精品解析：广东省汕头市潮阳实验学校2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题

2024—2025学年度第一学期期末考试八年级数学 一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列四个手机 图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了轴对称图形的定义，在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形为轴对称图形． 根据轴对称图形的概念即可求解． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，符合题意． 故选：D． 2. 等腰三角形的两边分别为3cm，4cm，则它的周长是（ ） A. 10cm B. 11cm C. 16cm或9cm D. 10cm或11cm 【答案】D 【解析】 【分析】因为腰长没有明确，所以分①3cm是腰长，②4cm是腰长两种情况求解． 【详解】解：①3cm是腰长时，能组成三角形，周长=3+3+4=10cm， ②4cm是腰长时，能组成三角形，周长=4+4+3=11cm， 所以，它的周长是10cm或11cm． 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，易错点为要分情况讨论求解． 3. 清代诗人袁枚的一首诗《苔》中写到：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值小于1的数．一般形式为，其中，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：数据用科学记数法表示为， 故选：D． 4. 如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形内角和公式及外角的特征．求多边形的边数，可以转化为方程的问题来解决．根据多边形的内角和公式及外角的特征计算． 【详解】解：多边形的外角和是，根据题意得： 解得． 故选C． 5. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查单项式除法、幂的乘方、同底数幂的积、积的乘方等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． 根据单项式除法、幂的乘方、同底数幂的积、积的乘方逐项判断即可． 【详解】解：A． ，故该选项错误，不符合题意； B． ，故该选项错误，不符合题意； C． ，故该选项正确，符合题意； D． ，故该选项错误，不符合题意． 故选C． 6. 若分式的值为0，则x的值为（ ） A. 3 B. 3或 C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义和分式的值为的条件，解题的关键是掌握分式的相关定义．根据分式的值为的条件即可求解． 【详解】解：依据题意得：， ， 解得：， ， ， ， 故选：C． 7. 若把分式中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ） A. 扩为原来大3倍 B. 不变 C. 缩小为原来的 D. 缩小为原来的 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据和都扩大为原来的3倍再代入化简即可得到答案． 【详解】解：∵和都扩大为原来的3倍， ∴， 故选：C． 8. 已知，则（ ） A. 16 B. 25 C. 32 D. 64 【答案】D 【解析】 【分析】利用幂的乘方和同底数幂相乘的法则把进行变形后，再整体代入即可． 【详解】解：∴， ∴， 故选：D 【点睛】此题考查了幂的乘方和同底数幂相乘的法则，熟练掌握法则是解题的关键． 9. 如图，起重机在工作时，起吊物体前机械臂与操作台的夹角，支撑臂为的平分线．物体被吊起后，机械臂的位置不变，支撑臂绕点旋转一定的角度并缩短，此时，增大了，则的变化情况为（ ）    A. 增大 B. 减小 C. 增大 D. 减小 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形三角形外角的性质及角平分线的定义，起吊物体前，设，根据题意可得，则，物体被吊起后，可得，增大了，由即可解答． 【详解】解：起吊物体前，设， ，支撑臂为的平分线， ， ； 物体被吊起后， 机械臂的位置不变，，， ， 增大了， ， ， ， 的变化情况为增大． 故选：C． 10. 如图，在四边形中，，，于点，于点，、分别是、上的点，且，则下列结论正确的有（ ） ①；②；③；④平分； A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了垂线的性质，全等三角形的判定与性质（和）等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 连接，由、可得，进而可证得，于是可得，故结论①正确；根据已知条件不能推出，故结论②错误；延长到，使，连接，利用可证得，于是可得，，，根据角的和差关系可得，进而可证得，于是可得，故结论③正确，可得，即平分，故结论④正确；综上所述，即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， ，， ， 在和中， ， ， ， 故结论①正确； 根据已知条件不能推出， 故结论②错误； 如图，延长到，使，连接， ，， ， 在和中， ， ， ，，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，故结论③正确； ，即平分，故结论④正确； 综上所述，正确的结论有，共个， 故选：． 二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再套用公式分解即可． 本题考查了因式分解，熟练掌握先提取公因式，再套用公式分解是解题的关键． 【详解】解： ． 故答案为：． 12. 代数式有意义时，x应满足的条件为______． 【答案】x≠1 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于0，故分母x−1≠0，解得x的范围． 【详解】解：根据题意得：x−1≠0 解得：x≠1． 故答案为：x≠1 【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是分母不等于0是解题的关键． 13. 如图，已知是等边三角形，点D、E在的延长线上，G是上一点，且，F是上一点，且，则_____度． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质. 根据等边三角形的性质可得：，根据以及外角的性质可得：，同理可得：. 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 同理可得：. 故答案为：15. 14. 若且，则代数式的值等于______． 【答案】 【解析】 【分析】先把原式展开成含有和的形式，再把，整体代入即可求出的值． 本题考查了整式的乘法和整体代入法求代数式的值．由已知条件所给的两个式子应该想到运用整体代入法求解．熟练掌握整体代入法是解题的关键． 【详解】 把，代入得 原式 ． 故答案为： 15. 如图，在中，，平分，点E是的中点，点P是上一动点，连接，若，，则的最小值是_______________ 【答案】 【解析】 【分析】在上截取，连接，，，交于点，得到是等边三角形，利用等边三角形三线合一，得到，进而得到，找到当，，三点共线时，最小，连接并延长交于，利用等边三角形的三条高线相等，以及，求出的长度，即为的最小值．本题考查等边三角形的判定和性质，以及轴对称的性质．熟练掌握等边三角形的性质，利用轴对称解决线段的和最小问题，是解题的关键． 【详解】解：在上截取，连接，，，交于点， ，， 是等边三角形， 平分， ，， ， ， 当，，三点共线时，最小， 是等边三角形，是的中点， ， 连接并延长交于， 等边三角形三条高交于一点，且三条高相等， ，， ，， ， ， ， 最小值为． 故答案为： 三、解答题：（本题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，先算分式的减法，再把除法化为乘法，进行约分化简，再代入求值，即可求解，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 当时， 原式． 17. 如图，已知，，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质及三角形的内角和即可求解． 【详解】解：，， ， ， ． 【点睛】此题主要考查全等三角形的性质，解题的关键是熟知全等三角形的对应角相等． 18. 已知：方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点A的坐标为． （1）直接写出的面积 ； （2）已知与关于y轴对称，请在坐标系中画出； （3）点与点关于x轴对称，求的值． 【答案】（1）6 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据网格得出的底和高，利用三角形面积公式求解； （2）在坐标系中找出三个顶点关于y轴的对应点，顺次连接即可； （3）根据关于x轴对称的点的坐标特征“横坐标相等，纵坐标互为相反数”求出a和b的值，再代入求解即可．掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解题的关键． 【小问1详解】 解：由图可知，， 故答案为：6； 【小问2详解】 解：如图； 【小问3详解】 解：∵点与点关于x轴对称， ，， ． 三、解答题：（本题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图①，在边长为的大正方形纸片中，剪掉边长的小正方形，得到图②，把图②阴影部分剪下，按照图③拼成一个长方形纸片． （1）用a，b的式子表示拼成的图③这个长方形纸片的长和宽； （2）把图③这个长方形纸片的面积加上后，就和另一个新的长方形面积相等．已知这个新长方形的长为，求这一新长方形的宽． 【答案】（1）长为，宽为 （2） 【解析】 【分析】此题考查了整式的混合运算． （1）根据图①表示出拼成长方形的长与宽，运用整式的加减法运算即可得到结果； （2）根据题意列出关系式，运用整式的除法运算即可得到结果． 【小问1详解】 解：长方形的长为：， 长方形的宽为：； 【小问2详解】 解：另一个长方形的宽： ． 20. 