2026年中考数学高频压轴题训练二次函数压轴题（相似三角形问题）

2026年中考数学高频压轴题训练二次函数压轴题（相似三角形问题） 一、单选题 1．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，已知矩形ABCD的长AB为5，宽BC为4，E是BC边上的一个动点，AE⊥EF，EF交CD于点F，设BE=x，FC=y，则点E从点B运动到点C时，能表示y关于x的函数关系的大致图象是 A． B． C． D． 2．（2018·陕西宝鸡·二模）抛物线，设该抛物线与轴的交点为和，与轴的交点为C，若，则的值为 （ ） A． B． C． D． 3．（2024·浙江杭州·二模）如图1，在矩形ABCD中，动点E从A出发，沿A→B→C方向运动，当点E到达点C时停止运动，过点E作EF⊥AE交CD于点F，设点E运动路程为x，CF＝y，如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图象，给出下列结论：①a＝3；②当CF＝时，点E的运动路程为或或，则下列判断正确的是(   ) A．①②都对 B．①②都错 C．①对②错 D．①错②对 4．（2025·广东广州·一模）如图，在平面直角坐标系中，与轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点，点是线段上方抛物线上一点，过点作轴，且与延长线相交于点，连接交于点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 5．（2023九年级上·浙江杭州·期中）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为，连结，．在轴上是否存在点，使以，，为顶点的三角形与相似，则满足条件的所有点的坐标为（　　） A．， B．， C．，， D．， 二、填空题 6．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线交y轴于点A，过A作轴，交抛物线于点B，连接．点P为抛物线上上方的一个点，连接，作垂足为H，交于点Q．当时，点P的坐标为 ． 7．（2023九年级上·江苏无锡·期末）如图，二次函数的图像与轴交于、两点（在的左侧），与轴交于点，连接，在线段上有一动点，过点作轴的平行线交二次函数的图像于点，交轴于点，若与相似，则点的坐标为 ．    8．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）已知过点的抛物线与两坐标轴交于点A，C，如图所示，连接，第一象限内有一动点M在抛物线上运动，过点M作交y轴于点P．当点P在点A上方，且与相似时，点M的坐标为 ． 9．（2024·辽宁·一模）如图，抛物线交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，分别过点B，C作y轴，x轴的平行线，两线交于点D，将绕点C逆时针旋转，使点D旋转到y轴上得到，连接．在线段上存在点P，使得以点P，A，B为顶点的三角形与△相似，则点P的坐标为 ． 10．（2024·辽宁大连·一模）如图，已知抛物线，抛物线与轴从左到右分别交于、．点在抛物线的对称轴上，点为抛物线上位于第四象限一点，满足．点在抛物线上，且满足，则点的坐标为 ． 三、解答题 11．（2026·上海徐汇·一模）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．已知． (1)求抛物线的表达式及顶点的坐标； (2)将抛物线向上平移，设点的对应点为点，射线交线段于点． ①如果恰好平分，求平移之后的抛物线的表达式； ②如果与相似，求平移的距离． 12．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于，两点（点在点左侧），顶点为，连接． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图1，若是轴正半轴上一点，连接．当点的坐标为时，求证：； (3)如图2，连接，将沿轴折叠，折叠后点落在第四象限的点处，过点的直线与线段相交于点，与轴负半轴相交于点．当时，与是否相等？请说明理由． 13．（2024·四川巴中·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，与轴交于点，点是抛物线上一动点，且在直线的上方． (1)求抛物线的表达式． (2)如图1，过点作轴，交直线于点，若，求点的坐标． (3)如图2，连接，与交于点，过点作交于点．记、、的面积分别为．当取得最大值时，求的值． 14．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点，，与轴交于点，且过点．点是抛物线上的动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当点在直线下方时，求面积的取值范围； (3)直线与线段相交于点，当中有一个角等于时，直接写出点的横坐标______． 15．（24-25九年级上·吉林松原·期末）如图，抛物线与x轴交于点和点．点C是抛物线上的一个动点，抛物线的对称轴交x轴于点E，点F是位于x轴上方抛物线对称轴上的动点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点C的纵坐标是3，求点C的坐标； (3)若点C在对称轴的右侧，且轴，连接、，当四边形是平行四边形时，求点C的坐标； (4)在（3）的条件下，连接，在x轴上方的对称轴上是否存在点P，使是直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 16．（25-26九年级上·四川泸州·期末）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点．，为二次函数图象上两点． (1)求二次函数的表达式； (2)是否存在实数，使得．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)已知是二次函数图象上异于点，的一点，作△．若直线与线段，分别交于点，，且，请求出所有满足条件的的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【分析】利用三角形相似求出y关于x的函数关系式，根据二次函数的图象和性质进行分析，即可求解． 【详解】解：在矩形ABCD中，∠B=∠C=90°， ∴∠CEF+∠CFE=90°， ∵BC=4，BE=x， ∴CE=4﹣x． ∵AE⊥EF， ∴∠AEB+∠CEF=90°， ∴∠AEB=∠CFE． 又∵∠B=∠C=90°， ∴△AEB∽△EFC， ∴， 即， ∴y=（4x﹣x2）=﹣（x﹣2）2+ ∴y与x的函数关系式为：y=﹣（x﹣2）2+（0≤x≤4） 由关系式可知，函数图象为一段抛物线，开口向下，顶点坐标为（2，），对称轴为直线x=2． 故选：A 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，动点问题的函数图象问题，根据题意求出函数关系式是解题关键． 2．C 【分析】根据二次函数表达式可得对称轴为直线，由及二次函数的对称性可得，进而可得的等量关系式，然后根据得出的值，所以得出C的坐标，最后根据求解即可． 【详解】 如图所示：抛物线，对称轴为直线 抛物线与轴的交点为和 ，OA=5 当y=0时，-5与2是方程的两个根 根据韦达定理可得：即 即 ， 解得 ． 故选C． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合知识、相似三角形的性质及求角的三角函数值，关键是根据二次函数解析式得到对称轴，得到A、B的坐标，进而得到参数的等量关系式，最后根据射影定理得到线段的等量关系求解参数，然后根据求角的三角函数值求解即可． 3．A 【分析】由已知，AB=a，AB+BC=5，当E在BC上时，如图，可得△ABE∽△ECF，继而根据相似三角形的性质可得y=﹣，根据二次函数的性质可得﹣，由此可得a=3，继而可得y=﹣，把y=代入解方程可求得x1=，x2=，由此可求得当E在AB上时，y=时，x=，据此即可作出判断． 【详解】解：由已知，AB=a，AB+BC=5， 当E在BC上时，如图， ∵E作EF⊥AE， ∴△ABE∽△ECF， ∴， ∴， ∴y=﹣， ∴当x=时，﹣， 解得a1=3，a2=（舍去）， ∴y=﹣， 当y=时，=﹣， 解得x1=，x2=， 当E在AB上时，y=时， x=3﹣=， 故①②正确， 故选A． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，相似三角形的判定与性质，综合性较强，弄清题意，正确画出符合条件的图形，熟练运用二次函数的性质以及相似三角形的判定与性质是解题的关键． 4．A 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的性质，相似三角形的判定与性质，设与交于点，求出，，则有解析式为，设，则，然后证明，由性质得，最后由二次函数的性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设与交于点， 由得，当时，， 解得：，， ∴，， ∴， 当时，， ∴， 设解析式为， ∴，解得：， ∴解析式为， 设， ∵轴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 当时，则的最大值为， 故选：． 5．D 【详解】解：设抛物线的对称轴交轴于点，由题可知， ，，，，，，， ∵，，∴，， 又，∴，， 则①当时，，即，， ∴点在点左侧，此时， ②当时，，即，， ∴点在点左侧，此时， 综上，在轴上有两点，，满足题意．故选D． 【点睛】此题主要考查了用待定系数法确定函数解析式的方法、相似三角形的判定和性质、以及等腰三角形的构成情况等重要知识点，要注意的是分类讨论的数学思想，所以考虑问题一定要全面，以免漏解． 6． 【分析】本题考查了二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题；先求得点，令，求得的长，证明 ，则，即可求解． 【详解】解：对于，令，则， 故点， 令，解得或， 故点， 故； 设， 轴，， ， ， ， 故， ， 解得． ∴； 故答案为：． 7．或 【分析】分两种情形：当 时，，此时，当时，，此时，分别求解即可． 【详解】解：对于抛物线，令，得，则， 令，可得，解得或， ∴，， 设直线的解析式为， ， 解得， ∴直线的解析式为， 设， ∵， 当 时，，此时， 把代入，得， 解得：，（舍去）, ∴， 把代入，得， ∴， 当时，，此时， 过点作轴于．    设， ，， ， ， ∴， ∴， ∴，（舍去）， ∴， 综上所述，满足条件的点的坐标为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的知识，二次函数与坐标轴的交点问题，待定系数法求一次函数解析式，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题． 8．或 【分析】由两点坐标公式可求，由勾股定理可证，分两种情况讨论，由相似三角形的判定和锐角三角函数可求解． 【详解】解：如图，过点M作于E，    ∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴点，抛物线解析式为， 当时，则， ∴， ∴点， ∵点，点，点， ∴， ∵， ∴， 设点， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴点， 当时， ∴， ∴， ∴， ∴点， 综上所述：点M坐标为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，相似三角形的判定，锐角三角函数，勾股定理的逆定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 9．或 【分析】解一元二次方程分别求出点的坐标、点的坐标，根据勾股定理求出，分两种情况，根据相似三角形的性质列式计算，得到答案． 【详解】解：， 整理得，， 解得，， 当时，， 则点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， ， 则， 如图1，作轴交于， 当时，，即， 解得，， ∴点的坐标为； 如图2，作于，作于， 当时，，即， 解得，， ∵， ∴， ∴， 即， 解得，， ∴点的坐标为， 综上所述，以点为顶点的三角形与相似，点的坐标为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查的是二次函数的性质、相似三角形的判定和性质，掌握抛物线与坐标轴的交点的求法、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 10． 【分析】在上取一点，使得，过点作延长线于，分别过点、作轴的垂线，分别与过点平行于轴的直线交于点、，交轴于点，根据点在抛物线的对称轴上，，求出点的坐标，求出直线的解析式，进而求出点的坐标，根据相似三角形的判定与性质，证明，得出，结合图形与坐标，求出、，利用证明，证明，得出，求出、，根据图形与坐标，求出点的坐标，结合点的坐标，求出直线的解析式，结合抛物线的解析式，求出点的坐标即可． 【详解】解：如图，在上取一点，使得，过点作延长线于，分别过点、作轴的垂线，分别与过点平行于轴的直线交于点、，交轴于点， ∴， ∵抛物线，抛物线与轴从左到右分别交于、， ∴当时，， ， 解得：，， 当时，， ∴，，， ∴，，， ∴， 设直线解析式为，则， 解得：， ∴直线解析式为， ∵点在抛物线的对称轴上，， ∴点的横坐标，点的横坐标点的横坐标， ∴点的横坐标， ∵当时，， ∴， ∴设直线解析式为，则， 解得：， ∴直线解析式为，当时，， ∴， ∴，， ∵直线解析式为，当时，， ∴点也在线段上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：，， ∵，， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：，， ∴，， ∴， ∴点的纵坐标，横坐标， ∴， 设直线的解析式为，把，代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点是直线与抛物线的交点， ∴令，整理得， 因式分解得：， 解得：，（为点的横坐标）， ∴点的横坐标，纵坐标， ∴点的坐标为． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象与性质、图形与坐标、一次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，综合性强，难度较大，熟练掌握知识点、作辅助线推理、数形结合是解题的关键． 11．(1)，顶点 (2)①；②或5 【分析】（1）将点代入抛物线，求出，进而再求顶点坐标即可； （2）①由题易得轴，，证，可得，即可得解； ②设抛物线向上平移了个单位，则，先求出，直线表达式，直线表达式，联立求出点，则，分两种情况讨论：当时，当时，然后分类求解即可． 【详解】（1）解：将点代入抛物线得， ， 解得， ∴抛物线的表达式为， ∴对称轴为直线， 当时，， ∴顶点； （2）解：①对于抛物线，令，得， ， ∵， 则轴，且， 过作，交延长线于点， ， ， ， 由题可知点向上平移到点， 则轴，即， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， ∴点向上平移 4 个单位到点，即抛物线向上平移 4 个单位， ∴平移之后的抛物线的表达式为； ②解：设抛物线向上平移了个单位， ∴， 令，得或 6 ， ∴， 设直线的表达式为， 代入可得，解得：， 故直线的表达式为， 设直线的表达式为， 代入可得，解得：， 故直线的表达式为， 联立， 解得， 即， ， ∵，轴，轴， ∴， ∴分两种情况讨论： 当时， 则，即， 解得； 当时， 则，即， 解得； 综上，平移的距离为5或个单位． 【点睛】本题主要考查了抛物线解析式、抛物线的几何变换、全等三角形的判定和性质、相似三角形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 12．(1) (2)见解析 (3)相等，理由见解析 【分析】（1）根据顶点为，利用求出，再将代入解析式即可求出，即可得出函数表达式； （2）延长交x轴于点D，由（1）知抛物线的解析式表达式为，求出，再利用待定系数法求出直线的解析式为，进而求出，则，利用两点间距离公式求出，易证，得到，由，即可证明； （3）过点作轴，交x轴于点G，利用抛物线解析式求出，求出，根据，易证，得到，由，即，求出，得到，即点的横坐标为，由折叠的性质得到，求出直线的解析式为，进而求出，得到，利用三角形面积公式求出，则，即可证明结论． 【详解】（1）解：该抛物线的顶点为，即该抛物线的对称轴为， ， ， 将代入解析式，则， ， 抛物线的解析式表达式为； （2）证明：如图1，延长交x轴于点D， 由（1）知抛物线的解析式表达式为，则， ， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 则， 解得： 直线的解析式为，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：过点作轴，交x轴于点G， 令，即， 解得：， 根据题意得：， ， 轴，轴， ， ， ， ，即， ， ， 点的横坐标为， 由折叠的性质得到， 设直线的解析式为， 则， 解得：， 直线的解析式为， ， ， ， ， ， ，， ． 【点睛】本题考查二次函数综合问题，涉及二次函数的性质，二次函数解析式，一次函数的解析式，折叠的性质，二次函数与三角形相似的综合问题，二次函数与面积综合问题，正确作出辅助线构造三角形相似是解题的关键． 13．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）令时，，求出，进一步求出直线的解析式为，设，则，表示出，，利用，可得，可得； （3）由得到，进而得到，作交y轴于N，作轴交于Q，求出直线的解析式为，进而得到，求出，再证明，设，则，得到，得到，即可得到此时，点P的坐标为，点Q的坐标为，求出，，证明，得到，由即可求出答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为．； （2）解：∵当时，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 设，则， ∵轴于点D， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，（此时，重合，不合题意舍去）， ∴， ∴； （3）解：∵， ， ∴， ， 作交y轴于N，作轴交于Q， 直线的解析式为，， 直线的解析式为， 将代入，得：， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， ， ∴,， ，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ， 设，则， ∴， ， ∴当时，有最大值， 此时，， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、相似三角形的判定和性质、二次函数的图象和性质、解直角三角形等知识，数形结合和准确计算是解题的关键． 14．(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）将，代入，利用待定系数法求解； （2）设直线与y轴交于点G，直线与抛物线另一交点为H，设，直线的解析式为，待定系数法求出直线的解析式为，进而可得，再根据列出关于m的二次函数，即可求解； （3）分两种情况：当，即时，可证，根据对应边成比例求出，根据直线的解析式为，设 ，求出，将的解析式与抛物线解析式联立，解方程即可；当时， ，由，，可得直线的解析式为，进而可得直线的解析式为，将的解析式与抛物线解析式联立，解方程即可； 【详解】（1）解： 的图象经过，， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：设直线与y轴交于点G，直线与抛物线另一交点为H，如图1， 设直线的解析式为， 将代入，得， 解得， 直线的解析式为， 将与联立，得：， 解得，， ， 点在直线下方， 设，其中，直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 当时，， ， ， ， ，， 时，取最大值， ； （3）解：由（1）得抛物线解析式为， 当时，， 解得，， ， ； 当时，， ， ， ，． 分两种情况： 当，即时，如图： 又 ， ， ，即， ， 由，，可得直线的解析式为， 设 ， ， 解得或（舍）， ， 同理可得的解析式为， 联立， 解得， 点的横坐标为或； 当时，如图： ， 由，，可得直线的解析式为， 直线的解析式为， 联立， 解得， 点的横坐标为或； 综上可得，点的横坐标为或或或． 故答案为：或或或． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，相似三角形的性质，求一次函数解析式，勾股定理，解一元二次方程等知识，应用数形结合及分类讨论思想是解题的关键． 15．(1) (2)或 (3) (4)存在，点P的坐标为或 【分析】本题考查用待定系数求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定； （1）将点和点代入抛物线解析式，即可求解； （2）点C的纵坐标是3，令，求解即可； （3）由抛物线的解析式可得对称轴为，再由平行四边形的性质可得点C的横坐标为，令，，即可求出点C的坐标； （4）分类讨论：当时，过点C作轴，证明可得，可求出点P的坐标；当时，证明可得，可求出点P的坐标． 【详解】（1）解：将点和点代入抛物线解析式得： ，解得：， ∴抛物线解析式为． （2）解：∵点C的纵坐标是3， 令，解得：或， ∴或． （3）解：若点C在对称轴的右侧，且轴，连接、，当四边形是平行四边形时，如图所示： ∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴点C的横坐标为， 令，， ∴． （4）解：当时，过点C作轴，如图所示： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，如图所示： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴或（舍去）， ∴． 综上：存在，点P的坐标为或． 16．(1) (2) (3)或． 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，相似三角形的判定及性质等： （1）采用待定系数法求解即可； （2）可知，，据此即可求得答案； （3）过点，，，分别作轴的垂线，分别交于点，，，可知，根据题意可知，点的坐标为，求得直线的表达式为，同理可得，直线的表达式为，直线的表达式为，得到，可知，求得． 【详解】（1）解：二次函数图象经过，，三点，可得 解得 所以，二次函数表达式为． （2）解：存在， 因为，在二次函数图象上， 可得，． 根据题意，得． 变形，得． 解得． （3）解：如图所示，过点，，，分别作轴的垂线，分别交于点，，，可知． 根据题意可知，点的坐标为． 设直线的表达式为， 可得 解得 所以，直线的表达式为， 同理可得，直线的表达式为， 直线的表达式为． 直线和直线均可看作由直线平移得到，所以． 所以． 所以． 所以． 所以． 所以． 因为直线与线段相交于点，可得 ． 解得． 所以点的横坐标为． 所以，可得 ． 解得，． 所以或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $