精品解析：福建省三明市沙县区三明北附高级中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题

三明北附2024-2025学年高二（上）12月月考 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线的倾斜角为，若直线与垂直，则的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线的倾斜角与斜率的关系及两条直线之间的位置关系可得. 【详解】直线的倾斜角为，斜率， 因为，所以，即. 故选：C. 2. 已知等差数列的前n项和为，若，则（ ） A. 48 B. 42 C. 24 D. 21 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列项的性质求出的值，再由等差数列的求和公式即可得解. 【详解】因为等差数列，故， 则. 故选：B. 3. 已知空间向量，，若，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量共线的坐标表示可求得实数的值. 【详解】因为空间向量，，，设， 即，即，解得， 故选：D. 4. 等比数列中，，公比，若，则（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式列式即可得解. 【详解】因为数列为等比数列，，，， 所以，解得. 故选：C. 5. 方程表示的图形是（ ） A. 两条直线 B. 四条直线 C. 两个点 D. 四个点 【答案】A 【解析】 【分析】解方程得到，从而得到图形. 【详解】因为，则由，得，解得， 其表示的图形为两条直线. 故选：A. 6. 我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点的直线的一个法向量为，则直线的点法式方程为：，化简得.类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据点法式方程的定义即可求解. 【详解】根据题意可得， 化简得， 故选：B 7. 已知抛物线C：（）的焦点为F，直线l与C相交于A、B两点，与y轴相交于点E．已知，，若的面积是面积的2倍，则抛物线C的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过分别作的准线的垂线交轴于点，根据抛物线定义可得，，再由即可求参数，进而可得抛物线方程. 【详解】如图，过分别作的准线的垂线交轴于点， 则，故， 因为的准线为，所以，， 所以，解得， 故抛物线C的方程为. 故选：B. 8. 棱长为的正方体中，，分别为，的中点，点在正方体的表面上运动，若，则的最大值为（ ） A. 4 B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先证平面，再证据平面平面，由此有平面，又因为平面经过的中点，由已知可得点轨迹为四边形的边界（不包括内部和点），所以当点位于点时，取最大值，求即可. 【详解】 如图，取的中点的中点，连接，，， 因为，，所以四边形为平行四边形， 所以，又因为平面，所以平面， 平面，所以； ，，，所以， 所以，，， 所以；’ 可证，所以平面， 取中点，中点，的四等分点满足， 的四等分点满足，，， 四边形为平行四边形，，平面， 平面，平面； 由已知有：，， 所以，， ，， 所以，所以，平面， 平面，平面； 平面，平面，可证平面平面， 所以平面，又因为平面经过的中点， 由已知可得点轨迹为四边形的边界（不包括内部和点）， 所以当点位于点时，取最大值，为。 故选：C． 【点睛】根据条件将问题转化为找到过点且与垂直的平面. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 已知数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ） A. 若是等差数列，且，则 B. 若是等比数列，且，则 C. 若，则是等差数列 D. 若是公比大于1的等比数列，则 【答案】AB 【解析】 【分析】利用等差数列和等比数列的求和公式判断选项AB；利用求得，再得到可判断选项C；通过举例，判断选项D. 【详解】对于A，若是等差数列，则， 且，故，故A正确； 对于B，若是等比数列，则当时，， 且，则； 当时，，舍去，故B正确； 对于C，若，则，， ，故，所以不是等差数列，故C错误； 对于D，若，则， 此时，不满足，故D错误. 故选：AB. 10. 已知空间向量，则（ ） A. B. 在上的投影向量为 C. 若向量，则点E在平面ABC内 D. 向量是与平行的一个单位向量 【答案】ABD 【解析】 【分析】由空间向量垂直和平行坐标运算判断AD，由空间向量基本定理判断C，由投影向量判断B. 【详解】对于A，因为，所以，A正确； 对于B，由于，所以在上的投影向量即为，B正确； 对于C，若在平面ABC内，则存在实数x，y，使得， 而， 所以，无解，故点E不在平面ABC内，C错误； 对于D，因为， 所以，且，正确. 故选：ABD. 11. 已知正四面体的棱长为2，点分别为和的重心，为线段上一点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线与所成角的大小为 B. 点到直线的距离为 C. 直线与平面间的距离为 D. 若平面，则三棱锥外接球的表面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】将正四面体放入正方体中，建立空间直角坐标系，对每个选项逐一分析即可． 【详解】将正四面体放入正方体中， 以点为原点，，，所在直线为轴，轴，轴，如图所示， 因为正四面体的长为2， 所以正方体的棱长为， 则，，，， 因为点分别为和的重心， 所以点的坐标为，点的坐标为 所以， 设，则， 所以， 所以， 对于A，， 则， 所以直线与所成角的余弦值为， 又直线与所成角的范围为， 所以直线与所成角的大小为，故A正确； 对于B，， 设直线所成的角为， 则， 所以， 所以点到直线的距离为，故B正确； 对于C，设平面的一个法向量为， 因为，， 所以，取，则， 因为，且直线平面， 所以直线平面， 所以点到平面的距离就是直线到平面的距离， 则点到平面的距离， 即直线到平面的距离为，故C错误； 对于D，因为平面，平面，所以， 则， 即，解得， 则， 设的重心为，则， 故， , 则，所以， 又平面， 所以平面， 又因为点为等边三角形的重心， 所以点为等边三角形的外心，外接圆半径为， 则三棱锥外接球的球心在直线上， 设三棱锥外接球的半径为， 则，即，解得， 所以三棱锥外接球的表面积为，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法： ①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解； ②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径； ③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可； ④坐标法：建立空间直角坐标系，设出外接球球心的坐标，根据球心到各顶点的距离相等建立方程组，求出球心坐标，利用空间中两点间的距离公式可求得球的半径. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线的倾斜角为，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】由直线方程求直线的斜率，即可得倾斜角的正切，进而求出的值. 【详解】由题可知直线的斜率为，即， 因为，则，， 又，解得 故答案为：. 13. 已知分别是双曲线的左、右焦点，过点的直线l与双曲线C交于A，B两点，直线l与y轴交于点M.若，则双曲线C的离心率为_______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意作出相应图形，利用勾股定理与余弦定理，结合双曲线的定义求得关于的表达式，进而求得双曲线的离心率，从而得解. 【详解】因为，所以在的延长线上，如图， 不妨设，则，，， 由双曲线的对称性可得， 因为，则， 则，解得， 又在中，， 则在中，， 即，解得， 所以双曲线C的离心率为. 故答案为：. 14. 已知是数列的前n项和，，且，，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意整理中奇数项的递推公式，利用迭代法可得其通项公式，再利用题中递推公式求得中偶数项的通项公式，从而利用分组求和法与等比数列的求和公式即可得解. 【详解】由已知可得 所以， 于是， 故，即， 所以， 所以 ， 又，则. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知常数，设直线，直线. （1）若，求的值； （2）若与平行，求与的距离. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知结合直线垂直的条件求解即可； （2）结合直线平行的条件先求出，然后结合平行线间的距离公式求解即可. 【小问1详解】 由题意知的法向量为，的法向量为， 若，则； 【小问2详解】 若与平行，则或， 当时，直线，直线，两直线重合，舍去， 当时，则直线，直线， 则与的距离为. 16. 已知数列满足：，数列为单调递增的等比数列，，且成等差数列. （1）求数列，的通项公式： （2）设，求数列的前n项和. 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的定义推得是等差数列，从而利用等差数列的通项公式求得，再利用等差中项公式与等比数列的通项公式得到关于的方程，进而求得到，从而得解； （2）利用（1）中结论化简，进而证得是等差数列，再利用等差数列求和公式即可得解. 【小问1详解】 因为，即， 故是首项为1，公差为3的等差数列， 所以， 因为，，成等差数列，故， 设等比数列的公比为，其中， 则，解得或， 当时，，此时，为递增数列，满足要求， 当时，，此时，为递减数列，舍去， 综上，，； 【小问2详解】 由（1）得， 则，， 故是首项为1，公差为4的等差数列， 故. 17. 如图，正四棱锥中，，正四棱锥的高为分别为PB，PD的中点． （1）求证： （2）连结BF，DE相交于点，求平面与平面夹角的正弦值． 【答案】（1） 在正四棱锥中，连接交于点，连接． 因为四棱锥为正四棱锥， 所以平面，四边形为正方形， 所以，， 因为平面，所以， 所以两两垂直， 所以以为原点，以分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系． 因为，， 所以在中，由， 得，得， 所以， 则， 因为为分别为PB，PD的中点， 所以， 所以， 所以． 所以． （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，以分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用空间向量证明即可； （2）分别求出平面与平面的法向量，利用空间向量求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在分别为的中点，点为的交点， 所以为的重心，则， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，则， 设平面的法向量为， 则，令，则， 设平面与平面夹角为， 则， 所以， 所以平面与平面夹角的正弦值为． 18. 已知数列的前n项和满足. （1）求的通项公式； （2）设数列满足，记数列前n项和为，若存在使得成立，求λ的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据与的关系，结合等比数列的定义与通项公式即可得解； （2）利用（1）中结论，结合错位相减法求得，再将问题转化为能成立问题，进而求得不等式右式的最大值，从而得解. 【小问1详解】 因为，当时，，得， 当，时，，， 两式相减，得，即， 而，则，， 所以是以1为首项，公比的等比数列， 故； 【小问2详解】 ， 所以， ， 两式相减，得 ， 所以， 由，得，， 即存在使成立， 因为随着增大，在减小， 所以当时，， 故求的取值范围是. 19. 已知，动点P满足：直线与直线的斜率之积为常数． （1）求动点P的轨迹C的方程； （2）已知，设直线与直线交轨迹C于另两点，记和的面积分别为，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，由题意可得，从而求解 （2）分别设出直线，直线，分别与椭圆方程联立，然后利用根与系数的关系表示弦长，从而可求解 【小问1详解】 设动点，则 因为，所以 即 所以动点的轨迹的方程为 【小问2详解】 由题意得 设 设直线的方程为，显然 设直线的方程为，显然 由,得 所以，所以 由,得 所以，所以 由椭圆的对称性不妨设点在x轴上方，则 则 所以 把和代入到中，得到： 又，所以 又，函数显然在区间上单调递减，所以 又 故 【点睛】方法点睛：分别设出,直线方程，然后与椭圆联立并结合根与系数关系求出相应的弦长，然后利用函数从而可求出取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 三明北附2024-2025学年高二（上）12月月考 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线的倾斜角为，若直线与垂直，则的斜率为（ ） A. B. C. D. 2. 已知等差数列的前n项和为，若，则（ ） A. 48 B. 42 C. 24 D. 21 3. 已知空间向量，，若，则实数（ ） A. B. C. D. 4. 等比数列中，，公比，若，则（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 5. 方程表示的图形是（ ） A. 两条直线 B. 四条直线 C. 两个点 D. 四个点 6. 我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点的直线的一个法向量为，则直线的点法式方程为：，化简得.类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知抛物线C：（）的焦点为F，直线l与C相交于A、B两点，与y轴相交于点E．已知，，若的面积是面积的2倍，则抛物线C的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 棱长为的正方体中，，分别为，的中点，点在正方体的表面上运动，若，则的最大值为（ ） A. 4 B. 6 C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 已知数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ） A. 若是等差数列，且，则 B. 若是等比数列，且，则 C. 若，则是等差数列 D. 若是公比大于1的等比数列，则 10. 已知空间向量，则（ ） A. B. 在上的投影向量为 C. 若向量，则点E在平面ABC内 D. 向量是与平行的一个单位向量 11. 已知正四面体的棱长为2，点分别为和的重心，为线段上一点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线与所成角的大小为 B. 点到直线的距离为 C. 直线与平面间的距离为 D. 若平面，则三棱锥外接球的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线的倾斜角为，则_______． 13. 已知分别是双曲线的左、右焦点，过点的直线l与双曲线C交于A，B两点，直线l与y轴交于点M.若，则双曲线C的离心率为_______. 14. 已知是数列的前n项和，，且，，则_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知常数，设直线，直线. （1）若，求的值； （2）若与平行，求与的距离. 16. 已知数列满足：，数列为单调递增的等比数列，，且成等差数列. （1）求数列，的通项公式： （2）设，求数列的前n项和. 17. 如图，正四棱锥中，，正四棱锥的高为分别为PB，PD的中点． （1）求证： （2）连结BF，DE相交于点，求平面与平面夹角的正弦值． 18. 已知数列的前n项和满足. （1）求的通项公式； （2）设数列满足，记数列前n项和为，若存在使得成立，求λ的取值范围. 19. 已知，动点P满足：直线与直线的斜率之积为常数． （1）求动点P的轨迹C的方程； （2）已知，设直线与直线交轨迹C于另两点，记和的面积分别为，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $