河南省豫东部分名校2024-2025学年高三上学期期末联考数学试题

2024～2025学年第一学期期末考试 高三数学试卷 注意事项： 1．本试卷共6页。时间120分钟，满分150分。答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在试卷指定位置，并将姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上，然后认真核对条形码上的信息，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。作答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将试卷和答题卡一并收回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．己知集合、集合，则（ ）。 A、 B、 C、 D、 2．若实数满足，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知，设甲：；乙：，则甲是乙的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 4．已知向量与向量的夹角为，且，，则（ ） A. 4 B. 3 C. D. 1 5．设等差数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 6．已知、、是表面积为的球的球面上的三个点，且，，则三棱锥的体积为（ ）。 A、 B、 C、 D、 7．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（ ）． A. B. C. D. 8．已知，若对任意的，恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D．10 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知是数列的前项和，，则下列结论正确的是（ ） A. 数列是等差数列 B. 数列是递增数列 C. D. 10．已知函数，若及其导函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B．函数在上单调递减 C．的图象关于点中心对称 D．的最大值为 11．已知四面体的各个面均为全等的等腰三角形，且。设为空间内任一点，且、、、、五点在同一个球面上，则下列说法正确的是（ ）。 A． B．四面体的体积为 C．当时，点的轨迹长度为 D．当三棱锥的体积为时，点的轨迹长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在平面直角坐标系中，角的终边在直线上，则 。 13．已知向量不共线，，其中，若三点共线，则的最小值为_______． 14．若直线上一点可以作曲线的两条切线，则点纵坐标的取值范围为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 已知函数. （1）求曲线在处的切线方程； （2）若，求函数在上的最值. 16．（本小题满分15分） 如图，四边形与均为菱形，且， （1）求证：平面平面 （2）求直线AD与平面ABF所成角的正弦值． 共2页 第2页 17．（本小题满分15分） 已知的内角的对边分别为，且. （1）求； （2）若，求周长的最大值. 18．（本小题满分17分） 已知在正项数列中，首项，点在双曲线上，数列中， 点 在直线上，其中是数列的前项和． （1）求数列、的通项公式； （2）求使得成立的最小值； （3）若，求证：数列为递减数列． 19． （本小题满分17分） 已知为正常数，若函数满足对任意的，都有，则称为“倍等差函数”. （1）若是“2倍等差函数”，，求； （2）证明：不存在正常数，使得是“倍等差函数”； （3）若函数是“倍等差函数”且的图象是一条连续不断的曲线，证明：对任意的正数，方程在上有实根. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学参考答案 1、【答案】C 【解析】∵，∴，故选C 2、【答案】A 【解析】解法一  因为，所以，即， 解得，故，其在复平面内对应的点为，位于第一象限； 故选：A． 3、【答案】B 【解析】由，得，， 则x不一定推出；反之，当时，一定有． 故甲是乙必要不充分条件． 故选：B. 4、【答案】B 【解析】由，等式两边同时平方得， 又的夹角为，所以， 即，解得或（负值舍去），所以. 故选：B. 5、【答案】C 【解析】由，得， 解得，则． 故选：C． 6、【答案】A 【解析】设球的半径为，∵球的表面积为，解得， 在中，由余弦定理得， ∴的外接圆半径为， ∴， 设的外接圆的圆心为，则平面， 则球心到平面的距离为，则， ∴三棱锥的体积为，故选A 7、【答案】C 【解析】由，根据正弦定理有， 所以，有， 根据余弦定理，有，由，所以．故选：C. 8、【答案】D 【解析】， 两边同时取对数得，即， 令，则，故在上单调递减， 又，故当时，，即，可得， 故的最小值为10．故选：D. 9、【答案】BCD 【解析】因为， 当时，，解得； 当时，，则， 整理得，则， 所以是以1为首项，3为公比的等比数列，故A错误， 则数列是递增数列，故B正确， 且，，故CD正确. 故选：BCD. 10、【答案】AB 【解析】因为，所以，根据图象可知，当时，，所以单调递增，故，从而． 又，所以，由得， 故，． 选项A：的最小正周期为，故，A正确． 选项B：令，解得， 故函数在上单调递减，B正确． 选项C：由于，， 故的图象不关于点中心对称，故C错误． 选项D：， 其中为锐角，且，（辅助角公式的应用）,所以的最大值为，D错误． 故选：AB 11、【答案】AC 【解析】A选项，由题意可知、， 设为的中点，连接、，则、， ∵，、平面，∴平面， ∵平面，∴，对， B选项，将四面体放入长方体中，设长方体的相邻三条棱长分别为、、， 则、、，解得、， ∵，即异面直线与的距离为，且平面， ∴四面体的体积为，错， C选项，由以上分析可知，四面体的外接球半径为， 由可知点的轨迹为一个圆，设轨迹圆的半径为， 则，解得，∴的轨迹长度为，对， D选项，由题意可得，∴， ∴的外接圆半径为， ∴球心到所在平面的距离为， 设三棱锥的高为，由三棱锥的体积为时， 可得， ∴，又由， ∴点轨迹为外接球上平行于平面且到平面的距离为的两个截面圆，其中一个圆为外接球的大圆，∴点的轨迹长度大于，错， 故选AC。 12、【答案】或 【解析】由题意可知，角的终边在直线上， ①当角的终边在射线（）上时，取终边上一点，则， ∴，，， ∴， ②当角的终边在射线（）上时，取终边上一点，则， ∴，，， ∴。 13、【答案】4 【解析】因为三点共线，所以存实数k，使，即， 又向量不共线，所以，由，所以， 当且仅当时，取等号，即的最小值为4. 故答案为：4 14、【答案】 【解析】曲线即曲线， 在曲线上任取一点，对函数求导得， 所以曲线在点处的切线方程为，即， 又切线过点，则. 令，则， 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减， 所以． 由题意知，直线与曲线有两个交点，则， 当时，，当时，，故 故答案为： 17、【解析】（1）解法一，由正弦定理得， 又， 所以，即. 因为，所以， 所以. 解法二，由余弦定理得， 整理得， 所以. （2）解法一，设的外接圆半径为， 由及正弦定理得， 所以. 由（1）知，所以， 所以. 由余弦定理得，即， 所以， 所以，当且仅当时取等号. 所以周长的最大值为. 解法二，设的外接圆半径为， 由及正弦定理得， 所以. 由（1）知，所以. 所以 ， 其中为第一象限角，且， 所以当时，取得最大值， 故周长的最大值为. 18、【解析】（1）点在双曲线上， 是以为首项，公差为的等差数列， ；点在直线上， ，当时，， 当时，， ， 是以为首项，公比为的等比数列，. （2）， 解得，成立的最小值为7. （3）， ， ，所以数列为递减数列. 19、【解析】（1）因为是“2倍等差函数”，所以， 取，得， 因为，所以数列是首项为2，公差为2的等差数列， 所以， 所以. （2）假设存在正常数，使得是“倍等差函数”， 则，即，整理得. 设，则， 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 所以，所以恒成立. 所以不存在正常数，使得， 即不存在正常数，使得是“倍等差函数”. （3）设，则的图象是一条连续不断的曲线， 所以问题可转化为在上有零点. 因为是“倍等差函数”，所以， 所以，即， 所以是“倍等差函数”. 当时，不满足，所以， 若，则1是的零点. 若，则对于， 取，得， 取，得， 所以， 所以当时，， 所以当时，在上有零点；当时，在上有零点. 若，则对于， 取，得， 取，得， 依此可得， 所以当时，， 所以当时，在上有零点；当时，在上有零点. 综上，在上有零点. 所以对于任意的正数，方程在上有实根. 5 学科网（北京）股份有限公司 $$