基本初等函数、函数与方程学案（2）-2025届高三数学一轮复习

基本初等函数、函数与方程（2） 学案 【复习目标】 1.基本初等函数的图象与性质是高考考查的重点，利用函数性质比较大小、解不等式是常见题型. 2.函数零点的个数判断及参数范围是常考题型，常以压轴题的形式出现. 3.函数模型及应用是近几年高考的热点，通常考查指数函数、对数函数模型． 1、考点归纳 1、(1)指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)互为反函数，其图象关于y＝x对称，它们的图象与性质分0＜a＜1，a＞1两种情况，着重关注两函数图象中的异同； (2)由指数函数、对数函数与其他函数复合而成的函数，其性质的研究往往通过换元法转化为两个基本初等函数的有关性质，然后根据复合函数的性质与相关函数的性质之间的关系进行判断； (3)对于幂函数y＝xα的性质要注意α>0和α<0两种情况的不同．　 2、判断函数在某个区间上是否存在零点的方法 (1)解方程：当函数对应的方程易求解时，可通过解方程判断方程是否有根落在给定区间上； (2)利用零点存在性定理进行判断； (3)画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断． 3．判断函数零点个数的方法 (1)直接求零点：令f(x)＝0，则方程解的个数即为零点的个数； (2)利用零点存在性定理：利用该定理还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点； (3)数形结合法：对于给定的函数不能直接求解或画出图形时，常会通过分解转化为两个能画出图象的函数的交点问题．　 4、解函数应用题的步骤 (1)审题：缜密审题，准确理解题意，分清条件和结论，理清数量关系． (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型． (3)求模：求解数学模型，得出数学结论． (4)反馈：将得到的数学结论还原为实际问题的意义． 2、 易错易混点归纳 构建函数模型解决实际问题的失分点 (1)不能选择相应变量得到函数模型． (2)构建的函数模型有误． (3)忽视函数模型中变量的实际意义． 【典例探究】 考点一 函数的零点 考向1 函数根的分布　 学法指导：二次函数零点问题，从以下四个方面入手：（1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴位置；（4）根的分布区间端点对应的函数值正负 【例1】已知关于的方程在区间内有实根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． （指数函数二次型）关于的方程恰有两个根为、，且、分别满足和，则 考向2 切线法 学法指导：切线法求零点或者零点个数：1、适用于小题。大题则过程证明不严谨，容易丢过程分。2、数形结合，或者求导“画图”，求导画图，有时候需要判断“上凸或者下凹”3、特殊的函数，需要通过“虚设零点”求得。 【例2】已知函数有三个零点，则（    ） A．7 B．8 C．15 D．16 考向3 分离参数法 学法指导：将参数分离出来，转化为直线与曲线的交点问题 【例3】已知函数， 令，则下列说法正确的是（   ） A．函数的单调递增区间为 B．当时，有3个零点 C．当时，的所有零点之和为 D．当时，有1个零点 考向4 复合函数的零点 学法指导：对于嵌套型复合函数的零点个数问题，求解思路如下： （1）确定内层函数和外层函数；（2）确定外层函数的零点；（3）确定直线与内层函数图象的交点个数分别为、、、、，则函数的零点个数为. 【例4】（2024·云南昆明·统考一模）已知函数，，则（    ） A．当时，有2个零点 B．当时，有2个零点 C．存在，使得有3个零点 D．存在，使得有5个零点 【训练检测】 1、（2023·高三课时练习）关于x的方程至少有一个负根的充要条件是（    ） A． B． C．或 D． 2、已知函数．若存在，使得，则m的取值范围是 ． 3、已知函数，在上有个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4、（2023上·山西朔州·高三怀仁市第一中学校校考）已知函数，若恰有3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5、函数，函数（    ） A．存在使 B．当，函数有唯一零点 C．当，函数无零点 D．当时，函数有唯一零点 高三数学 第 1 页（共 2 页) 学科网（北京）股份有限公司 $$