第10章 分式（基础类型）-2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（苏科版）

第10章 分式思维导图 【类型覆盖】 类型一、分式与分式方程的定义 【解惑】下列式子是分式的是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．下列方程不是分式方程的为（　　） A． B． C． D． 2．下列各式：（1﹣x），，，+x，，其中是分式的有 个． 3．下列关于x的方程①，②，③1，④中，是分式方程的是 ( )（填序号） 类型二、分式有、无意义 【解惑】若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．当时，下列分式没有意义的是（　　） A． B． C． D． 2．要使分式有意义，则x的取值范围为 ． 3．当的值为 时，分式无意义． 类型三、分式值为0 【解惑】若分式的值为0，则的值是（   ）． A． B． C． D． 【融会贯通】 1．分式的值为0，则的取值是（   ） A． B． C． D． 2．当 时，的值为0． 3．如果分式的值为零，那么的值是 ． 类型四、分式的变形 【解惑】下列各式从左到右变形一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．把分式方程变形为的形式，其依据为（    ） A．等式性质1 B．等式性质2 C．分式的基本性质 D．分式的乘法法则 2．在括号内填入适当的整式对分式变形：，括号内应填入数字 ，变形的依据是 ． 3．．括号内应填： 类型五、最简分式 【解惑】下列各分式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．下列分式中，是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 2．给出下列3个分式：①，②，③．其中的最简分式有 （填写出所有符合要求的分式的序号） 3．将分式化成最简分式的结果为 ． 类型六、最简公分母 【解惑】下列选项正确的是（    ） A．分式，的最简公分母是 B． C． D．分式中的a，b同时扩大2倍值不变 【融会贯通】 1．下列说法中，正确的是（   ） A．与的最简公分母是 B．与的最简公分母是 C．与的最简公分母是 D．与的最简公分母是 2．计算时，应先通分，则通分的最简公分母为 ． 3．分式，，的最简公分母是 ． 类型七、分式的基本性质变化 【解惑】若把分式中的都扩大3倍，则分式的值（   ） A．扩大为原来的3倍 B．不变 C．缩小为原来的3倍 D．缩小为原来的6倍 【融会贯通】 1．如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（   ） A．扩大3倍 B．缩小 C．缩小 D．不变 2．已知分式的值为2．若其中的x，y的值都变为原来的3倍，则变化后分式的值为 ． 3．若分式的值为5，当x和y都变为原来的3倍，那么分式的值是 ． 类型八、列分式方程 【解惑】《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列出正确的方程为（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．为了落实“双减”政策，进一步丰富文体活动，学校准备购进一批篮球和足球．已知每个篮球的价格比每个足球的价格多30元，用1800元购进篮球的数量比用900元购进足球的数量多4个．如果设每个足球的价格为x元，那么可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，根据题意，列方程为 ． 3．辛弃疾词曰：“稻花香里说丰年，听取蛙声一片．”五常稻花香大米味清淡略甜，绵软略粘，芳香爽口，是餐桌上的佳品．某收割队承接了五常水稻的收割任务，为了让五常大米早日上市，实际工作效率比原来提高了，结果提前天完成任务．设原计划每天收割的面积为，则列方程为 ． 类型九、约分 【解惑】约分：． 【融会贯通】 1．化简：． 2．化简：． 3．约分： (1)； (2)． 类型十、通分 【解惑】通分： (1)与； (2)与． 【融会贯通】 1．通分： (1)，； (2)，． 2．通分： (1)，，； (2)，； (3)，，． 3．通分： (1)，； (2)，，． 【一览众山小】 1．把分式中的和分别扩大为原来的6倍，则分式的值（） A．扩大为原来的6倍 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的12倍 D．不变 2．若分式有意义，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．若分式的值为0，则x的值为（   ） A．2 B． C． D．或2 4．若分式有意义，则实数x的取值范围是 ． 5．约分： ． 6．2001年、2002年、2003年某地的森林面积分别是，，，2003与2002年相比，森林面积增长率提高了 ． 7．化简：． 8．已知，求分式的值． 9．计算：． 10．（1）计算：； （2）解分式方程：． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10章 分式思维导图 【类型覆盖】 类型一、分式与分式方程的定义 【解惑】下列式子是分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题关键．根据分式的定义作答即可． 【详解】解：A、分母中不含字母，不是分式，不符合题意； B、分母中不含字母，不是分式，不符合题意； C、是分式，符合题意； D、是整式，不是分式，不符合题意； 故选：C． 【融会贯通】 1．下列方程不是分式方程的为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式方程的定义，根据分式方程的定义逐项验证即可得到答案，熟记分式方程的定义是解决问题的关键． 【详解】解：A、是分式方程，不符合题意； B、是分式方程，不符合题意； C、不是分式方程，符合题意； D、是分式方程，不符合题意； 故选：C． 2．下列各式：（1﹣x），，，+x，，其中是分式的有 个． 【答案】2 【分析】看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【详解】解：（1﹣x），，，分母中都不含字母，因此它们是整式，而不是分式． +x，，分母中含有字母，因此是分式． 分式有两个， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查分式的定义，注意不是字母，是常数，所以，不是分式，是整式． 3．下列关于x的方程①，②，③1，④中，是分式方程的是 ( )（填序号） 【答案】② 【分析】分式方程 分式方程是方程中的一种，且分母里含有未知数的（有理）方程叫做分式方程，等号两边至少有一个分母含有未知数． 【详解】根据分式方程的定义即可判断.符合分式方程的定义的是②. 【点睛】本题考查的是分式方程的定义，解题的关键是掌握分式方程的定义. 类型二、分式有、无意义 【解惑】若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题的关键．根据分母不等于零求解． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故选：D． 【融会贯通】 1．当时，下列分式没有意义的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式无意义的条件，根据分式无意义的条件进行判断即可，解题的关键是理解分母为零即为分式无意义的条件． 【详解】解：当时，， ∴当时，分式没有意义， 故选：B． 2．要使分式有意义，则x的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是分式有意义的条件：当分母不为0时，分式有意义．根据分式有意义的条件求解即可． 【详解】解：若分式有意义，则， ∴， 故答案为：． 3．当的值为 时，分式无意义． 【答案】1 【分析】本题考查分式无意义的条件，掌握分母为零时分式无意义是解题的关键． 根据分母为零时分式无意义进行解题即可． 【详解】解：分式无意义时， 解得， 故答案为：1. 类型三、分式值为0 【解惑】若分式的值为0，则的值是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式值为零的条件，熟练掌握分式值为零的条件是解题的关键； 根据分式的值为0即分子为0，分母不为0，据此解答即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴，且， 解得：． 故选：B． 【融会贯通】 1．分式的值为0，则的取值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式值为零的条件，掌握分式为零的条件为分子为零、分母不为零成为解题的关键． 直接根据分式为零的条件列式计算即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴且，解得：． 故选：D． 2．当 时，的值为0． 【答案】0 【分析】本题考查了分式的值为0的条件．根据分式的值为0的条件可知，分子为0，分母不为0，即可求解． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴，， 解得， 故答案为：0． 3．如果分式的值为零，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0，这两个条件缺一不可．根据分子为0；分母不为0求解即可． 【详解】解：由题意得：且， 解得：， 故答案为：． 类型四、分式的变形 【解惑】下列各式从左到右变形一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质逐项进行判断即可． 【详解】A.，故选项错误，不符合题意； B. 当时，，故选项错误，不符合题意； C. ，故选项错误，不符合题意； D. ，故选项正确，符合题意； 故选：D 【融会贯通】 1．把分式方程变形为的形式，其依据为（    ） A．等式性质1 B．等式性质2 C．分式的基本性质 D．分式的乘法法则 【答案】B 【分析】本题考查解分式方程，根据等式的性质，分式的性质，逐一判断即可． 