如图，中，，，，，的角平分线交于点G，作， （1）求证： （2）如图连接交于E．求证： （3）若，，求的面积． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）15． 【解析】 【分析】（1）由，的角平分线交于点G，，得，从而利用即可证明； （2）先证明，从而证明，得，进而证明，即可得证； （3）由，得，从而利用三角形的面积公式即可得解． 【小问1详解】 证明：∵，的角平分线交于点G，， ∴， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质、垂直的定义以及角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 21. 为进一步丰富义务教育阶段学生假期生活，有效缓解义务教育阶段学生假期“看护难”问题，某校在寒假期间开设了丰富多彩寒假托管服务，学校决定购买A，B两种文具奖励在此次托管服务中表现优秀的学生．已知A文具比B文具每件多5元，用600元购买A文具，900元购买B文具，且购买B文具的数量是A文具的2倍． （1）求A，B文具的单价； （2）为了调动学生的积极性，学校再次在该店购买了A，B两种文具．在购买当日，正逢该店促销活动，所有商品八折销售．在不超过预算资金1200元的情况下，A，B两种文具共买了90件，则最多购买了A文具多少件？ 【答案】（1）A文具单价为20元，B文具的单价为15元； （2）最多购买了A文具30件． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意，设恰当未知数，列出方程和不等式． （1）设B文具的单价为x元，则A文具的单价为元，利用数量=总价÷单价，结合用900元购买B文具的数量是用600元购买A文具数量的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出B文具的单价，再将其代入中即可求出A文具的单价； （2）设购买A文具m件，则购买B文具件，利用总价=单价×数量，结合总价不超过1200元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论． 【小问1详解】 解：设B文具的单价为x元，则A文具的单价为元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴． 答：A文具的单价为20元，B文具的单价为15元； 【小问2详解】 解：设购买A文具m件，则购买B文具件， 依题意得：， 解得：． 答：最多购买了A文具30件． 四、解答题：（本题共2小题，22题13分，23题14分，共27分） 22. 定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“和谐分式”，如：，则是“和谐分式”． （1）下列分式中，属于“和谐分式”的是_________；（只填序号） ①； ②； ③； ④ （2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； （3）判断的结果是否为“和谐分式”，并说明理由． 【答案】（1）①③ （2） （3）是，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算法则． （1）依据题意，根据和谐分式的意义逐个判断即可得解； （2）依据题意，分子进而变形可以得解； （3）依据题意，首先通过分式的混合运算法则进行化简，然后再依据和谐分式的意义判断即可得解． 【小问1详解】 解：∵， ∴①是和谐分式； ∵分式分子的次数低于分母次数， ∴该分式不等化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的性质， ∴②不和谐分式； ∵， ∴③是和谐分式； ∵， ∴④不是和谐分式； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：的结果是“和谐分式”． ∴该分式是和谐分式． 23. 如图，在平面直角坐标系中，已知分别在坐标轴的正半轴上． （1）如图1，若满足，以为直角顶点，为直角边在第一象限内作等腰直角，则点的坐标是______； （2）如图2，若，点是的延长线上一点，以为直角顶点，为直角边在第一象限作等腰直角，连接，求证：； （3）如图3，设的平分线过点，请求出的值，并说明理由． 【答案】（1） （2）见解析 （3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）由偶次方和绝对值的非负性得出，，则，，证明，得到，，，即可得解； （2）过作轴于，则，证明，得到，，，再证明是等腰直角三角形，得，然后由三角形外角的性质即可得出结论； （3）过点作轴于，轴于，交的延长线于，则，由角平分线的性质可得，证明得到，同理证明得到，即可求解． 【小问1详解】 解：，，， ，， ，， ， ，， 如图，过点作轴于， 则， ， ，， ， ，， ， ，， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 证明：如图，过作轴于，则， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 是等腰直角三角形，， ， ，， ， ， ， ，，， ， ， ，即， ， 是等腰直角三角形， ， ，， ； 【小问3详解】 解：如图，过点作轴于，轴于，交的延长线于， ， ， 平分，，， ， ， ， 同理可得：， ， ，，， ， 即． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、坐标与图形、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质、角平分线的性质、非负数的性质等知识，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质、证明三角形全等是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期期末考试八年级数学 一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列四个手机 图标中，是轴对称图形是（ ） A B. C. D. 2. 等腰三角形的两边分别为3cm，4cm，则它的周长是（ ） A. 10cm B. 11cm C. 16cm或9cm D. 10cm或11cm 3. 清代诗人袁枚的一首诗《苔》中写到：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 5. 下列运算中，正确是（ ） A. B. C. D. 6. 若分式的值为0，则x的值为（ ） A. 3 B. 3或 C. D. 0 7. 若把分式中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ） A. 扩为原来的大3倍 B. 不变 C. 缩小为原来的 D. 缩小为原来的 8. 已知，则（ ） A. 16 B. 25 C. 32 D. 64 9. 如图，起重机在工作时，起吊物体前机械臂与操作台的夹角，支撑臂为的平分线．物体被吊起后，机械臂的位置不变，支撑臂绕点旋转一定的角度并缩短，此时，增大了，则的变化情况为（ ）    A. 增大 B. 减小 C. 增大 D. 减小 10. 如图，在四边形中，，，于点，于点，、分别是、上的点，且，则下列结论正确的有（ ） ①；②；③；④平分； A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式：______． 12. 代数式有意义时，x应满足的条件为______． 13. 如图，已知是等边三角形，点D、E在的延长线上，G是上一点，且，F是上一点，且，则_____度． 14. 若且，则代数式值等于______． 15. 如图，在中，，平分，点E是的中点，点P是上一动点，连接，若，，则的最小值是_______________ 三、解答题：（本题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 先化简，再求值：，其中． 17. 如图，已知，，，求的度数． 18. 已知：方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点A的坐标为． （1）直接写出的面积 ； （2）已知与关于y轴对称，请在坐标系中画出； （3）点与点关于x轴对称，求的值． 三、解答题：（本题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图①，在边长为的大正方形纸片中，剪掉边长的小正方形，得到图②，把图②阴影部分剪下，按照图③拼成一个长方形纸片． （1）用a，b的式子表示拼成的图③这个长方形纸片的长和宽； （2）把图③这个长方形纸片的面积加上后，就和另一个新的长方形面积相等．已知这个新长方形的长为，求这一新长方形的宽． 20. 如图，中，，，，，的角平分线交于点G，作， （1）求证： （2）如图连接交于E．求证： （3）若，，求面积． 21. 为进一步丰富义务教育阶段学生假期生活，有效缓解义务教育阶段学生假期“看护难”问题，某校在寒假期间开设了丰富多彩的寒假托管服务，学校决定购买A，B两种文具奖励在此次托管服务中表现优秀的学生．已知A文具比B文具每件多5元，用600元购买A文具，900元购买B文具，且购买B文具的数量是A文具的2倍． （1）求A，B文具的单价； （2）为了调动学生的积极性，学校再次在该店购买了A，B两种文具．在购买当日，正逢该店促销活动，所有商品八折销售．在不超过预算资金1200元的情况下，A，B两种文具共买了90件，则最多购买了A文具多少件？ 四、解答题：（本题共2小题，22题13分，23题14分，共27分） 22. 定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“和谐分式”，如：，则是“和谐分式”． （1）下列分式中，属于“和谐分式”的是_________；（只填序号） ①； ②； ③； ④ （2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； （3）判断的结果是否为“和谐分式”，并说明理由． 23. 如图，在平面直角坐标系中，已知分别在坐标轴的正半轴上． （1）如图1，若满足，以为直角顶点，为直角边在第一象限内作等腰直角，则点的坐标是______； （2）如图2，若，点是的延长线上一点，以为直角顶点，为直角边在第一象限作等腰直角，连接，求证：； （3）如图3，设的平分线过点，请求出的值，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $