湖北省荆州市八县2024-2025学年高一上学期期末联考数学试题

2024-2025学年湖北省荆州市“荆州八县”高一上期末数学试题❖ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设集合，，则(    ) A. B. C. D. 2.已知某扇形的弧长和面积都为1，则该扇形圆心角的弧度数为    A. 1 B. C. 2 D. 3.已知函数在区间上单调递减，则a的取值范围是    A. B. C. D. 4.已知，且，则    A. B. C. D. 5.下列区间内存在方程的根的是(    ) A. B. C. D. 6.某人拥有一辆价值20万元的轿车，已知轿车以每年的幅度贬值，则这个人至多几年后卖出这辆轿车，才不会以低于15万元的价格成交参考数据：，(    ) A. 3年 B. 4年 C. 5年 D. 6年 7.已知函数与交于和两点，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 8.设函数的定义域为R，且，当时，，若对于，都有恒成立，则t的取值范围是(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.如图，全集为U，集合A，B是U的两个子集，则阴影部分可表示为(    ) A. B. C. D. 10.设表示不超过x的最大整数，如，，已知函数，，下列结论正确的是(    ) A. 函数是偶函数 B. 当时，函数的值域是 C. 若方程只有一个实数根，则 D. 若方程有两个不相等的实数根，则 11.设，，下列命题正确的是(    ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知是第二象限角，且，则          . 13.若函数在R上单调递减，则实数a的取值范围是          . 14.已知函数有三个不同的零点，，，其中，则          . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 对下列两个式子进行化简求值. 已知为角终边上一点，求的值. 16.本小题15分 已知集合，，若，求实数m的取值范围. 17.本小题15分 荆州鱼糕是湖北特色美食的代表之一，被誉为“荆州一绝”，深受广大消费者喜爱.某厂家欲生产荆州鱼糕，经过市场调研发现，生产荆州鱼糕需投入年固定成本3万元，每生产x吨另需投入流动成本万元，且若荆州鱼糕的售价为40元/千克，且该厂家2025年生产的吨荆州鱼糕均能售完. 求该厂家2025年的利润单位：万元的函数解析式; 求该厂家2025年的产量为多少吨时，该厂家所获年利润最大?最大年利润是多少? 18.本小题17分 已知定义域为的函数对于，，都满足，且当时， 求，并用定义法判断在区间上的单调性; 是否存在实数k，使得关于x的不等式，恒成立?若存在，求 k的取值范围;若不存在，请说明理由 19.本小题17分 定义一种新运算“”，，， 计算 判断与的大小关系，并给出证明; 已知关于x的不等式恰有4个整数解，求m的取值范围. 答案和解析 1.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查了集合的交集运算，指数不等式的求解，属于基础题. 先解不等式求得集合B，再根据集合的交集求解即可. 【解答】 解：集合，， 2.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查弧长公式与扇形面积公式，属于基础题. 利用弧长公式和扇形面积公式即可得解. 【解答】 解：设扇形的半径为r，中心角为， 根据扇形面积公式，得， ，又扇形弧长公式， 故选： 3.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查二次函数的单调性，属于基础题. 根据二次函数的对称轴及符合函数的单调性，列方程，求解即可. 【解答】 解：由二次函数的对称轴及复合函数的单调性， 得，解得 故选： 4.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查利用诱导公式化简，属于中档题. 利用诱导公式化简等式，即可求解. 【解答】 解： ， ， 解得：或，  ， ，   故选： 5.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查判断函数零点所在区间，属于中档题． 构造函数 ，从而利用零点的存在性定理，即可作出判定，得到答案． 【解答】 解：令，验证四个选项，仅 在区间上存在零点，即方程 在区间上存在实数根. 故选： 6.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查了指数函数的实际应用，属于基础题. 根据题意得到关系式，再进行求解即可. 【解答】 解：由题意知， 轿车价格y与年份x之间的函数关系式为， ，故， ， 故这个人至多3年后卖出这辆轿车，才不会以低于15万的价格成交. 故选： 7.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查基本不等式，指对互化，属于基础题. 由题得到，，则，再利用基本不等式，得答案. 【解答】 解：由题意知：，不妨设，则，， ，而 ， 当且仅当时取等号， 由于无法取等， 的取值范围是 故选 8.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查了函数求解析式，函数与不等式的综合运用，属于基础题． 先判断对于函数图象的变换，确定x所在的区间，求出解析式，得到t的最大值即可． 【解答】 解：， 当x每增大4，对应的纵坐标都变为原来的2倍， 而当时，，此时的最小值为， 在上的最小值为， 而当时，， 令，解得或， 若，显然不符题意， 即 故选： 9.【答案】AC  【解析】【分析】 本题考查利用Venn图表示集合的运算，属于基础题． 根据集合之间的关系进行判断即可. 【解答】 解：根据图中阴影可知，符合题意， 又， 也符合题意. 故选： 10.【答案】BC  【解析】【分析】 本题考查函数的新定义问题，属于中档题. 结合新定义作出函数图像，数形结合进行求解. 【解答】 解：作出函数的图像如图 函数的图象不关于y轴对称，A错误. 当时，函数，，，故，即函数的值域是正确. 由图可知，与的图象必有一个交点，若方程只有一个实数根，则正确. 若方程有两个不相等的实数根，即与的图象有两个交点，结合图象可得，D错误. 故选： 11.【答案】ACD  【解析】【分析】 本题考查利用基本不等式求最值，属于中档题. 借助基本不等式中的"1"，逐项分析即可. 【解答】 解：，当且仅当时取等号，A正确. ，当且仅当 时取等号，B错误. ，当且仅当 时取等号，C正确. ，当且仅当时取等号，D正确. 12.【答案】  【解析】【分析】 本题考查同角三角函数的基本关系，属于基础题． 由的值及为第二象限角，利用同角三角函数间的基本关系求出的值，即可确定出的值． 【解答】 解：，且为第二象限角， ， 则 故答案为：  13.【答案】  【解析】【分析】 本题考查已知分段函数求参，属于基础题. 根据题意，函数单调递减，列不等式方程组，求解即可. 【解答】 解：由题意可得，，解得， 所以实数a的取值范围是 故答案为： 14.【答案】64  【解析】【分析】 本题考查了函数的零点，属于中档题. 根据题意题意令，得到，再画出图象分析即可求解. 【解答】 解：令，由可得，， ，即必有两个不同的根，，且 故，异号，设为负，为正，结合题意，可画出大致示意图如下： 由图可知，有唯一解，有两个解，，且， 故 15.【答案】解：原式 由三角函数概念可得， 故  【解析】本题考查对数与对数运算，指数与指数幂的运算，同角三角函数的基本关系，属于中档题. 利用对数的运算法则和指数函数运算法则，化简即可求解； 根据题意得，利用同角三角函数的基本关系，化简等式，即可求解. 16.【答案】解：集合， ， 又， 当时，， 解得或 当时， 解得 综上所述，实数m的取值范围是  【解析】本题考查含参数的集合关系的问题，属于中档题. 先求出集合B，再分时，时两种情况讨论即可求解. 17.【答案】解：由题意知，1吨荆州鱼糕售价为4万元， 当时， ， 当时， ， 故2025年的利润的函数解析式为 ； 当时，， 当时，取得最大值； 当时， ， 当且仅当，即时取等号， 即当时，取得最大值，  ， 当2025年的产量为15吨时，该厂家所获年利润最大，最大年利润是55万元.  【解析】本题考查利用基本不等式求最值，分段函数模型，属于中档题. 根据题设条件，求解分段函数的表达式即可； 利用基本不等式和二次函数求分段函数在各段的最大值，比较大小，即可求解. 18.【答案】解：令，则，即， 令，，且，则， ， 又当时，， ， ， 故在区间上单调递增. 不存在，理由如下： 在区间上单调递增， 若关于x的不等式恒成立， ， 即在区间上恒成立. 当时，二次函数的对称 轴， 当时，， 又 故当时，无满足题意的实数 当时，二次函数的对称轴， 只需解得 故当时，无满足题意的实数 综上所述，不存在实数k，使得关于x的不等式 恒成立.  【解析】本题考查函数单调性的定义，考查不等式的恒成立问题，属于中档题. 根据函数单调性的定义进行判断即可； 根据题意对k的范围进行讨论分析即可. 19.【答案】解：由题意可得， 证明：由题意可得， ， ； ， ， 化简得， ，即， 要想满足题意只有四个整数解， 则必有，则或，① 令， ，， 的一个零点必在内， 不等式恰有4个整数解， 个整数解是0，，，， 故另一个零点在区间内， ，即 由①②解得或， 的取值范围是或  【解析】本题考查了函数的新定义问题，属于中档题. 根据题设对“”的定义，求解即可； 分别求解与，即可判断两者大小； 化简得，即，根据题意，列关于m的不等式方程，求解即可. 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$