精品解析：广东省韶关市乳源县2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷

2024-2025学年广东省韶关市乳源县九年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 二次函数y＝x2﹣2x+3的图象的顶点坐标是（ ） A. （1，6） B. （1，2） C. （﹣1，6） D. （﹣1，2） 【答案】B 【解析】 【分析】将二次函数解析式配方，写成顶点式，根据顶点式与顶点坐标的关系求解． 【详解】， 抛物线顶点坐标为(1，2)， 故选：B． 【点睛】本题考查了抛物线的性质，抛物线的顶点式的顶点坐标是． 2. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　） A. 4，，0 B. 4，0， C. 4，0， D. ，0， 【答案】C 【解析】 【分析】先将原方程化为一般形式，再求解即可． 本题考查了一元二次方程的一般形式：，其中叫做二次项，a为二次项系数；叫做一次项，b为一次项系数；c为常数项，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：将化为一般式为， ∴一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是4，0，， 故选：C． 3. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 矩形 D. 正五边形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，中心对称图形的定义；理解定义：“如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．” 是解题的关键． 【详解】A.等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意； B.平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形．故本选项不合题意； C.矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形．故本选项符合题意； D.正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意． 故选：C． 4. 已知关于x的一元二次方程的一个根为，则实数k的值为（　　） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】将代入，即可求解， 本题考查了一元二次方程的解的定义，以及解方程的能力，熟练掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题关键． 【详解】∵关于x的一元二次方程的一个根为， ∴， 解得：， 故选：B． 5. 下列关于概率的说法中，正确的是（　　） A. “明天的降水概率为”表示明天下雨的可能性是 B. “抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为0.5”表示每抛两次就一定有一次正面朝上 C. 连续三次掷一颗骰子都出现了偶数点，则第四次出现的点数一定是奇数 D. 某射击运动员射击一次，命中靶心是必然事件 【答案】A 【解析】 【分析】根据概率是反映事件可能性大小的量．不可能事件和必然事件都属于确定事件，即可判断求解． 本题考查了事件的分类，正确理解概率的定义是解决本题的关键． 【详解】A、“明天的降水概率为”表示明天下雨的可能性是，故A符合题意； B、“抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为0.5”表示每抛两次就可能有一次正面朝上，故B不符合题意； C、连续三次掷一颗骰子都出现了偶数点，则第四次出现的点数可能是奇数，故C不符合题意； D、某射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故D不符合题意； 故选：A． 6. 已知圆的半径为，圆心到直线l的距离为，那么直线与圆的位置关系是（　　） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线与圆位置关系的判定方法判定即可． 本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是：熟练掌握直线与圆的位置关系． 【详解】∵圆的半径为， ∵圆心到直线l的距离为， ∴圆的半径大于圆心到直线的距离， ∴直线与圆相交， 故选：C． 7. 在同一平面直角坐标系中，函数和函数（m是常数，且)的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象判断两个值，函数的图象是否正确即可得到答案． 【详解】解：A、根据函数图象可知：一次函数解析式中，二次函数解析式中，两者符号相同，但根据，得抛物线的对称轴应在轴的右侧，与图象不符，故该选项不符合题意； B、根据函数图象可知：一次函数解析式中，二次函数解析式中，故该选项不符合题意； C、根据函数图象可知：一次函数解析式中，二次函数解析式中，两者符号相同，但根据，得抛物线的对称轴应在轴的左侧，与图象不符，故该选项不符合题意； D、根据函数图象可知：一次函数解析式中，二次函数解析式中，两者符号相同，根据，得抛物线的对称轴应在轴的右侧，与图象相符，故该选项符合题意； 故选：D． 【点睛】此题考查一次函数与二次函数的图象性质，根据图象判断函数解析式中字母的取值，正确理解函数图象是解题的关键． 8. 要在一个三角形铁皮上截下一个面积最大的圆，此圆圆心应在三角形（ ） A. 三边高线的交点 B. 三个角的平分线的交点 C. 三边垂直平分线的交点 D. 三边中线的交点 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的内切圆与内心，掌握三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点是解题的关键．根据题意得到圆形薄板的圆心应是三角形的内心，根据内心的性质解答即可． 【详解】解：要在一个三角形铁皮上截下一个面积最大的圆， 则作三角形的内切圆，即作三角形的三个内角角平分线的交点， 故选：B． 