精品解析：江西省南昌市东湖区南昌中学2024-2025学年八年级上学期1月期中数学试题

南昌中学教育集团2024-2025学年第一学期八年级数学期末试卷 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在，，，中，分式的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查分式，熟练掌握分式的定义是解题的关键．根据分式的定义即可得到答案． 【详解】解：根据分式的定义，分母中含有字母的式子称为分式， 故，为分式， 故选B． 2. 下列计算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法、同底数幂的除法、合并同类项、幂的乘方，熟练掌握同底数幂的乘法则法、同底数幂的除法法则、合并同类项法则、幂的乘方是解决本题的关键．根据同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则、合并同类项法则、幂的乘方解决此题． 【详解】解：A．根据同底数幂的乘法，，那么A错误，故A不符合题意． B．根据同底数幂的除法，，那么B错误，故B不符合题意． C．根据合并同类项法则，，那么C错误，故C不符合题意． D．根据幂的乘方，，那么D正确，故D符合题意． 故选：D． 3. 一副三角板，按图所示叠放在一起，其中，，则图中的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角板上的特殊角度，结合三角形外角的定义和性质解答即可． 【详解】解：如图，设与交于点， ， ， ，， ， ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形外角的定义和性质，理解并掌握三角形外角的定义和性质是解题关键． 4. 解方程去分母，两边同乘后的式子为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的求解，注意每一项都乘，即可求解； 【详解】解：两边同乘后的式子为：， 故选：D 5. 如图，小马用高度都是的10个相同长方体小木块垒了两面与地面垂直的木墙与，木墙之间刚好可以放进一个直角三角板，且直角三角板斜边的两个端点分别与点重合，直角三角板的直角顶点与点，均在水平地面上，点，在同一竖直平面内．已知，，则两面木墙之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明，得出，，即可得解． 【详解】解：由题意得：，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：C． 6. 如图，在中，，分别平分，，且交于点，为外角的平分线，的延长线交于点，则以下结论：①；②；③；④点在的角平分线上；⑤一定成立的有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 多于3 【答案】C 【解析】 【分析】根据角平分线的性质以及三角形外角性质，即可得到，再结合平角概念得，则运用三角形外角性质得，因为，分别平分，，且三角形的三条角平分线会交于一点，所以点在的角平分线上；结合三角形外角性质以及角平分线的性质得．本题考查角平分线的性质以及三角形外角性质知识点，本题运用了数形结合的数学思维．解题关键在于对角平分线的性质以及三角形外角性质知识点熟练掌握． 【详解】解：为外角的角平分线，平分， ，， 又是的外角， ， 故①正确； ，分别平分，， ∴， 则， ∴， 故②是正确的． 连接，如图所示： ，分别平分，，且三角形的三条角平分线会交于一点， ∴点在的角平分线上， 故④是正确的． ∵题干提供的信息都是角的条件， 且三点共线，无法通过等角对等角得出， 故③是错误的． ∵， 平分， ∴ 平分， ∴ ∴ 故⑤是错误的． 故选：C． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 7. 若分式的值为0，则x的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式的值为0列出一元一次方程，解方程即可求解. 【详解】解：∵分式的值为0， ∴2x﹣3＝0且x+1≠0， ∴x， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的值为0.理解分式的值为0的条件是解答关键. 8. 已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则该等腰三角形的周长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形三边关系，分腰长为和两种情况，依据三角形三边关系，分类讨论即可得到答案． 【详解】解：当腰长为时，，三角形不存在； 当腰长为时，符合三角形两边之和大于第三边，所以这个三角形的周长为；   故答案为： ． 9. 若，，则的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查同底数幂除法逆用，幂的乘方逆用，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据同底数幂相除，底数不变，指数相减，即，那么把，，代入即可作答． 【详解】解：因为，， 所以． 故答案为：． 10. 如图，是等边三角形的中线，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的三线合一定理、等边对等角、三角形内角和定理，根据等腰三角形的三线合一定理可知，，根据等腰三角形的两个底角相等可以求出，根据角之间的关系可以求出的度数． 【详解】解：是等边三角形， ， 是等边三角形的中线， ，， ， ， ． 故答案为：． 11. 学习完平方差公式之后，数学兴趣小组在活动中发现： ； ； ； ． 请你利用发现的规律计算： ____________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题干给出的规律，构造，利用规律解题即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查多项式乘多项式规律探究．解题的关键是构造． 12. 中，若过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为的关于点B的二分割线．例如：如图1，中，，，若过顶点B的一条直线交于点D，且，则直线是的关于点B的二分割线．如图2，中，，钝角同时满足：①为最小角；②存在关于点B的二分割线，则的度数为_________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形，等腰三角形的性质，正确地理解“的关于点B的二分割线”是解题的关键． 根据关于点B的二分割线的定义即可得到结论． 【详解】解：如图2所示：， ， 如图3所示：， ， ， 如图4所示，， ， 故答案为：或或． 三、解答题：本题共11小题，共84分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 13. （1）计算：； （2）分解因式：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，因式分解，掌握相应的运算法则、性质及公式是解题的关键． （1）根据有理数的乘方，零指数幂，负整数指数幂将原式化简，再进行加减运算； （2）利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 22； 14. 先化简，再求值：其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查整式的化简求值，掌握整式的运算法则是解题的关键． 根据完全平方公式和平方差公式先展开合并，再代入求值即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 15. 如图，中，，，、分别为、的垂直平分线，E、G分别为垂足． （1）求的度数； （2）若的周长为20，求的长． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）分别求出和，再利用即可； （2）根据垂直平分线的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴； ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， 同理可得，， ∴； 【小问2详解】 解：∵的周长为20， ∴， 由（1）可知，，， ∴． 【点睛】本题考查垂直平分线的基本性质，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，准确记忆并熟练掌握垂直平分线的性质是解决本题的关键． 16. 如图，的网格中，的三个顶点都在格点上，请用无刻度的直尺按下列要求完成画图（保留作图痕迹，不写作法）． （1）在图1中，画，使得与全等； （2）在图2中，画，使得． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 有四种情况，如图，、、、即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了基本作图，全等三角形的判定与性质，三角函数等知识， （1）利用“”的判定方法构造全等三角形，即可作答； （2）根据，即可构造出一类符合要求的；再根据垂直平分线的性质以及三角形外角的性质可以构造另一类符合要求的，据此即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：结合网格图可知：，， 即有，同理有； 作的垂直平分线，即有， 根据，可得：， 同理可得：． 17. 下面是小星同学进行分式化简的过程： 化简 解：原式 第一步 第二步 第三步 （1）小星同学的化简过程从第_______步开始出现错误，错误原因是_______． （2）请写出正确的化简过程，并从，0，1，2中选择合适的数代入求值． 【答案】（1）二，第二步计算减法时，没有变号 （2） 解： ， ， ， 当时，原式． 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值： （1）第二步计算减法时，没有变号； （2）先通分，计算括号内，除法变乘法，约分化简后，选择一个使分式有意义的值，代入计算即可． 【小问1详解】 解：根据题意可得：第二步计算减法时，没有变号， ∴小星同学的化简过程从第二步开始出现错误， 故答案为：二； 【小问2详解】 略 18. 春节即将到来，家家户户贴春联，挂灯笼，欢天喜地迎新年某百货超市计划购进春联和灯笼两种商品，请你根据下面的信息，回答下列问题． 信息：已知每个灯笼的进价比每副春联的进价多元． 信息：超市用元购进的灯笼数量和用元购进的春联数量相同． （1）求每个灯笼和每副春联的进价． （2）若超市准备用不超过元的资金再购进这两种春联和灯笼共个副，最多能购进灯笼多少个？ 【答案】（1）每个灯笼的进价是元，每副春联的进价是元 （2）个 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，关键是根据题意找到关系式． （1）设每副春联的进价是元，则每个灯笼的进价是元，根据等量关系列分式方程，解方程即可； （2）设购进灯笼个，则购进春联副，根据题意列不等式，求出不等式的最大整数解即可． 【小问1详解】 解：设每副春联的进价是元，则每个灯笼的进价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ， 答：每个灯笼的进价是元，每副春联的进价是元； 【小问2详解】 解：设购进灯笼个，则购进春联副， 根据题意得：， 解得：， 的最大值为． 答：最多能购进灯笼个． 19. 如图，C是内部的一条射线OM上一点，D、E分别在边OA、OB上．，．求证：． 【答案】 证明：过点C作，． ， ， 又， ． 在与中， ， ， ， 又，， OM平分， ． ． 【解析】 【分析】过点C作，，根据AAS证明△CDF≌△CEG，得到CF=CG，由，即可得到结论． 【详解】略 【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质，角平分线的判定及性质定理，熟记角平分线的判定定理的证明是解题的关键． 20. 如图两个等腰直角三角形与，连接，相交于点H．求证： （1）； （2）； （3）连接，有以下两个结论：①平分；②平分，其中正确的是________（请写序号），不需证明． 【答案】（1） 证明：∵两个等腰直角三角形与， ∴，，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴． （2） 证明：如图，记的交点为， ∵， ∴， ∵，， ∴； （3）② 【解析】 【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质证明即可； （2）如图，记的交点为，证明，结合，，可得； （3）作于于J．证明，，可得，结合角平分线的判定可得结论； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：结论：② 理由：作于于J． ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴平分； 根据条件无法证明①成立，故①错误． 故答案为：②． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、角平分线的判定定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线解决问题． 21. 问题情境： 我们已经学过完全平方公式，通过对进行适当的变形，如或，可以使某些问题得到解决． 例如：已知，，求的值． 解：． 独立思考： （1）已知，，求的值； （2）若，求的值； 解决问题： （3）如图，小唯家打算用长为的篱笆围一个长方形院子即长方形以，为边分别向外作正方形、正方形，并在两块正方形空地上种植不同品种的农作物，其种植面积和为，求长方形院子的面积． 【答案】（1）18；（2）7；（3） 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，多项式乘多项式，掌握相应的运算法则是关键． （1）利用完全平方公式进行变形求解即可； （2）①根据合并同类项法则进行计算即可； 由可得，再利用完全平方公式进行计算即可； （3）由题意得，，再利用完全平方公式进行变形计算即可求解． 【详解】解：（1），， ， 即， ； （2）由得，， ， ， ； （3）由题意得，，， ， 即， ， ， 答：长方形院子的面积． 22. 如图，在中，，，点在线段上运动（不与、重合），连接，作，与交于． （1）当时，请说明与全等的理由． （2）在点D的运动过程中，的度数是多少时，的形状是等腰三角形．（请直接写出的度数）． 【答案】（1） 解：当时，，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在和中， ∴， ∴ （2）或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定，三角形外角的性质，三角形的内角和； （1）根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可知，再根据全等三角形的判定即可解答； （2）根据等腰三角形的性质分①当时②当时两种情况再等腰三角形性质及三角形的内角和定理即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，当时， ∵， ∴在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴在中，， ∵， ∴； 当时， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， 当时， 此时不符合题意，此种情况不存在， 综上，的度数为或； 23. 在中，，，D是边上的动点，连接． （1）如图1，当D为中点时，求证：是等边三角形； （2）如图2，若，求的最小值； （3）如图3，以为边在右方作等边三角形，点F是的中点，连接并延长，交的延长线于点G，连接，若，求之间的数量关系． 【答案】（1） 证明：∵，D为中点， ∴， ∵，， ∴， ∴是等边三角形； （2）的最小值为； （3） 解：，，之间的数量关系是，理由如下： 作边的中点，连接， 在中，， 同理为等边三角形， ，， ， 为等边三角形， ，， ， 即， ， 在和中， ， ， ， ， ； 过点作交于点，如图： 则， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ，， ，， ， 又， ， ， 又， ， ． 【解析】 【分析】（1）利用斜边中线的性质求得，利用直角三角形的性质求得，利用有一个角是的等腰三角形是等边三角形即可证明结论成立； （2）在外作，作交于点，交于点，得到，此时有最小值，最小值为的长，据此求解即可； （3）作边的中点，连接，依据“”判定和全等得，进而可证，据此即可得出；过点作交于点，先证和全等得，，再证即可得出线段，，之间的数量关系． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在外作，作交于点，交于点， ∵，， ∴， ∴，此时有最小值，最小值为的长， ∵，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴的最小值为； 【小问3详解】 略 【点睛】此题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行线的判定和性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌中学教育集团2024-2025学年第一学期八年级数学期末试卷 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在，，，中，分式的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 下列计算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 一副三角板，按图所示叠放在一起，其中，，则图中的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 解方程去分母，两边同乘后的式子为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，小马用高度都是的10个相同长方体小木块垒了两面与地面垂直的木墙与，木墙之间刚好可以放进一个直角三角板，且直角三角板斜边的两个端点分别与点重合，直角三角板的直角顶点与点，均在水平地面上，点，在同一竖直平面内．已知，，则两面木墙之间的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，分别平分，，且交于点，为外角的平分线，的延长线交于点，则以下结论：①；②；③；④点在的角平分线上；⑤一定成立的有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 多于3 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 7. 若分式的值为0，则x的值为________． 8. 已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则该等腰三角形的周长是______． 9. 若，，则的值为______． 10. 如图，是等边三角形的中线，，则______． 11. 学习完平方差公式之后，数学兴趣小组在活动中发现： ； ； ； ． 请你利用发现的规律计算： ____________． 12. 中，若过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为的关于点B的二分割线．例如：如图1，中，，，若过顶点B的一条直线交于点D，且，则直线是的关于点B的二分割线．如图2，中，，钝角同时满足：①为最小角；②存在关于点B的二分割线，则的度数为_________． 三、解答题：本题共11小题，共84分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 13. （1）计算：； （2）分解因式：． 14. 先化简，再求值：其中，． 15. 如图，中，，，、分别为、的垂直平分线，E、G分别为垂足． （1）求的度数； （2）若的周长为20，求的长． 16. 如图，的网格中，的三个顶点都在格点上，请用无刻度的直尺按下列要求完成画图（保留作图痕迹，不写作法）． （1）在图1中，画，使得与全等； （2）在图2中，画，使得． 17. 下面是小星同学进行分式化简的过程： 化简 解：原式 第一步 第二步 第三步 （1）小星同学的化简过程从第_______步开始出现错误，错误原因是_______． （2）请写出正确的化简过程，并从，0，1，2中选择合适的数代入求值． 18. 春节即将到来，家家户户贴春联，挂灯笼，欢天喜地迎新年某百货超市计划购进春联和灯笼两种商品，请你根据下面的信息，回答下列问题． 信息：已知每个灯笼的进价比每副春联的进价多元． 信息：超市用元购进的灯笼数量和用元购进的春联数量相同． （1）求每个灯笼和每副春联的进价． （2）若超市准备用不超过元的资金再购进这两种春联和灯笼共个副，最多能购进灯笼多少个？ 19. 如图，C是内部的一条射线OM上一点，D、E分别在边OA、OB上．，．求证：． 20. 如图两个等腰直角三角形与，连接，相交于点H．求证： （1）； （2）； （3）连接，有以下两个结论：①平分；②平分，其中正确的是________（请写序号），不需证明． 21. 问题情境： 我们已经学过完全平方公式，通过对进行适当的变形，如或，可以使某些问题得到解决． 例如：已知，，求的值． 解：． 独立思考： （1）已知，，求的值； （2）若，求的值； 解决问题： （3）如图，小唯家打算用长为的篱笆围一个长方形院子即长方形以，为边分别向外作正方形、正方形，并在两块正方形空地上种植不同品种的农作物，其种植面积和为，求长方形院子的面积． 22. 如图，在中，，，点在线段上运动（不与、重合），连接，作，与交于． （1）当时，请说明与全等的理由． （2）在点D的运动过程中，的度数是多少时，的形状是等腰三角形．（请直接写出的度数）． 23. 在中，，，D是边上的动点，连接． （1）如图1，当D为中点时，求证：是等边三角形； （2）如图2，若，求的最小值； （3）如图3，以为边在右方作等边三角形，点F是的中点，连接并延长，交的延长线于点G，连接，若，求之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $