七年级数学下学期第一次月考测试卷【浙教版2024，测试范围：相交线与平行线～二元一次方程组】-【上好课】2024-2025学年初中数学同步精品课堂

2024-2025学年七年级数学下学期第一次月考卷 基础知识达标测 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题。 2．测试范围：相交线与平行线~二元一次方程组（浙教版2024）。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（3分）下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（　　） A．①+② B．①﹣② C．①+②×5 D．①×5﹣② 3．（3分）如图，对于下列条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠C＝∠5；④∠A+∠ADC＝180°．其中一定能得到AD∥BC的条件有（　　） A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 4．（3分）下列说法中：①在同一平面内，不相交的两条线段一定平行；②两点之间直线最短；③两条直线被第三条直线所截，同位角相等；④相等的角是对顶角；⑤等角的补角相等；⑥在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行；不正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．（3分）已知是二元一次方程组的解，则m﹣n的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（3分）如图，将直角三角形ABC沿AB方向平移2cm得到△DEF，DF交BC于点H，CH＝2cm，EF＝4cm，则阴影部分的面积为（　　） A．6cm2 B．8cm2 C．12cm2 D．16cm2 7．（3分）如图，AB∥EF，∠C＝60°，则α，β，γ的关系为（　　） A．β＝α+γ B．α+β﹣γ＝60° C．β+γ﹣α＝90° D．α+β+γ＝180° 8．（3分）《九章算术》中有这样一个题：今有二马，一牛价过一万，如半马之价・一马，二牛价不满一万，如半牛之价．问牛，马价各几何？其意思为：今有2匹马，1头牛的总价超过1万钱，其超出的钱数相当于匹马的价格，1匹马，2头牛的总价不足1万钱，所差的钱数相当于头牛的价格．问每头牛，每匹马的价格各是多少？设每匹马的价格为x万钱，每头牛的价格为y万钱，则可建立方程组为（　　） A． B． C． D． 9．（3分）已知关于x，y的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是（　　） ①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，a＝﹣2； ②当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝4+2a的解； ③无论a取什么实数，x+2y的值始终不变． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 10．（3分）如图a是长方形纸带，∠DEF＝23°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是（　　） A．97° B．105° C．107° D．111° 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）已知（n﹣1）x|n|﹣2ym﹣2024＝0是关于x，y的二元一次方程，则nm＝　 　． 12．（3分）已知方程组与有相同的解，则m﹣n＝　 　． 13．（3分）如图，将一副三角尺按如图所示方式摆放，点A，B，D在同一条直线上，EF∥AD，∠E＝60°，则∠BFD的度数为 　 　度． 14．（3分）已知∠AOB和∠COD的两边分别互相垂直，且∠COD比∠AOB的2倍多30°，则∠COD的度数为 　 　． 15．（3分）已知关于x、y二元一次方程组的解为，则关于a、b的二元一次方程组的解是　 　． 16．（3分）如图，AB∥CD，点E，F在直线AB上（F在E的左侧），点G在直线CD上，EH⊥HG，垂足为H，P为线段EH上的一动点，连接GP，GF，∠FGH与∠BFG的角平分线交于点Q，且点Q在直线AB，CD之间的区域，下列结论： ①∠BEH+∠DGH＝90°； ②∠CGH+2∠FQG＝270°； ③若∠PGH＝3∠DGH，则3∠BEH+∠EPG＝360°； ④若∠PGH＝n∠DGH，则，其中n为正整数． 上述说法正确的是 　 　（写出所有正确结论的序号）． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（8分）解下列二元一次方程组： （1） （2） 18．（8分）推理填空 如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，FG⊥AB于点G，ED∥BC．求证：∠1＝∠2． 证明：∵CD⊥AB，FG⊥AB（已知）， ∴∠CDB＝∠FGB＝90°（①　 　）， ∴CD∥②　 　（③　 　）， ∴④　 　＝∠3（⑤　 　）， 又∵DE∥BC（已知）， ∴⑥　 　＝∠3（⑦　 　）， ∴∠1＝∠2（⑧　 　）． 19．（8分）如图，在方格纸中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点就是小正方形的格点，将△ABC向右平移2个单位长度再向下平移1个单位长度，得到△A′B′C′． （1）请在方格纸中画出平移后的△A′B′C′； （2）在△ABC中，画出AB边上的高CN； （3）△ABC的面积是 　 　． （4）平移过程中，AC边扫过的面积是 　 　． 20．（8分）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOC，OF平分∠AOD． （1）OE、OF有什么位置关系，请说明理由； （2）若∠AOC：∠AOF＝2：3，求∠BOE的度数． 21．（8分）已知关于x，y的方程组． （1）请直接写出方程x+2y＝5的所有正整数解； （2）若方程组的解满足x+y＝0，求m的值； （3）m≠﹣3时，方程x﹣2y+mx+9＝0总有一个公共解，请求出这个方程的公共解吗？ 22．（10分）问题情景：如图1，AB∥CD． （1）观察猜想：若∠AEP＝50°，∠CFP＝40°．则∠P的度数为 　 　． （2）探究问题：在图1中探究，∠EPF、∠CFP与∠AEP之间有怎样的等量关系？并说明理由． （3）拓展延伸：若将图1变为图2，题设的条件不变，此时∠EPF、∠PFD与∠AEP之间有怎样的等量关系？并说明理由． 23．（10分）某体育用品商场销售A、B两款足球，售价和进价如表： 类型 进价（元/个） 售价（元/个） A款 m 120 B款 n 90 若该商场购进10个A款足球和20个B款足球需2000元；若该商场购进20个A款足球和30个B款足球需3400元． （1）求m和n的值； （2）某校在该商场一次性购买A款足球x个和B款足球y个，共消费3600元，那么该商场可获利多少元？ （3）为了提高销量，商场实施：“买足球送跳绳”的促销活动：“买1个A款足球送1根跳绳，买3个B款足球送2根跳绳”，每根跳绳的成本为10元，某日售卖两款足球总计盈利600元（统计购买B款足球的数量为3的倍数），那么该日销售A、B两款足球各多少个？ 24．（12分）如图（a）所示，将一把含30°角的直角三角板ABC的BC边放置于长方形直尺DEFG的EF边上． （1）填空：∠1＝　 　°，∠2＝　 　°． （2）如图（b）所示，现把三角板绕点B逆时针旋转n°，当0°＜n＜90°，且点C恰好落在DG边上时，①∠1＝　 　°，∠2＝　 　°；（结果用含n的代数式表示） ②若∠2恰好是∠1的倍，求n的值． （3）如图（a）所示放置的三角板ABC，现将射线BF绕点B以2°/s的速度逆时针旋转得到射线BM，同时射线QA绕点Q以3°/s的速度顺时针旋转得到射线QN，当射线QN旋转至与QB重合时，则射线BM，QN均停止转动，设旋转时间为t s． ①在旋转过程中，若射线BM与射线QN相交，设交点为P．当t＝15s时，则∠QPB＝　 　． ②在旋转过程中，是否存在BM∥QN？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年七年级数学下学期第一次月考卷 基础知识达标测 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题。 2．测试范围：相交线与平行线~二元一次方程组（浙教版2024）。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（3分）下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据对顶角的概念判断即可． 【解答】解：A、图中，∠1与∠2不是对顶角，不符合题意； B、图中，∠1与∠2不是对顶角，不符合题意； C、图中，∠1与∠2是对顶角，符合题意； D、图中，∠1与∠2不是对顶角，不符合题意； 故选：C． 2．（3分）用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（　　） A．①+② B．①﹣② C．①+②×5 D．①×5﹣② 【分析】利用加减消元法解方程组即可． 【解答】解：若消去y， 则①+②得：6x＝﹣16； 若消去x， 则①﹣②×5得：﹣12y＝98； 故选：A． 3．（3分）如图，对于下列条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠C＝∠5；④∠A+∠ADC＝180°．其中一定能得到AD∥BC的条件有（　　） A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 【分析】利用平行线的判定方法一一判断即可 【解答】解：①∵∠1＝∠2， ∴AB∥CD； ②∵∠3＝∠4， ∴AD∥BC； ③∵∠C＝∠5， ∴AD∥BC， ④∵∠A+∠ADC＝180° ∴AB∥CD， 故选：B． 4．（3分）下列说法中：①在同一平面内，不相交的两条线段一定平行；②两点之间直线最短；③两条直线被第三条直线所截，同位角相等；④相等的角是对顶角；⑤等角的补角相等；⑥在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行；不正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】分别根据线段的性质，平行线的定义，平行线的性质，余角和补角，对顶角的性质分别判断即可． 【解答】解：①在同一平面内，不相交的两条直线一定平行，原说法错误； ②两点之间线段最短，原说法错误； ③两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，原说法错误； ④相等的角不一定是对顶角，原说法错误； ⑤等角的补角相等，原说法正确； ⑥在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误； 所以不正确的有①②③④⑥，共5个， 故选：D． 5．（3分）已知是二元一次方程组的解，则m﹣n的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】将x与y的值代入方程组求出m与n的值，即可确定出m﹣n的值． 【解答】解：将x＝﹣1，y＝2代入方程组得：， 解得：m＝1，n＝﹣3， 则m﹣n＝1﹣（﹣3）＝1+3＝4． 故选：D． 6．（3分）如图，将直角三角形ABC沿AB方向平移2cm得到△DEF，DF交BC于点H，CH＝2cm，EF＝4cm，则阴影部分的面积为（　　） A．6cm2 B．8cm2 C．12cm2 D．16cm2 【分析】由平移的性质可知BC＝EF，BE＝AD＝2，∠ABC＝∠E＝90°，进而得出BH的长，S阴影＝S直角梯形BEFH，最后根据面积公式得出答案． 【解答】由平移的性质可知BC＝EF＝4，BE＝AD＝2，∠DEC＝∠ABC＝90°，S阴影＝S直角梯形BEFH， ∴BH＝BC﹣CH＝2cm． ∴阴影部分的面积＝直角梯形BEFH的面积（BH+EF）×BE（cm2）． 故选：A． 7．（3分）如图，AB∥EF，∠C＝60°，则α，β，γ的关系为（　　） A．β＝α+γ B．α+β﹣γ＝60° C．β+γ﹣α＝90° D．α+β+γ＝180° 【分析】此题可以构造辅助线，利用三角形的外角的性质以及平行线的性质建立角之间的关系． 【解答】解：延长DC交AB与G，延长CD交EF于H． 在△BGC中，∠1＝60°﹣α， ∵∠β＝∠2+∠γ， ∴∠2＝β﹣γ， ∵AB∥EF， ∴∠1＝∠2， ∴60°﹣α＝β﹣γ，即α+β﹣γ＝60°． 故选：B． 8．（3分）《九章算术》中有这样一个题：今有二马，一牛价过一万，如半马之价・一马，二牛价不满一万，如半牛之价．问牛，马价各几何？其意思为：今有2匹马，1头牛的总价超过1万钱，其超出的钱数相当于匹马的价格，1匹马，2头牛的总价不足1万钱，所差的钱数相当于头牛的价格．问每头牛，每匹马的价格各是多少？设每匹马的价格为x万钱，每头牛的价格为y万钱，则可建立方程组为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据“今有2匹马，1头牛的总价超过1万钱，其超出的钱数相当于匹马的价格，1匹马，2头牛的总价不足1万钱，所差的钱数相当于头牛的价格”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【解答】解：∵今有2匹马，1头牛的总价超过1万钱，其超出的钱数相当于匹马的价格， ∴2x+y＝1x； ∵1匹马，2头牛的总价不足1万钱，所差的钱数相当于头牛的价格， ∴x+2y＝1y． 联立两方程成方程组． 故选：D． 9．（3分）已知关于x，y的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是（　　） ①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，a＝﹣2； ②当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝4+2a的解； ③无论a取什么实数，x+2y的值始终不变． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【分析】将方程组的两个方程相加，得出x+y＝2+a，当x，y的值互为相反数时，即可得出a＝﹣2，得出①符合题意；当a＝1时，原方程组的解满足x+y＝2+1＝3，而方程x+y＝4+2a的解满足x+y＝4+2＝6，得出②不符合题意；用a表示出x，y解方程组得出，代入x+2y可得x+2y＝3，得出③符合题意；即可得出答案． 【解答】解：， ①+②得：2x+2y＝4+2a， ∴x+y＝2+a， 当x，y的值互为相反数时，2+a＝0， ∴a＝﹣2， ∴①符合题意； 当a＝1时，原方程组的解满足x+y＝2+1＝3，而方程x+y＝4+2a的解满足x+y＝4+2＝6， ∴②不符合题意； 由方程组解得：， ∴x+2y＝2a+1+2（1﹣a）＝2a+1+2﹣2a＝3， ∴③符合题意； 故选：C． 10．（3分）如图a是长方形纸带，∠DEF＝23°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是（　　） A．97° B．105° C．107° D．111° 【分析】根据平行的性质得到图a中∠EFB＝∠DEF＝23°，再根据翻折的性质得到图b中∠FEG＝23°，故可得∠FGD＝46°，再利用翻折和平行线的性质算出图c的∠CFG＝134°，即可解答． 【解答】解：由长方形纸带可得AD∥BC， ∴图a中∠EFB＝∠DEF＝23°， 根据翻折的性质，可得到图b中∠FEG＝23°， ∴∠FGD＝180°﹣∠EGF＝∠GEF+∠GFE＝46°， ∵CD∥FC， ∴∠GFC＝180°﹣∠FGD＝134°， 根据翻折的性质，可得图c中∠CFG＝134°， ∴∠EFC＝∠GFC﹣∠EFG＝134°﹣23°＝111°， 故选：D． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）已知（n﹣1）x|n|﹣2ym﹣2024＝0是关于x，y的二元一次方程，则nm＝　﹣1　． 【分析】根据二元一次方程的定义得出|n|＝1且m﹣2024＝1且n﹣1≠0，再求出m、n即可． 【解答】解：∵方程（n﹣1）x|n|﹣2ym﹣2024＝0是关于x，y的二元一次方程， ∴|n|＝1且m﹣2024＝1且n﹣1≠0， 解得：n＝﹣1，m＝2025， ∴nm＝（﹣1）2025＝﹣1． 故答案为：﹣1． 12．（3分）已知方程组与有相同的解，则m﹣n＝　12　． 【分析】重新组成新的方程组，解出x，y的值，再代入得m，n的值． 【解答】解：由题意可得：， ①×2+②得，11x＝11， x＝1，代入②得y＝﹣2． 此方程的解：． 把x＝1，y＝﹣2代入得， m＝14，n＝2， ∴m﹣n＝14﹣2＝12． 故答案为：12． 13．（3分）如图，将一副三角尺按如图所示方式摆放，点A，B，D在同一条直线上，EF∥AD，∠E＝60°，则∠BFD的度数为 　15　度． 【分析】通过平行线的性质，得出∠E的同旁内角∠ADE的度数，再由直角三角板的直角，求出∠BDF的度数，再借助三角形的外角，求出∠BFD的度数． 【解答】解：∵EF∥AD，∠E＝60°， ∴∠ADE＝180°﹣∠E＝180°﹣60°＝120°， 由题可知，∠FDE＝90°，∠ABC＝45°， ∴∠BDF＝∠ADE﹣∠FDE＝120°﹣90°＝30°， ∴∠BFD＝∠ABC﹣∠BDF＝45°﹣30°＝15°， 故答案为15． 14．（3分）已知∠AOB和∠COD的两边分别互相垂直，且∠COD比∠AOB的2倍多30°，则∠COD的度数为 　130°　． 【分析】有两种情况：①如图1，根据∠COD＝90°+90°﹣∠AOB，列方程可得结论；②如图2，根据∠AOB+∠BOD＝∠COD+∠AOC，列方程可得结论． 【解答】解：设∠AOB＝x°，则∠COD＝（2x+30）°， 分两种情况：①如图1， ∵∠AOB和∠COD的两边分别互相垂直， ∴∠COD＝90°+90°﹣∠AOB， 即2x+30＝90+90﹣x， 解得x＝50， ∴∠COD＝2×50°+30°＝130°； ②如图2， ∵∠AOB和∠COD的两边分别互相垂直， ∴∠AOB+∠BOD＝∠COD+∠AOC， ∴x+90＝2x+30+90， x＝﹣30，不合题意， 综上所述，∠COD的度数为130°， 故答案为：130°． 15．（3分）已知关于x、y二元一次方程组的解为，则关于a、b的二元一次方程组的解是　　． 【分析】仿照已知方程组的解确定出所求方程组的解即可． 【解答】解：∵关于x、y二元一次方程组的解为， ∴关于a、b的二元一次方程组的解是，即． 故答案为： 16．（3分）如图，AB∥CD，点E，F在直线AB上（F在E的左侧），点G在直线CD上，EH⊥HG，垂足为H，P为线段EH上的一动点，连接GP，GF，∠FGH与∠BFG的角平分线交于点Q，且点Q在直线AB，CD之间的区域，下列结论： ①∠BEH+∠DGH＝90°； ②∠CGH+2∠FQG＝270°； ③若∠PGH＝3∠DGH，则3∠BEH+∠EPG＝360°； ④若∠PGH＝n∠DGH，则，其中n为正整数． 上述说法正确的是 　①③④　（写出所有正确结论的序号）． 【分析】过点H作HL∥AB，利用平行线的性质可得∠BEH+∠DGH＝∠EHL+∠GHL＝∠EHG＝90°，即可判断①；根据角平分的定义可得，，再根据三角形内角和定理∠FQG＝180°﹣∠QFG﹣∠QGF，根据∠CGH＝180°﹣∠DGH，利用平行线的性质即可判断②；设∠DGH＝x°，则∠PGH＝3∠DGH＝3x°，利用①的结论即可判断③，同上可判断④． 