精品解析：广西壮族自治区柳州市鹿寨县2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题

八年级数学试题 （考试时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1.题前，考生务必将姓名、准考证号等信息填写在试卷和答题卡上． 2.生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷和草稿纸上作答无效． 3.能使用计算器． 4.试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑） 1. 下列中国品牌新能源车的车标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 等于( ) A. 3 B. C. －3 D. 4. 世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有克，其中用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 5. 在中，，的角平分线交于点，则点到的距离是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 下面四个图形中，线段AD是△ABC的高的是( ) A. B. C. D. 7. 下列命题：①关于某条直线对称的两个图形，对称点所连线段被对称轴垂直平分；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③已知，，那么；④如果把分式中的、都扩大2倍，那么分式的值也扩大2倍．正确的有（ ）个． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 如果是某个整式的完全平方式，那么常数k的值为（ ） A. 6 B. -6 C. ±6 D. 18 9. 在中，，则是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定 10. 小明上月在某文具店正好用 20 元钱买了几本笔记本，本月再去买时，恰遇此文具店搞优惠酬宾活动，同样的笔记本，每本比上月便宜 1 元，结果小明只比上次多用了 4 元钱， 却比上次多买了 2 本．若设他上月买了 x 本笔记本，则根据题意可列方程（ ） A. - =1 B. - =1 C. - =1 D. - =1 11. 如图，在平面直角坐标系中，将直角三角形的直角顶点固定在点处，转动直角三角形，若两条直角边分别与轴正半轴交于点，轴正半轴交于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 无法确定 12. 如图，点E、F是的边上的两点，线段的垂直平分线交于D，的垂直平分线恰好经过E点，连接、，若，则的度数为（ ） A. α B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 计算__________． 14. 要使代数式有意义，则x应满足的条件是________． 15. 已知是完全平方公式，则的值为______． 16. 如图，在中，，，，，是的平分线，若，分别是和上的动点，则的最小值为__________ ． 三、解答题（本大题共6小题，共72分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 解分式方程：． 19. 已知：如图所示，在中，． （1）作的垂直平分线，分别交、于点、，连接（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）； （2）若，，求的长度； （3）在（2）的条件下，判断的形状（直接写出结果，不需要说明理由）． 20. 小亮想把一个长为，宽为的长方形硬纸片做成一个无盖的长方体盒子，于是在长方形的四个角各剪去一个相同小正方形（如图），设小正方形的边长为． （1）求图中阴影部分的面积为（用含的代数式表示，要求化简）． （2）当时，求这个盒子的体积． 21. 某校为满足学生多元化文化需求，课外开展了形式多样的特色活动．为了解学生对部分活动的喜爱程度，对部分学生进行了一次调查并将调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图． 请根据统计图提供的信息，完成下列问题： （1）请将统计图1补充完整； （2）统计图2中， ；“美食”部分扇形的圆心角是 ； （3）若该校共有学生人，根据调查结果估计该校最喜欢“绘画”特色活动的学生约有多少？ 22. 如图，某化工厂与A，B两地有公路和铁路相连．这家工厂从A地购买每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地．已知公路的运价为1.5元／（吨），铁路的运价为1.0元／（吨）． （1）从A地运回m吨原材料到工厂，需要的运费是多少？（用含m的代数式表示） （2）若其中一批原料，从A地运回，到生产成产品运到B地，两次运输共支出公路运费16500元，铁路运费93000元．这一批原料是多少吨？每吨原料能加工成的产品数量是多少？ （3）若生产该产品，每月的其它成本费为350000元，每吨的生产费为3000元，求该产品每月的毛利润w与原料x吨之间的函数关系．（规定：每月的毛利润=销售额-原料费-其它成本费-生产费-运输费） 23. 问题：“一线三垂直模型”是初中几何中的一个重要模型，在解决有关边角问题时有着重要作用．如： （1）如图①，已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、，试猜想、、有怎样的数量关系，请直接写出：　　　　． ① （2）聪明好学的明明想：从特殊到一般是数学的重要思想，如果三个角不是直角，那么（1）的结论是否会成立呢？