9. 如图，在⊙O中，∠BAC＝15°，∠ADC＝20°，则∠ABO的度数为（　　） A. 70° B. 55° C. 45° D. 35° 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆周角定理可得出∠AOB的度数，再由OA=OB，可求出∠ABO的度数 【详解】详解片段 连接OA、OC， ∵∠BAC＝15°，∠ADC＝20°， ∴∠AOB＝2（∠ADC+∠BAC）＝70°， ∵OA＝OB（都是半径）， ∴∠ABO＝∠OAB＝ （180°﹣∠AOB）＝55°． 故选B． 【点睛】本题考查了圆周角定理，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半． 10. 已知二次函数的图象经过点，，且对称轴为直线，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对抽轴定义得到，即可判断C，将，代入，求出，，，即可判断B，代入，可判断A，代入可判断D． 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，解题的关键是：求出二次函数的解析式． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴，即，故C错误， ∵时，， ∴， ∵时，， ∴， ∴， ∴，， ∴，故B正确， ∴，故A错误， 把，，，代入， 即，故D错误． 故选：B． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 已知一个扇形的圆心角为，半径为，则这个扇形的弧长为____，面积为_____（结果保留小数点后两位）． 【答案】 ①. 6.28 ②. 9.42 【解析】 【分析】根据扇形弧长和面积公式，即可求解， 本题考查的是扇形的弧长和面积公式的运用，正确记忆弧长和面积公式是解题的关键． 【详解】解：由弧长公式可得这个扇形的弧长为， 扇形的面积为， 故答案为：6.28，9.42． 12. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则的值为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】根据坐标与原点对称得到横纵坐标互为相反数列出方程即可求解． 本题考查了坐标的对称特征：关于原点对称时横坐标、纵坐标都互为相反数；根据对称特征列方程组是解题关键． 【详解】∵点与点关于原点对称， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为： ． 13. 将函数的图象沿x轴向右平移3个单位，得到的图象解析式的一般式为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，理解并掌握抛物线平移的规律是解题关键．由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 【详解】根据“左加右减”的平移法则，将函数的图象沿x轴向右平移3个单位，得到的图象解析式为：，即． 故答案为：． 14. 如图，在四边形中，，，则的度数为____． 【答案】 【解析】 【分析】由点B，C，D在以点A为圆心的圆上，根据圆周角定理，即可求解， 本题考查了圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】∵， ∴点B，C，D在以点A为圆心的圆上， ∵， ∴． 故答案为：． 15. 某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，则平均每次降价的百分率为_____． 【答案】20% 【解析】 【分析】解答此题利用的数量关系是：商品原来价格×（1-每次降价的百分率）2=现在价格，设出未知数，列方程解答即可． 【详解】设这种商品平均每次降价的百分率为x，根据题意列方程得： 125(1−x)2=80 解得：x1=0.2=20%，x2=1.8(不合题意，舍去) 故答案为20%． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意列出关系式是解题的关键． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程的常用方法有：直接开方法、配方法、分解因式法、公式法． 把常数项移项到等号的右边，两边直接开平方即可求解； 把一次项移项到左边，然后运用十字相乘法分解因式，把一元二次方程转化为两个一元一次方程，通过解一元一次方程求出一元二次方程的解． 【小问1详解】 解：， ， ，； 【小问2详解】 解：， 移项得：， 因式分解法得：， 或， ，． 17. 在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于原点O对称的，并写出点A的对称点的坐标； （2）将绕点C顺时针旋转，得到，画出，并求在这个旋转过程中，点A经过的路径长． 【答案】（1）作图见解析， （2）作图见解析，旋转过程中，点A经过的路径长为 【解析】 【分析】本题考查了作图−旋转变换，旋转的性质，正确地作出图形是解题的关键． （1）利用中心对称的性质画出点A和B的对称点，即可求解； （2）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B、C的对应点，，，根据勾股定理求出的长，根据弧长公式，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 由图可得，， 【小问2详解】 解：如图，即为所求． 由勾股定理得，， ∴旋转过程中，点A经过的路径长为． 18. 已知二次函数的图象经过点，和点． （1）求二次函数的解析式； （2）在该二次函数的图象上有一点P，使的面积为，求点P的坐标． 【答案】（1）抛物线解析式为 （2）P点坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）设抛物线解析式为，将点代入解析式求解即可得到答案； （2）设，根据面积列方程求解即可得到答案． 本题考查待定系数法求解析式，二次函数动点围城三角形面积问题，解题的关键是：根据题意正确列式． 【小问1详解】 解：设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线解析式为， 即； 【小问2详解】 解：设， ∵的面积为， ∴， 即或， 解方程得，， 此时P点坐标为或， 解方程得，， 此时P点坐标为或， 综上所述，P点坐标为或或或． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 用长为米的篱笆围成一个矩形养鸡场，设养鸡场的一边长为米，养鸡场的面积为平方米． （1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）当为何值时，养鸡场的面积最大？最大面积是多少平方米？ 【答案】（1）与之间的函数关系式为 （2）当为时，养鸡场的面积最大，最大面积是平方米 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用； （1）根据篱笆的总长为米，设养鸡场的一边长为米，根据矩形的面积公式得出函数关系式，根据题意列出不等式组得出自变量的取值范围，即可求解； （2）根据二次函数的性质求得最值，即可求解． 【小问1详解】 解：篱笆的总长为米，设养鸡场的一边长为米， 边长为米的邻边长为米． 根据题意得：， 矩形的各边为正值， ， ， 与之间的函数关系式为； 【小问2详解】 ， ， 当时，取得最大值，最大值为． 答：当为时，养鸡场的面积最大，最大面积是平方米． 20. 如图，已知是的直径，点在上，过点的直线与的延长线交于点，，．求证： （1）是的切线； （2）． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析． 【解析】 分析】（）证明，进而由圆周角定理可得，即得，即可求证； （）先由已知得到，再证明，即可得． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 又∵为的外角， ∴， ∵， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵点在上， ∴是的切线； 【小问2详解】 证明：∵， ∴， 又由（）知，， ∴，又， ∴， 即． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形外角性质，圆周角定理，切线的判定等知识，掌握以上知识点是解题的关键． 21. 相等的几个扇形，并涂上图中所示的颜色．同时转动两个转盘，如果转盘转出了红色，转盘转出了蓝色，或者转盘转出了蓝色，转盘转出了红色，则红色和蓝色在一起配成紫色，这种情况下小芳获胜；在其他情况下小明获胜； ． （1）利用列表或树状图的方法表示此游戏所有可能出现的结果； （2）若出现紫色，则小明胜．此游戏的规则对小明、小芳公平吗？试说明理由． 【答案】（1）此游戏所有可能出现的结果见详解 （2）此游戏的规则对小明、小芳不公平，理由见详解 【解析】 【分析】本题主要考查列表法或画树状图法求随机事件的概率，理解“配成紫色”的转法，掌握列表法或画树状图把所有等可能结果表示出来，再根据随机事件的概率计算公式进行求解是解题的关键． （1）运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来即可； （2）根据（1）中的计算结果，再由概率公式计算配成紫色的概率和不能配成紫色的概率，进行判定即可． 【小问1详解】 解：如图所示，运用列表法把所有等可能结果表示出来， 红 蓝 红 黄 红 （红，红） （蓝，红） （红，红） （黄，红） 蓝 （红，蓝） （蓝，蓝） （红，蓝） （黄，蓝） 黄 （红，黄） （蓝，黄） （红，黄） （黄，黄） 【小问2详解】 解：此游戏的规则对小明、小芳不公平，理由如下， 根据上述表格可得，共有种等可能结果，其中（红，蓝）或（蓝，红）的结果有种结果， ∴配成紫色的概率为，则不能配成紫色的概率为， ∵，即不能配成紫色的可能性大一些， ∴此游戏对小明、小芳不公平． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分． 22. 如图，点B、C、D都在半径为6的⊙O上，过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A，连接CD，已知∠CDB=∠OBD=30°． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）求弦BD的长； （3）求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2）6；（3）6π． 【解析】 【分析】（1）连接OC，OC交BD于E，由∠CDB=∠OBD可知，CD∥AB，又AC∥BD，四边形ABDC为平行四边形，则∠A=∠D=30°，由圆周角定理可知∠COB=2∠D=60°，由内角和定理可求∠OCA=90°，证明切线.. （2）由（1）中的切线的性质和垂径定理以及解直角三角形来求BD的长度. （3）证明△OEB≌△CED，将阴影部分面积问题转化为求扇形OBC的面积求解． 【详解】解：（1）证明：如答图，连接OC，OC交BD于E， ∵∠CDB=30°， ∴∠COB=2∠CDB=60°. ∵∠CDB=∠OBD， ∴CD∥AB. 又∵AC∥BD， ∴四边形ABDC为平行四边形. ∴∠A=∠D=30°. ∴∠OCA=180°﹣∠A﹣∠COB=90°，即OC⊥AC. 又∵OC是⊙O的半径， ∴AC是⊙O的切线. （2）由（1）知，OC⊥AC． ∵AC∥BD， ∴OC⊥BD. ∴BE=DE. ∵在Rt△BEO中，∠OBD=30°，OB=6， ∴BE=OBcos30°=3. ∴BD=2BE=6. （3）∵在△OEB和△CED中，∠OBE=∠CDE，∠OEB=∠CED，BE=DE， ∴△OEB≌△CED（AAS）. ∴S阴影=S扇形BOC. ∴S阴影=． 答：阴影部分的面积是6π． 【点睛】本题主要考查圆周角定理，平行四边形的判定和性质，切线的判定和性质，垂径定理，特殊角的三角函数值，扇形面积，掌握转换思想和数形结合思想是关键． 23. 如图，抛物线交x轴于点和点，交y轴于点，连接． （1）①抛物线的解析式为______； ②若，则y的取值范围为______． （2）点P是下方抛物线上一点，作轴于点M，交于点Q． ①求的最大值； ②若，求点P的坐标． 【答案】（1）①；② （2）①当时，取得最大值，最大值为；②点P的坐标为 【解析】 【分析】（1）①待定系数法求出抛物线的解析式即可； ②根据二次函数的性质求出y的取值范围即可； （2）①先求出直线的解析式为，设点P的坐标为，，则，求出，，得出，根据二次函数的最值，求出结果即可； ②先证明，得出，即可得出，列出方程，求出结果即可． 小问1详解】 解：①将，，，代入， 得， 解得：， ∴抛物线的解析式为． ②∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， ∵， ∴当时，y取得最大值3， ∴y的取值范围为． 【小问2详解】 解：①设直线BC的解析式为， 将，代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为． 设点P的坐标为，， 则， ∴，， ∴， ∴当时，取得最大值，最大值为； ②∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， 解得，（舍去）， ∴点P的坐标为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，二次函数的最值，求一次函数解析，解题的关键是熟练掌握待定系数法，数形结合． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年广东省韶关市乳源县九年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 二次函数y＝x2﹣2x+3的图象的顶点坐标是（ ） A. （1，6） B. （1，2） C. （﹣1，6） D. （﹣1，2） 2. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　） A. 4，，0 B. 4，0， C. 4，0， D. ，0， 3. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 矩形 D. 正五边形 4. 已知关于x的一元二次方程的一个根为，则实数k的值为（　　） A. B. 1 C. D. 2 5. 下列关于概率的说法中，正确的是（　　） A. “明天的降水概率为”表示明天下雨的可能性是 B. “抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为0.5”表示每抛两次就一定有一次正面朝上 C. 连续三次掷一颗骰子都出现了偶数点，则第四次出现点数一定是奇数 D. 某射击运动员射击一次，命中靶心是必然事件 6. 已知圆的半径为，圆心到直线l的距离为，那么直线与圆的位置关系是（　　） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 不能确定 7. 在同一平面直角坐标系中，函数和函数（m是常数，且)的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 要在一个三角形铁皮上截下一个面积最大的圆，此圆圆心应在三角形（ ） A. 三边高线的交点 B. 三个角的平分线的交点 C. 三边垂直平分线交点 D. 三边中线的交点 9. 如图，在⊙O中，∠BAC＝15°，∠ADC＝20°，则∠ABO的度数为（　　） A. 70° B. 55° C. 45° D. 35° 10. 已知二次函数的图象经过点，，且对称轴为直线，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 已知一个扇形的圆心角为，半径为，则这个扇形的弧长为____，面积为_____（结果保留小数点后两位）． 12. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则的值为_____． 13. 将函数的图象沿x轴向右平移3个单位，得到的图象解析式的一般式为_______． 14. 如图，在四边形中，，，则的度数为____． 15. 某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，则平均每次降价的百分率为_____． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于原点O对称的，并写出点A的对称点的坐标； （2）将绕点C顺时针旋转，得到，画出，并求在这个旋转过程中，点A经过的路径长． 18. 已知二次函数的图象经过点，和点． （1）求二次函数的解析式； （2）在该二次函数图象上有一点P，使的面积为，求点P的坐标． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 用长为米的篱笆围成一个矩形养鸡场，设养鸡场的一边长为米，养鸡场的面积为平方米． （1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）当为何值时，养鸡场的面积最大？最大面积是多少平方米？ 20. 如图，已知是的直径，点在上，过点的直线与的延长线交于点，，．求证： （1）是的切线； （2）． 21. 相等的几个扇形，并涂上图中所示的颜色．同时转动两个转盘，如果转盘转出了红色，转盘转出了蓝色，或者转盘转出了蓝色，转盘转出了红色，则红色和蓝色在一起配成紫色，这种情况下小芳获胜；在其他情况下小明获胜； ． （1）利用列表或树状图的方法表示此游戏所有可能出现的结果； （2）若出现紫色，则小明胜．此游戏的规则对小明、小芳公平吗？试说明理由． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分． 22. 如图，点B、C、D都在半径为6⊙O上，过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A，连接CD，已知∠CDB=∠OBD=30°． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）求弦BD的长； （3）求图中阴影部分的面积． 23. 如图，抛物线交x轴于点和点，交y轴于点，连接． （1）①抛物线的解析式为______； ②若，则y的取值范围为______． （2）点P是下方抛物线上一点，作轴于点M，交于点Q． ①求最大值； ②若，求点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$