要看底数a的取值范围． (2)基本初等函数的图象和性质是统一的，在解题中可相互转化． 【例1】（2023上·全国·高三专题练习）已知函数为常数，其中的图象如图，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． （2023·四川成都·校联考一模）已知函数，则函数的图象的可能是（    ） A． B． C． D． 考点二 基本初等函数的图象与性质 学法指导：能够正确的画出指、对、幂函数的基本图像，说出他们的性质。 【例2】（多选）（2024·河南·模拟预测）已知函数，则（   ） A． B． C． D． （多选）（2023·湖南·校联考模拟预测）已知函数，则（    ） A．的最小值为1 B．， C． D． （2023·江西·统考模拟预测）设，，，则（    ） A． B． C． D． 考点三 反函数及其应用 学法指导：指数函数与对数函数互为反函数。一组反函数的特点：①函数图象关于y=x对称；②若点A（a,b）在原函数图像上，则B（b,a）必在反函数图像上。 （2023上·辽宁沈阳·高一校考阶段练习）设函数存在反函数，且函数的图象过点，则函数的图象一定过点（    ） A． B． C． D． 【训练检测】 1.（2024上·内蒙古呼和浩特·高三统考期末）函数的图象可能为（   ） A．B．C． D． 2.（2024上·云南·高三校联考阶段练习）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3.（2024上·北京通州·高三统考期末）已知函数，实数满足.若对任意的，总有不等式成立，则的最大值为（    ） A． B． C．4 D．6 4.（2023·四川南充·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 5.（多选）（2023上·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）已知函数，则所有正确的结论是（    ） A．函数是增函数 B．函数的值域为 C．曲线关于点对称 D．曲线有且仅有两条斜率为的切线 6.（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数的图象与的图象关于直线对称，且满足，则（    ） A．4 B．2 C．1 D． 高三数学 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$