如图②，将（1）中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有（其中为任意锐角或钝角），（1）的结论如果成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）如图③，在中，，，点的坐标为，点A的坐标为，请直接写出点的坐标　　　　． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学试题 （考试时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1.题前，考生务必将姓名、准考证号等信息填写在试卷和答题卡上． 2.生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷和草稿纸上作答无效． 3.能使用计算器． 4.试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑） 1. 下列中国品牌新能源车的车标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的识别，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】解：A．该图不是中心对称图形，故不符合题意； B．该图是中心对称图形，故符合题意； C．该图不是中心对称图形，故不符合题意； D．该图不是中心对称图形，故不符合题意； 故选：B． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据合并同类项法则计算并判定A；根据幂的乘方计算并判定B；根据积的乘方计算并判定C；根据单项式乘以单项式法则计算并判定D． 【详解】解：A、a3+a3=2a3，故此选项计算错误，不符合题意； B、(a3)2=a6，故此选项计算正确，符合题意； C、(ab)2=a2b2，故此选项计算错误，不符合题意； D、2a53a5=6a10，故此选项计算错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查合并同类项，幂的乘方，积的乘方，单项式乘以单项式，熟练掌握整式运算法则和幂的运算法则是解题的关键． 3. 等于( ) A. 3 B. C. －3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由负整数指数幂的运算法则计算即可． 【详解】 故选：D． 【点睛】本题考查了负整数指数幂：（a≠0，p为正整数），牢记知识点是解题的关键． 4. 世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有克，其中用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，正确的确定的值即可． 【详解】解：； 故选：C 5. 在中，，的角平分线交于点，则点到的距离是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】过D作DE⊥AB于E，得出DE的长度是D到AB边的距离，根据角平分线性质得出ED=DC，代入求出即可. 【详解】解：过点D作DE⊥AB于E，则DE的长是点D到AB的距离 ∵AD是∠BAC的角平分线，∠C=，DE⊥AB ∴DE=DC(角平分线上的点到角两边的距离相等) ∵BC=7，BD=4 ∴DC=BC-BD=3 ∴DE=3 故点D到AB的距离是3. 故选B. 【点睛】本题考查了角平分线的性质. 6. 下面四个图形中，线段AD是△ABC的高的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】【分析】根据三角形高的定义：从顶点向对边作垂线，垂线段就是对应边上的高可判断. 【详解】A.线段AD与BC不垂直，所以不是△ABC的高； B.线段AD与BC不垂直，所以不是△ABC的高； C.线段AD与BC不垂直，所以不是△ABC的高； D.线段AD与BC垂直，所以是△ABC的高. 故选D. 【点睛】本题考核知识点：三角形的高. 解题关键点：要理解三角形的高的定义以及条件：从顶点向对边作垂线，垂线段就是对应边上的高. 7. 下列命题：①关于某条直线对称的两个图形，对称点所连线段被对称轴垂直平分；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③已知，，那么；④如果把分式中的、都扩大2倍，那么分式的值也扩大2倍．正确的有（ ）个． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称的性质、等边三角形的判定、完全平方公式、分式的基本性质进行判断即可． 【详解】解：①关于某条直线对称的两个图形，对称点所连线段被对称轴垂直平分，正确； ②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形，任意等腰三角形的两个底角的外角都相等，不正确； ③已知，， ∴，即， ∴， ∴， ∴，正确； ④如果把分式中的、都扩大2倍， ，那么分式的值不变，原结论不正确， 故正确的有2个． 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称的性质、等边三角形的判定、完全平方公式、分式的基本性质，解题关键是熟练掌握相关性质，准确进行推理判断． 8. 如果是某个整式的完全平方式，那么常数k的值为（ ） A. 6 B. -6 C. ±6 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】完全平方式有两个：①a2+2ab+b2，②a2﹣2ab+b2，根据以上知识点得出kx＝±2•3x•1，求出即可． 【详解】解：∵9x2+kx+1是某个整式的完全平方式， ∴k＝±2×3×1＝±6． 故选：C． 【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 9. 