5.1.1函数与它的表示方法 课件 2024—2025学年青岛版数学九年级下册

5.1.1 函数与它的表示方法 主讲： 青岛版九年级数学下册 第五章 对函数的再探索 学习目标 目标 1 1.让学生进一步理解函数的概念，掌握表示函数的三种方法； 2.根据函数的三种表示法解决一些与函数相关的实际问题. 重点 2 掌握函数表示的三种方法以及函数自变量的取值范围. 难点 3 理解函数中自变量的取值范围情况，运用函数的三种表示方法解决实际问题. 新课导入 生活与数学：数学家笛卡尔的浪漫爱情故事 新课导入 3.生活中同学们还见过哪些与函数有关的简单实例？ 1.视频中讲解的是我们学习过的什么知识点？ 2.这一知识点里包含了哪些量？ 函数 自变量与因变量 新课讲授 （1）黄河的一条支流上的某水文站记录了该支流当天9 时至21时河水水位的变化情况（图5-1）.你从图中能获取哪些信息？ 图 5-1 黄河水位变化情况 水位随时间变化而变化. 新课讲授 1.在这个实际问题中，有哪两个变量？ 2.这两个变量之间是函数关系吗？ 水位和时间 是函数关系，因为对于任意的一个时间都有唯一的水位与之对应. 新课讲授 3.函数关系是用哪种方法表示的？你能从图5-1中看出自变量是在哪个范围内取值的吗？与同学交流. 图象法，自变量的取值范围是在9时至21时之间取值. 新课讲授 2.一根弹簧原长15cm，在弹簧一端所受到的拉力不超过40N的弹性限度内，每增加10N的拉力，弹簧就伸长2cm，请你填写下表： 弹簧长度的变化 拉力x/N 弹簧长度y/cm 0 10 20 30 40 15 23 21 19 17 在这个实际问题中，弹簧长度y与拉力x之间是函数关系吗？如果是，函数关系是用哪种方法表示的？其中，自变量是在哪个范围内取值的？ 弹簧长度y与拉力x是函数关系，是用列表法表示的，自变量x的取值范围为：0≤x≤40. 新课讲授 3.物体从490m的高度处自由下落，物体距地面的高度h（m）与物体下落的时间 t（s）之间的关系满足表达式 h = 490-4.9t2. 自由落体的变化 在这个实际问题中，物体距地面的高度h与物体下落的时间t之间是函数关系吗？如果是，它们之间的函数关系是用哪种方法表示的？其中，自变量是在哪个范围内取值的？ 物体距地面的高度h与物体下落的时间t之间是函数关系，是用解析法表示的，自变量x的取值范围为：0≤t≤10. 新课讲授 表示函数的三种方法 解析法：用数学表达式表示函数的方法称为解析法，也叫表达式法. 列表法：用列表格表示函数的方法称为列表法； 图象法：用图象表示函数的方法称为图象法； 三种表示方法的特点： 图象法 解析法 列表法 优点 缺点 能够直观，形象地反映出当自变量的值变化时，函数值的变化趋势，所以常用来研究函数的性质和变化趋势， 能准确地由已知自变量的值求出函数值； 优点 优点 缺点 缺点 全面、准确、方便，对于自变量在可以取值的范围内任取一个确定的值都可以通过表达式计算求出它的函数值， 不够形象直观，而且并不是每一个函数都可写出它的表达式. 只能表示出自变量的有限个离散值及其函数值； 根据表中给出的部分自变量的值，可以不通过计算直接查出对应的函数值， 三种方法联合运用，互相补充. 在研究函数时能更好地理解它的特征、图象和性质. 新课讲授 三种方法之间的转化 利用问题（2）表中给出的数据，画出y与x的函数图象.你发现弹簧的长度y是拉力x的一次函数吗？为什么？写出y与x的表达式. 新课讲授 如图5-2，它的图象是以A（0，15）和B（40，23）为端点的一条线段.由此可设函数的表达式为y = kx +15 （k是常数，0≤x≤40）. 将x = 40，y = 23代入上式，得23 = 40k + 15， 解得k = 0.2. 所以这个函数的表达式为y = 0.2x + 15（0≤x≤40）. 所以弹簧的长度y是拉力x的一次函数. 探讨与互动 我们已经知道了弹簧的长度y是拉力x的一次函数，当x=40N时，长度y为多少呢？x=50,60，...呢？y会随着x的增加而不断增大吗？与同伴进行交流. 当x=40N时，y=25cm，当x>40N时，y不会随着x的增加而增大. 不要忘记x的取值范围哦 0≤x≤40 新课讲授 三种方法之间的转化 你会用描点法画出问题（3）中的函数图象吗？ 由问题（3）的实际意义和函数表达式h=490-4.9t2，先确定自变量t可以取值的范围是0≤t≤10. 新课讲授 根据函数的表达式和自变量可以取值的范围，列出下面的表格： t/s h/m 0 490 1 485.1 2 470.4 3 445.9 4 411.6 5 367.5 6 313.6 7 249.9 8 176.4 9 93.1 10 0 以时间t为横轴、高度h为纵轴画出直 角坐标系（根据该问题的实际背景，横轴和纵轴选取不同的单位长度），然后以上表中的每一个有序实数对（t，h）为坐标，在直角坐标系中描出相应的各点，用一条平滑的曲线按自左向右的顺序顺次连接它们，便得函数y=490-4.9t2（0≤t≤10）的图象.它是一段曲线（图5-3）. 探讨与互动 从图象中可以看出随着时间的增加物体的高度会越来越低，那么物体的高度h会一直减少吗？与同伴进行交流. 当t=10s时，h=0，此时物体已经降落到地面. 不要忘记t的取值范围哦 0≤x≤10 典例分析 三大 特点 例1： 1．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂物体的质量有如下关系： x/kg y/cm 0 12 1 12.5 2 13 3 13.5 4 14 5 14.5 6 15 (1)请写出弹簧总长与所挂物体质量之间的函数关系式． (2)当挂重千克时弹簧的总长是多少？ (3)画出函数图像 解：（1）由表可知： ， ， ， ， ， ， 所以，0.5为常量，12也为常量． 典例分析 三大 特点 所以，弹簧总长与所挂物体质量之间的函数关系式为： (2)当x=10时，代入 ，解得y=17， 所以弹簧总长为17cm； （3）将表中点在平面直角坐标系中标出，如下图所示： 典例分析 例2： 2.某天小明骑自行车上学，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了学校，如图所示是小明从家到学校这一过程中所走的路程s（米）与时间t（分）之间的关系，根据图象解答下列问题： (1)在这个变化过程中，自变量、因变量是什么？； (2)小明从家到学校的路程共______米，小明共用了______分钟； (3)小明修车用了______分钟； (4)小明修车以前和修车后的平均速度分别是多少？ 典例分析 三大 特点 解：（1）由题意得：自变量是离家时间，因变量是离家的距离； （2）由图图象可得：小明从家到学校的路程共2000米；小明共用了20分钟； （3）由图象可得：从第10分钟开始到15分钟在修车，故小明修车用了5分钟， （4）由图象可得，小明修车前的速度为： （米/分钟）； 小明修车后的速度为： （米/分钟）． 即小明修车前的速度为100米/分钟，小明修车后的速度为200米/分钟． 学以致用 1．一个蓄水池有20m3的水，以每分钟0.5m3的速度向池中注水，蓄水池中的水量Q（m3）与注水时间t（min）之间的关系式为（    ） A．Q=20t B．Q=0.5t C．Q=20-0.5t D．Q=20+0.5t D 2．某校在定制“中考红色战袍”时，小明了解到尺码与衣长的对应关系如表： 尺码 衣长/cm ... ... S 67 M 69 L 71 XL 73 2XL 75 ... ... 若小明需要定制，则他的衣长是（    ） A.81cm B.83cm C.85cm D.87cm A 学以致用 3．对于关系式y=3x+5，有下列说法：①x是自变量，y是因变量；②x的数值可以任意选择；③y是变量，它的值与x无关；④y与x的关系还可以用列表法和图像法表示．其中正确的说法是 （填序号）． 4．在函数 中，自变量x的取值范围为 ． ①②④ x≤3 5．已知x与y的关系如下表： x y ... ... -2 -6 -1 -3 0 0 1 3 2 6 3 9 ... ... (1)根据上表写出y与x之间的一个关系式，并判断y是否为x的正比例函数； (2)由该关系式，当时，求y的值． 学以致用 解：（1）∵ ， ∴y=3x，y是x的正比例函数； （2） 当x=9时， ． 6．为了鼓励大家节约用电，某电力公司采取按月用电量分段收费，居民每月应交电费y（元）与用电量x（度）的函数图象是一条折线（如图所示），根据图像解答下列问题： 学以致用 解：（1）当0≤x≤100时，函数为正比例函数，故可设函数关系式为y=kx， 将点（100，65）代入可得到65=100k，解得k=0.65， ∴此时函数关系式为y=0.65x（0≤x≤100） 当x>100时，函数为一次函数，故可设函数关系式为y=kx+b， 将点（100，65）与（130，89）代入可得到 ,解得 , ∴此时函数关系式为y=0.8x-15(100≤x) ∴ （2）当用电量为80度时，因为80<100，所以代入y=0.65x，当x=80时， ， ∴应缴电费52元． 学后总结 自我总结 各位同学先冷静思考、回顾本节课的内容1分钟，与你的同伴相互交流并互相补充，随机抽查每一位同学的总结学习情况. 在应用时要注意自变量的取值范围，要注意实际情况的意义. 3. 函数的简单应用与自变量的取值范围. 图象法、列表法、解析法； 2. 函数的表达方式； 两个变量、唯一对应； 1. 函数的概念； 课堂小结 1.本节课你的收货是什么？ 2.还有什么疑惑？ 主讲： 青岛版九年级数学下册 感谢聆听