【解答】解：如图，过点H作HL∥AB， ∵AB∥CD，AB∥HL， ∴CD∥HL， ∴∠EHL＝∠HEB，∠GHL＝∠HGD， ∵EH⊥HG， ∴∠EHG＝90°， ∴∠BEH+∠DGH＝∠EHL+∠GHL＝∠EHG＝90°，故①正确； ∵∠FGH与∠BFG的角平分线交于点Q， ∴， ∴∠FQG＝180°﹣∠QFG﹣∠QGF， 根据①中的结论，可得∠FQG＝∠BFQ+∠QGD， ∴∠CGH+2∠FQG＝180°﹣∠HGD+2（180°﹣∠QFG﹣∠QGF） ＝180°﹣∠HGD+360°﹣2QFG﹣2QGF ＝540°﹣（∠HGD+∠BFG+∠FGD）， ∵AB∥CD， ∴∠BFG＝∠FGC， ∴∠HGD+∠BFG+∠FGD＝∠HGD+∠FGC+∠FGD＝180°， ∴∠CGH+2∠FQG＝540°﹣180°＝360°，故②错误； 设∠DGH＝x°，则∠PGH＝3∠DGH＝3x°， ∴∠PGD＝4x°， 根据①中结论可得∠BEH＝90°﹣∠DGH＝90°﹣x°，∴∠EPG＝∠BEH+∠PGD＝90°﹣x°+4x°＝90°+3x°， ∴3∠BEH+∠EPG＝270°﹣3x°+90°+3x°＝360°，故③正确； 设∠DGH＝x°，则∠PGH＝n∠DGH＝nx°， ∴∠PGD＝（n+1）x°， ∴， 根据①中结论可得，故④正确． 故答案为：①③④． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（8分）解下列二元一次方程组： （1） （2） 【分析】（1）利用加减消元法求解可得； （2）利用加减消元法求解可得． 【解答】解：（1）， ①×8，得：24x﹣8y＝16 ③， ②+③，得：33x＝33， 解得：x＝1， 将x＝1代入①，得：3﹣y＝2， 解得：y＝1， 则方程组的解为； （2）， ②﹣①，得：3x＝15， 解得：x＝5， 将x＝5代入①，得：10﹣3y＝4， 解得：y＝2， 则方程组的解为． 18．（8分）推理填空 如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，FG⊥AB于点G，ED∥BC．求证：∠1＝∠2． 证明：∵CD⊥AB，FG⊥AB（已知）， ∴∠CDB＝∠FGB＝90°（①　垂直的定义　）， ∴CD∥②　FG　（③　同位角相等，两直线平行　）， ∴④　∠2　＝∠3（⑤　两直线平行，同位角相等　）， 又∵DE∥BC（已知）， ∴⑥　∠1　＝∠3（⑦　两直线平行，内错角相等　）， ∴∠1＝∠2（⑧　等量代换　）． 【分析】根据平行线的判定与性质求证即可． 【解答】证明：∵CD⊥AB，FG⊥AB（已知）， ∴∠CDB＝∠FGB＝90°（垂直的定义）， ∴CD∥FG（同位角相等，两直线平行）， ∴∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等）， 又∵DE∥BC（已知）， ∴∠1＝∠3（两直线平行，内错角相等）， ∴∠1＝∠2（等量代换）． 故答案为：①垂直的定义；②FG；③同位角相等，两直线平行；④∠2；⑤两直线平行，同位角相等；⑥∠1；⑦两直线平行，内错角相等；⑧等量代换． 19．（8分）如图，在方格纸中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点就是小正方形的格点，将△ABC向右平移2个单位长度再向下平移1个单位长度，得到△A′B′C′． （1）请在方格纸中画出平移后的△A′B′C′； （2）在△ABC中，画出AB边上的高CN； （3）△ABC的面积是 　3　． （4）平移过程中，AC边扫过的面积是 　2　． 【分析】（1）根据平移的性质，即可解答； （2）根据三角形的高的定义作出图形即可解答； （3）利用分割法把平行四边形的面积看成长方形面积减去周围三角形的面积即可． 【解答】解：（1）如图1，△A′B′C′即为所求， （2）AB边上的高CN如图2所示； （3）， 故答案为：3； （4）如图3， AC边扫过的面积为平行四边形AA′C′C的面积，即： ∵AC， ∴S▱AA′C′C＝5×34×11×24×11×2＝9， 故答案为：9． 20．（8分）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOC，OF平分∠AOD． （1）OE、OF有什么位置关系，请说明理由； （2）若∠AOC：∠AOF＝2：3，求∠BOE的度数． 【分析】（1）由角平分线的定义得到，再由平角的定义可得，据此可得结论； （2）先证明∠AOF＝3∠AOE，再由（1）得到3∠AOE+∠AOE＝90°，据此求出∠AOE＝22.5°，再利用平角的定义求解即可． 【解答】解：（1）OE⊥OF，理由如下： ∵OE平分∠AOC，OF平分∠AOD， ∴， ∵∠AOC+∠AOD＝180°， ∴， ∴OE⊥OF； （2）由（1）得∠AOE+∠AOF＝90°， ∵∠AOC：∠AOF＝2：3， ∴2∠AOE：∠AOF＝2：3， ∴∠AOE：∠AOF＝1：3，即∠AOF＝3∠AOE， ∴3∠AOE+∠AOE＝90°， ∴∠AOE＝22.5°， ∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝22.5°＝157.5°． 21．（8分）已知关于x，y的方程组． （1）请直接写出方程x+2y＝5的所有正整数解； （2）若方程组的解满足x+y＝0，求m的值； （3）m≠﹣3时，方程x﹣2y+mx+9＝0总有一个公共解，请求出这个方程的公共解吗？ 【分析】（1）把y看作已知数表示出y，进而确定出方程的正整数解即可． （2）由题意得：，解方程组求解x，y，再把x，y的值代入x﹣2y+mx+9＝0，从而可得答案． （3）方程变形后，确定出公共解即可． 【解答】解：（1）方程x+2y＝5， 解得：x＝﹣2y+5， 当y＝1时，x＝3；y＝2，x＝1． （2）联立得：， 解得：， 代入得：﹣5﹣10﹣5m+9＝0， 解得：． （3）∵x﹣2y+mx+9＝0，即（1+m）x﹣2y+9＝0总有一个解， ∴方程的解与m无关， ∴mx＝0，x﹣2y+9＝0， 解得：x＝0，． 则方程的公共解为． 22．（10分）问题情景：如图1，AB∥CD． （1）观察猜想：若∠AEP＝50°，∠CFP＝40°．则∠P的度数为 　90°　． （2）探究问题：在图1中探究，∠EPF、∠CFP与∠AEP之间有怎样的等量关系？并说明理由． （3）拓展延伸：若将图1变为图2，题设的条件不变，此时∠EPF、∠PFD与∠AEP之间有怎样的等量关系？并说明理由． 【分析】（1）过点P作PQ∥AB，则PQ∥AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等得到∠QPE＝∠AEP＝50°，∠QPF＝∠CFP＝40°，则∠EPF＝∠QPE+∠QPF＝90°； （2）同（1）求解即可； （3）过点P作PQ∥AB，则PQ∥AB∥CD，根据平行线的性质得到∠QPE＝∠AEP，∠QPF+∠PFD＝180°，再证明∠QPF＝∠EPF+∠AEP，即可得到∠EPF+∠AEP+∠PFD＝180°． 【解答】解：（1）如图所示，过点P作PQ∥AB， ∵AB∥CD，PQ∥AB， ∴PQ∥AB∥CD， ∴∠QPE＝∠AEP＝50°，∠QPF＝∠CFP＝40°， ∴∠EPF＝∠QPE+∠QPF＝90°， 故答案为：90°； （2）∠EPF＝∠AEP+∠CFP，理由如下： 如图所示，过点P作PQ∥AB， ∵AB∥CD，PQ∥AB， ∴PQ∥AB∥CD， ∴∠QPE＝∠AEP，∠QPF＝∠CFP， ∴∠EPF＝∠QPE+∠QPF＝∠AEP+∠CFP； （3）解：∠EPF+∠AEP+∠PFD＝180°，理由如下： 如图所示，过点P作PQ∥AB， ∵AB∥CD，PQ∥AB， ∴PQ∥AB∥CD， ∴∠QPE＝∠AEP，∠QPF+∠PFD＝180°， ∵∠QPF＝∠EPF+∠QPE， ∴∠QPF＝∠EPF+∠AEP， ∴∠EPF+∠AEP+∠PFD＝180°． 23．（10分）某体育用品商场销售A、B两款足球，售价和进价如表： 类型 进价（元/个） 售价（元/个） A款 m 120 B款 n 90 若该商场购进10个A款足球和20个B款足球需2000元；若该商场购进20个A款足球和30个B款足球需3400元． （1）求m和n的值； （2）某校在该商场一次性购买A款足球x个和B款足球y个，共消费3600元，那么该商场可获利多少元？ （3）为了提高销量，商场实施：“买足球送跳绳”的促销活动：“买1个A款足球送1根跳绳，买3个B款足球送2根跳绳”，每根跳绳的成本为10元，某日售卖两款足球总计盈利600元（统计购买B款足球的数量为3的倍数），那么该日销售A、B两款足球各多少个？ 【分析】（1）根据“购进10个A款足球和20个B款足球需2000元；购进20个A款足球和30个B款足球需3400元”，即可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）利用总价＝单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，变形后可得出4x+3y＝180，再将其代入（120﹣80）x+（90﹣60）y＝10（4x+3y）中即可求出结论； （3）设该日销售A款足球a个，B款足球b个，利用总利润＝每个足球的销售利润×销售数量，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，即可得出结论． 【解答】解：（1）依题意得：， 解得：． 答：m的值为80，n的值为60． （2）依题意得：120x+90y＝3600， ∴4x+3y＝120， ∴（120﹣80）x+（90﹣60）y＝10（4x+3y）＝10×120＝1200． 答：该商场可获利1200元． （3）设该日销售A款足球a个，B款足球b个， 依题意得：（120﹣10﹣80）a（90×3﹣60×3﹣10×2）b＝600， ∴a＝20b， 又∵a，b均为正整数， ∴或． 答：该日销售A款足球13个，B款足球9个或A款足球6个，B款足球18个． 24．（12分）如图（a）所示，将一把含30°角的直角三角板ABC的BC边放置于长方形直尺DEFG的EF边上． （1）填空：∠1＝　120　°，∠2＝　90　°． （2）如图（b）所示，现把三角板绕点B逆时针旋转n°，当0°＜n＜90°，且点C恰好落在DG边上时，①∠1＝　（120﹣n）　°，∠2＝　（90+n）　°；（结果用含n的代数式表示） ②若∠2恰好是∠1的倍，求n的值． （3）如图（a）所示放置的三角板ABC，现将射线BF绕点B以2°/s的速度逆时针旋转得到射线BM，同时射线QA绕点Q以3°/s的速度顺时针旋转得到射线QN，当射线QN旋转至与QB重合时，则射线BM，QN均停止转动，设旋转时间为t s． ①在旋转过程中，若射线BM与射线QN相交，设交点为P．当t＝15s时，则∠QPB＝　15°　． ②在旋转过程中，是否存在BM∥QN？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据邻补角的定义和平行线的性质解答； （2）①根据两直线平行，内错角相等求出∠BCD，再用三角形外角等于不相邻的两个内角和可得∠1，根据两直线平行，同旁内角互补求出∠BCG，然后根据周角等于 360° 计算即可得到∠2； ②根据∠2 恰好是∠1的 倍列方程，计算可求解； （3）①画出图形，由平行线性质可得答案； ②分两种情况，根据∠AQN＝∠ABM画出图形，列方程可解得答案． 【解答】解：（1）∠1＝180°﹣60°＝120°，∠2＝90°； 故答案为：120，90； （2）①如图2， ∵DG∥EF， ∴∠DCB＝∠CBF＝n°， ∴∠ACD＝90°﹣n°， ∴∠1＝∠A+∠ACD＝（120﹣n）°， ∵DG∥EF， ∴∠BCG＝180°﹣∠CBF＝180°﹣n°，∠ACB+∠BCG+∠2＝360°， ∴∠2＝360°﹣∠ACB﹣∠BCG＝360°﹣90°﹣（180°﹣n°＝（90+n）°； 故答案为：（120﹣n），（90+n）； ②当1时，， 解得， ∴n的值是； （3）①如图： 根据题意得：∠FBP＝15×2°＝30°，∠AQP＝15×3°＝45°， ∴∠QPB＝∠FBP＝30°﹣15°＝15°； 故答案为：15°； ②存在BM∥QN，理由如下： 如图： ∵QN∥BM， ∴∠AQN＝∠ABM， ∴3°t＝60°﹣2°t， 解得t＝12， 如图： ∵BM∥QN， ∴∠ABM＝∠BQN， ∴2°t﹣60°＝180°﹣3°t， 解得t＝48， 综上所述，t的值为12或48． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$