在中，，则是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的分类和三角形内角和定理，熟练掌握三角形的分类和三角形内角和定理是解题的关键，根据，设，则，，根据三角形内角和定理解得，故，从而得到答案． 【详解】解：设， ∵ ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴是直角三角形， 故选：B． 10. 小明上月在某文具店正好用 20 元钱买了几本笔记本，本月再去买时，恰遇此文具店搞优惠酬宾活动，同样的笔记本，每本比上月便宜 1 元，结果小明只比上次多用了 4 元钱， 却比上次多买了 2 本．若设他上月买了 x 本笔记本，则根据题意可列方程（ ） A. - =1 B. - =1 C. - =1 D. - =1 【答案】B 【解析】 【详解】设他上月买了x本笔记本，则这次买了（x+2）本， 根据题意得：， 即：． 故选B． 11. 如图，在平面直角坐标系中，将直角三角形的直角顶点固定在点处，转动直角三角形，若两条直角边分别与轴正半轴交于点，轴正半轴交于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，正方形的判定及性质，同角的余角相等，坐标与图形性质的应用，关键是，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 作轴于点轴于点，求出证推出即可 【详解】解：作轴于，轴于，则四边形是矩形， ∵， ∴ ∴四边形是正方形， ∴，， ∴ 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴ 故选． 12. 如图，点E、F是的边上的两点，线段的垂直平分线交于D，的垂直平分线恰好经过E点，连接、，若，则的度数为（ ） A. α B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理计算判断即可． 【详解】解：∵线段的垂直平分线交于，的垂直平分线恰好经过点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】本题考查了线段的垂直平分线，三角形外角性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握线段的垂直平分线，三角形外角性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 计算__________． 【答案】 【解析】 【分析】先判断底数是否为非零数，再依据零指数幂的运算法则计算． 【详解】解：根据零指数幂的运算法则：任何不等于的数的次幂都等于， ∵， ∴， ∴． 14. 要使代数式有意义，则x应满足的条件是________． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用二次根式有意义条件和分式有意义求出x的取值范围． 【详解】解：代数式有意义， 可得：， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式有意义与分式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义与分式有意义的条件是解题的关键． 15. 已知是完全平方公式，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可． 【详解】解：是完全平方公式， ， 即， 故答案为：． 16. 如图，在中，，，，，是的平分线，若，分别是和上的动点，则的最小值为__________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查利用轴对称求最短距离，能够利用轴对称将线段和的最小值转化为线段长求解是关键．在上截取，连接，，可证，根据全等三角形的性质可知点和点关于对称，再根据轴对称的性质及最短路径结合面积法即可得出答案． 【详解】解：如图，在上截取，连接，，     是的平分线， 在与中 点和点关于对称，连接，与交于点，连接，此时， 是动点， 也是动点，当与垂直时，最小，即最小． 此时，由面积法得． 故答案为：． 三、解答题（本大题共6小题，共72分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算、零次幂等知识点，掌握非零数的零次幂为1是解题的关键． 先根据零次幂化简，然后再运用有理数混合运算法则计算即可． 【详解】解： = ． 18. 解分式方程：． 【答案】 【解析】 【分析】先将分式方程化为整式方程，求出根后进行检验即可． 【详解】解：方程两边同时乘，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 解得， 检验：当时，， 因此是原分式方程的解． 【点睛】本题考查解分式方程，解题的关键是熟练掌握求解过程，注意验根． 19. 已知：如图所示，在中，． （1）作的垂直平分线，分别交、于点、，连接（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）； （2）若，，求的长度； （3）在（2）的条件下，判断的形状（直接写出结果，不需要说明理由）． 【答案】（1） 所作图形，如图， （2）； （3）是等边三角形． 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线的尺规作图方法作图即可； （2）由线段垂直平分线的性质可得，，再根据直角三角形的性质即可求解； （3）根据直角三角形的性质求得，，即可证明是等边三角形． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：∵是线段的垂直平分线， ∴，， ∵，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：是等边三角形， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【点睛】本题考查了尺规作图—作垂线，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定，熟练掌握以上并灵活运用是解此题的关键． 