【详解】分式方程等式两边同时乘以得到 ∴A、等式性质：等式两边同时加上或者减去同一个式子，等式仍成立，不符合题意； B、等式性质：等式两边同时乘同一个式子，等式仍成立，符合题意； C、分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以或者除以同一个不为的整式，分式值不变，不符合题意； D、分式的乘法法则：分式的分子和分母分别相乘，即分式的分子和分母与另一个分式的分子和分母相乘，不符合题意； 故选：B． 2．在括号内填入适当的整式对分式变形：，括号内应填入数字 ，变形的依据是 ． 【答案】 分式的基本性质 【分析】本题考查了分式的基本性质，把分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．根据分式的基本性质可和分母的变化即可求解． 【详解】解：∵， ∴括号内应填入数字，变形的依据是分式的基本性质． 故答案为：，分式的基本性质． 3．．括号内应填： 【答案】 【分析】此题考查了分式的性质，根据分式的性质求解即可，解题的关键是掌握分式的性质：分子分母同时乘以或除以不为零的式子或数，分式的值 ． 【详解】解：∵， ∴括号内应填：． 故答案为：． 类型五、最简分式 【解惑】下列各分式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简分式，分式的分子和分母除以外，没有其它的公因式，这样的分式叫最简分式，据此逐个判断即可求解，掌握最简分式的定义是解题的关键． 【详解】解：、分子分母含公因式，该分式不是最简分式，不合题意； 、，分子分母含公因式，该分式不是最简分式，不合题意； 、分子分母不含公因式，该分式是最简分式，符合题意； 、分子分母含公因数，该分式不是最简分式，不合题意； 故选：． 【融会贯通】 1．下列分式中，是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的性质，解题的关键是掌握分式的基本性质，最简分式，掌握一个分式的分子与分母没有公因式，进行解答，即可． 【详解】解：A、，不是最简分式，不符合题意； B 、是最简分式，符合题意； C、不是最简分式，不符合题意； D、不是最简分式，不符合题意． 故选：B． 2．给出下列3个分式：①，②，③．其中的最简分式有 （填写出所有符合要求的分式的序号） 【答案】①②/②① 【分析】根据最简分式的定义即可求出答案． 【详解】解：∵ ，∴③不是最简分式， ∴其中的最简分式有：①，②． 故答案为：①②． 【点睛】本题考查了最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．掌握最简分式定义是解题的关键． 3．将分式化成最简分式的结果为 ． 【答案】 【分析】利用提公因式法把分式的分子、分母因式分解，再约分即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的化简，熟练掌握分式的性质是解题的关键． 类型六、最简公分母 【解惑】下列选项正确的是（    ） A．分式，的最简公分母是 B． C． D．分式中的a，b同时扩大2倍值不变 【答案】C 【分析】本题主要考查了最简公分母和分式的性质，A中两个分式的最简公分母为；根据分式的基本性质可判断B、C、D；分式的分子和分母同乘以（或除以）一个不为0的代数式，分式的值不变． 【详解】解：A．分式的最简公分母是，原说法错误，不符合题意； B．，原说法错误，不符合题意； C．，原说法正确，符合题意； D．分式 中的a，b同时扩大2倍变为，即分式 中的a，b同时扩大2倍值变为原来的2倍，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 【融会贯通】 1．下列说法中，正确的是（   ） A．与的最简公分母是 B．与的最简公分母是 C．与的最简公分母是 D．与的最简公分母是 【答案】C 【分析】求几个分式的最简公分母时，通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，根据这一条件即可得出答案．此题考查了最简公分母，求几个分式的最简公分母时，应注意将分母转化为最简式后再进行相乘． 【详解】解：A、与的最简公分母是，故本选项不符合题意； B、与的最简公分母是，故本选项不符合题意； C、与的最简公分母是，故本选项符合题意； D、与的最简公分母是，故本选项不符合题意； 故选：C． 2．计算时，应先通分，则通分的最简公分母为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查最简公分母，熟练掌握最简公分母是解题的关键；因此此题可根据最简公分母进行求解即可． 【详解】解：通分时，最简公分母为； 故答案为． 3．分式，，的最简公分母是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求最简公分母．根据最简公分母就是各分母所有因式的最高次幂的积，进行作答即可． 【详解】解：因为，，， 所以它们的最简公分母是， 故答案为：． 类型七、分式的基本性质变化 【解惑】若把分式中的都扩大3倍，则分式的值（   ） A．扩大为原来的3倍 B．不变 C．缩小为原来的3倍 D．缩小为原来的6倍 【答案】A 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，即可确定答案． 【详解】解：把分式中的都扩大3倍， 即， ∴分式的值扩大为原来的3倍； 故选：A． 【融会贯通】 1．如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（   ） A．扩大3倍 B．缩小 C．缩小 D．不变 【答案】D 【分析】本题考查分式的基本性质．将x，y用，代入化简，与原式比较即可． 【详解】解：将x，y用，代入得， 故分式的值不变． 故选：D． 2．已知分式的值为2．若其中的x，y的值都变为原来的3倍，则变化后分式的值为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，灵活运用分式的基本性质成为解题的关键． 根据分式的基本性质进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：6． 3．若分式的值为5，当x和y都变为原来的3倍，那么分式的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了分式基本性质，将原分式中的x和y分别用和代替计算，即可得出答案． 【详解】解：由题意，， ， 故答案为：． 类型八、列分式方程 【解惑】《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列出正确的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的应用，设规定时间为天，根据题意列出方程即可，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设规定时间为天， 由题意得，， 故选：． 【融会贯通】 1．为了落实“双减”政策，进一步丰富文体活动，学校准备购进一批篮球和足球．已知每个篮球的价格比每个足球的价格多30元，用1800元购进篮球的数量比用900元购进足球的数量多4个．如果设每个足球的价格为x元，那么可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，直接利用根据单价，表示出篮球与足球价格，再利用1800元购进篮球的数量比用900元购进足球的数量多4个得出等式即可． 【详解】解：设每个足球的价格为x元，根据题意可列方程为： ， 故选：A． 2．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，根据题意，列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．根据题意可知慢马的速度为，快马的速度为，再根据快马的速度是慢马的倍，即可列出相应的方程，本题得以解决． 【详解】解：由题意可得， 故答案为：． 3．辛弃疾词曰：“稻花香里说丰年，听取蛙声一片．”五常稻花香大米味清淡略甜，绵软略粘，芳香爽口，是餐桌上的佳品．某收割队承接了五常水稻的收割任务，为了让五常大米早日上市，实际工作效率比原来提高了，结果提前天完成任务．设原计划每天收割的面积为，则列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列分式方程解实际问题的应用，解答时根据条件建立方程是关键，解答时对求出的根必须检验，这是解分式方程的必要步骤．设原计划每天收割的面积为，则实际每天收割的面积为，根据结果提前2天完成任务列方程求解即可． 【详解】解：设原计划每天收割的面积为，则实际每天收割的面积为，根据题意得： ， 故答案为：． 类型九、约分 【解惑】约分：． 【答案】 【分析】本题主要考查了约分的定义及约分的方法，根据分式的基本性质，分子分母同时除以即可，熟练掌握约分的定义及约分的方法是解决此题的关键． 【详解】解：． 【融会贯通】 1．化简：． 【答案】a 【分析】本题考查了分式的化简、平方差公式、多项式乘多项式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．利用平方差公式和分式性质进行化简即可． 【详解】解： ． 2．化简：． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的约分，将分式的分子与分母因式分解后，约去公因式即可 【详解】解： 3．约分： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的约分，根据分式的基本性质对分式进行变形约分是解题的关键． （1）观察分式，找出分子和分母的公因式，进行约分即可； （2）观察分式，先对分子和分母进行因式分解，然后进行约分即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 类型十、通分 【解惑】通分： (1)与； (2)与． 【答案】(1)，； (2)，； 【分析】（1）本题考查分式的通分，根据最简公分母确定分母，再根据分式的性质分子分母同时乘以同一个不为0的式子即可得到答案； （2）本题考查分式的通分，根据最简公分母确定分母，再根据分式的性质分子分母同时乘以同一个不为0的式子即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得，，最简公分母是， ∴， ， ∴答案为：，； （2）解：由题意可得，，的最简公分母是， ∴， ， ∴答案为：，． 【融会贯通】 1．通分： (1)，； (2)，． 【答案】(1)， (2)， 【分析】此题考查了分式的通分， （1）确定公分母后利用分式的基本性质进行通分即可； （2）确定公分母后利用分式的基本性质进行通分即可． 【详解】（1）解：最简公分母是， ， （2）最简公分母是， ， 2．通分： (1)，，； (2)，； (3)，，． 【答案】(1)，，； (2)，； (3)，，． 【分析】本题考查了通分，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先求出最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答； （2）先求出最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答； （3）先求出最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：最简公分母是， 所以，，； （2）解：最简公分母是， 所以，； （3）解：最简公分母是， 所以，，． 3．通分： (1)，； (2)，，． 【答案】(1)， (2)，， 【分析】本题考查了分式的通分，确定各分式的最简公分母即可． （1）最简公分母为，据此即可求解； （2）最简公分母为，据此即可求解； 【详解】（1）解：， （2）解： 【一览众山小】 1．把分式中的和分别扩大为原来的6倍，则分式的值（） A．扩大为原来的6倍 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的12倍 D．不变 【答案】B 【分析】本题考查了分式的基本性质，牢记分式的基本性质是解题的关键． 将原式中的换为，将换为，再利用分式的性质进行化简即可． 【详解】解：把分式中的和分别扩大为原来的6倍， 即：， 分式的值缩小为原来的， 故选：B． 2．若分式有意义，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是分母不为0是解题的关键．根据分式有意义的条件求解即可． 【详解】解：分式有意义， ， 解得：． 故选：D． 3．若分式的值为0，则x的值为（   ） A．2 B． C． D．或2 【答案】A 【分析】本题考查的是分式的值为0的条件，熟知分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解答此题的关键．先根据分式的值为0的条件列出关于x的不等式组，求出x的值． 【详解】∵分式的值为0 ∴ 解得：， 故选：A． 4．若分式有意义，则实数x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式有意义的条件：分式有意义，分母不能为0．由于分式的分母不能为0，因此，解得x． 【详解】解：∵分式有意义， ∴，即． 故答案为． 5．约分： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的约分，将分式的分子和分母的公因式约去，这种变形成为分式的约分．本题分子和分母得公因式为，约去即可求出答案． 【详解】， 故答案为：． 6．2001年、2002年、2003年某地的森林面积分别是，，，2003与2002年相比，森林面积增长率提高了 ． 【答案】 【分析】本题考分式的减法，分别表示出两年的增长率，然后求差，进行分式的减法运算即可． 【详解】解：2002年的增长率是：， 2003年的增长率是：， 则森林面积增长率提高：． 故答案为：． 7．化简：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合计算，正确掌握相关运算法则是解题的关键． 将括号里面的通分运算，再利用分式的混合运算法则计算得出答案． 【详解】解：原式 . 8．已知，求分式的值． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式在分式求值中的应用，根据即可求解． 【详解】解： ， ． 9．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式计算方法是解题的关键．先通分，再分子展开，合并化简，化为最简分式即可． 【详解】 10．（1）计算：； （2）解分式方程：． 【答案】（1）；（2）无解 【分析】本题考查了分式混合运算和解分式方程，能正确根据分式的运算法则进行化简是解（1）的关键，注意运算顺序；能把分式方程转化成整式方程是解（2）的关键． （1）先分解因式，同时把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算，最后利用加法法则计算即可； （2）方程两边都乘以，得出，求出x，再进行检验即可． 【详解】解：（1） ； （2） 方程两边都乘以，得， 解得：， 检验：当时，， 所以是原方程的增根， 即原方程无解． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$