2025年九年级中考数学一轮复习训练 方程与不等式(一元二次方程：定义、一般式、方程的解、解一元二次方程、根的判别式、根与系数的关系）

2025年中考一轮复习：方程与不等式(一元二次方程：定义、一般式、方程的解、解一元二次方程、根的判别式、根与系数的关系） 一．选择题（共8小题） 1．一元二次方程x2+4x+5＝0的根的情况是（　　） A．无实数根 B．有一个实根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 2．下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A．3x﹣1＝0 B．2x2+3＝0 C．（x+1）2﹣x2＝0 D．1＝0 3．若关于x的一元二次方程x2+4x+c＝0无实数根，则c的取值范围是（　　） A．c＜4 B．c＞4 C．c≥4 D．c≤4 4．下列关于x的方程中，是一元二次方程的有（　　） A．2x+1＝0 B．y2+x＝1 C．x2﹣1＝0 D．x21 5．下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A．x﹣2y＝2024 B． C．x2﹣2y+1＝0 D．x2﹣2x+1＝0 6．在下列式子中，是一元二次方程的是（　　） A．x2+x B．x2﹣5＝﹣x2 C．x2﹣6xy+9＝0 D． 7．下列一元二次方程的根可以根据计算出的是（　　） A．2x2+3x+1＝0 B．2x2+3x﹣1＝0 C．3x2+x﹣2＝0 D．﹣2x2﹣x+3＝0 8．如果方程是关于x的一元二次方程，那么m的值为（　　） A．1 B．2 C．1和2 D．都不对 二．填空题（共6小题） 9．一元二次方程x2＝2x的根是　 　． 10．已知a、b是关于x的一元二次方程x2+2x﹣7＝0的两个根，则代数式a2+5a+3b＝ 　 　． 11．已知方程x2+x﹣2＝0的两根分别为x1，x2，则的值为 　 　． 12．若x1，x2是方程x2+2x﹣2024＝0的两个实数根，则代数式x1+x2的值为 　 　． 13．如果x＝2是一元二次方程ax2+bx+1＝0的一个解，则2a+b的值是 　 　． 14．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，请你写出一个符合上面条件的k＝ 　 　． 三．解答题（共6小题） 15．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+2（k﹣1）＝0． （1）当k＝2时，请用适当方法解此方程； （2）若方程有两个相等的实数根，则k的值为 　 　； （3）如果方程有一个实数根是1，那么另一个根是 　 　，此时k的值为 　 　． 16．小轩同学在解一元二次方程时，他是这样做的： 解方程：x2﹣6x+5＝0． 解：x2﹣5x﹣x+5＝0，…第1步 x2﹣5x＝x﹣5，…第2步 （x﹣5）x＝x﹣5第3步 ∴x﹣5＝0，…第4步 ∴x＝5．…第5步 （1）小轩的解题过程从第 　 　步开始出现错误． （2）解一元二次方程的方法不止一种，请你用另一种方法解该方程． 17．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0． （1）若该方程有一个根为﹣2，求a的值； （2）求证：方程总有两个不相等的实数根． 18．已知：关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣3＝0． （1）求证：对任意实数k，方程有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是3，求k的值及方程的另一个根． 19．解下列方程： （1）x2﹣2x﹣5＝0（配方法）； （2）（x﹣3）2＝2（3﹣x）． 20．已知x＝m是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个实数根，求2m（m﹣2）﹣5的值． 2025年中考一轮复习：方程与不等式(一元二次方程：定义、一般式、方程的解、解一元二次方程、根的判别式、根与系数的关系） 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B B C D B B A 一．选择题（共8小题） 1．一元二次方程x2+4x+5＝0的根的情况是（　　） A．无实数根 B．有一个实根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 【解答】解：∵Δ＝42﹣4×5＝﹣4＜0， ∴方程无实数根． 故选：A． 2．下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A．3x﹣1＝0 B．2x2+3＝0 C．（x+1）2﹣x2＝0 D．1＝0 【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【解答】解：A．该方程是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B．该方程是一元二次方程，故本选项符合题意； C．由已知方程得到：2x+1＝0，该方程是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D．该方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：B． 3．若关于x的一元二次方程x2+4x+c＝0无实数根，则c的取值范围是（　　） A．c＜4 B．c＞4 C．c≥4 D．c≤4 【分析】根据关于x的一元二次方程x2+4x+c＝0无实数根，可知Δ＝42﹣4×1×c＜0，然后求解即可． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+4x+c＝0无实数根， ∴Δ＝42﹣4×1×c＜0， 解得c＞4， 故选：B． 4．下列关于x的方程中，是一元二次方程的有（　　） A．2x+1＝0 B．y2+x＝1 C．x2﹣1＝0 D．x21 【分析】只含有1个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程就是一元二次方程，依据定义即可判断． 【解答】解：A、方程未知数是1次，不是一元二次方程； B、方程含有两个未知数，不是一元二次方程； C、符合一元二次方程的定义，是一元二次方程； D、不是整式方程，不是一元二次方程； 故选：C． 5．下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A．x﹣2y＝2024 B． C．x2﹣2y+1＝0 D．x2﹣2x+1＝0 【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，由此判断即可． 【解答】解：A、是二元一次方程，故此选项不符合题意； B、是分式方程，故此选项不符合题意； C、是二元二次方程，故此选项不符合题意； D、是一元二次方程，故此选项符合题意； 故选：D． 6．在下列式子中，是一元二次方程的是（　　） A．x2+x B．x2﹣5＝﹣x2 C．x2﹣6xy+9＝0 D． 【分析】只含有一个未知数且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此求解即可． 【解答】解：A、x2+x不是方程，不符合题意； B、方程x2﹣5＝﹣x2整理得2x2﹣5＝0，符合一元二次方程的定义，符合题意； C、方程x2﹣6xy+9＝0中含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； D、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：B． 7．下列一元二次方程的根可以根据计算出的是（　　） A．2x2+3x+1＝0 B．2x2+3x﹣1＝0 C．3x2+x﹣2＝0 D．﹣2x2﹣x+3＝0 【分析】利用一元二次方程的求根公式确定a＝2，b＝3，c＝﹣1，然后对各选项进行判断． 【解答】解：∵一元二次方程的根可以根据计算， ∴a＝2，b＝3，c＝﹣1， ∴一元二次方程为2x2+3x﹣1＝0． 故选：B． 8．如果方程是关于x的一元二次方程，那么m的值为（　　） A．1 B．2 C．1和2 D．都不对 【分析】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．据此即可得到，即可求解． 【解答】解：根据题意得，， 解得m＝1， 故选：A． 二．填空题（共6小题） 9．一元二次方程x2＝2x的根是　x1＝0，x2＝2　． 【分析】先移项，再提公因式，使每一个因式为0，从而得出答案． 【解答】解：移项，得x2﹣2x＝0， 提公因式得，x（x﹣2）＝0， x＝0或x﹣2＝0， ∴x1＝0，x2＝2． 故答案为：x1＝0，x2＝2． 10．已知a、b是关于x的一元二次方程x2+2x﹣7＝0的两个根，则代数式a2+5a+3b＝ 　1　． 【分析】利用一元二次方程的解，可得出a2+2a＝7，利用根与系数的关系，可得出a+b＝﹣2，再将a2+2a＝7及a+b＝﹣2代入a2+5a+3b＝（a2+2a）+3（a+b）中，即可求出结论． 【解答】解：∵a是关于x的一元二次方程x2+2x﹣7＝0的实数根， ∴a2+2a﹣7＝0， ∴a2+2a＝7． ∵a、b是关于x的一元二次方程x2+2x﹣7＝0的两个根， ∴a+b＝﹣2， ∴a2+5a+3b＝（a2+2a）+3（a+b）＝7+3×（﹣2）＝7﹣6＝1． 故答案为：1． 11．已知方程x2+x﹣2＝0的两根分别为x1，x2，则的值为 　　． 【分析】先利用根与系数的关系得x1+x2＝﹣1，x1x2＝﹣2，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：根据根与系数的关系得x1+x2＝﹣1，x1x2＝﹣2， 所以． 故答案为：． 12．若x1，x2是方程x2+2x﹣2024＝0的两个实数根，则代数式x1+x2的值为 　﹣2　． 【分析】直接根据根与系数关系作答即可． 【解答】解：由根与系数关系可得：x1+x2＝﹣2， 故答案为：﹣2． 13．如果x＝2是一元二次方程ax2+bx+1＝0的一个解，则2a+b的值是 　　． 【分析】把x＝2代入一元二次方程得到4a+2b＝﹣1，然后把等式两边除以2得到2a+b的值． 【解答】解：把x＝2代入一元二次方程ax2+bx+1＝0得4a+2b+1＝0， 所以4a+2b＝﹣1， 所以2a+b． 故答案为：． 14．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，请你写出一个符合上面条件的k＝ 　2（答案不唯一）．　． 【分析】根据方程有两个不相等的实数根得出Δ＞0，得出k的范围，再选定一个k的值即可． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＞0， 即b2﹣4ac＝k﹣2﹣4×1×（﹣1）＝k+2＞0，且k﹣2≥0， ∴k≥2， ∴k＝2（答案不唯一）， 故答案为：2（答案不唯一）． 三．解答题（共6小题） 15．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+2（k﹣1）＝0． （1）当k＝2时，请用适当方法解此方程； （2）若方程有两个相等的实数根，则k的值为 　3　； （3）如果方程有一个实数根是1，那么另一个根是 　3　，此时k的值为 　　． 【分析】（1）把k＝2代入方程后运用配方法求解即可； （2）由Δ＝0列式求出k的值即可； （3）设方程的另一个根为m，根据一元二次方程根与系数的关系可得1+m＝4，求出m＝3；再由2（k﹣1）＝1×3可求出k的值． 【解答】解：（1）当k＝2时，原方程可化为x2﹣4x+2＝0， ∴x2﹣4x+4＝2， ∴（x﹣2）2＝2， ∴， ∴； （2）∵方程x2﹣4x+2（k﹣1）＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4×2（k﹣1）＝﹣8k+24＝0， 解得，k＝3， 故答案为：3； （3）设方程的另一个根为m， 由根与系数的关系得，1+m＝4， 解得，m＝3； ∴2（k﹣1）＝1×3， 解得，， 故答案为：3；． 16．小轩同学在解一元二次方程时，他是这样做的： 解方程：x2﹣6x+5＝0． 解：x2﹣5x﹣x+5＝0，…第1步 x2﹣5x＝x﹣5，…第2步 （x﹣5）x＝x﹣5第3步 ∴x﹣5＝0，…第4步 ∴x＝5．…第5步 （1）小轩的解题过程从第 　4　步开始出现错误． （2）解一元二次方程的方法不止一种，请你用另一种方法解该方程． 【分析】（1）观察解题过程可知，小轩的解法从第4步开始出现错误； （2）利用配方法解方程即可． 【解答】解：（1）小轩的解法从第4步开始出现错误， 故答案为：4； （2）x2﹣6x+5＝0， 移项得x2﹣6x＝﹣5， 配方得x2﹣6x+9＝﹣5+9，即（x﹣3）2＝4， 开方得x﹣3＝±2， 解得x1＝1，x2＝5． 17．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0． （1）若该方程有一个根为﹣2，求a的值； （2）求证：方程总有两个不相等的实数根． 【分析】（1）将x＝﹣2代入方程x2+ax+a﹣2＝0得到关于a的方程求解即可； （2）计算根的判别式的值得到Δ＝a2﹣4（a﹣2）＞0，然后根据根的判别式的意义即可证明结论． 【解答】（1）将x＝﹣2代入方程x2+ax+a﹣2＝0可得： （﹣2）2+（﹣2）a+a﹣2＝0， 解得：a＝2； （2）证明：∵关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0， ∴Δ＝a2﹣4（a﹣2） ＝a2﹣4a+8 ＝（a﹣2）2+4＞0， ∴对于任意实数a，该方程总有两个不相等的实数根． 18．已知：关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣3＝0． （1）求证：对任意实数k，方程有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是3，求k的值及方程的另一个根． 【分析】（1）要证明方程有两个不相等的实数根，即证明Δ＞0即可．Δ＝[﹣（k+1）]2﹣4（2k﹣3）＝k2﹣6k+13＝（k﹣3）2+4，因为（k﹣3）2≥0，可以得到Δ＞0； （2）将x＝3代入方程x2﹣（k+1）x+2k﹣3＝0，求出k的值，进而得出方程的解． 【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（k+1）]2﹣4（2k﹣3）＝k2﹣6k+13＝（k﹣3）2+4， 而（k﹣3）2≥0， ∴Δ＞0． ∴对任意实数k，方程有两个不相等的实数根； （2）解：∵方程的一个根是3， ∴32﹣3（k+1）+2k﹣3＝0， 解得：k＝3， ∴原方程为：x2﹣4x+3＝0， 解得：x1＝1，x2＝3． 即k的值为3，方程的另一个根是1． 19．解下列方程： （1）x2﹣2x﹣5＝0（配方法）； （2）（x﹣3）2＝2（3﹣x）． 【分析】（1）配方法解方程即可； （2）因式分解法解方程即可． 【解答】解：（1）x2﹣2x﹣5＝0， x2﹣2x＝5， x2﹣2x+1＝5+1， （x﹣1）2＝6， ∴， 解得：，； （2）（x﹣3）2+2（x﹣3）＝0， （x﹣3）（x﹣1）＝0， 则x﹣3＝0或x﹣1＝0， 解得x1＝3，x2＝1． 20．已知x＝m是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个实数根，求2m（m﹣2）﹣5的值． 【分析】将x＝m代入方程x2﹣2x﹣1＝0，再变形为m2﹣2m＝1，然后将2m（m﹣2）﹣5化简为2（m2﹣2m）﹣5代入计算即可得出答案． 【解答】：解：∵x＝m是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个实数根， ∴m2﹣2m﹣1＝0， ∴m2﹣2m＝1， ∴2m（m﹣2）﹣5， ＝2m2﹣4m﹣5 ＝2（m2﹣2m）﹣5 ＝2×1﹣5 ＝﹣3． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/1/5 22:02:02；用户：钟军；邮箱：13870756251；学号：41363517 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$