20. 小亮想把一个长为，宽为的长方形硬纸片做成一个无盖的长方体盒子，于是在长方形的四个角各剪去一个相同小正方形（如图），设小正方形的边长为． （1）求图中阴影部分的面积为（用含的代数式表示，要求化简）． （2）当时，求这个盒子的体积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据阴影部分的面积等于长乘以宽，列出代数式，根据多项式的乘法进行计算即可求解； （2）将代入（1）中的结果，即可求解． 【小问1详解】 解：依题意，； 【小问2详解】 当时，． 答：当时，盒子的体积为． 【点睛】本题考查了整式的乘法与图形面积，代数式求值，数形结合是解题的关键． 21. 某校为满足学生多元化文化需求，课外开展了形式多样的特色活动．为了解学生对部分活动的喜爱程度，对部分学生进行了一次调查并将调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图． 请根据统计图提供的信息，完成下列问题： （1）请将统计图1补充完整； （2）统计图2中， ；“美食”部分扇形的圆心角是 ； （3）若该校共有学生人，根据调查结果估计该校最喜欢“绘画”特色活动的学生约有多少？ 【答案】（1） 补充统计图如图所示， （2）， （3）估计该校最喜欢“绘画”特色活动的学生约有人 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联，画条形统计图，求扇形统计图的圆心角度数以及样本估计总体； （1）根据“篮球”的人数与占比求得总人数，用总人数减去其他项目的人数求得“绘画”的人数，进而补全统计图； （2）根据绘画”的人数以及总人数求得占比，即可求解； （3）用乘以“绘画”的占比，即可求解． 【小问1详解】 解：总人数为（人） “绘画”的人数为（人） 【小问2详解】 解：∵“绘画”的人数为人，总人数为人， ∴，即， “美食”部分扇形的圆心角是 故答案为：，． 【小问3详解】 解：（人） 答：估计该校最喜欢“绘画”特色活动的学生约有人 22. 如图，某化工厂与A，B两地有公路和铁路相连．这家工厂从A地购买每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地．已知公路的运价为1.5元／（吨），铁路的运价为1.0元／（吨）． （1）从A地运回m吨原材料到工厂，需要的运费是多少？（用含m的代数式表示） （2）若其中一批原料，从A地运回，到生产成产品运到B地，两次运输共支出公路运费16500元，铁路运费93000元．这一批原料是多少吨？每吨原料能加工成的产品数量是多少？ （3）若生产该产品，每月的其它成本费为350000元，每吨的生产费为3000元，求该产品每月的毛利润w与原料x吨之间的函数关系．（规定：每月的毛利润=销售额-原料费-其它成本费-生产费-运输费） 【答案】（1）元 （2）这一批原料有500吨；每吨原料能加工成的产品是0.6吨 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查列代数式以及二元一次方程组的应用，正确找出数量关系是解答本题的关键． （1）根据“总运费=铁路运费+公路运费”列式计算即可； （2）设这一批原料有a吨，生产成的产品有b吨，根据“从A地运回，到生产成产品运到B地，两次运输共支出公路运费16500元，铁路运费93000元”列出方程组，解出方程组即可； （3）根据“每月的毛利润=销售额-原料费-其它成本费-生产费-运输费”列式即可． 【小问1详解】 解：（元）； 答：从A地运回m吨原材料到工厂，需要的运费是元； 【小问2详解】 解：设这一批原料有a吨，生产成的产品有b吨，根据题意，可得 解方程组，得 （吨） 答：这一批原料有500吨；每吨原料能加工成的产品是0.6吨． 【小问3详解】 解： ． 23. 问题：“一线三垂直模型”是初中几何中的一个重要模型，在解决有关边角问题时有着重要作用．如： （1）如图①，已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、，试猜想、、有怎样的数量关系，请直接写出：　　　　． ① （2）聪明好学的明明想：从特殊到一般是数学的重要思想，如果三个角不是直角，那么（1）的结论是否会成立呢？如图②，将（1）中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有（其中为任意锐角或钝角），（1）的结论如果成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）如图③，在中，，，点的坐标为，点A的坐标为，请直接写出点的坐标　　　　． 【答案】（1） （2） 解：（1）的结论成立， 理由如下：在 中，， ， ，， ， 在 和中， ， ，， ； （3） 【解析】 【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质得到，，结合图形解答即可； （2）根据三角形内角和定理、平角的定义证明，证明，根据全等三角形的性质得到，，结合图形解答即可； （3）作轴于，轴于，根据，得到，，根据坐标与图形性质解答． 【小问1详解】 解：直线， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：作轴于，轴于，如图所示： 点的坐标为，点的坐标为， ，，， 由（1）可知，， ，， ， 点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题是三角形综合题，考查的是全等三角形的判定和性质、坐标与图形性质，等腰三角形的性质、掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $