3.3探索与表达规律寒假巩固卷2024-2025学年北师大版数学七年级上册

北师大版数学七年级上册寒假巩固卷 第三章 整式及其运算 3. 探索与表达规律 时间:120分钟 满分150分 一、单选题（本大题共10小题，总分40分） 1．观察按规律排列的一组数：﹣1，3，﹣5，7，﹣9，11…，则第n个数是（　　） A．（﹣1）n+1•（2n﹣1） B．（﹣1）n+1•（2n+1） C．（﹣1）n•（2n﹣1） D．（﹣1）n•（2n+1） 2．用同样大小的黑色棋子按图所示的方式摆图案，按照这样的规律摆下去，第21个图案需要棋子（　　）枚． A．65 B．67 C．68 D．105 3．根据下表中的规律，从左到右的空格中应依次填写的数字是（　　） 000 110 010 111 001 101 A．100，011 B．011，100 C．011，101 D．101，110 4．如图，图1有4颗星，图2有6颗星，图3有9颗星，……，按照此规律图10的星星颗数为（　　） A．55 B．58 C．65 D．69 5．如图，用相同的小正方形拼成大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形…．拼一拼，想一想，按照这样的方法拼成的第n个正方形比第（n﹣1）个正方形多（　　） A．（n﹣1）2个小正方形 B．（2n﹣1）个小正方形 C．（2n+1）个小正方形 D．（n2+2n）个小正方形 6．如图，在边长为1的正方形网格纸中连接相邻格点构造“回形线”，“回形线”交射线OA于点A1，A2，A3，…，An．从点O到点A1的“回形线”（O﹣B﹣C﹣D﹣E﹣A1）记为第1圈，其长度为7．从点A1到点A2的“回形线”记为第2圈，依次类推，则“回形线”第n圈的长度有可能是（　　） A．99 B．144 C．480 D．799 7．有一数值转换器，原理如图所示，若开始输入x的值是7，可发现第1次输出的结果是12，第2次输出的结果是6，第3次输出的结果是3，依次继续下去…，第2023次输出的结果是（　　） A．3 B．4 C．2 D．1 8．已知整式M：，其中n，an﹣1，…a1，a0为自然数，an为正整数，且n+an+an﹣1+⋯+a1+a0＝4．下列说法： ①满足条件的整式M中有4个单项式； ②不存在任何一个n，使得满足条件的整式M有且只有2个； ③满足条件的整式M共有8个． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 9．有n个依次排列的整式：第1项是（x+1），用第1项乘（x﹣1），所得之积记为a1，将第1项加上（a1+1）得到第2项，再用第2项乘（x﹣1）得到a2，将第2项加上（a2+1）得到第3项，再用第3项乘（x﹣1）得到a3，…，以此类推，某数学兴趣小组对此展开研究，得到下列3个结论： ①； ②第4项是x4+x3+x2+x+1； ③若第2023项的值为0，则x2024＝1； 以上结论正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 10．An＝anxn+an﹣1xn﹣1+an﹣2xn﹣2+...+a2x2+a1x+a0，其中n为正整数．各项系数各不相同，且均不为0．交换任意两项的系数，得到的新多项式我们称其为原多项式的“博雅式”． ①多项式A5共有8个不同的“博雅式”； ②若An＝（4x+1）n，则常数项a0＝1： ③若多项式A7＝（5﹣3x）7，则A7的系数之和为128； ④若多项式A20＝（1﹣5x）20，则a20+a18+⋯a4+a2． 以上正确的说法有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．计算（﹣1）+2+（﹣3）+4+（﹣5）+6+…+（﹣97）+98+（﹣99）的结果为 　 　． 12．用棋子摆出如图所示的一组“口”字，照样子摆下去，摆第n个“口”字需用棋子 　 　枚． 13．定义[x]表示非负数x的整数部分，比如[3.2]＝3，[1]＝1，[0.3]＝0，现在有一列非负数a1，a2，a3，…，已知a1＝1，当n≥2（n为正整数），，则a6＝　 　，a2025＝　 　． 14．如图，下列各三角形中的三个数均有相同的规律，按此规律最后一个三角形中，y的值是 　 　． 15．小明同学在机器人编程课上为机器人编写了如下程序：一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进3步后退2步的程序移动．设定该机器人每秒前进或者后退移动1步，且每步移动的距离是1个单位长度，用xn表示第n秒时机器人在数轴上的位置所对应的数（n为正整数）．给出下列结论：①x6＝2；②x4＝x10；③x2024＞x2025；④x5n＝n．其中正确的结论是 　 　．（填序号） 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．观察下列三行数： 2，6，18，54，162…① ﹣1，3，15，51，159…② ﹣1，﹣3，﹣9，﹣27，﹣81…③ （1）第①行数按什么规律排列． （2）第②③行数与第①行数有什么关系？ （3）每行取第6个数计算它们的和． 17．观察下列各式： ；；；… （1）请写出第n个式子 　 　； （2）试运用你发现的规律计算： 18．请你观察： ， ， ， … ， ， 以上方法称为“裂项相消求和法”． 请类比完成： （1）猜想并写出：　 　； （2）规律应用：计算：； （3）拓展提高：计算：． 19．【观察思考】 如图，这是由正方形组成的一系列图案，其中第1个图案有5个正方形；第2个图案有9个正方形；第3个图案有13个正方形；……按此规律排列下去． 【规律发现】 （1）第4个图案有 　 　个正方形；第n（n是正整数）个图案有 　 　（用含n的式子表示）个正方形； 【规律应用】 （2）第100个图案需要多少个正方形？ 20．【发现问题】 15×15＝1×2×100+25＝225， 25×25＝2×3×100+25＝625， 35×35＝3×4×100+25＝…… …… 小明在学习第十四章数学活动时，经历了以上计算过程，他发现其中有一定的运算规律． 【提出问题】 上面的运算规律是否可以推广到类似的三位数相乘呢？ 如果个位数字不是5，但仍满足两个数的个位数字之和为10，上面的运算规律是否成立？ 【分析问题】 请你通过计算与思考，完成下面的探究并填空： （1） ①35×35＝3×4×100+25＝　 　； ②105×105＝　 　×　 　×100+25＝　 　； （2）53×57＝　 　×　 　×100+　 　＝　 　； …… 【解决问题】 （3）两个两位数相乘，它们十位上的数相同都为a，个位上的数的和为10，设其中一个数的个位上的数字为b，请你用含有a，b的等式表示两数的积的规律，并证明． 21．如图是一组有规律的图案．第1个图案中有7个六边形，第2个图案中有13个六边形，第3个图案中有19个六边形，…，按此规律， （1）则第5个图案中有 　 　个六边形； （2）用含n的代数式表示第n个图案中六边形的个数，并求出第50个图案中六边形的个数； （3）若第n个图案中有1999个六边形，求n的值． 22．花窗映蛇岁，新春共欢颜．如图为“盘长如意”花窗，中间图案是由若干个小平行四边形按一定规律组成，其中第①个图形共有8个小平行四边形；第②个图形共有15个小平行四边形；第③个图形共有22个小平行四边形；…… （1）第⑤个图形共有　 　个小平行四边形． （2）第ⓝ个图形共有　 　个小平行四边形（用n的代数式表示）． （3）循此规律，是否存在由2025个小平行四边形组成的图形？若存在，请求出是第几个图形；若不存在，请说明理由． 23．在七年级数学学习中，常用到分类讨论的数学方法，以化简|x|为例． 当x＞0时，|x|＝x；当x＝0时，|x|＝0；当x＜0时，|x|＝﹣x． 求解下列问题： （1）当x＝3时，值为 　 　，当x＝﹣3时，的值为 　 　，当x为不等于0的有理数时，的值为 　 　； （2）已知x+y+z＝0，xyz＞0，求的值； （3）已知：x1，x2，…，x2021，x2022，这2022个数都是不等于0的有理数，若这2022个数中有n个正数，，则m的值为 　 　（请用含n的式子表示）． 24．如图，观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： … ①1＝12 ②1+3＝22 ③1+3+5＝32 ④1+3+5+7＝42 ⑤　 　． … （1）第⑤个点阵图相应的等式为：　 　； （2）试用含有n的式子表示这一规律：1+3+5+7+9+⋯+　 　＝n2；（n为正整数） （3）根据规律，计算1+3+5+7+9+⋯+99； （4）根据规律，计算19+21+23+25+⋯+99． 25．[实际问题] 某商场在“十一国庆”期间为了鼓励消费，设计了抽奖活动，方案如下：根据不同的消费金额，每次抽奖时可以从100张面值分别为1元、2元、3元、……、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取2张、3张、4张、……等若干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额．某顾客获得了一次抽取5张奖券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额？ [问题建模] 从1，2，3，……，n（n为整数，且n≥6）这n个整数中任取5个整数，这5个整数之和共有多少种不同的结果？ [模型探究] 我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，从中找出解决问题的方法．从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？ 所取的2个整数 1，2 1，3 2，3 2个整数之和 3 4 5 如表①，所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果． （1）从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有 　 　种不同的结果． （2）从1，2，3，……，n（n为整数，且n≥6）这n个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有 　 　种不同的结果． （3）归纳结论：从1，2，3，……，n（n为整数，且n≥6）这n个整数中任取5个整数，这5个整数之和共有 　 　种不同的结果． [问题解决] 从100张面值分别为1元、2元、3元、……、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取5张奖券，共有 　 　种不同的优惠金额． [问题拓展] 从3，4，5，……，n（n为整数，且n≥6）这n﹣2个整数中任取5个整数，使得取出的这些整数之和共有121种不同的结果，求n的值．（写出解答过程） 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1页（共 4页） 参考答案 一、单选题（本大题共 10小题，总分 40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B B C D D A D B 二、填空题（本大题共 5小题，总分 20分） 11．﹣50． 12．4n． 13．7，2531． 14．382． 15．①②③④， 故答案为：①②③④． 三、解答题（本大题共 10小题，总分 90分） 16．解：（1）后一个数是前一个数的 3倍， （2）第②行是第①行对应数减 3，第③行是第①行对应数除以﹣2； （3）①的第六个数是 486，②的第六个数是 483，③的第六个数是﹣243， ∴486+483﹣243＝726； 17．解：（1）由题知， −� × �� =− � + � �； − ��× � � =− � � + � �； − ��× � � =− � � + � �； …， 则第 n 个式子可表示为：− �� × � �+� =− � �+ � �+�． 故答案为：− �� × � �+� =− � �+ � �+�． （2）由（1）中发现的规律可知， 原式=− � + �� − � � + � � − � � + � � −⋯ − � ���� + � ���� ＝﹣1+ ����� =− ��������． 18．解：（1）原式= ��− � �+�， 故答案为： � � − � �+� ； （2）原式＝1− �� + � �− � � + � � − � �+⋯+ � � − � �� ＝1− ��� 第 2页（共 4页） = ���； （3）原式= ��×（ � �×� + � �×� + � �×� + � �×�� + � ��×�� ） = ��×（ � � − � � + � � − � � + � � − � � + � � − � �� + � �� − � �� ） = ��×（ � � − � �� ） = ��× � �� = ���． 19．解：（1）由所给图形可知， 第 1个图案正方形的个数为：5＝1×4+1； 第 2个图案正方形的个数为：9＝2×4+1； 第 3个图案正方形的个数为：13＝3×4+1； …， 所以第 n 个图案正方形的个数为（4n+1）个． 当 n＝4时， 4n+1＝17（个）， 即第 4个图案正方形的个数为 17个． 故答案为：17，（4n+1）． （32当 n＝100时 4n+1＝401， ∴第 100个图案需要 401个正方形． 20．解：（1）①35×35＝3×4×100+25＝1200+25＝1225， 故答案为：1225； ②105×105＝10×11×100+5×5＝11000+25＝11025； 故答案为：10，11，11025； （2）53×57＝5×6×100+3×7＝3000+21＝3021， 故答案为：5，6，3×7，3021； （3）�� × �(�� − �) =a×（a+1）×100+b×（10﹣b），证明如下： 左边= �� × �(�� − �) =（10a+b）（10a+10﹣b）＝100a2+100a+10b﹣b2， 右边＝a×（a+1）×100+b×（10﹣b）＝100a2+100a+10b﹣b2， 左边＝右边， ∴�� × �(�� − �) =a×（a+1）×100+b×（10﹣b）． 21．