第10章 分式（优质类型）-2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（苏科版）

第10章 分式思维导图 【类型覆盖】 类型一、分式值求整 【解惑】已知a为整数，且÷为正整数，求所有符合条件的a的值的和（　　） A．8 B．12 C．16 D．10 【答案】C 【分析】首先对于分式进行化简，然后根据a为整数、分式值为正整数可求出a的值，最后将a的所有值相加即可． 【详解】解：﹣÷ ＝﹣× ＝﹣ ＝ ＝， ∵a为整数，且分式的值为正整数， ∴a﹣5＝1，5， ∴a＝6，10， ∴所有符合条件的a的值的和：6+10＝16． 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，对分式的分子和分母能够正确分解因式是解题的关键． 【融会贯通】 1．若m为整数，则能使的值也为整数的m有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据平方差公式和完全平方公式进行因式分解，再约分，得出答案即可． 【详解】原式，且， 若m为整数，的值也为整数， 则，，且， 解得：或或， 能使的值也为整数的m的值共有三个． 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的值，掌握分式的性质是解题的关键． 2．若分式的值为整数，则整数x的值为 ． 【答案】或或或 【分析】本题考查了求使分式值为整数时未知数的整数值问题，将分式化为，分别代值计算，即可求解；掌握这类典型问题的解法是解题的关键． 【详解】解： ， 分式的值为整数，且x是整数， 或 或或， 解得：或或或， 故答案：或或或． 3．若为整数，且为整数，则所有符合条件的的值为 ． 【答案】1，2，4，5 【分析】本题考查的是分式为整数时未知数的整数值，先通分，再根据分式的加减法计算出分式的值，根据x为整数得出符合条件的x的值即可． 【详解】解： ， ， 若为整数，且为整数， 当时，原式， 当时，原式， 当时，原式， 当时，原式， 故答案为：1，2，4，5． 类型二、分式恒等式 【解惑】已知，则A的取值是 A．-3 B．3 C．-6 D．6 【答案】C 【分析】已知等式右边两项通分并利用同分母分式的加法法则变形，利用多项式相等的条件即可求出a的值. 【详解】， ， 得到5x+1=A(x-2)+11(x-1)=(A+11)x-2A-11， ∴A+11=5，-2A-11=1， ∴A=-6. 故选C. 【点睛】此题考查了分式的加减法,分式加减法的关键是通分,通分的关键是找最简公分母 【融会贯通】 1．如果分式，那么A，B的值是(　　) A．A＝－2，B＝5 B．A＝2，B＝－3 C．A＝5，B＝－2 D．A＝－3，B＝2 【答案】A 【详解】因为=，所以，解得，故选A. 2．若恒成立，则A-B= ． 【答案】2 【分析】已知等式右边通分并利用同分母分式的加法法则计算，再根据分式相等的条件即可求出所求． 【详解】解：等式整理得， ∴ ∴A-B＝2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了分式的加减，解题的关键是通分，对等式进行整理，转化为分母相同的形式，从而求解． 3．已知，则 ， ． 【答案】 【分析】先把等式的右边通分，再与左边相比较即可得出结论． 【详解】解：∵右边 ∵ ∴ ∴ ∴ 故答案是：； 【点睛】本题考查的是分式的通分，熟练掌握分式混合运算法则是解答此题的关键． 类型三、分式方程的解为参数 【解惑】关于的分式方程的解是负数，则字母的取值范围是（　　） A． B．3且2 C． D．3且2 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的解和解一元一次不等式，正确掌握解分式方程和解一元一次不等式是解题的关键． 解分式方程，得到含有得方程的解，根据“方程的解是负数”，结合分式方程的分母不等于零，得到两个关于的不等式，解之即可． 【详解】解：， 方程两边同时乘以得：， 解得：， ， ， 即， 解得：， 又∵方程的解是负数， ， 解不等式得：， 综上可知：且， 故选：B． 【融会贯通】 1．已知关于的分式方程 的解是非负数，则的取值范围是（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了解分式方程，分式方程的解，解分式方程可得，即得，得到，又由得到，据此即可求解，正确求出分式方程的解是解题的关键． 【详解】解：分式方程去分母得，， 解得， ∵分式方程 的解是非负数， ∴， ∴， 又∵，即， ∴， ∴且， 故选：． 2．若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查根据分式方程的解情况求参数，根据“原分式方程的解”和“解是正数”建立关于m的不等式是解题的关键． 先解关于x的分式方程，它的解x用含量m的代数式表示，再根据“原分式方程有解”和“方程的解是正数”建立关于m的不等式，求解即可． 【详解】解：， 解得：， ∵原分式方程有解， ∴，即， 解得：， ∵方程的解是正数， ∴， 解得：， ∴且， 故答案为：且． 3．已知关于x的方程的解是非负数，那么m的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了解分式方程、分式方程的解、一元一次不等式等知识，能根据已知和方程的解得出m的范围是解此题的关键． 根据解分式方程的步骤，可得分式方程的解，再根据分式方程的解是非负数，可得不等式，解不等式，可得答案，并注意分母不为零． 【详解】解：由原方程去分母，得， 去括号，得， 解得， 关于x的方程的解是非负数， ， 解得， 又， ， ，， 故m的取值范围为且， 故答案为：且． 类型四、分式方程无解 【解惑】若关于的分式方程无解，则的值为（   ） A．3或 B．3或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了解分式方程，根据解分式方程的方法“去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验根”解出的值，再根据分式方程无解的概念即可求解，掌握解分式方程的方法是解题的关键． 【详解】解： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， ∵关于的分式方程无解， ∴且，或， ∴且，或， 当时，， 解得，， ∴的值为或， 故选：A ． 【融会贯通】 1．关于的分式方程无解，则的值是（    ） A．1 B．3 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的解，理解分式方程无解有整式方程无解和整式方程的解是分式方程的增根两种情况是解决问题的关键． 去分母得：，进而得出，再分整式方程无解和整式方程的解是分式方程的增根两种情况进行讨论，即可得出答案． 【详解】解：去分母得：， ， 当，即时，，此时整式方程无解，分式方程无解， 当，即时，由得， 把代入得：， 解得：， 关于的分式方程无解时，或， 故选：D． 2．如果关于的方程无解，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，掌握方程无解时满足的条件是解题的关键．先求方程的解得到，再由方程无解可得或，求出即可． 【详解】解：， 方程两边同时乘，得， 去括号得，， 移项、合并同类项，得， ， 方程无解， 或， 解得或， 故答案为：或． 3．已知关于x的分式方程． （1）若分式方程的根是，则的值为 ； （2）若分式方程无解，则的值为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了解分式方程； （1）把代入方程计算，即可求出的值； （2）分式方程去分母转化为整式方程，由整式方程无解和分式方程无解求的值即可． 【详解】解：（1）分式方程的根是， ， 解得， 的值为； （2）①去分母得：， 当时，方程无解， ， ②当分式方程有增根， 或， 当时，， 当时，， ， 的值为； ， 若分式方程无解，的值为或． 类型五、分式方程整数解 【解惑】若关于x的不等式组 的解集为，且关于y的分式方程 的解为正整数，则符合条件的所有整数a的和为（    ） A．4 B． C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式组、分式方程的解，熟练掌握一元一次不等式组的解法、分式方程的解法，注意分式方程增根的情况是解题的关键． 先分别解不等式组里的两个不等式，根据解集求出a的取值范围，再由分式方程的解求出a的范围，得到两个a的范围必须同时满足，即求得可得到的整数a的值． 【详解】解：解不等式组得， ∵不等式组的解集为， ∴ ， 解得， 解关于y的分式方程 ， 得， ∵分式方程的解为正整数， ∴且， ∴且， ， 或或， 所有满足条件的整数a的值有：，，， 符合条件的所有整数a的和为．故选：B． 【融会贯通】 1．若关于的一元一次不等式组无解，且关于的分式方程的解是非负整数，则所有满足条件的整数的值之和是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查分式方程的解，一元一次不等式组的解集，熟练掌握一元一次不等式组的解法，分式方程的解法，注意方程的增根情况是解题的关键．先算出一元一次不等式组的解集，根据“无解”得，再化简，得，然后结合“解是非负整数”，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：不等式组， 由得， 由得， 不等式组无解， ． ． 又， ． 方程的解是非负整数解， ． ． 或或或或或． 又， ， 或或或或． 所有满足条件的整数的值之和， 故选：C． 2．关于x的分式方程的解为正数，且关于y的不等式组的解集为，则所有满足条件的整数a的和为 ． 【答案】20 【分析】本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式组，解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解，掌握求解分式方程，一元一次不等式组，一元一次不等式是解决问题的关键．根据分式方程的解法及一元一次不等式组的解法，按照题意列出关于参数的不等式求解即可得到答案． 【详解】解：解分式方程得到， 关于x的分式方程的解为正数， 且，解得且； 解不等式组， 由①得到； 由②得到； 关于的不等式组的解集为， 由不等式组解集的求法可得，解得； 综上所述，且， 满足的正整数为，即所有满足条件的整数的值之和是， 故答案为：20． 3．若实数使得关于的分式方程的解为负数，且使关于的不等式组至少有个整数解，则符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式方程的解，在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于的值，不是原分式方程的解．先求出分式方程的解，根据分式方程的解为负数，可得，且，再求出不等式组的解集，根据不等式组至少有个整数解，可得，从而得到的取值范围为，且，进而得到符合条件的所有整数的，，，即可求解． 【详解】解： 实数使得关于的分式方程的解为负数， ，且 解得：，且， ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， 实数使关于的不等式组至少有个整数解， ， ， ，且， 符合条件的所有整数为，，， 符合条件的所有整数的和为， 故答案为：． 类型六、分式与分式方程新定义运算 【解惑】对于实数和，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题中的新定义化简，转化为分式方程，解分式方程即可． 【详解】由题意化简：， ∴，解得：， 经检验：是原分式方程的解， 故选：． 【点睛】此题考查了解分式方程，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． 【融会贯通】 1．定义运算“★”：．若，则x的值为（   ） A．3 B．10 C．或10 D．或 【答案】C 【分析】本题考查新定义的应用，以及解分式方程．分和两种情况根据新定义得出方程，求解即可． 【详解】解：当时，， 解得，， 经检验，是原方程的根； 当时，， 解得，， 经检验，是原方程的根； 综上，的值为：或10 故选：C． 2．定义，其中为常数， ①当时，若，则 ； ②若无解，则 ． 【答案】 /0.5 1 【分析】本题主要考查了新定义运算、解分式方程、一元一次不等式的应用等知识，理解新定义运算是解题关键． （1）根据新定义运算，可得，求解并检验，即可获得答案； （2）②根据题意，若无解，则有恒成立，然后分和两种情况，分别分析并求解即可． 【详解】解：①当时，若， 则有，解得， 经检验，是该分式方程的解， 所以； ②根据题意，，， 若无解， 则有恒成立， 当时， 可有恒成立， 所以， 所以， 所以； 当时， 可有恒成立， 所以， 所以， 所以． 综上所述，． 故答案为：①；②1． 3．定义两种新运算“△”和“※”，其运算规则为，，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新运算，解分式方程，根据新运算规则得，解出方程，即可求解；理解新运算规则，掌握解分式方程的解法是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 去分母得： ， 整理得：， 解得：， 检验：当时， ， 原方程的解为， 故答案：． 类型七、分式的裂项 【解惑】（1）观察下列算式： ，，，由此推断：_______； （2）请用含字母（为正整数）的等式表示（1）中的一般规律； （3）解方程：． 【答案】1）；（2）．（3）原分式方程无解 【分析】本题考查了数字类规律探索，解分式方程． （1）根据题干所给式子即可得解； （2）根据（1）中的式子得出规律即可； （3）根据规律得出，再解分式方程即可得解． 【详解】解：（1）由题意可得：； （2）由（1）可得：； （3）∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 经检验，时原分式方程的增根， ∴原分式方程无解． 【融会贯通】 1．观察下面的变形规律： (1)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含的等式表示，为正整数）； (2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的： (3)化简：． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了规律探究，相关知识点由：分式的运算，准确探究出规律是解题关键． （1）根据规律即可得出； （2）利用分式的加减计算证明即可； （3）将每一个式子根据规律变形化简即可． 【详解】（1）解：, 故答案为：； （2）证明：， ∴； （3）解： ． 2．（1）观察下列各式：，，，，……，由此可推断_________=___________． （2）请猜想能表示（1）的特点的一般规律，用含m的等式表示出来为___________=__________（m表示正整数）； （3）请参考（2）中的规律计算：． 【答案】（1），；（2），；（3）0 【分析】此题考查了分式加减混合运算、数字类规律探究，掌握规律是解题的关键． （1）按照题目中的例子进行解答即可； （2）根据例子写出规律即可； （3）先求出，再把所求式子按照规律进行计算即可． 【详解】解：（1） 根据对式子的观察，可以将分母72分解为，再按规律写出：； （2）用m表示由原分母分解出来的较小的因数，用m+1表示较大的因数，得：； 故答案为：，； （3）∵， ∴， ∴， . 3．观察下列算式：，， (1)由上式可以类似推出式为：______； (2)用含字母的等式表示（1）中的一般规律（为非零自然数）； (3)用以上方法解方程；． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了解分式方程，以及规律型：数字的变化类，根据题意找到规律是解题的关键． （1）仿照已知等式推理得出下一个等式即可； （2）归纳总结得到一般性规律，写出即可； （3）利用裂项的方法化简方程，求出解即可． 【详解】（1）解： ，， 根据规律可得，式为． （2）解：根据题意可得：它的一般规律是（为非零自然数） （3）解： 原方程化为， 整理得，即， 解得：． 检验当时，， 是原分式方程的解． 类型八、分式与分式方程的规律 【解惑】观察以下等式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：； 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：_________； (2)写出你猜想的第个等式：_________用含的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）通过前4个等式的规律可得此题结果； （2）结合（1）题结果进行证明． 【详解】（1）解：由题意得，第五个等式为， 故答案为：； （2）由（1）题规律可得，第个等式为， 证明: ， ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了解决数式变化规律问题的能力，关键是能通过正确地观察、猜想、证明得到问题中蕴含的规律． 【融会贯通】 1．观察下列算式，并解答下列问题： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… (1)按以上规律写出第4个等式：______； (2)用含有的代数式表示第个等式，并证明其正确性． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，分式的混合计算： （1）根据题意写出对应的式子即可； （2）先根据题意找到规律第n个式子为，再根据分式的混合计算法则证明等式左边等于多少右边即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 故答案为：； （2）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； ……， 以此类推，第n个式子为． 证明：左边 右边， ∴等式成立． 2．观察下面的等式：，，，…… (1)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含的等式表示，为正整数）． (2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的． (3)请用以上规律比较与的大小． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】此题考查数字的变化规律，分式加法运算，解题关键是通过观察，分析、归纳发现其中各分母的变化规律． （1）根据所给式子发现规律，第一个式子的左边分母为和，分子为和1，第二个式子的左边分母为和，分子为和2，第一个式子的左边分母为和，分子为和3，…；左边分母之积等于右边分母，左边分子之差等于右边分子，右边分数的分子都为1，所以第n个式子为； （2）由（1）的规律发现第n个式子为，用分式的加法计算式子右边即可证明； （3）根据（1）的规律先计算，再比较即可． 【详解】（1）解：第一个式子的左边分母为和，分子为和1， 第二个式子的左边分母为和，分子为和2， 第一个式子的左边分母为和，分子为和3，…； 左边分母之积等于右边分母，左边分子之差等于右边分子，右边分数的分子都为1， 第n个式子为； （2）解： 右边， ； （3）解：，， ， ， ． 3．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)各等式都成立时，______； (2)在（1）的条件下，写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，分式的加减计算： （1）根据含乘方的有理数混合计算法则求解即可； （2）根据等式的规律写出第n个等式，根据分式的加减进行计算，即可证明． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； 同理可求出第2、3、4个等式成立时，， 故答案为：； （2）解：猜想的第n个等式为：， 证明：左边 右边 ， ∴左边右边． 类型九、分式与分式方程的新定义应用 【解惑】定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．例如：，，则和都是“和谐分式”． (1)下列式子中，属于“和谐分式”的是______；（填序号） ①；②；③． (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (3)先化简，若该式的值为整数，求x的整数值． 【答案】(1)②③ (2) (3) 【分析】本题考查了分式的混合运算，分式有意义的条件，理解“和谐分式”的定义是解此题的关键． （1）根据“和谐分式”的定义逐个分析即可得解； （2）根据题意结合“和谐分式”的定义计算即可得解； （3）先化简，再结合分式有意义的条件即可得解． 【详解】（1）解：，， 故属于“和谐分式”的是②③； （2）解：； （3）解： ， ∴当或时，分式的值为整数， 此时或或1或， 又∵分式有意义时、1、、， ∴． 【融会贯通】 1．定义：如果分式A与分式B的和等于它们的积，即．，那么就称分式A与分式B“互为关联分式”，其中分式A是分式B的“关联分式”． 例如：分式与分式，因为， ，所以，所以分式与分式“互为关联分式” (1)判断分式与分式________“互为关联分式”（选填“是”或“不是”）请通过计算说明： (2)小明在研究“互为关联分式”时发现：因为，又因为A，B都不为0，所以所以，也就是“互为关联分式”的两个分式，将它们各自分子分母颠倒位置后相加，和为1．请你根据小明发现的“互为关联分式”的这个特征，求分式的“关联分式” 【答案】(1)不是 (2) 【分析】本题主要考查了新定义下的分式运算，涉及分式的加减计算，分式的乘除法， （1）根据关联分式的定义判断即可； （2）根据“互为关联分式”的特征，假设其“关联分式”通过分式的运算即可求得答案． 【详解】（1）解： ． ． 所以． 所以分式与分式不是“互为关联分式”． 故答案为：不是； （2）设分式的“关联分式”为． 那么．所以． 所以． 即分式的“关联分式”为． 2．阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：． 我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：； 再如： 解决下列问题： (1)分式是 分式（填“真”或“假”）； (2)将假分式化为带分式的形式为 ； (3)把分式化为带分式；如果的值为整数，求x的整数值． 【答案】(1)真 (2) (3)的整数值为或或或 【分析】（1）根据定义即可求出答案； （2）根据定义进行化简即可； （3）先化为带分式，然后根据题意列出方程即可求出x的值． 【详解】（1）解：由题意得：分式是真分式， 故答案为：真； （2）解： 故答案是：1； （3）解： ∵的值为整数，且为整数； 为的约数， 的值为或或或； ∴的值为或或或． 【点睛】本题考查分式和新定义问题，解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算，本题属于中等题型． 3．我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“和雅式”，这个常数称为关于的“和雅值”． 如分式，，，则是的“和雅式”，关于的“和雅值”为． (1)已知分式，，判断是否为的“和雅式”，若不是，请说明理由；若是，请证明并求出关于的“和雅值”； (2)已知分式，，是的“和雅式”，且关于的“和雅值”是，求的值； (3)已知分式，，是的“和雅式”，且关于的“和雅值”是，为整数，且“和雅式”的值也为整数，求所代表的代数式及所有符合条件的的值之和． 【答案】(1)不是，理由见解析 (2) (3)， 【分析】（1）根据新定义进行判断； （2）根据新定义，列出方程求解； （3）根据新定义列出方程，再根据整除的意义求解． 【详解】（1）解：不是的“和雅式”； 理由： ， 不是的“和雅式”； （2）由题意得：， ， ， ， 解得：，， ； （3）由题意得：， ， ， 为整数，为整数， 的值为：或， 的值为：，，，， ， 所以所有符合条件的的值之和为． 【点评】本题考查了分式的加减法，理解新定义和掌握分式的运算是解题的关键． 类型十、分式的加减应用(比较大小) 【解惑】【问题提出】 课堂上，老师提出了下面的问题： ，，，试比较M与N的大小． 小华：整式的大小比较可采用“作差法”． 老师：比较与的大小． 小华：∵ ． 老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？ … 【问题解决】 （1）请用“作差法”完成老师提出的问题． 【问题应用】 数学来源于生活，生活中处处有数学，我们用平时喝的糖水做“糖水实验”也能验证一些数学结论．现有a克糖水，其中含有b克糖（），则糖水的浓度（即糖与糖水的质量比）为． 实验1：加入m克水，则糖水的浓度为﹒生活经验告诉我们，糖水加水后甜味会变淡，由此可以写出一个不等式：，我们趣称为“糖水不等式”． （2）实验2：将“实验1”中的“加入m克水”改为“加入m克糖”，则糖水的浓度发生了变化，根据生活经验，请你写出一个新的“糖水不等式”：__________，并验证你写的不等式的正确性． （3）设a、b、c为三边的长，根据上述实验2的结论，求证：． 【答案】（1）详见解析 （2），证明见解析 （3）详见解析 【分析】题目主要考查分式的加减运算及分式的基本性质，理解题意，列出分式进行运算是解题关键． （1）根据分式的加减法运算求解即可； （2）根据题意得出加入m克糖后，糖水浓度为，然后利用分式作差求解即可； （3）根据三角形三边关系得出，，，再由分式的性质及加减法证明即可． 【详解】（1） ，， ； （2）解： 证明如下： 加入m克糖后，糖水浓度为， ， ∵， ， 又∵ ， 故答案为：； （3）证明：∵a、b、c为的三边长， ，， ，，． 由（2）的结论知道：，，， 三式相加得： ． 【融会贯通】 1．课堂上，老师提出下面的问题： 已知，，，试比较M与N的大小．小聪：整式的大小比较可采用“作差法” 老师：比较与的大小． 小聪：∵， ∴． 老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？ … (1)请用“作差法”完成老师提出的问题； (2)比较大小： ；（填“＜”“＝”或“＞”） (3)解决上述问题后，小慧同学提出一个有关“糖水甜度”的问题：“在一定质量的糖水中，加入一定质量的糖，糖水会变得更甜！你能说明其中的道理吗？” 我们不妨设原有糖水a克，其中含糖b克（），则原糖水的“甜度”可用表示，现向糖水中加入n克糖（），糖水的“甜度”可用表示，请你用数学知识解释其中的奥秘． 【答案】(1) (2)< (3)加糖后糖水会变甜，理由见解析 【分析】本题主要考查了分式的加减的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意得，，又，则，进而可以判断得解； （2）依据题意，结合（1）当时，从而可得，从而可以得解； （3）依据题意，原糖水的“甜度”为，现糖水的“甜度”为，进而可得，再结合，可得0，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：由题意得， ， 又， ， ， ， ∴； （2）由题意，结合（1）当时， ， 故答案为：． （3）由题意，原糖水的“甜度”为，现糖水的“甜度”为． ， 又， ， ， ， ∴在一定质量的糖水中，加入一定质量的糖，糖水会变得更甜． 2．【阅读理解】在比较两个数或代数式的大小时，解决策略一般是利用“作差法”，即要比较代数式M，N的大小，只要作出差，若，则；若，则；若，则． 【解决问题】 (1)若，则______0（填“”“”或“”）； (2)已知，，当时，比较A与的大小，并说明理由； (3)小王和小张的加油习惯不同，小王每次加300元的油（油箱未加满），而小张每次都把油箱加满．现实生活中油价常有变动，现以两次加油为例来研究，设第一次油价为x元/升，第二次油价为y元/升． ①小王两次加油的平均单价为______元/升，小张两次加油的平均单价为______元/升（用含x，y的代数式表示，化简结果）； ②请通过计算判断，小王和小张的两种加油方式中，哪种平均单价更低？ 【答案】(1) (2)； (3)①，；②小王加油的平均单价更低． 【分析】（1）根据分式的基本性质化简得到，进而求解； （2）化简，由可得，进而求解； （3）①根据加油量=费用÷油的单价，平均单价=两次加油花的钱÷两次加油的总量列代数式即可； ②用小王的平均油价减去小张的平均油价，如果大于0则小张的省钱，如果小于0则小王的省钱，等于0则费用一样； 【详解】（1）解：， ， ， 则， ， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴ ， ∵，∴，∴，即； （3）解：①小王两次所加油的平均单价为： 元/升； 设小张油箱加满能加a升． 小张两次加油的平均单价为元/升； 故答案为：，； ②， ∵，， ∴当时，，即， 两种加油方式的平均单价相同； 当时， 即，即， 答：小王加油的平均单价低，小王的加油方式更省钱． 【点睛】本题考查分式的基本性质，解题关键是掌握分式的基本性质，通过题干方法作差求解． 3．问题提出 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．所谓“作差法”：就是通过作差、变形，并利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式M、N的大小，只要作出它们的差，若，则；若，则；若，则． 问题解决 如图1，把边长为的大正方形分割成两个边长分别是a、b的小正方形及两个矩形，试比较两个小正方形面积之和M与两个矩形面积之和N的大小． 解：由图可知：，． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 类比应用 （1）已知小丽和小颖购买同一种商品的平均价格分别为元/千克和元/千克（a、b是正数，且），试比较小丽和小颖所购买商品的平均价格的高低． （2）试比较图2和图3中两个矩形周长、的大小． 联系拓广 小刚在超市里买了一些物品，用一个长方体的箱子“打包”，这个箱子的尺寸如图4所示（其中），售货员分别可按图5、图6、图7三种方法进行捆绑，问哪种方法用绳最短？哪种方法用绳最长？请说明理由． 【答案】（1）小丽所购买商品的平均价格比小颖的高；（2）第一个矩形大于第二个矩形的周长；联系拓广：第二种方法用绳最短，第三种方法用绳最长 【分析】此题考查了分式的加减运算，整式的加减运算的应用，解题的关键是正确列出算式并求解． （1）类比应用（1）首先得出，进而比较得出大小关系； （2）由图形表示出，，利用两者之差求出即可． 联系拓广：分别表示出图5的捆绑绳长为，则，图6的捆绑绳长为，则，图7的捆绑绳长为，则，进而表示出它们之间的差，即可得出大小关系． 【详解】（1） ∵a、b是正数，且， ∴ ∴ ∴小丽所购买商品的平均价格比小颖的高； （2）由图知，，， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴第一个矩形大于第二个矩形的周长． 联系拓广：设图5的捆绑绳长为，则， 设图6的捆绑绳长为，则， 设图7的捆绑绳长为，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴第二种方法用绳最短，第三种方法用绳最长． 【一览众山小】 1．下列计算中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的运算，根据合并同类项法则、单项式除以单项式、同底数幂的除法、积的乘方分别计算即可判断求解，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项正确，符合题意； 故选：． 2．若在实数范围内有，，，则方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了幂的运算，解分式方程，由迷得运算法则求出，代入分式方程，然后解分式方程即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴原方程变为， 两边都乘以，得 ， 解得， 检验：当时，， ∴是分式方程的解． 故选A． 3．为有效解决交通拥堵问题，某市决定对一条长的道路进行拓宽改造．为了减轻施工对城市交通造成的影响，实际施工时，每天改造道路的长度比原计划多了10%，结果提前3天完成任务，求实际每天改造道路的长度与实际施工天数．珍珍同学根据题意列出方程；文文同学根据题意列出方程．已知两人所列方程均正确，下列说法正确的是（    ） A．代表相同的含义 B．表示实际每天改造道路的长度 C．表示实际施工天数 D．表示实际每天改造道路的长度 【答案】C 【分析】本题主要考查分式方程的实际应用．根据题意依次进行判断即可． 【详解】解：珍珍同学：设原计划每天改造道路的长度为，实际每天改造的长度为； 文文同学：设实际施工天数为，故原计划施工天数为； x，y代表不相同的含义，故选项A说法错误，不符合题意； x表示原计划每天改造道路的长度，故选项B说法错误，不符合题意； y表示实际施工天数，故选项C说法正确，符合题意； 表示原计划每天改造道路的长度，故选项D说法错误，不符合题意； 故选：C． 4．分式方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键在于将分式方程转化整式方程以及求得的结果要进行检验．方程两边同时乘以得出整式方程，求出方程的解，再进行检验即可． 【详解】解：方程两边同时乘以得， ，即 解得：， 检验：当时，， 是方程的解． 故答案为：． 5．若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是 ． 