精品解析：河南省南阳市西峡县2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题

2024年秋期期末文化素质调研 九年级数学作业 注意事项： 1、本作业共6页，三大题，23小题，满分120分，时间100分钟． 2、请将答案填写在答题卡上，选择题答案用2B铅笔填涂，非选择题用0.5毫米黑色笔迹的水笔填写． 3、答题前请将答题卡上的学校、班级、姓名、座号、学生编号填涂完整． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 若二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，对于二次根式，需满足，据此即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：B． 2. 一元二次方程的解是（ ） A. ， B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．利用提公因式分解因式得到，据此解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得， 故选：A． 3. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 车辆随机到达一个路口遇到红灯 B. 早上的太阳从西方升起 C. 400人中至少有两人的生日在同一天 D. 投掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了必然事件的定义，正确理解必然事件的定义是解答本题的关键．在一定条件下一定会发生的事件叫做必然事件．根据必然事件的定义即可判断答案． 【详解】选项A，是随机事件，不是必然事件，不符合题意； 选项B，是不可能事件，不是必然事件，不符合题意； 选项C，是必然事件，符合题意； 选项D，是随机事件，不是必然事件，不符合题意． 故选C． 4. 如图，点、、是上的三点，已知，那么的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．根据图形，利用圆周角定理求出所求角度数即可． 【详解】解：与都对，且， ， 故选：C． 5. 如图是人字梯及其侧面示意图，，为支撑架，为拉杆，D，E分别是，的中点，若，则B，C两点的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中位线的实际应用，等式的性质等知识点，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键． 利用三角形的中位线定理即可直接得出答案． 【详解】解：∵D，分别是，的中点， ， ， 故选：． 6. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换，根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或计算． 【详解】解：∵原点O为位似中心，相似比为，把缩小，， ∴点B的对应点的坐标为或，即或． 故选：D． 7. 如图，，，是某社区的三栋楼，若在中点处建一个通讯基站，其覆盖半径为，则这三栋楼中在该通讯基站覆盖范围内的是（ ） A. 只有 B. 只有， C. 只有， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质、勾股定理的逆定理．首先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，从而可以判断，、、三栋楼都在该通讯基站覆盖范围内． 【详解】解：如下图所示，连接 、、， 又 ， 是直角三角形， 又点是的中点， ， 、、三栋楼都在该通讯基站覆盖范围内．   故选：D ． 8. 设点，，是抛物线上的三点，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，二次函数的增减性，利用增减性比较函数值的大小，由题意可得对称轴为轴，则关于轴的对称点为，根据二次函数的增减性可得函数值的大小关系． 【详解】解：抛物线解析式为， 对称轴为轴 ∵关于对称轴轴对称点为， ∴是抛物线上点， 又∵， 当时，随的增大而减小， ，点，，是抛物线上的三点， ， 故选：D． 9. 如图，是的直径，圆上的点D与点C，E分布在直线的两侧，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，根据直径所对的圆周角是直角得出，结合，可求的度数，然后根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 10. 已知，点是的边上一点，在下列四个条件中：①；②；③；④，其中能使得与一定相似的是（ ）． A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定．掌握相似三角形的判定方法成为解题的关键． 由是公共角，利用有两角对应相等的三角形相似，即可得①与②正确；又由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可得④正确，据此即可解答． 【详解】解：如图： ∵是公共角， ∴当或时，（有两角对应相等的三角形相似），故①与②正确； 当，即时，（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似），故④正确； 当，即时，不是夹角，故不能判定与相似，故③错误； 综上，①②④正确． 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出的一个同类二次根式：________. 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：因为，所以与是同类二次根式的有：，…．（答案不唯一）． 考点：1．同类二次根式；2．开放型． 12. _____ 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，零指数幂及绝对值，熟记特殊角的三角函数值，是解答本题的关键．先计算出特殊角的三角函数值和零指数幂，再根据实数的混合运算法则计算即可． 【详解】 ， 故答案为：． 13. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据根的判别式的意义得到，解关于k的一元一次方程即可得到k的值． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根． ∴ ∴ 14. 若一个二次函数的图象经过、、三点，则这个二次函数的表达式为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式的方法．设二次函数的解析式为，把、、三点代入解析式求解即可． 【详解】解：设二次函数的解析式为， 把、、三点代入得 ， 解得． 则抛物线解析式为． 故答案为：． 15. 如图， 在中， ，，为边的高， 点A在x轴上， 点B在y轴上， 点C在第一象限，若A从原点出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动，则点 B随之沿y轴下滑，并带动在平面内滑动，设运动时间为t秒，当B到达原点时停止运动连接，线段的长随t的变化而变化，当 最大时，______．当的边与坐标轴平行时， ______． 【答案】 ①. ②. 和 【解析】 【详解】本题主要考查了三角形顶点在坐标轴上滑动．熟练掌握等腰三角形性质，勾股定理解直角三角形，相似三角形的判定和性质，是解决问题的关键． ①由等腰三角形的性质可得 ，从而可求出，然后根据当O，D，C共线时， 取最大值，是等腰直角三角形，求出即可； ②根据等腰三角形的性质求出，分轴、，轴，两种情况，列式计算即可． 【题目详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， 当O，D，C共线时，取最大值， 此时 ． ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴； 故答案为：； ∵， 为边的高， ∴，， ∴， 当轴时，， ∴， ∴， 即 ， 解得，； 当轴时，， ∴， ∴， 即 ， 解得，， 则当 或 时，的边与坐标轴平行． 故答案为：或 ． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的加减混合运算， （1）先把每个二次根式化简，再进行加减计算即可； （2）先把每个二次根式化简，最后再计算加减即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2）若方程的一个根是，求的值和方程的另一个根． 【答案】（1） 证明：∵， ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2）的值为1，方程的另一个根为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式和解一元二次方程，解题关键是牢记根的判别式的意义和解方程的方法． （1）求出根的判别式即可求证； （2）先将方程的根代入方程求出，确定方程后再解方程求另一个根． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：将代入方程可得：， ∴， ∴该方程为， ∴， ∴， ∴的值为1，方程的另一个根为． 18. 古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的方法：如图，为了测量金字塔的高度，先竖一根已知长度的木棒，比较木棒的影长与金字塔的影长，即可近似计算出金字塔的高度．如果米，米，米，求金字塔的高度．（说明：金字塔的影长为露在外面的影长与金字塔底边的一半的长度的和．） 【答案】金字塔的高度为米． 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质．根据太阳光是平行光线，得出，再利用相似三角形的性质求出即可． 【详解】解：由于太阳光是平行光线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵米，米，米， ∴（米）． 答：金字塔的高度为米． 19. 如图，是的一条弦，于点C，交于点D，点E在上． （1）若，则的度数为________． （2）若点B是的中点，则弦与弦之间的数量关系为________． （3）若，，求的半径长． 【答案】（1） （2） （3）的半径为． 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理、垂径定理以及勾股定理，掌握垂径定理是解决本题的关键． （1）由，可得，然后由圆周角定理求得的度数． （2）证明，可推出，即可证明； （3）由垂径定理可得，然后设的半径为x，由勾股定理即可求得方程：，解此方程即可求得答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∵； 故答案为：； 【小问2详解】 解：， 由（1）得， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：设的半径为x，， 则， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴的半径为． 20. 将正面分别标有数字1，2，3，6，背面花色相同的四张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上，先从中随机抽取一张，再从剩下的三张中随机抽取第二张． （1）求两次抽取的卡片上的数字之和大于5的概率； （2）求两次抽取的卡片上的数字之和为奇数的概率． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可列出如下图的树状图，先将所有可能出现的结果列出来，然后将两次抽取的卡片上的数字之和大于5的结果列出来即可得出结果； （2）将两次抽取的卡片上的数字之和为奇数的结果列出来，计算即可得出结果． 【详解】解：根据题意可列出如下图的树状图， 从树形图可以看出，所有可能出现的结果共有12个， 即(1，2)，(1，3)，(1，6)，(2，1)，(2，3)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3) (1)两次抽取的卡片上的数字之和大于5(记为事件A)的结果有6个， 分别为：(1，6)，(2，6)，(3，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)， 故 P(A)=； (2)两次抽取的卡片上的数字之和为奇数(记为事件 B)的结果有8个， 分别为：(1，2)，(1，6)，(2，1)，(2，3)，(3，2)，(3，6)，(6，1)，(6，3)， 故 P(B)=． 【点睛】本题主要考查了概率的运算，属于基础题，难度一般，熟练掌握树状图的画法是解题的关键． 21. 2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“着上组合体”）成功着陆在月球背面．某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试验中，如图，该模拟装置在缓速下降阶段从A点垂直下降到B点，再垂直下降到着陆点C，从B点测得地面D点的俯角为36．87°，米，米．（参考数据：，，） （1）求的长． （2）若模拟装置从A点以每秒2米的速度匀速下降到B点，求模拟装置从A点下降到B点的时间． 【答案】（1）的长约为8米； （2）模拟装置从点下降到点的时间为秒． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰俯角问题，灵活运用锐角三角函数求边长是解题关键． （1）过点作交于点，根据余弦值求出的长即可； （2）先由勾股定理，求出的长，再利用正弦值求出的长，进而得到的长，然后除以速度，即可求出下降时间． 【小问1详解】 解：如图，过点作交于点， 由题意可知，， ， 在中，，米， ， 米， 即的长约为8米； 【小问2详解】 解：米，米， 米， 在中，，米， ， 米， 米， 模拟装置从点以每秒2米的速度匀速下降到点， 模拟装置从点下降到点的时间为秒， 即模拟装置从点下降到点的时间为秒． 22. 从地面竖直向上发射的物体离地面的高度满足关系式，其中是物体运动的时间，是物体被发射时的速度．社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球． （1）小球被发射后_________时离地面的高度最大（用含的式子表示）． （2）若小球离地面的最大高度为，求小球被发射时的速度． （3）按（2）中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同．小明说：“这两次间隔的时间为．”已知实验楼高，请判断他的说法是否正确，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3）小明的说法不正确， 理由如下： 由（2），得， 当时，， 解方程，得，， ∴两次间隔的时间为， ∴小明的说法不正确． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是： （1）把函数解析式化成顶点式，然后利用二次函数的性质求解即可； （2）把，代入求解即可； （3）由（2），得，把代入，求出t的值，即可作出判断. 【小问1详解】 解： ， ∴当时，h最大， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意，得 当时，， ∴， ∴（负值舍去）； 【小问3详解】 略 23. 【定义新知】 定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线． （1）如图1，在5×4的方格中，点A、B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形，使得是邻余线，点E、F在格点上； 【问题研究】 （2）如图2，已知四边形是以为邻余线的邻余四边形，，，，，求的长； 【问题解决】 （3）如图3是某公园的一部分，四边形是平行四边形，对角线交于点O，点E在上，是一个人工湖，是湖上的一座桥，现公园规划人员要在桥上修建一个湖心亭M，若的延长线与OB的交点为F，按规划要求M是的中点．已知米，米，米，，且四边形始终是以为邻余线的邻余四边形．规划人员经过思考后，在图纸上找出的中点N，连接，与的交点分别是点F和点M的位置．请问，按照规划人员的方法修建的湖心亭M是否符合规划的要求？请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）； （3）符合要求，理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用网格的特征得到，即可得邻余四边形； （2）延长相交于点P，利用邻余四边形的性质得到，推出是等腰直角三角形，设，再利用勾股定理列式计算即可求解； （3）证明四边形是菱形，根据已知条件证明，由，证明，推出，据此求解即可． 【小问1详解】 解：邻余四边形如图所示， ； 【小问2详解】 解：延长相交于点P， ∵四边形是以为邻余线的邻余四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， 设，则，， 由勾股定理得，即， 整理得， 解得，(舍去)， ∴； 【小问3详解】 解：∵四边形始终是以为邻余线的邻余四边形， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形， ∵米，，米，的中点N， ∴米，米，米，米， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，理解邻余四边形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋期期末文化素质调研 九年级数学作业 注意事项： 1、本作业共6页，三大题，23小题，满分120分，时间100分钟． 2、请将答案填写在答题卡上，选择题答案用2B铅笔填涂，非选择题用0.5毫米黑色笔迹的水笔填写． 3、答题前请将答题卡上的学校、班级、姓名、座号、学生编号填涂完整． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 若二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的解是（ ） A. ， B. C. D. 3. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 车辆随机到达一个路口遇到红灯 B. 早上的太阳从西方升起 C. 400人中至少有两人的生日在同一天 D. 投掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 4. 如图，点、、是上的三点，已知，那么的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图是人字梯及其侧面示意图，，为支撑架，为拉杆，D，E分别是，的中点，若，则B，C两点的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 如图，，，是某社区的三栋楼，若在中点处建一个通讯基站，其覆盖半径为，则这三栋楼中在该通讯基站覆盖范围内的是（ ） A. 只有 B. 只有， C. 只有， D. ，， 8. 设点，，是抛物线上的三点，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是的直径，圆上的点D与点C，E分布在直线的两侧，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知，点是的边上一点，在下列四个条件中：①；②；③；④，其中能使得与一定相似的是（ ）． A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出的一个同类二次根式：________. 12. _____ 13. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______． 14. 若一个二次函数的图象经过、、三点，则这个二次函数的表达式为________． 15. 如图， 在中， ，，为边的高， 点A在x轴上， 点B在y轴上， 点C在第一象限，若A从原点出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动，则点 B随之沿y轴下滑，并带动在平面内滑动，设运动时间为t秒，当B到达原点时停止运动连接，线段的长随t的变化而变化，当 最大时，______．当的边与坐标轴平行时， ______． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算： （1） （2） 17. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2）若方程的一个根是，求的值和方程的另一个根． 18. 古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的方法：如图，为了测量金字塔的高度，先竖一根已知长度的木棒，比较木棒的影长与金字塔的影长，即可近似计算出金字塔的高度．如果米，米，米，求金字塔的高度．（说明：金字塔的影长为露在外面的影长与金字塔底边的一半的长度的和．） 19. 如图，是的一条弦，于点C，交于点D，点E在上． （1）若，则的度数为________． （2）若点B是的中点，则弦与弦之间的数量关系为________． （3）若，，求的半径长． 20. 将正面分别标有数字1，2，3，6，背面花色相同的四张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上，先从中随机抽取一张，再从剩下的三张中随机抽取第二张． （1）求两次抽取的卡片上的数字之和大于5的概率； （2）求两次抽取的卡片上的数字之和为奇数的概率． 21. 2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“着上组合体”）成功着陆在月球背面．某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试验中，如图，该模拟装置在缓速下降阶段从A点垂直下降到B点，再垂直下降到着陆点C，从B点测得地面D点的俯角为36．87°，米，米．（参考数据：，，） （1）求的长． （2）若模拟装置从A点以每秒2米的速度匀速下降到B点，求模拟装置从A点下降到B点的时间． 22. 从地面竖直向上发射的物体离地面的高度满足关系式，其中是物体运动的时间，是物体被发射时的速度．社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球． （1）小球被发射后_________时离地面的高度最大（用含的式子表示）． （2）若小球离地面的最大高度为，求小球被发射时的速度． （3）按（2）中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同．小明说：“这两次间隔的时间为．”已知实验楼高，请判断他的说法是否正确，并说明理由． 23. 【定义新知】 定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线． （1）如图1，在5×4的方格中，点A、B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形，使得是邻余线，点E、F在格点上； 【问题研究】 （2）如图2，已知四边形是以为邻余线的邻余四边形，，，，，求的长； 【问题解决】 （3）如图3是某公园的一部分，四边形是平行四边形，对角线交于点O，点E在上，是一个人工湖，是湖上的一座桥，现公园规划人员要在桥上修建一个湖心亭M，若的延长线与OB的交点为F，按规划要求M是的中点．已知米，米，米，，且四边形始终是以为邻余线的邻余四边形．规划人员经过思考后，在图纸上找出的中点N，连接，与的交点分别是点F和点M的位置．请问，按照规划人员的方法修建的湖心亭M是否符合规划的要求？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $