专题04 平方根、立方根与实数的90道计算题专项训练（9大题型）-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪科版2024）

第04讲 平方根、立方根与实数90道计算题专项训练（9大题型） 题型一 利用平方根、立方根解方程 题型二 平方根相关的计算题 题型三 立方根相关的计算题 题型四 平方根、立方根的综合 题型五 实数的混合运算 题型六 无理数整数部分的有关计算 题型七 程序设计与实数运算 题型八 新定义下的实数运算 题型九 与实数运算相关的规律题 【经典计算题一 利用平方根、立方根解方程】 1．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）求下列各式中的： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用平方根和立方根解方程，熟练掌握平方根和立方根的定义，是解题的关键： （1）利用平方根解方程即可； （2）利用立方根解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）∵， ∴， ∴． 2．（24-25八年级上·江苏连云港·期末）求下列各式中的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了利用立方根和平方根解方程，解题的关键是熟练掌握立方根和平方根定义． （1）先移项，然后将系数化为1，再开平方即可； （2）先移项，然后再开立方即可． 【详解】（1）解：， 移项得：， 方程两边除以8得：， 开平方得：； （2）解：， 移项得：， 开立方得：， 解得：． 3．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）求下列各式中的： (1)； (2)． 【答案】(1)或； (2)． 【分析】（）根据平方根的概念解方程即可； （）根据立方根的概念解方程即可； 本题考查了平方根和立方根的概念，正确理解平方根和立方根的概念是解题的关键． 【详解】（1）解： 或 ∴或； （2）解： ∴． 4．（24-25八年级上·江苏南京·期末）求下列各式中的： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了立方根、平方根的意义，解题的关键是掌握平方根、立方根的意义是正确解答的关键． （1）根据平方根的意义进行计算即可； （2）根据立方根的意义进行计算即可． 【详解】（1） ； （2） ． 5．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）解下列方程： (1)； (2) 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题主要考查平方根和立方根的应用，熟练掌握平方根和立方根的意义是解答本题的关键． （1）方程两边同时开方，得两个一元一次方程，解这两个一元一次方程即可； （2）方程移项后，两边同除以2，再开立方得一元一次方程，求解即可． 【详解】（1）解：， 开方得，， ∴ ∴或； （2）解：， ， ， ， ∴． 6．（22-23八年级上·江苏扬州·阶段练习）求下列各式中的值： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了利用平方根解方程，解题的关键是掌握平方根的定义． （1）根据解方程的步骤和平方根的定义求解即可； （2）根据解方程的步骤和平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解： ， （2）解： ， 7．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了平方根与立方根，掌握其定义是解题关键． （1）先移项，然后利用平方根定义求解即可． （2）先变形为，然后利用立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：， ， ∴； （2）解：， ， ， ∴． 8．（24-25七年级上·山东泰安·阶段练习）求下列式子中的值 (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1)或 (2) (3)或 (4) 【分析】本题考查利用平方根、立方根解方程， （1）将方程变形为，然后利用平方根的定义求出的值，再求的值； （2）利用立方根的定义求出的值，再求的值； （3）将方程变形为，然后利用平方根的定义求出的值； （4）将方程变形为，然后利用立方根的定义求出的值，再求的值； 解题的关键是明确平方根和立方根的定义． 【详解】（1）解： ∴， ∴， ∴或， ∴的值为或； （2）， ∴， ∴， ∴的值为； （3）， ∴， ∴或， ∴的值为或； （4）， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值为． 9．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据得，利用立方根解答即可． （2）根据，利用平方根解答即可． 本题考查了利用立方根，平方根解方程，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 解得． （2）解：∵， ∴或， 解得，． 10．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）求下列各式中的： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查根据平方根和立方根的性质解方程； （1）化简得到，再根据平方根解方程计算即可； （1）化简得到，再根据立方根解方程计算即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴； （2）解： ∴， ∴， ∴． 【经典计算题二 平方根相关的计算题】 11．（24-25八年级下·全国·期末）计算：． 【答案】． 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据算术平方根、绝对值、零指数幂、负整数指数幂运算法则进行计算即可，解题的关键是熟知相关运算法则． 【详解】解：原式 ． 12．（23-24八年级上·全国·课后作业）求下列各数的平方根，并用式子表示出来． (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查平方根和算术平方根，掌握平方根和算术平方根的定义是解题的关键 （1）先化简绝对值，再求求平根； （2）先化简绝对值，再求求平根； （3）先求算术平方根，再求平方根； （4）先求算术平方根，再求平方根； 【详解】（1），225的平方根是．用式子表示为； （2），的平方根是．用式子表示为； （3），的平方根是，用式子表示为； （4），的平方根是，用式子表示为 13．（24-25八年级上·全国·期中）计算：． 【答案】 【分析】先化简绝对值、零次幂、算术平方根、乘方，再运算加减法，即可作答．本题考查了化简绝对值，零次幂、算术平方根、乘方，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解： ． 14．（24-25八年级上·全国·期中）若，正数的两个平方根分别是和，求的平方根． 【答案】 【分析】此题主要考查了算术平方根、平方根的定义，还要注意正数的两个平方根之间的关系． 由于一个正数的两个平方根互为相反数，得：．解方程即可求出c，然后即可求b，根据算术平方根的定义可求a，再代入计算可求平方根． 【详解】解：∵正数的两个平方根分别是和， ∴，解得， ∴， 由，得， ∴， ∵， ∴的平方根是． 15．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）计算：． 【答案】． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，绝对值的意义，有理数的乘方，算术平方根，根据有理数的混合运算，绝对值的意义，有理数的乘方，算术平方根进行运算即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： ． 16．（24-25八年级上·江西景德镇·阶段练习）已知一个正数的两个平方根分别是和． (1)求这个正数． (2)求的算术平方根． 【答案】(1)16 (2)2 【分析】本题主要考查了平方根和算术平方根的定义，熟练掌握定义，是解题的关键． （1）先根据正数的两个平方根互为相反数，得出，求出a，再求出这个数即可； （2）先根据a的值，求出的值，再求出其算术平方根即可． 【详解】（1）解：由题意可得， 解得， ∴这个正数是； （2）解：由（1）知， ∴． 17．（2024·全国·模拟预测）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算．根据绝对值的化简，算术平方根的性质以及零次幂的性质计算即可求解． 【详解】解： ． 18．（2024七年级上·浙江·专题练习）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)12 (2) (3)100 (4)0.07 【分析】本题主要考查了算术平方根，熟记定义是解答本题的关键． （1）根据算术平方根的定义计算即可； （2）根据算术平方根的定义计算即可； （3）根据算术平方根的定义计算即可； （4）根据算术平方根的定义计算即可； 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式； 19．（24-25七年级上·全国·单元测试）已知． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（）根据算术平方根由意义的条件可得，，即可得到，进而可得； （）把的值代入中求出的值，进而可求出它的平方根； 本题考查了算术平方根、平方根，掌握算术平方根、平方根的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴的平方根是． 20．（2024七年级上·浙江·专题练习）已知：实数a，b满足． (1)求a和b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查非负数的性质、绝对值以及平方根，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． （1）根据非负数的性质求出a与b的值即可； （2）将a与b的值代入进行计算即可． 【详解】（1）解：由题可知，，， 解得：，； （2）， 的平方根为； 【经典计算题三 立方根相关的计算题】 21．（24-25七年级上·山东淄博·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数的运算，正确求解平方根和立方根是解题的关键． （1）先分别求出平方根和立方根，再计算加法即可； （2）先分别求出平方根和立方根，再计算加法即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 22．（24-25八年级上·江苏南京·期末）计算：． 【答案】4 【分析】本题主要考查了实数的运算，先计算算术平方根和立方根，再计算加减法即可． 【详解】解： ． 23．（22-23七年级下·广东东莞·期中）计算． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数运算．直接利用绝对值、立方根以及算术平方根的性质分别化简得出答案． 【详解】解： ． 24．（24-25八年级上·全国·期中）已知 ，且 为正数，求 的算术平方根和立方根． 【答案】算术平方根：8；立方根：4 【分析】本题考查的是立方根、平方根以及算术平方根，熟知平方根及立方根的定义是解答此题的关键． 先根据“ ，且 为正数”，求出y的值，再求出的值，根据算术平方根和立方根的定义解答即可． 【详解】解∶，且y为正数， ， ， ，． 25．（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）计算 (1)计算； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的混合运算，算术平方根的性质，利用立方根解方程．掌握算术平方根的定义和立方根的定义是解题关键． （1）先根据算术平方根的定义，计算立方根，再进行加减计算即可； （2）利用立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， ， ． 26．（24-25八年级上·四川成都·期中）（1）已知的平方根是，的算术平方根是4，求的立方根． （2）如果实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，化简：． 【答案】（1）3；（2） 【分析】本题考查平方根、立方根、算术平方根、代数式求值、数轴等： （1）根据平方根、算术平方根的定义求出a，b的值，进而求出的值，再求立方根即可； （2）根据数轴得出，，进而得出，再化简计算即可． 【详解】解：（1）的平方根是，的算术平方根是4， ，， ，， ， 的立方根为：． （2）由数轴知，，， ， ． 27．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）已知一个正数x的两个不同的平方根分别是和． (1)求m的值； (2)求的立方根． 【答案】(1)5 (2)2 【分析】本题主要考查立方根、平方根，掌握立方根、平方根的定义是关键． （1）根据正数的平方根的性质即可得出答案； （2）先求出的值，再根据立方根的定义即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， ∴； （2）由（1）得，， 的立方根为， 的立方根为． 28．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的计算，据有理数的乘方，绝对值化简，求一个数的立方根计算即可． 【详解】解：原式 ． 29．（24-25八年级上·河北唐山·期中）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根、立方根、绝对值、有理数加减运算等知识点，掌握算术平方根、立方根的定义成为解题的关键． 先根据算术平方根、立方根、绝对值进行化简，然后运用有理数加减运算法则计算即可． 【详解】解： ． 30．（24-25八年级上·河南周口·期中）已知是 的算术平方根，是的立方根，试求的立方根． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根，立方根，解二元一次方程，熟练掌握算术平方根，立方根，解二元一次方程的方法是解题的关键． 由题意得，解方程组得，得出，即可求解． 【详解】解： 由题意得 ， 解得， ∴， ∴， ∴的立方根为：． 【经典计算题四 平方根、立方根的综合】 31．（22-23八年级上·河南平顶山·开学考试）已知是的算术平方根，是的立方根，求的立方根． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根、立方根，掌握算术平方根、立方根的性质是解题的关键．根据是的算术平方根，得到，求出a的值，根据是的立方根，得到，求出b的值，从而求出A，B，进而求出的值，即可求出结果． 【详解】解：是的算术平方根， ， ， 是的立方根， ， 又， ， ，， ， ． 32．（23-24七年级下·甘肃平凉·期末）已知的平方根是，的立方根是2，求的值． 【答案】2 【分析】本题考查了平方根、立方根、熟练掌握平方根、立方根的定义、求出a、b的值是解题的关键． 先利用平方根、立方根的定义、求出a、b的值，再把它们的值代入代数式计算算术平方根即可． 【详解】解：∵的平方根是，的立方根是2， ∴，， 解得，， ∴． 33．（23-24七年级下·河北保定·期末）一个正数m的平方根是和，求正数m的立方根． 【答案】 【分析】本题主要考查平方根，立方根的知识，根据题意求出，再求出，再进行计算即可． 【详解】解：由题意得， 解得， ∴ ∴ ∴ 34．（23-24七年级下·湖北咸宁·阶段练习）已知表示9的算术平方根，的立方根是2，d是的小数部分． (1)求a、b、c、d的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，，； (2)． 【分析】本题考查平方根，立方根，无理数的估算．熟练掌握平方根，立方根的定义，以及无理数的估算方法，是解题的关键． （1）根据平方根，立方根的定义，求出的值，无理数的估算求出c的值； （2）将的值代入代数式，进行计算即可． 【详解】（1）解：∵表示9的算术平方根， ∴， ∴， ∵的立方根是2， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴的整数部分为3， ∴； （2）解：由（1） ∴， ∴的平方根是． 35．（23-24七年级下·山东日照·阶段练习）已知是的算术平方根，是的立方根，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了平方根和立方根的相关知识点，根据题意得，据此即可求解． 【详解】解：∵是的算术平方根， ∴ ∵是的立方根， ∴ 由①②得： ∴ ∴的平方根为 36．（23-24七年级下·全国·课后作业）已知是的算术平方根，是的立方根，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了立方根与平方根，正确理解立方根与平方根的意义是解题的关键．根据题意可得，，解得，，然后代入求出、进行求解． 【详解】解：由题意可得， ， ， ， 的平方根为． 37．（23-24八年级上·贵州毕节·阶段练习）已知的立方根为3，的算术平方根为4． (1)求m，n的值； (2)若a和b是连续的整数，且，求的值 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了立方根和算术平方根，熟练掌握立方根和算术平方根的概念，实数的大小范围，是解本题的关键． （1）根据立方根与算术平方根的定义列出关于m与n的方程组，求出方程组的解即得m与n的值； （2）根据，，求出a与b，即可求出的值． 【详解】（1）∵的立方根为3，的算术平方根为4， ∴，解得， （2）∵，， ∴． ∵， ∴． ∵a和b是连续的整数，且， ∴，， ∴． 38．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知一个正数x的两个平方根分别是和． (1)求x的值； (2)若b为的算术平方根，c为的立方根，求代数式的值． 【答案】(1)9 (2) 【分析】本题考查算术平方根，平方根及立方根，结合．已知条件求得的值是解题的关键． （1）根据平方根的形式求得a的值后代入中计算，然后根据平方根的定义即可求得答案； （2）根据算术平方根及立方根的定义求得的值，然后将其代入中计算即可． 【详解】（1）解∶一个正数的两个平方根分别是和， 解得∶， 则， 那么； （2）为的算术平方根，为的立方根，， ∴， 则． 39．（23-24七年级下·全国·假期作业）（1）已知的平方根是，的平方根是，求的平方根； （2）已知a，b都是有理数，且，求的平方根． 【答案】（1）；（2） 【详解】解：（1）由题意，得，， 解得，， ，的平方根是． （2）， ，，， ，， ，的平方根是． 40．（21-22七年级下·河南商丘·期中）计算 (1)已知的算术平方根是2，的立方根是．求a，b的值； (2)某正数的两个平方根分别是和，b的立方根是，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由的算术平方根是2，的立方根是，建立方程组再解方程组即可； （2）由正数的两个平方根互为相反数可求解a，由立方根的含义求解b，再代入求值即可． 【详解】（1）解：∵的算术平方根是2，的立方根是， ∴ 解得： （2）∵某正数的两个平方根分别是和，b的立方根是， ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题考查的是算术平方根，立方根的含义，二元一次方程组的解法，掌握“由算术平方根的含义与立方根的含义建立方程组”是解本题的关键． 【经典计算题五 实数的混合运算】 41．（24-25八年级上·河南洛阳·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查算术平方根，立方根，绝对值，实数的混合运算，熟练掌握实数的混合运算法则是解题的关键． （1）先计算立方根，算术平方根和，再进行实数的加减运算； （2）先计算算术平方根，立方根，绝对值，再进行实数的加减运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 42．（24-25八年级上·广东河源·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，先根据零指数幂、负整数指数幂、绝对值、算术平方根和立方根的意义化简，再算乘法，后算加减． 【详解】解： ． 43．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算，先计算立方根和绝对值，再计算乘法，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 44．（24-25八年级上·江苏连云港·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题主要考查了实数混合运算，解题的关键是熟练掌握算术平方根定义，立方根定义，零指数幂运算法则． （1）根据乘方运算法则，算术平方根定义，零指数幂运算法则，进行计算即可； （2）根据立方根定义，绝对值意义，算术平方根定义，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 45．（24-25八年级上·河南南阳·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查实数的运算，涉及算术平方根、立方根、有理数的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据相关运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 46．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算． （1）根据有理数的乘除法运算进行计算即可得到答案； （2）先计算乘方、立方根及绝对值，再算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 47．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用算术平方根及立方根的定义，先化简再计算即可； （2）利用算术平方根及0次幂的意义，绝对值的性质计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 48．（24-25八年级上·广东深圳·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了实数的混合运算，立方根和算术平方根等运算，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算立方根和算术平方根，然后计算乘法，最后计算加减即可； （2）首先计算立方根和算术平方根，化简绝对值，然后计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 49．（24-25九年级上·陕西渭南·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查实数的混合运算，掌握负指数幂，立方根，零次幂的计算是解题的关键． 先算负指数幂，绝对值，立方根，零次幂，再根据实数的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 50．（24-25七年级上·山东威海·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据乘方、算术平方根、立方根的定义运算即可求解，掌握算术平方根、立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 【经典计算题六 无理数整数部分的有关计算】 51．（24-25八年级上·湖南永州·阶段练习）已知某正数的两个平方根是和，的算术平方根是2，若c是 的整数部分. (1)求a，b，c的值； (2)求的立方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查的是算术平方根、平方根的定义、求一个数的立方根、估算无理数的大小，熟练掌握相关定义和方法是解题的关键． （1）先依据平方根的定义可求得a的值，再根据算术平方根的定义可求出b的值，然后估算出的大小，可求得c的值， （2）根据（1）求a，b，c的值代入，得的值，最后求它的立方根即可． 【详解】（1）由题意得， 解得， 又， ， （2）由（1）得：， ， 的立方根是． 52．（24-25八年级上·河北沧州·期中）阅读下列材料：，即，的整数部分为，小数部分为．规定实数的整数部分记为，小数部分记为，如：，．解答以下问题： (1)______，______，______； (2)求的值． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（）根据阅读材料解答即可求解； （）根据阅读材料解答即可求解； 本题考查了无理数的估算，实数的运算，解题的关键是理解题意，掌握估算无理数大小的方法，正确计算． 【详解】（1）解：∵，即， ∴， ∵，即， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 故答案为：，，； （2）解：， ， ，， ， ，， 原式． 53．（2024八年级上·全国·专题练习）数学老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道，，它是个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少？”小明举手回答：“它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用来表示．”张老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法．现请你根据小明的说法解答： (1)的小数部分是的整数部分是b，求的值； (2)已知，其中x是一个整数，，求的值． 【答案】(1)4 (2)28 【分析】本题主要考查的是估算无理数的大小，求得的值的大小是解题的关键． （1）估算出和的范围，然后可求得、的值，然后再求代数式的值即可； （2）先求得的值，然后再表示出的值，最后进行计算即可． 【详解】（1）解：， ， ． ． （2）解：， ． 是一个整数，， ， ， ∴原式． 54．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不可能全部写出来，而，于是可用来表示的小数部分，根据以上信息回答下列问题： (1)的小数部分为_________，的小数部分为______； (2)若m是的整数部分，n是的小数部分，求的值． 【答案】(1)，； (2)3． 【分析】本题主要考查了无理数的估算，二次根式的化简求值等知识点， （1）根据无理数的估算方法，确定出整数部分，进而求解即可； （2）先求出的值，代入代数式，求值即可； 熟练掌握“夹逼法”进行无理数的估算是解题的关键． 【详解】（1）∵， ∴的小数部分为； ∵， ∴， ∴的小数部分为； 故答案为：，； （2）∵，m是的整数部分， ∴， ∵，n是的小数部分， ∴， ∴． 55．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）已知的算术平方根是5，的立方根是3，是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查估算无理数的大小，算术平方根、立方根，理解算术平方根、立方根的定义，掌握估算无理数的方法是正确解答的前提．根据算术平方根、立方根以及估算无理数的大小确定、、的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵的算术平方根是5， ， 解得：， ∵的立方根是3， ∴ 解得：， ∵， ∴， ∴， 是的整数部分， ， ∴， ∵25平方根为， ∴的平方根为． 56．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）已知的立方根是，b是3的算术平方根，c是的小数部分，求的绝对值． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根和立方根的综合应用，涉及了无理数的估算以及绝对值的求解，根据题意得出、，结合可得，即可求解. 【详解】解：∵的立方根是， ∴， ∴； ∵b是3的算术平方根， ∴； ∵， ∴， ∴ ∴ 57．（22-23七年级下·重庆沙坪坝·期中）已知实数满足：，是的平方根，，是的整数部分． (1)求的值； (2)解关于的方程． 【答案】(1)，，； (2)． 【分析】（）根据立方根的性质、平方根的定义、无理数的估算即可求解； （）把（）所得的的值代入方程，解方程即可求解； 本题考查了立方根的性质、平方根的定义、无理数的估算，利用平方根解方程，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵是的平方根， ∴， ∴或， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的整数部分， ∴； （2）解：∵，，， ∴方程为， ∴， ∴， ∴． 58．（23-24七年级下·湖北荆州·期中）阅读下面的文字，解答问题： 大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分．你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：，即，的整数部分为，小数部分为，根据以上知识解答下列各题： (1)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； (2)已知，其中是整数，且，求的相反数； (3)已知的小数部分为，的小数部分为，求的平方根． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）首先得出，的取值范围，求得a，b，进而得出答案； （2）首先估算出的大小，然后求得x，y的值，从而可求得答案； （3）首先得出，的取值范围，求得a，b，进而得出答案． 【详解】（1）解：∵，即 ∴ ∵，即 ∴， ∴； （2）解：∵， ∴的小数部分为：，的整数部分为：1， ∴的整数部分为：，小数部分为：， ∴，， ∴， ∴的相反数为：； （3）解：∵， ∴的小数部分为：，整数部分为：3； ∴的小数部分为：； ∵， ∴， ∴的小数部分为：， ∴， ∴， ∴的平方根为：． 【点睛】本题主要考查的是估算无理数的大小、相反数的定义，求得a、b，x、y的值是解题的关键． 59．（23-24七年级下·山西朔州·期末）阅读与理解 下面是小茗同学的学习笔记，请认真阅读，并完成相应的任务． 因为没有任何一个有理数的平方等于2，所以是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此，的小数部分我们不能全部写出来，就用来表示的小数部分．原因是的整数部分为1，将这个数减去其整数部分，差就是它的小数部分． 又如： ∵，∴． ∴． ∴的整数部分为2，小数部分为． 任务： (1)根据小茗笔记内容知，的整数部分是______，小数部分是______； (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知，x是整数，，求的值． 【答案】(1)6， (2) (3) 【分析】本题考查无理数整数部分及小数部分的计算： （1）仿照题干中的做法即可求解； （2）仿照题干中的做法求出a和b的值，再代入求值； （3）求出的整数部分x和小数部分y，再代入求值． 【详解】（1）解：∵，∴， ∴， ∴的整数部分为6，小数部分为， 故答案为：6，； （2）解：∵，∴， ∴， ∴的整数部分为3，小数部分为， ∴； 同理，∵，∴， ∴， ∴的整数部分为5， ∴， ∴； （3）解：∵，∴， ∴， ∴，即 ∴的整数部分为4，小数部分为， ∵，x是整数，， ∴，， ∴． 60．（23-24七年级下·江苏南通·期末）阅读下面的文字，解答问题． 现规定：分别用和表示实数x的整数部分和小数部分，如实数3.14的整数部分是，小数部分是；实数的整数部分是，小数部分是无限不循环小数，无法写完整，但是把它的整数部分减去，就等于它的小数部分，即就是的小数部分，所以． (1)__________，__________；__________，__________． (2)如果，，求的立方根； (3)若，求x的取值范围． 【答案】(1)1，，3， (2)的立方根是2 (3) 【分析】本题考查了估算无理数的大小和平方根的意义，求一个数的立方根，能够估算出无理数的范围是解决问题的关键． （1）先估算出和的范围，再根据题目规定的表示方法写出答案即可； （2）先估算出，的范围，即可求出a，b的值，进一步即可求出结果． （3）根据的含义列出不等式组即可求出结果． 【详解】（1）解： 故答案为： （2） 的立方根是2． （3）∵， ∴， 解得：． 【经典计算题七 程序设计与实数运算】 61．（24-25七年级上·浙江舟山·期中）如图所示为一个数值转换器． (1)当输入的的值为49时，输出的的值是______； (2)若输入有效的值后，始终无法输出的值，请写出所有满足要求的的值：______； (3)若输出的值是，请写出两个满足要求的的值：______． 【答案】(1) (2)0和1 (3)5，25（5的偶次方都对） 【分析】本题考查了算术平方根的计算和无理数的判断，正确理解给出的运算方法是关键． （1）根据运算规则即可求解； （2）根据0的算术平方根是0，1的算术平方根是1即可判断； （3）根据运算法则，进行逆运算即可求得无数个满足条件的数． 【详解】（1）解：当时，取算术平方根，不是无理数， 继续取算术平方根，是无理数，所以输出的y值为； （2）解：因为0，1的算术平方根是0，1，一定是有理数； 所以当，1时，始终输不出y值． （3）解：的算术平方根为25， 的算术平方根5， 5的算术平方根为， ∴或或（5的偶次方）都满足要求． 62．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）每个程序段由若干条指令组成，老师设计了一段运算程序如图： 例如：当输入x的值为时，计算结果；将输入值变为，计算结果为；再将输入值变为了，继续运算，直到计算结果不小于4，才输出该结果． 请思考下列问题． (1)当输入x的值为5，则输出y的值是多少？请列式计算． (2)当起始输入x的值为1，请通过计算说明经过几次程序运行后才能输出y． 【答案】(1) (2)4次 【分析】本题考查了实数的运算，理解题意，掌握框图中的运算法则是解题的关键． （1）根据框图中的运算程序计算即可； （2）根据框图中的运算程序计算，直到结果大于或等于4即输出结果为止． 【详解】（1）当输入x的值为5时， 则有，， 且， 输出y的值是． （2）当输入x的值为1时， 则有，，，继续计算； 第二次输入x的值为时， 则有，，，继续计算； 第三次输入x的值为时， 则有，，，继续计算； 第四次输入x的值为时， 则有，，，输出； 所以经过4次程序运行后才能输出y． 63．（23-24七年级下·江苏南通·期中）如图是一个数值转换器示意图： (1)当输入的x为36时，输出的y的值是_______； (2)若输入x值后，始终输不出y的值，则满足题意的x值是_______； (3)若输出的，则x的最小整数值是_______. 【答案】(1) (2)0和1 (3)5 【分析】本题考查了算术平方根的计算和无理数的判断， （1）根据运算规则即可求解； （2）根据0的算术平方根是0，1的算术平方根是1即可判断； （3）先得出输入的，，再根据运算法则，进行逆运算即可求解． 【详解】（1）解：当时，取算术平方根，不是无理数， 继续取6算术平方根，是无理数， 所以输出的y值为； 故答案为：； （2）解：当，1时，始终输不出y值．因为0的算术平方根是0，1的算术平方根是1，一定是有理数； 故答案为：0，1； （3）∵输出的， ∴， ∴输入的， 当时，5的算术平方根是，是无理数， 所以输出的y值为， ∴x的最小整数值是． 64．（23-24七年级下·广东阳江·期中）如图是一个数值转换器，请根据其原理解决问题：当x为12时，求y的值，并写出详细过程． 【答案】，见详解 【分析】本题主要考查了有理数和无理数的分类、实数的运算以及流程图，掌握有理数和无理数的分类以及读懂流程图是解答本题的关键． 【详解】解：把代入数值转换器，第一次计算可得，为有理数，进行第二次计算， 把代入数值转换器，第二次计算可得，为无理数， 则输出． 65．（23-24七年级上·浙江·期末）有一个数值转换器，运算流程如下： (1)在，2，4，16中选择3个合适的数分别输入，求对应输出的值． (2)若输出的值为，求输入的值． 【答案】(1)当时，；当时，；当时， (2)3或9 【分析】（1）将，4，分别代入，计算求解即可； （2）由题意知，分当是无理数的相反数时，当是有理数的负平方根时，两种情况求解作答即可． 【详解】（1）解：当时，其算术平方根为，是无理数，故； 当时，其算术平方根为2，是有理数，故； 当时，其算术平方根为4，是有理数，故； （2）解：当是无理数的相反数时，则的算术平方根是， ∴， 当是有理数的负平方根时，则的算术平方根的负平方根是， ∴， 综上所述，的值为3或9． 【点睛】本题考查了相反数，算术平方根，平方根．熟练掌握相反数，算术平方根，平方根的概念是解题的关键． 66．（22-23七年级下·北京海淀·期中）一个数值转换器，如图所示：    (1)当输入的为时，输出的值是______； (2)若输入有效的值后，始终输不出值，请写出所有满足要求的的值，并说明你的理由； (3)若输出的是，请求出两个满足要求的值． 【答案】(1) (2)或，理由见解析 (3)5或 【分析】（1）根据算术平方根的定义进行计算即可； （2）根据0或1的算术平方根的特殊性得出答案； （3）可以考虑1次运算输出结果，2次运算输出结果，进而得出答案． 【详解】（1）解：当时，的算术平方根为， 而是有理数，的算术平方根为， 而是有理数，的算术平方根为， 故答案为：； （2）或，理由如下： 因为的算术平方根是，的算术平方根是， 无论进行多少次运算都不可能是无理数； （3）若次运算就是无理数，则输入的数为， 若次运算输出的数是无理数，则输入的数是， ∴满足要求的值可以是：5或． 【点睛】本题考查算术平方根、有理数和无理数，理解算术平方根的定义是正确解答的前提． 67．（23-24八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）下图是一个数值转换机    (1)当输入的x为16时，输出的y值是______． (2)若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出满足要求的x的值______． (3)若输入的值，且输出的y是，请写出满足要求的x的值______． 【答案】(1)； (2)和1； (3)5和25． 【分析】（1）根据算术平方根，即可解答； （2）根据0和1的算术平方根是它们本身，0和1是有理数，所以始终输不出值； （3）根据625的算术平方根是25，25的算术平方根是5，5的算术平方根是，进行回答即可． 【详解】（1）的算术平方根是4，4是有理数，4不能输出， 的算术平方根是2，2是有理数，2不能输出， 的算术平方根是，是无理数，输出， 故答案为： （2）和1的算术平方根是它们本身，0和1是有理数， 当和1时，始终输不出的值， 故答案为：和1； （3）625的算术平方根是25，25的算术平方根是5，5的算术平方根是， 当和5时，输出的y是， 故答案为：5和25． 【点睛】本题考查了算术平方根，解决本题的关键是熟记算术平方根的定义． 68．（22-23七年级下·安徽蚌埠·阶段练习）如图，是一个计算流程图：    (1)求计算流程图能够运算进行下去的最小整数？ (2)是否存在输入有效的x值后，始终输不出y值？如果存在，请写出所有满足要求的x的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或或 【分析】（1）根据非负数才有算术平方根列出不等式即可解得； （2）为0和1时，有效，始终输不出y值． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得， ∴计算流程图能够运算进行下去的最小整数是； （2）解：当时，始终输不出y值． ∵0的算术平方根是0，一定是有理数； 当时，始终输不出y值； ∵1的算术平方根是1，一定是有理数； 当时，是负数时，始终输不出y值， ∵负数没有算术平方根； 综上所述，或或． 【点睛】本题考查了程序设计与实数运算，掌握实数运算规则是关键． 69．（22-23七年级下·河北张家口·期末）如图是一个数值转换器，其工作原理如图所示．      (1)当输入的x值为时，求输出的y值； (2)若输入有意义的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值，并说明你的理由； (3)若输出的y值是，直接写出x的负整数值． 【答案】(1) (2)1或2或3，理由见解析 (3)或． 【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的定义进行计算即可； （2）根据0或1的算术平方根的特殊性得出答案； （3）可以考虑1次运算输出结果，2次运算输出结果，进而得出答案． 【详解】（1）解：当时，， 4的算术平方根为， 而2是有理数，2的算术平方根为， 故答案为：； （2）解：1或2或3，理由如下： ∵0的算术平方根是0，1的算术平方根是1， ∴当或0时， 解得或2或3， ∴当或2或3时，无论进行多少次运算都不可能是无理数； （3）解：若1次运算就是， ∴ ∴ ∴解得或， ∴x为负整数， 则输入的数为； 若2次运算输出的数是， ∴ ∴ ∴解得或 ∵ ∴不符合题意，或 综上所述，或． 【点睛】本题考查算术平方根、有理数和无理数，理解算术平方根的定义是解题的关键． 70．（22-23七年级下·江苏·周测）运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否”为一次程序操作．    (1)若输入后程序操作仅进行了一次就输出结果，求a的取值范围； (2)当时，输入x后程序操作进行了两次输出结果，求x的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据进行了一次运算，列出不等式，解之即可； （2）根据运行了两次，可得第一次没有停止，第二次停止，分别列出不等式，解之即可． 【详解】（1）解：由题意可列不等式为， 解得：； （2）当时， 第一次没有停止，则可列式为：， 解得：， 则第二次输入的值为， 第二次停止了，输出结果，则可列式为， 解得：， 故的取值范围为． 【点睛】本题考查一元一次不等式（组）的应用，通过给出的操作过程来列一元一次不等式并求出对应的解． 【经典计算题八 新定义下的实数运算】 71．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）对于任意实数x、y，定义新运算：，其中a、b为常数，等号右边为通常的加法、减法和乘法运算，例如．若，，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，新定义，根据新定义可得方程组，解方程组求出a、b的值，再根据新定义代值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴． 72．（24-25七年级上·江西宜春·阶段练习）定义：对于一个有理数，我们把称作的对称数．若，则；若，则．例：． (1)则___________，___________； (2)已知有理数，且满足，试求代数式的值； (3)解方程：． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）根据题中的新定义列式计算即可； （2）根据题中的新定义列式求出，然后整体代入计算即可； （3）分和两种情况，分别根据新定义得出方程，再求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：，； 故答案为：，； （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴； （3）解：当时，方程为：， 解得：； 当时，方程为：， 解得：， 故方程的解为或． 【点睛】本题考查了新定义，代数式求值，解一元一次方程，正确理解新定义是解题的关键． 73．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）小梦同学在学习整式的乘法这一章后，对其进行深入探究：若一个正整数能表示成（a，b是正整数）的形式，则称这个数为“梦想数”．例如：因为，所以5是“梦想数”． (1)小梦同学发现13是“梦想数”，则． (2)请你再写两个小于30的“梦想数”（5和13除外）________、________． (3)已知（x，y，k是整数），要使M为“梦想数”，求k的值． 【答案】(1)2，3 (2)20，29（答案不唯一） (3) 【分析】本题主要考查了完全平方公式，新定义等知识点， (1)根据“梦想数”的定义判断即可； (2)根据“梦想数”的定义判断即可； (3)要使M为“梦想数”，则M可以化为两个数的平方和的形式，据此可求k的值； 熟练掌握完全平方公式是解决此题的关键． 【详解】（1）解：∵， 故答案为：2，3； （2）解：∵，， ∴20，29是符合条件的“梦想数”， 故答案为：20，29（答案不唯一）； （3）解： ， 是一个“梦想数”， 是一个完全平方式， ， ． 74．（24-25七年级上·浙江温州·期中）对任意实数定义一种新运算“⊕”，规定：．如：． (1)求的值； (2)已知x为的整数部分，化简并求值：； (3)若比小，请直接写出一个满足条件的m值． 【答案】(1) (2)30 (3)（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，无理数的估算，解题的关键是理解新定义，列出算式． （1）根据题干提供的信息列出算式进行计算即可； （2）根据x为的整数部分，得出，然后把代入列式求解即可； （3）先求出，，比小，得出m的取值范围，得出答案即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵， 又∵x为的整数部分， ∴， ∴ ． （3）解：∵， ， 又∵比小， ∴， ∴， ∴满足条件的m值可以是．（答案不唯一） 75．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）定义：若无理数的被开方数（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“共同体区间”为．例如：因为，所以的“共同体区间”为．请回答下列问题： (1)的“共同体区间”为__________； (2)若无理数的“共同体区间”为，求的“共同体区间”； (3)若x，y满足关系式：，则的“共同体区间”为__________． 【答案】(1)； (2)的“共同体区间”为； (3)． 【分析】本题考查了算术平方根、无理数的大小估算、新定义下的实数运算等知识点，掌握相关知识是解题的关键． （1）仿照题干中的方法，根据“共同体区间”的定义求解； （2）先根据无理数的“共同体区间”求出的取值范围，再求出的取值范围，再根据“共同体区间”的定义求解； （3）先根据已知得，解得，分别代入求值，再根据“共同体区间”的定义即可求解． 【详解】（1）解： 的“共同体区间”是， 故答案为：； （2）解：∵无理数的“共同体区间”为， 即 的“共同体区间”为； （3）解：∵ ，， ∴， ∴， ， 解得：， 当时， 的“共同体区间”为， 故答案为：． 76．（2024七年级上·浙江·专题练习）对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，． （1）仿照以上方法计算：＝ ；＝ ． （2）若，写出满足题意的的整数值 ． 如果我们对连续求根整数，直到结果为为止．例如：对连续求根整数次，这时候结果为． （3）对连续求根整数， 次之后结果为． （4）只需进行次连续求根整数运算后结果为的所有正整数中，最大的是 ． 【答案】 ，， 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，无理数大小估算等知识点，读懂题意，理解根整数的定义是解题的关键． （1）先估算和的大小，再根据新定义即可得出答案； （2）根据定义可得，进而可得到满足题意的的整数值； （3）根据定义对连续求根整数，即可得出答案； （4）由（2）可得，进行次求根整数运算后结果为的正整数中最大者为，进而可得，进行次求根整数运算后结果为的正整数中最大者为，进行次求根整数运算后结果为的正整数中最大者为，于是得解． 【详解】解：（1）∵，，， ， ∴， ∴，， 故答案为：，； （2）∵，且， ∴， ∴满足题意的的整数值为：，，， 故答案为：，，； （3）第一次：， 第二次：， 第三次：， 故答案为：； （4）只需进行次连续求根整数运算后结果为的所有正整数中最大的是，理由如下： 由（2）可得，进行次求根整数运算后结果为的正整数中最大者为， ∵，， ∴进行次求根整数运算后结果为的正整数中最大者为， ∵，， ∴进行次求根整数运算后结果为的正整数中最大者为， ∴对一个正整数进行次连续求根整数运算后结果为，这个正整数最大值为， 故答案为：． 77．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）已知，都是实数，为整数，若，则称与是关于的一组“两倍数”． (1)与_______是关于1的一组“两倍数”； (2)与_______是关于3的一组“两倍数”； (3)若，，判断与是否为关于某整数的一组“两倍数”，说明理由． 【答案】(1)4 (2) (3)3 【分析】本题考查了新概念——“两倍数”，实数的混合运算．理解新概念，熟练掌握实数的运算顺序和法则，是解题的关键． （1）根据“两倍数”的意义列式，即可求解； （2）根据“两倍数”的意义列式，即可求解； （3）根据“两倍数”的意义判断即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∴当，时， ． 故答案为：4． （2）解：∵， ∴． ∴当，时， ． 故答案为：． （3）解：与是关于整数3的一组“两倍数”． 理由如下： ∵，， ∴ ． ∴与是关于整数3的一组“两倍数”． 78．（2024八年级上·北京·专题练习）阅读下列材料，并回答问题： 任意两个有理数进行加，减，乘，除运算（除数不为零），结果还是有理数，我们称这种性质为有理数的四则运算封闭性： 例如：，，， ，运算结果5，，6，都是有理数，但是整数就不具有四则运算封闭性．由此可见，并不是所有的数都具有封闭性； 小陈在学习无理数时发现，无理数也不具有四则运算封闭性，并且还发现： ①任意一个有理数与无理数的和为无理数； ②任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数； ③零与无理数的积为零； 由此可得： 如果，其中a，b为有理数，x为无理数，那么且． 运用上述知识解决下列问题： (1)实数是否具有封闭性？ (2)如果，其中a，b为有理数，那么 ． (3)如果，其中a，b为有理数，求的值． 【答案】(1)有 (2)9 (3) 【分析】本题主要考查了实数新定义运算，理解新定义，是解题的关键． （1）根据封闭性的定义进行求解即可； （2）根据，其中a，b为有理数，得出，，求出，，代入求出结果即可； （3）将等式整理得：，由有理数的四则运算封闭性得出结果即可． 【详解】（1）解：因为任意两个实数进行加，减，乘，除运算（除数不为零），结果还是实数，所以实数具有封闭性． （2）解：∵，其中a，b为有理数， ∴，， 解得：，， ∴； （3）解：已知等式整理得：， ∴由有理数的四则运算封闭性可得： ， ∴． 79．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）【数学中的阅读理解】对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． (1)仿照以上方法计算：________，________； (2)若，写出满足题意的的整数值________； (3)如果我们对连续求根整数，直到结果是1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1．则对有理数137连续求根整数，________之后结果是1； (4)只需进行3次连续求根整数运算后结果是1的所有正整数中，最大的是________． 【答案】(1)4，6 (2)1或2或3 (3)3次 (4)255 【分析】本题考查了无理数的估算，解题的关键是理解题意，掌握无理数的估算． （1）根据题意得，，，则，即可得出答案； （2）根据，，即可得； （3）根据题意得，第一次：；第二次：；第三次：，即可得； （4）由（2）得，进行1次求根整数运算后结果为1的正整数最大为3，进行1次求根整数运算后结果为3的正整数最大为15，则进行1次求根整数运算后结果为15的正整数最大为255，即可得． 【详解】（1）解：∵，，， ， ，， 故答案为：4，6； （2）解：，，， ∴， 或或， 故答案为：1或2或3； （3）解：第一次：， 第二次：， 第三次：， 第3次之后结果为1， 故答案为：3次； （4）解： 由（2）得，进行1次求根整数运算后结果为1的正整数最大为3， ，， 进行2次求根整数运算后结果为3的正整数最大为15， ，， 进行3次求根整数运算后结果为15的正整数最大为255， 只对一个正整数进行3次连续求根整数运算后结果为1，则这个正整数最大值是255， 故答案为：255． 80．（24-25八年级上·全国·期末）阅读下列材料，回答问题． 如果一个数的n（n是大于1的整数）次方等于a，这个数就叫做a的n次方根．换句话说，如果，那么x叫做a的n次方根． 例如：因为，，所以2和叫做16的4次方根．即，，所以 ． 又如：因为，所以叫做 的5次方根．即：． (1)64的6次方根是 ，的5次方根是 ．（直接写出结果） (2)______； (3)归纳一个数的n次方根的情况． 【答案】(1)； (2)100 (3)见解析 【分析】本题主要考查了开方运算，解题的关键是理解题意，掌握提供中提供的信息． （1）根据，得出64的6次方根是；根据，得出的5次方根是； （2）根据得出； （3）根据题干中提供的信息，归纳一个数的n次方根的情况即可． 【详解】（1）解：∵， ∴64的6次方根是； ∵， ∴的5次方根是； （2）解：∵， ∴； （3）解：当n为偶数时，一个负数没有n次方根，一个正数的n次方根有两个，它们互为相反数；当n为奇数时，一个数的n次方根只有一个；0的n次方根是0． 【经典计算题九 与实数运算相关的规律题】 81．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③ (1)根据上面三个等式提供的信息，请你猜想_______ (2)请按照上面各等式反映的规律，试写第n个等式：_______ (3)对任何实数a，表示不超过a的最大整数，如， 计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是实数的运算规律的探究与运用，掌握“探究的方法以及灵活运用”是解本题的关键． （1）根据题干例举的等式，即可答案； （2）根据题干例举的等式，总结规律可得答案； （3）先总结规律可得，再利用规律进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意：； （2）解：； （3）解：原式 ． 82．（24-25八年级上·河南平顶山·期中）观察下列各式： 第1个等式：    第2个等式： 第3个等式：    第4个等式： …… 根据以上规律，解决下列问题： (1)直接写出第5个等式：______． (2)按照上面每个等式反映的规律，第个等式为______． (3)利用上述规律化简：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查与实数相关的规律型问题，算术平方根，关键是由给出的等式，发现规律． （1）由前几个等式的规律，即可得到答案； （2）由给出的等式，发现规律，即可得到答案 （3）根据规律化简，再计算即可． 【详解】（1）解：由前几个等式的规律得到第5个等式是：， 故答案为：； （2）解：∵第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， ， ∴第n个等式是：， 故答案为：； （3）解： ． 83．（24-25八年级上·全国·期中）先观察等式，再解答问题： ①；②； ③；…… (1)请你根据以上三个等式提供的信息，猜想= = ； (2)请你按照以上各等式反映的规律，写出用含n的式子表示的等式；（n为正整数） (3)应用上述结论，请计算的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了实数运算相关的规律探究，解题的关键是读懂题意，找出各式之间的关． （1）利用题中等式的计算规律得出结果； （2）第n个等式的左边为，等式右边为，结果为； （3）将原式变形为，按照（2）得出的等式关系，即可求出结果． 【详解】（1）解：由题意可知， ， 故答案为：，； （2）解：结合①②③，得： ； （3）解：． 84．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：______；… 解决下列问题： (1)请写出符合上述规律的第4个等式； (2)请写出符合上述规律的第个等式，并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了算术平方根规律探究； （1）根据规律写出第4个等式，即可求解； （2）根据规律写出第个等式，进而根据算术平方根的意义，即可求解． 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 故答案为：． （2），理由如下， ∵， ∴， 85．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）先观察等式，再解答问题： ①；②； ③． (1)请你根据以上三个等式提供的信息，猜想______； (2)请你按照以上各等式反映的规律，写出用含的式子表示的等式：____（为正整数）； (3)应用上述结论，请计算的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了实数运算相关的规律的探究． （1）利用题中等式的计算规律得到的结果为； （2）第n个等式的左边为，等式右边为1与的和； （3）根据规律得到，，，，，相加即可求解． 【详解】（1）解：的结果为； 故答案为：； （2）解：∵①； ②； ③， ∴， 故答案为：； （3）解：∵， ， ， ， ， ∴ ． 86．（24-25八年级上·山西临汾·阶段练习）先阅读材料，再回答问题： …… (1)请根据以上规律写出第七个等式； (2)根据以上规律，若一个等式的最右边的值是，请写出这个等式； (3)根据以上规律，写出第n个等式．（用含有n的式子表示，n为整数，且） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的规律探究．根据题意推导出一般性规律是解题的关键． （1）由题意知，； （2）由，可求当一个等式的最右边的值是的等式； （3）由题意可推导一般性规律为，第n个等式为，然后作答即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， …… ∴第七个等式为； （2）解：∵， ∴当一个等式的最右边的值是，这个等式为； （3）解：由题意可推导一般性规律为，第n个等式为， ∴第n个等式为． 87．（23-24八年级下·山东聊城·期末）观察下列各式： ； ； ； 请你根据上面三个等式反映的规律，猜想： (1)______； (2)______（n为正整数）； (3)利用上面的规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查实数运算的数字型规律探索，探索出运算规律是解题的关键．分别将每个式子变形为和式子序列号有关的形式，即可发现规律，即可解答． 【详解】（1）解：根据规律可得：, 故答案为：； （2）解：根据规律可得：， 故答案为：； （3）解：． 88．（22-23七年级上·广东潮州·期中）我们来看下面的两个例子： ，， 和都是的算术平方根，而的算术平方根只有一个， 所以． ， 和都是的算术平方根， 而的算术平方根只有一个，所以 （填空） （1）猜想：一般地，当时，与之间的大小关系是怎样的？ （2）运用以上结论，计算：的值． 【答案】（1）；（2）120 【分析】此题主要考查了实数运算以及算术平方根，正确由特殊值分析式子变化规律是解题关键． （1）直接利用算术平方根的定义得出答案； （2）直接利用得出答案． 【详解】解：， 和都是的算术平方根， 而的算术平方根只有一个，所以； （1）根据题意，当时， 则； （2）． 89．（23-24八年级下·河南许昌·期末）观察下列等式： ①；②；③ (1)类比上述等式，写出第④个等式： (2)观察这类等式的规律，写出你猜想的第个等式： （用含的等式表示，为正整数），并给出证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查了二次根式的规律探究，完全平方公式等知识．根据题意推导一般性规律是解题的关键． （1）由题意知，第④个等式为； （2）由题意知，第个等式为，证明左式右式即可． 【详解】（1）解：由题意知，第④个等式为， 故答案为：； （2）解：由题意知，第个等式为， 证明：左式， 右式， 左式右式，等式成立． 90．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）观察下列各式： ① ② ③ 请利用你所发现的规律，解决下列问题： (1)发现规律= ； (2)计算． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了算术平方根的探索规律，发现所列式子的排列规律是解题的关键； （1）通过观察得出规律，根据规律即可解答； （1）利用规律得出原式为，化简即可． 【详解】（1）根据规律可知， =1+（n为正整数）， 故答案为：1+； （2）由规律可得，原式 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 平方根、立方根与实数90道计算题专项训练（9大题型） 题型一 利用平方根、立方根解方程 题型二 平方根相关的计算题 题型三 立方根相关的计算题 题型四 平方根、立方根的综合 题型五 实数的混合运算 题型六 无理数整数部分的有关计算 题型七 程序设计与实数运算 题型八 新定义下的实数运算 题型九 与实数运算相关的规律题 【经典计算题一 利用平方根、立方根解方程】 1．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）求下列各式中的： (1)； (2)． 2．（24-25八年级上·江苏连云港·期末）求下列各式中的值． (1)； (2)． 3．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）求下列各式中的： (1)； (2)． 4．（24-25八年级上·江苏南京·期末）求下列各式中的： (1)； (2)． 5．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）解下列方程： (1)； (2) 6．（22-23八年级上·江苏扬州·阶段练习）求下列各式中的值： (1)； (2)． 7．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）解方程： (1)； (2)． 8．（24-25七年级上·山东泰安·阶段练习）求下列式子中的值 (1) (2) (3) (4)． 9．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）解方程： (1) (2) 10．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）求下列各式中的： (1) (2) 【经典计算题二 平方根相关的计算题】 11．（24-25八年级下·全国·期末）计算：． 12．（23-24八年级上·全国·课后作业）求下列各数的平方根，并用式子表示出来． (1)； (2)； (3)； (4) 13．（24-25八年级上·全国·期中）计算：． 14．（24-25八年级上·全国·期中）若，正数的两个平方根分别是和，求的平方根． 15．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）计算：． 16．（24-25八年级上·江西景德镇·阶段练习）已知一个正数的两个平方根分别是和． (1)求这个正数． (2)求的算术平方根． 17．（2024·全国·模拟预测）计算：． 18．（2024七年级上·浙江·专题练习）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 19．（24-25七年级上·全国·单元测试）已知． (1)求，的值； (2)求的平方根． 20．（2024七年级上·浙江·专题练习）已知：实数a，b满足． (1)求a和b的值； (2)求的平方根． 【经典计算题三 立方根相关的计算题】 21．（24-25七年级上·山东淄博·期末）计算： (1) (2) 22．（24-25八年级上·江苏南京·期末）计算：． 23．（22-23七年级下·广东东莞·期中）计算． 24．（24-25八年级上·全国·期中）已知 ，且 为正数，求 的算术平方根和立方根． 25．（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）计算 (1)计算； (2)若，求的值． 26．（24-25八年级上·四川成都·期中）（1）已知的平方根是，的算术平方根是4，求的立方根． （2）如果实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，化简：． 27．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）已知一个正数x的两个不同的平方根分别是和． (1)求m的值； (2)求的立方根． 28．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）计算： 29．（24-25八年级上·河北唐山·期中）计算： 30．（24-25八年级上·河南周口·期中）已知是 的算术平方根，是的立方根，试求的立方根． 【经典计算题四 平方根、立方根的综合】 31．（22-23八年级上·河南平顶山·开学考试）已知是的算术平方根，是的立方根，求的立方根． 32．（23-24七年级下·甘肃平凉·期末）已知的平方根是，的立方根是2，求的值． 33．（23-24七年级下·河北保定·期末）一个正数m的平方根是和，求正数m的立方根． 34．（23-24七年级下·湖北咸宁·阶段练习）已知表示9的算术平方根，的立方根是2，d是的小数部分． (1)求a、b、c、d的值； (2)求的平方根． 35．（23-24七年级下·山东日照·阶段练习）已知是的算术平方根，是的立方根，求的平方根． 36．（23-24七年级下·全国·课后作业）已知是的算术平方根，是的立方根，求的平方根． 37．（23-24八年级上·贵州毕节·阶段练习）已知的立方根为3，的算术平方根为4． (1)求m，n的值； (2)若a和b是连续的整数，且，求的值 38．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知一个正数x的两个平方根分别是和． (1)求x的值； (2)若b为的算术平方根，c为的立方根，求代数式的值． 39．（23-24七年级下·全国·假期作业）（1）已知的平方根是，的平方根是，求的平方根； （2）已知a，b都是有理数，且，求的平方根． 40．（21-22七年级下·河南商丘·期中）计算 (1)已知的算术平方根是2，的立方根是．求a，b的值； (2)某正数的两个平方根分别是和，b的立方根是，求的值． 【经典计算题五 实数的混合运算】 41．（24-25八年级上·河南洛阳·期末）计算： (1)； (2)． 42．（24-25八年级上·广东河源·期末）计算：． 43．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）计算：． 44．（24-25八年级上·江苏连云港·期末）计算： (1)； (2)． 45．（24-25八年级上·河南南阳·期中）计算：． 46．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）计算： (1)； (2)． 47．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）计算： (1) (2) 48．（24-25八年级上·广东深圳·期末）计算： (1)； (2)． 49．（24-25九年级上·陕西渭南·期末）计算：． 50．（24-25七年级上·山东威海·期末）计算：． 【经典计算题六 无理数整数部分的有关计算】 51．（24-25八年级上·湖南永州·阶段练习）已知某正数的两个平方根是和，的算术平方根是2，若c是 的整数部分. (1)求a，b，c的值； (2)求的立方根． 52．（24-25八年级上·河北沧州·期中）阅读下列材料：，即，的整数部分为，小数部分为．规定实数的整数部分记为，小数部分记为，如：，．解答以下问题： (1)______，______，______； (2)求的值． 53．（2024八年级上·全国·专题练习）数学老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道，，它是个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少？”小明举手回答：“它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用来表示．”张老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法．现请你根据小明的说法解答： (1)的小数部分是的整数部分是b，求的值； (2)已知，其中x是一个整数，，求的值． 54．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不可能全部写出来，而，于是可用来表示的小数部分，根据以上信息回答下列问题： (1)的小数部分为_________，的小数部分为______； (2)若m是的整数部分，n是的小数部分，求的值． 55．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）已知的算术平方根是5，的立方根是3，是的整数部分，求的平方根． 56．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）已知的立方根是，b是3的算术平方根，c是的小数部分，求的绝对值． 57．（22-23七年级下·重庆沙坪坝·期中）已知实数满足：，是的平方根，，是的整数部分． (1)求的值； (2)解关于的方程． 58．（23-24七年级下·湖北荆州·期中）阅读下面的文字，解答问题： 大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分．你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：，即，的整数部分为，小数部分为，根据以上知识解答下列各题： (1)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； (2)已知，其中是整数，且，求的相反数； (3)已知的小数部分为，的小数部分为，求的平方根． 59．（23-24七年级下·山西朔州·期末）阅读与理解 下面是小茗同学的学习笔记，请认真阅读，并完成相应的任务． 因为没有任何一个有理数的平方等于2，所以是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此，的小数部分我们不能全部写出来，就用来表示的小数部分．原因是的整数部分为1，将这个数减去其整数部分，差就是它的小数部分． 又如： ∵，∴． ∴． ∴的整数部分为2，小数部分为． 任务： (1)根据小茗笔记内容知，的整数部分是______，小数部分是______； (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知，x是整数，，求的值． 60．（23-24七年级下·江苏南通·期末）阅读下面的文字，解答问题． 现规定：分别用和表示实数x的整数部分和小数部分，如实数3.14的整数部分是，小数部分是；实数的整数部分是，小数部分是无限不循环小数，无法写完整，但是把它的整数部分减去，就等于它的小数部分，即就是的小数部分，所以． (1)__________，__________；__________，__________． (2)如果，，求的立方根； (3)若，求x的取值范围． 【经典计算题七 程序设计与实数运算】 61．（24-25七年级上·浙江舟山·期中）如图所示为一个数值转换器． (1)当输入的的值为49时，输出的的值是______； (2)若输入有效的值后，始终无法输出的值，请写出所有满足要求的的值：______； (3)若输出的值是，请写出两个满足要求的的值：______． 62．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）每个程序段由若干条指令组成，老师设计了一段运算程序如图： 例如：当输入x的值为时，计算结果；将输入值变为，计算结果为；再将输入值变为了，继续运算，直到计算结果不小于4，才输出该结果． 请思考下列问题． (1)当输入x的值为5，则输出y的值是多少？请列式计算． (2)当起始输入x的值为1，请通过计算说明经过几次程序运行后才能输出y． 63．（23-24七年级下·江苏南通·期中）如图是一个数值转换器示意图： (1)当输入的x为36时，输出的y的值是_______； (2)若输入x值后，始终输不出y的值，则满足题意的x值是_______； (3)若输出的，则x的最小整数值是_______. 64．（23-24七年级下·广东阳江·期中）如图是一个数值转换器，请根据其原理解决问题：当x为12时，求y的值，并写出详细过程． 65．（23-24七年级上·浙江·期末）有一个数值转换器，运算流程如下： (1)在，2，4，16中选择3个合适的数分别输入，求对应输出的值． (2)若输出的值为，求输入的值． 66．（22-23七年级下·北京海淀·期中）一个数值转换器，如图所示：    (1)当输入的为时，输出的值是______； (2)若输入有效的值后，始终输不出值，请写出所有满足要求的的值，并说明你的理由； (3)若输出的是，请求出两个满足要求的值． 67．（23-24八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）下图是一个数值转换机    (1)当输入的x为16时，输出的y值是______． (2)若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出满足要求的x的值______． (3)若输入的值，且输出的y是，请写出满足要求的x的值______． 68．（22-23七年级下·安徽蚌埠·阶段练习）如图，是一个计算流程图：    (1)求计算流程图能够运算进行下去的最小整数？ (2)是否存在输入有效的x值后，始终输不出y值？如果存在，请写出所有满足要求的x的值；如果不存在，请说明理由． 69．（22-23七年级下·河北张家口·期末）如图是一个数值转换器，其工作原理如图所示．      (1)当输入的x值为时，求输出的y值； (2)若输入有意义的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值，并说明你的理由； (3)若输出的y值是，直接写出x的负整数值． 70．（22-23七年级下·江苏·周测）运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否”为一次程序操作．    (1)若输入后程序操作仅进行了一次就输出结果，求a的取值范围； (2)当时，输入x后程序操作进行了两次输出结果，求x的取值范围； 【经典计算题八 新定义下的实数运算】 71．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）对于任意实数x、y，定义新运算：，其中a、b为常数，等号右边为通常的加法、减法和乘法运算，例如．若，，求的值． 72．（24-25七年级上·江西宜春·阶段练习）定义：对于一个有理数，我们把称作的对称数．若，则；若，则．例：． (1)则___________，___________； (2)已知有理数，且满足，试求代数式的值； (3)解方程：． 73．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）小梦同学在学习整式的乘法这一章后，对其进行深入探究：若一个正整数能表示成（a，b是正整数）的形式，则称这个数为“梦想数”．例如：因为，所以5是“梦想数”． (1)小梦同学发现13是“梦想数”，则． (2)请你再写两个小于30的“梦想数”（5和13除外）________、________． (3)已知（x，y，k是整数），要使M为“梦想数”，求k的值． 74．（24-25七年级上·浙江温州·期中）对任意实数定义一种新运算“⊕”，规定：．如：． (1)求的值； (2)已知x为的整数部分，化简并求值：； (3)若比小，请直接写出一个满足条件的m值． 75．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）定义：若无理数的被开方数（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“共同体区间”为．例如：因为，所以的“共同体区间”为．请回答下列问题： (1)的“共同体区间”为__________； (2)若无理数的“共同体区间”为，求的“共同体区间”； (3)若x，y满足关系式：，则的“共同体区间”为__________． 76．（2024七年级上·浙江·专题练习）对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，． （1）仿照以上方法计算：＝ ；＝ ． （2）若，写出满足题意的的整数值 ． 如果我们对连续求根整数，直到结果为为止．例如：对连续求根整数次，这时候结果为． （3）对连续求根整数， 次之后结果为． （4）只需进行次连续求根整数运算后结果为的所有正整数中，最大的是 ． 77．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）已知，都是实数，为整数，若，则称与是关于的一组“两倍数”． (1)与_______是关于1的一组“两倍数”； (2)与_______是关于3的一组“两倍数”； (3)若，，判断与是否为关于某整数的一组“两倍数”，说明理由． 78．（2024八年级上·北京·专题练习）阅读下列材料，并回答问题： 任意两个有理数进行加，减，乘，除运算（除数不为零），结果还是有理数，我们称这种性质为有理数的四则运算封闭性： 例如：，，， ，运算结果5，，6，都是有理数，但是整数就不具有四则运算封闭性．由此可见，并不是所有的数都具有封闭性； 小陈在学习无理数时发现，无理数也不具有四则运算封闭性，并且还发现： ①任意一个有理数与无理数的和为无理数； ②任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数； ③零与无理数的积为零； 由此可得： 如果，其中a，b为有理数，x为无理数，那么且． 运用上述知识解决下列问题： (1)实数是否具有封闭性？ (2)如果，其中a，b为有理数，那么 ． (3)如果，其中a，b为有理数，求的值． 79．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）【数学中的阅读理解】对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． (1)仿照以上方法计算：________，________； (2)若，写出满足题意的的整数值________； (3)如果我们对连续求根整数，直到结果是1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1．则对有理数137连续求根整数，________之后结果是1； (4)只需进行3次连续求根整数运算后结果是1的所有正整数中，最大的是________． 80．（24-25八年级上·全国·期末）阅读下列材料，回答问题． 如果一个数的n（n是大于1的整数）次方等于a，这个数就叫做a的n次方根．换句话说，如果，那么x叫做a的n次方根． 例如：因为，，所以2和叫做16的4次方根．即，，所以 ． 又如：因为，所以叫做 的5次方根．即：． (1)64的6次方根是 ，的5次方根是 ．（直接写出结果） (2)______； (3)归纳一个数的n次方根的情况． 【经典计算题九 与实数运算相关的规律题】 81．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③ (1)根据上面三个等式提供的信息，请你猜想_______ (2)请按照上面各等式反映的规律，试写第n个等式：_______ (3)对任何实数a，表示不超过a的最大整数，如， 计算： 82．（24-25八年级上·河南平顶山·期中）观察下列各式： 第1个等式：    第2个等式： 第3个等式：    第4个等式： …… 根据以上规律，解决下列问题： (1)直接写出第5个等式：______． (2)按照上面每个等式反映的规律，第个等式为______． (3)利用上述规律化简：． 83．（24-25八年级上·全国·期中）先观察等式，再解答问题： ①；②； ③；…… (1)请你根据以上三个等式提供的信息，猜想= = ； (2)请你按照以上各等式反映的规律，写出用含n的式子表示的等式；（n为正整数） (3)应用上述结论，请计算的值． 84．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：______；… 解决下列问题： (1)请写出符合上述规律的第4个等式； (2)请写出符合上述规律的第个等式，并说明理由． 85．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）先观察等式，再解答问题： ①；②； ③． (1)请你根据以上三个等式提供的信息，猜想______； (2)请你按照以上各等式反映的规律，写出用含的式子表示的等式：____（为正整数）； (3)应用上述结论，请计算的值． 86．（24-25八年级上·山西临汾·阶段练习）先阅读材料，再回答问题： …… (1)请根据以上规律写出第七个等式； (2)根据以上规律，若一个等式的最右边的值是，请写出这个等式； (3)根据以上规律，写出第n个等式．（用含有n的式子表示，n为整数，且） 87．（23-24八年级下·山东聊城·期末）观察下列各式： ； ； ； 请你根据上面三个等式反映的规律，猜想： (1)______； (2)______（n为正整数）； (3)利用上面的规律计算：． 88．（22-23七年级上·广东潮州·期中）我们来看下面的两个例子： ，， 和都是的算术平方根，而的算术平方根只有一个， 所以． ， 和都是的算术平方根， 而的算术平方根只有一个，所以 （填空） （1）猜想：一般地，当时，与之间的大小关系是怎样的？ （2）运用以上结论，计算：的值． 89．（23-24八年级下·河南许昌·期末）观察下列等式： ①；②；③ (1)类比上述等式，写出第④个等式： (2)观察这类等式的规律，写出你猜想的第个等式： （用含的等式表示，为正整数），并给出证明． 90．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）观察下列各式： ① ② ③ 请利用你所发现的规律，解决下列问题： (1)发现规律= ； (2)计算． 学科网（北京）股份有限公司 $$