解：（1）由所给图形可知， 第 1个图案中六边形的个数为：7＝1×6+1； 第 2个图案中六边形的个数为：13＝2×6+1； 第 3个图案中六边形的个数为：19＝3×6+1； 第 4个图案中六边形的个数为：25＝4×6+1； 第 5个图案中六边形的个数为：31＝5×6+1； 故答案为：31； （2）由（1）得：第 n 个图案中六边形的个数为（6n+1）个； 当 n＝50时，6×50+1＝301， 第 3页（共 4页） ∴第 50个图案中六边形的个数为 301； （3）由题意得：6n+1＝1999， 解得：n＝333． 22．解：（1）由所给图形可知， 第①个图形中小平四边形的个数为：8＝1×7+1； 第②个图形中小平四边形的个数为：15＝2×7+1； 第③个图形中小平四边形的个数为：22＝3×7+1； …， 所以第ⓝ个图形中小平四边形的个数为（7n+1）个． 当 n＝5时， 7n+1＝36（个）， 即第⑤个图形中小平四边形的个数为 36个． 故答案为：36． （2）由（1）知， 第ⓝ个图形中小平四边形的个数为（7n+1）个． 故答案为：（7n+1）． （3）不存在，理由如下： 令 7n+1＝2025， 解得 n= ����� ， 因为 ���� � 不是整数， 所以不存在由 2025个小平行四边形组成的图形． 23．解：（1） � |�| =1， −� |−�| =−1， � |�| =±1， 故答案为：1，﹣1，±1． （2） �+� |�| + �+� |�| − �+� |�| = −� |�| + −� |�| − −� |�| =− � |�| − � |�| + � |�| ， ∵x+y+z＝0，xyz＞0， ∴x，y，z 的正负性可能为： ①当 x 为正数，y，z 为负数时：原式＝﹣1+1﹣1＝﹣1； ②当 y 为正数，x，z 为负数时，原式＝1﹣1﹣1＝﹣1； ③当 z 为正数，x，y 为负数时，原式＝1+1+1＝3， ∴原式＝﹣1或 3． （3）n 个正数，负数的个数为 2022﹣n， � = ��|��| + ��|��| +⋯+ �����|�����| + �����|�����| ＝1×n+（﹣1）×（2022﹣n） ＝2n﹣2022． 故答案为：2n﹣2022． 24．解：（1）由题知， 第①个点阵图相应的等式为：1＝12； 第②个点阵图相应的等式为：1+3＝22； 第③个点阵图相应的等式为：1+3+5＝32； 第 4页（共 4页） 第④个点阵图相应的等式为：1+3+5+7＝42； …， 所以第 n 个点阵图相应的等式为：1+3+5+…+2n﹣1＝n2； 当 n＝5时， 第⑤个点阵图相应的等式为：1+3+5+7+9＝52； 故答案为：1+3+5+7+9＝52． （2）由（1）知， 第 n 个点阵图相应的等式为：1+3+5+…+2n﹣1＝n2； 故答案为：2n﹣1． （3）由（1）知， 当 n＝50时， 1+3+5+7+…+（2×50﹣1）＝502＝2500． 即 1+3+5+7+9+⋯+99＝2500． （4）原式＝1+3+5+…+99﹣（1+3+5+…+17） ＝502﹣92 ＝2500﹣81 ＝2419． 25．解：（1）从 1，2，3，4，5这 5个整数中任取 2个整数， 则这 2个整数之和最小值为：1+2＝3，最大值为：4+5＝9， 则这 2个整数之和共有 9﹣3+1＝7种不同情况， 故答案为：7； （2）从 1，2，3，……，n（n 为整数，且 n≥6）这 n 个整数中任取 3个整数， 则这 3个整数之和最小值为：1+2+3＝6，最大值为：n﹣2+n﹣1+n＝3n﹣3， 则这 3个整数之和共有不同结果的种数为：3n﹣3﹣6+1＝（3n﹣8）种， 故答案为：（3n﹣8）； （3）归纳总结：从 1，2，3，……，n（n 为整数，且 n≥6）这 n 个整数中任取 5个整数， 则这 5个整数之和的最小值为：1+2+3+4+5＝15，最大值为 n+（n﹣1）+（n﹣2）+（n﹣3）+（n﹣4）＝5n ﹣10， 则这 5个整数之和共有不同结果的种数为：5n﹣10﹣15+1＝（5n﹣24）种， 故答案为：（5n﹣24）； 问题解决：从 100张面值分别为 1元、2元、3元、……、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取 5 张奖券， 则这 5张奖券的和的最小值为：1+2+3+4+5＝15（元），最大值为：100+99+98+97+96＝490（元）， 则这 5张奖券的和共有不同优惠金额的种数为：490﹣15+1＝476（种）， 故答案为：476； 问题拓展：从 3，4，5，……，n（n 为整数，且 n≥6）这（n﹣2）个整数中任取 5个整数， 则这 5个整数之和的最小值为：3+4+5+6+7＝25，最大值为 n+（n﹣1）+（n﹣2）+（n﹣3）+（n﹣4）＝5n ﹣10， 则这 5个整数之和共有不同结果的种数为：5n﹣10﹣25+1＝（5n﹣34）种， ∴5n﹣34＝121， 解得：n＝31。