【答案】10 【分析】本题考查了解一元一次不等式组、解分式方程，解不等式组结合不等式组的解集可得，解分式方程得出，结合题意可得或或，即可得解，熟练掌握一元一次不等式组和分式方程的解法是解此题的关键． 【详解】解：， 解不等式①可得：， 解不等式②可得：， ∵关于x的一元一次不等式组的解集为， ∴， 解得：， 解分式方程可得：， ∵关于y的分式方程的解为正整数，， ∴或或， ∴所有满足条件的整数a的值之和是， 故答案为：． 6．我们可以将一些只含有一个字母且分子、分母的次数都为一次的分式变形，转化为整数与新的分式的和的形式，其中新的分式的分子中不含字母，如：，． 参考上面的方法，解决下列问题： （1）将变形为满足以上要求的形式：＝ ； （2）若为正整数，且a也为正整数，则a的值为 ． 【答案】 ； 2或6 【分析】 本题考查分式的加减及分式的性质，结合已知条件将原式进行正确的变形是解题的关键． （1）利用分式的加减法则及分式的性质进行变形即可； （2）将原式变形后根据题意确定符合题意的a的值即可． 【详解】 （1）解：原式 ， 故答案为：； （2）原式， ， ， ∴或5， 解得：或6 故答案为：2或6 7．解方程：． 【答案】此分式方程无解 【分析】本题主要考查了解分式方程，分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解，熟练掌握解分式方程的方法并知道检验是解决此题的关键． 【详解】 解：去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 解得：， 检验：把代入得：， ∴是增根， ∴此分式方程无解． 8．某校图书馆新到一批图书需要整理．若图书管理员张老师一人单独整理完需要．现在张老师与陈老师共同整理后，张老师因事外出，陈老师再单独整理了才完成． (1)陈老师单独整理完这批图书需要多少分钟？ (2)若陈老师的整理时间不超过，要整理完这批图书，张老师至少要整理多少分钟？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，—元一次不等式的应用等知识点，仔细审题，按照题中隐含的不等关系及等量关系正确列出方程或不等式是解题的关键． （1）设陈老师单独整理完这批图书需要分钟，则陈老师的工作效率为，根据“张老师与陈老师共同整理 20分钟的工作量 + 陈老师再单独整理了 20 分钟的工作量”，列方程求解即可； （2）根据陈老师的整理时间不能超过 30 分钟，列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设陈老师单独整理完这批图书需要分钟，则陈老师的工作效率为， 由题意，可得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 答：陈老师单独整理完这批图书需要 80 分钟； （2）解：设张老师要整理分钟， 由题意，可得：， 解得：， 答：若陈老师的整理时间不超过，要整理完这批图书，张老师至少要整理 25 分钟． 9．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a米（）的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了． (1)①“丰收1号”单位面积产量为______，“丰收2号”单位面积产量为______（以上结果均用含a的式子表示）； ②通过计算可知，______（填“1号”或“2号”）小麦单位面积产量高； (2)若高的单位面积产量比低的单位面积产量的多，求a的值； (3)某农户试种“丰收1号”、“丰收2号”两种小麦种子，两种小麦试种的单位面积产量与实验田一致，“丰收1号”小麦种植面积为n平方米（n为整数），“丰收2号”小麦种植面积比“丰收1号”少45平方米，若两种小麦种植后，收获的产量相同，当且a为整数时，符合条件的n值为______（直接写出结果）． 【答案】(1)①，；② (2) (3)，， 【分析】本题考查分式方程的应用，不等式的应用．理解分式的基本性质，不等式的基本性质，根据题意列出方程是解题关键． （1）①用“总产量面积”列式求得单位面积的产量；②根据，并利用不等式的性质作出比较； （2）根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得的值； （3）根据题意列出方程，并结合，列不等式求解． 【详解】（1）解：①由题意，“丰收号”小麦的试验田的面积为， ∴“丰收号”单位面积产量为； 由题意，“丰收号”单位面积为， ∴“丰收号”单位面积产量为． ②∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即“丰收号”小麦的单位面积产量高． 故答案为：号． （2）解：根据题意，得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解且符合题意． ∴的值是． （3）解：根据题意，得： ， 整理，可得：， ∴， 当且a为整数（）， 解得：， 又∵为正整数，且满足， 当时，， 当时，， 当时，， ∴符合条件的的值为，，． 10．如图，点在直线上，直线上有一点； (1)求点P和点Q的坐标（其中点Q坐标用含k的代数式表示）； (2)过点P作轴，过点Q作轴，垂足分别是A、B．如果的面积是面积的，请求出k的值； (3)在（2）的条件下，线段与直线相交于点G，直线上是否存在点D，使？如果存在，请直接写出D的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，， 【分析】本题考查了一次函数解析式，坐标与图形，解分式方程等知识．熟练掌握一次函数解析式，坐标与图形，解分式方程是解题的关键． （1）由点在直线上，可得，即；由直线上有一点，可得，可求，进而可得； （2）由题意知，，，则，，由的面积是面积的，可得，计算求出满足要求的解即可； （3）由题意知，设，当在第一象限时，如图，由，可得，可求D；当在第三象限时，如图，，由题意知，，则． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴，即； ∵直线上有一点， ∴， 解得，， ∴； （2）解：由题意知，，， ∴， ∴， ∵的面积是面积的， ∴， 解得，， 经检验，是原分式方程的解且符合要求； （3）解：设， 当在第一象限时，如图， ∵， ∴， ∴D； 当在第三象限时，如图，， 由题意知，， ∴， 综上所述，存在，D的坐标，． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10章 分式思维导图 【类型覆盖】 类型一、分式值求整 【解惑】已知a为整数，且÷为正整数，求所有符合条件的a的值的和（　　） A．8 B．12 C．16 D．10 【融会贯通】 1．若m为整数，则能使的值也为整数的m有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．若分式的值为整数，则整数x的值为 ． 3．若为整数，且为整数，则所有符合条件的的值为 ． 类型二、分式恒等式 【解惑】已知，则A的取值是 A．-3 B．3 C．-6 D．6 【融会贯通】 1．如果分式，那么A，B的值是(　　) A．A＝－2，B＝5 B．A＝2，B＝－3 C．A＝5，B＝－2 D．A＝－3，B＝2 2．若恒成立，则A-B= ． 3．已知，则 ， ． 类型三、分式方程的解为参数 【解惑】关于的分式方程的解是负数，则字母的取值范围是（　　） A． B．3且2 C． D．3且2 【融会贯通】 1．已知关于的分式方程 的解是非负数，则的取值范围是（　　） A． B． C．或 D．或 2．若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是 ． 3．已知关于x的方程的解是非负数，那么m的取值范围为 ． 类型四、分式方程无解 【解惑】若关于的分式方程无解，则的值为（   ） A．3或 B．3或 C．或 D．或 【融会贯通】 1．关于的分式方程无解，则的值是（    ） A．1 B．3 C．或 D．或 2．如果关于的方程无解，则的值为 ． 3．已知关于x的分式方程． （1）若分式方程的根是，则的值为 ； （2）若分式方程无解，则的值为 ． 类型五、分式方程整数解 【解惑】若关于x的不等式组 的解集为，且关于y的分式方程 的解为正整数，则符合条件的所有整数a的和为（    ） A．4 B． C．8 D．10 【融会贯通】 1．若关于的一元一次不等式组无解，且关于的分式方程的解是非负整数，则所有满足条件的整数的值之和是（   ） A． B． C． D． 2．关于x的分式方程的解为正数，且关于y的不等式组的解集为，则所有满足条件的整数a的和为 ． 3．若实数使得关于的分式方程的解为负数，且使关于的不等式组至少有个整数解，则符合条件的所有整数的和为 ． 类型六、分式与分式方程新定义运算 【解惑】对于实数和，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是（     ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．定义运算“★”：．若，则x的值为（   ） A．3 B．10 C．或10 D．或 2．定义，其中为常数， ①当时，若，则 ； ②若无解，则 ． 3．定义两种新运算“△”和“※”，其运算规则为，，若，则 ． 类型七、分式的裂项 【解惑】（1）观察下列算式： ，，，由此推断：_______； （2）请用含字母（为正整数）的等式表示（1）中的一般规律； （3）解方程：． 【融会贯通】 1．观察下面的变形规律： (1)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含的等式表示，为正整数）； (2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的： (3)化简：． 2．（1）观察下列各式：，，，，……，由此可推断_________=___________． （2）请猜想能表示（1）的特点的一般规律，用含m的等式表示出来为___________=__________（m表示正整数）； （3）请参考（2）中的规律计算：． 3．观察下列算式：，， (1)由上式可以类似推出式为：______； (2)用含字母的等式表示（1）中的一般规律（为非零自然数）； (3)用以上方法解方程；． 类型八、分式与分式方程的规律 【解惑】观察以下等式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：； 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：_________； (2)写出你猜想的第个等式：_________用含的等式表示），并证明． 【融会贯通】 1．观察下列算式，并解答下列问题： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… (1)按以上规律写出第4个等式：______； (2)用含有的代数式表示第个等式，并证明其正确性． 2．观察下面的等式：，，，…… (1)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含的等式表示，为正整数）． (2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的． (3)请用以上规律比较与的大小． 3．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)各等式都成立时，______； (2)在（1）的条件下，写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 类型九、分式与分式方程的新定义应用 【解惑】定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．例如：，，则和都是“和谐分式”． (1)下列式子中，属于“和谐分式”的是______；（填序号） ①；②；③． (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (3)先化简，若该式的值为整数，求x的整数值． 【融会贯通】 1．定义：如果分式A与分式B的和等于它们的积，即．，那么就称分式A与分式B“互为关联分式”，其中分式A是分式B的“关联分式”． 例如：分式与分式，因为， ，所以，所以分式与分式“互为关联分式” (1)判断分式与分式________“互为关联分式”（选填“是”或“不是”）请通过计算说明： (2)小明在研究“互为关联分式”时发现：因为，又因为A，B都不为0，所以所以，也就是“互为关联分式”的两个分式，将它们各自分子分母颠倒位置后相加，和为1．请你根据小明发现的“互为关联分式”的这个特征，求分式的“关联分式” 2．阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：． 我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：； 再如： 解决下列问题： (1)分式是 分式（填“真”或“假”）； (2)将假分式化为带分式的形式为 ； (3)把分式化为带分式；如果的值为整数，求x的整数值． 3．我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“和雅式”，这个常数称为关于的“和雅值”． 如分式，，，则是的“和雅式”，关于的“和雅值”为． (1)已知分式，，判断是否为的“和雅式”，若不是，请说明理由；若是，请证明并求出关于的“和雅值”； (2)已知分式，，是的“和雅式”，且关于的“和雅值”是，求的值； (3)已知分式，，是的“和雅式”，且关于的“和雅值”是，为整数，且“和雅式”的值也为整数，求所代表的代数式及所有符合条件的的值之和． 类型十、分式的加减应用(比较大小) 【解惑】【问题提出】 课堂上，老师提出了下面的问题： ，，，试比较M与N的大小． 小华：整式的大小比较可采用“作差法”． 老师：比较与的大小． 小华：∵ ． 老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？ … 【问题解决】 （1）请用“作差法”完成老师提出的问题． 【问题应用】 数学来源于生活，生活中处处有数学，我们用平时喝的糖水做“糖水实验”也能验证一些数学结论．现有a克糖水，其中含有b克糖（），则糖水的浓度（即糖与糖水的质量比）为． 实验1：加入m克水，则糖水的浓度为﹒生活经验告诉我们，糖水加水后甜味会变淡，由此可以写出一个不等式：，我们趣称为“糖水不等式”． （2）实验2：将“实验1”中的“加入m克水”改为“加入m克糖”，则糖水的浓度发生了变化，根据生活经验，请你写出一个新的“糖水不等式”：__________，并验证你写的不等式的正确性． （3）设a、b、c为三边的长，根据上述实验2的结论，求证：． 【融会贯通】 1．课堂上，老师提出下面的问题： 已知，，，试比较M与N的大小．小聪：整式的大小比较可采用“作差法” 老师：比较与的大小． 小聪：∵， ∴． 老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？ … (1)请用“作差法”完成老师提出的问题； (2)比较大小： ；（填“＜”“＝”或“＞”） (3)解决上述问题后，小慧同学提出一个有关“糖水甜度”的问题：“在一定质量的糖水中，加入一定质量的糖，糖水会变得更甜！你能说明其中的道理吗？” 我们不妨设原有糖水a克，其中含糖b克（），则原糖水的“甜度”可用表示，现向糖水中加入n克糖（），糖水的“甜度”可用表示，请你用数学知识解释其中的奥秘． 2．【阅读理解】在比较两个数或代数式的大小时，解决策略一般是利用“作差法”，即要比较代数式M，N的大小，只要作出差，若，则；若，则；若，则． 【解决问题】 (1)若，则______0（填“”“”或“”）； (2)已知，，当时，比较A与的大小，并说明理由； (3)小王和小张的加油习惯不同，小王每次加300元的油（油箱未加满），而小张每次都把油箱加满．现实生活中油价常有变动，现以两次加油为例来研究，设第一次油价为x元/升，第二次油价为y元/升． ①小王两次加油的平均单价为______元/升，小张两次加油的平均单价为______元/升（用含x，y的代数式表示，化简结果）； ②请通过计算判断，小王和小张的两种加油方式中，哪种平均单价更低？ 3．问题提出 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．所谓“作差法”：就是通过作差、变形，并利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式M、N的大小，只要作出它们的差，若，则；若，则；若，则． 问题解决 如图1，把边长为的大正方形分割成两个边长分别是a、b的小正方形及两个矩形，试比较两个小正方形面积之和M与两个矩形面积之和N的大小． 解：由图可知：，． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 类比应用 （1）已知小丽和小颖购买同一种商品的平均价格分别为元/千克和元/千克（a、b是正数，且），试比较小丽和小颖所购买商品的平均价格的高低． （2）试比较图2和图3中两个矩形周长、的大小． 联系拓广 小刚在超市里买了一些物品，用一个长方体的箱子“打包”，这个箱子的尺寸如图4所示（其中），售货员分别可按图5、图6、图7三种方法进行捆绑，问哪种方法用绳最短？哪种方法用绳最长？请说明理由． 【一览众山小】 1．下列计算中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．若在实数范围内有，，，则方程的解是（    ） A． B． C． D． 3．为有效解决交通拥堵问题，某市决定对一条长的道路进行拓宽改造．为了减轻施工对城市交通造成的影响，实际施工时，每天改造道路的长度比原计划多了10%，结果提前3天完成任务，求实际每天改造道路的长度与实际施工天数．珍珍同学根据题意列出方程；文文同学根据题意列出方程．已知两人所列方程均正确，下列说法正确的是（    ） A．代表相同的含义 B．表示实际每天改造道路的长度 C．表示实际施工天数 D．表示实际每天改造道路的长度 4．分式方程的解是 ． 5．若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是 ． 6．我们可以将一些只含有一个字母且分子、分母的次数都为一次的分式变形，转化为整数与新的分式的和的形式，其中新的分式的分子中不含字母，如：，． 参考上面的方法，解决下列问题： （1）将变形为满足以上要求的形式：＝ ； （2）若为正整数，且a也为正整数，则a的值为 ． 7．解方程：． 8．某校图书馆新到一批图书需要整理．若图书管理员张老师一人单独整理完需要．现在张老师与陈老师共同整理后，张老师因事外出，陈老师再单独整理了才完成． (1)陈老师单独整理完这批图书需要多少分钟？ (2)若陈老师的整理时间不超过，要整理完这批图书，张老师至少要整理多少分钟？ 9．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a米（）的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了． (1)①“丰收1号”单位面积产量为______，“丰收2号”单位面积产量为______（以上结果均用含a的式子表示）； ②通过计算可知，______（填“1号”或“2号”）小麦单位面积产量高； (2)若高的单位面积产量比低的单位面积产量的多，求a的值； (3)某农户试种“丰收1号”、“丰收2号”两种小麦种子，两种小麦试种的单位面积产量与实验田一致，“丰收1号”小麦种植面积为n平方米（n为整数），“丰收2号”小麦种植面积比“丰收1号”少45平方米，若两种小麦种植后，收获的产量相同，当且a为整数时，符合条件的n值为______（直接写出结果）． 10．如图，点在直线上，直线上有一点； (1)求点P和点Q的坐标（其中点Q坐标用含k的代数式表示）； (2)过点P作轴，过点Q作轴，垂足分别是A、B．如果的面积是面积的，请求出k的值； (3)在（2）的条件下，线段与直线相交于点G，直线上是否存在点D，使？如果存在，请直接写出D的坐标；如果不存在，请说明理由． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$