江苏省南通市2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷

2024—2025(上)高二期末调研测试 数学评分参考与讲评建议 一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1．已知数列{an}满足：a1＝3，an＋1＝ an an－1 ，则 a12＝ A．3 B． 3 2 C． 2 3 D． 1 3 2．若椭圆 x2 a2 ＋ y2 3 ＝1(a＞ 3)的离心率为 1 2 ，则 a＝ A．2 B．2 2 C．2 3 D．4 3．已知直线 l1：ax＋y＋1＝0 与 l2：(a＋1)x＋ay－3＝0，则“a＝－2”是“l1⊥l2”的 A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 4．设等比数列{an}的前 n项和为 Sn，若 a2＝2，且 a2，a3，a4－2 成等差数列，则 S4＝ A．7 B．12 C．15 D．31 5．已知空间向量 a＝(1，1，1)，b＝(1，0，－2)， 则向量 a在向量 b上的投影向量为 A．( 1 5 ，0，－ 2 5 ) B．( 1 3 ， 1 3 ， 1 3 ) C．(－ 1 3 ，－ 1 3 ，－ 1 3 ) D．(－ 1 5 ，0， 2 5 ) 6．已知点 F为抛物线 C：y2＝4 2x的焦点，P为 C上一点，若|PF|＝3 2，则 P点的横坐 标为 A． 2 B．2 C．2 2 D．3 7．已知圆 C1：x2＋y2－2x－4y＝0，圆 C2：x2＋y2－6x＋2ny＝0．若圆 C2 平分圆 C1 的周长， 则 n＝ A． 1 4 B．6 C．8 D．－1 8．已知椭圆 C： x2 a2 ＋ y2 b2 ＝1(a＞b＞0)的左焦点为 F1，O为坐标原点，若椭圆 C上存在关于 x 轴对称的两点 P，Q，使得△PF1Q为正三角形，且 OQ⊥F1P，则椭圆 C的离心率为 A． 3 3 B． 2 2 C． 2－1 D． 3－1 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9．已知曲线 C1：4x2＋3y2＝48，C2：x2－ y2 3 ＝1，则 A．C1 的长轴长为 4 B．C2的渐近线方程为 y＝± 3x C．C1与 C2的焦距相同 D．C1与 C2的离心率互为倒数 10．已知数列{an}满足 a1＝1，an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，设其前 n 项和为 Sn，则 A．a3＝6 B．S6＝56 C． ∑ 1023 i＝1 (－1)ilog2ai＝－10 D． 1 a1 ＋ 1 a2 ＋ 1 a3 ＋…＋ 1 an ＜2 11．已知抛物线 C：y2＝4x的焦点为 F，过点 T(4，0)的直线与 C交于 A，B两点，O为坐标 原点，点 M 满足|MA|＝|MB|＝|MO|，则 A．|OF|＝ 1 2 |FT| B．∠AFB＞90° C．|AF|＋|BF|≥10 D．| FA → ＋FB → ＋FM → |≥9 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分． 12．已知空间向量 a＝(6，2，1)，b＝(2，x，－3)，若(a－b)⊥a，则 x＝ ． 13．双曲线 C： x2 a2 － y2 b2 ＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为 F1，F2，以 F1F2 为直径的圆与 C 在第一象限相交于点 P．若直线 PF1 的斜率为 1 2 ，△PF1F2 的面积为 8，则双曲线 C 的方程 为 ． 14．设数列{an}的前 n项和为 Sn，若数列{an}与{ Sn an ＋a}均为等比数列，且公比相等，则实数 a＝ ． 四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13 分) 记等差数列{an}的前 n项和为 Sn，{bn}是各项均为正数的等比数列，若 a1＝1，b1＝2，b2－ S2＝1，a2＋b3＝10． (1)求 an与 bn； (2)若数列{cn}满足 cn＝an＋bn，求{cn}的前 n项和． 16．(15 分) 已知圆 C关于直线 y＝x＋1 对称，且两点(1，－1)，(4，2)在圆 C上． (1)求圆 C的标准方程； (2)直线 l经过点(3，1)，且与圆 C交于 A，B两点．若△ABC 的面积为 9 2 ，求直线 l的方程． 17．(15 分) 如图，在四棱锥 P－ABCD 中，PA⊥平面 ABCD，AB∥CD，AD⊥CD，PA＝AB＝AD＝2， CD＝3． (1)求平面 PAD 与平面 PBC 夹角的余弦值； (2)若点 E 在线段 PD 上，AE∥平面 PBC，求 PE ED 的值． 18．(17 分) 设数列{an}的前 n项和为 Sn，Sn＝an－4an＋1，S1＝－1． (1)证明：数列{2an＋1－an}为等比数列； (2)求数列{an}的通项公式，并求数列{an}的最大项； (3)是否存在正整数 p，q，且 p＜7＜q，使得 2ap，3a7，2aq成等差数列?若存在，求 p，q；若 不存在，说明理由． 19．(17 分) 已知椭圆 E x2 a2 ＋ y2 b2 ＝1(a＞b＞0)的短轴长为 2，离心率为 2 2 ，左、右焦点分别为 F1，F2．点 P为直线 l：4x＋y－8＝0 上且不在 x轴上的任意一点，直线 PF1，PF2 与椭圆的交点分别为 A，B和 C，D，O为坐标原点． (1)求椭圆 E的标准方程； (2)设直线 PF1，PF2 的斜率分别为 k1，k2． ①求 k1k2＋6k1－2k2的值； ②若直线 OA，OB，OC，OD的斜率之和为 0，求点 P的坐标．