专题9.6 平行四边形（专项练习）（基础夯实）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题9.6 平行四边形（专项练习）（基础夯实） 1、 选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求） 1．（23-24八年级下·广东惠州·阶段练习）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，在平行四边形中，，，，分别平分，，那么的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．以上都不对 3．（23-24八年级下·辽宁铁岭·阶段练习）四边形的对角线，相交于点O，下列条件中，一定能判定四边形为平行四边形的是（    ） A． B． C．， D．， 4．（22-23八年级下·河南漯河·期中）如图，在中，按如下步骤尺规作图：①分别以点A、C为圆心，以大于为半径作弧，两弧交于点E、F；②作直线，交于点O；③作射线，在射线上截取（B与D不重合），使得；④作直线．下列结论中错误的是（    ） A． B．平分 C．是的垂直平分线 D． 5．（23-24八年级下·山西晋中·期末）如图，在中，点、分别在、的延长线上，，．若，，则的长是（      ） A． B．4 C． D． 6．（23-24七年级下·福建厦门·期末）在平面直角坐标系中，互不重合的四个点，直线与x轴交于E点，直线与x轴交于F点，折线段E→D→F的长度记为，E→A→B→F的长度记为，E→A→C→B→F的长度记为，对于的大小关系，下列判断正确的是（  ） A． B． C． D． 7．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）在中，，用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于．”的命题时，应先假设（    ） A．，都大于 B．，都大于等于 C．，都小于 D．，都小于等于 8．（23-24八年级下·浙江宁波·阶段练习）如图，在平行四边形中，点在对角线上，连接，，过点作交于点，若，则（    ） A． B． C． D． 9．（23-24八年级下·浙江·期中）已知平行四边形的一组邻边长为2和3，且有一个内角为，，是平行四边形边上的两点，且将此平行四边形分成面积相等的两部分，则线段的长度取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．（23-24八年级下·福建福州·期末）我们已经学过两种全等变换：平移和轴对称，通过变换可以把两条分散的线段拼接在一起．请借助变换解决下面问题：如图，四边形中，，，，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C． D． 2、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（23-24八年级下·全国·假期作业）一个四边形的四条边的长度依次为a，b，c，d，且满足，则这个四边形一定是 ． 12．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在四边形中，，，为上一点，，垂足为如果四边形的面积为，，那么 ． 13．（23-24八年级下·吉林·期末）如图，在中，点分别在的延长线上，且满足．若，则的长为 ． 14．（21-22九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，两条宽度为4的矩形纸带交叉摆放，若，则重叠部分四边形的面积为 ． 15．（23-24八年级下·辽宁丹东·期末）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C的坐标是，点A的坐标是，点B不在第一象限，若以点O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则点B的坐标是 ． 16．（22-23九年级下·浙江宁波·阶段练习）小宁不小心将一块平行四边形教具打碎成两部分，通过测量，已经知道三个角的度数如图所示，则的度数为 ．    17．（22-23八年级下·北京海淀·期中）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点，将直线沿x轴水平向右平行移动．当直线l将平行四边形的面积平分时，此时其解析式为 ． 18．（23-24九年级上·山东临沂·期末）已知如图，．为x轴上一条动线段，D在C点右边且，当的最小值为 . 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，，平分，延长交于点． （1）若，求的度数； （2）求证：． 20．（本小题满分8分）（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，四边形中，，，的平分线交于点． （1）求的度数； （2）在上取一点E，添加一个条件，使四边形是平行四边形，直接写出这个条件． 21．（本小题满分10分）（24-25九年级上·吉林·期中）如图，在中，，，将绕点A按逆时针方向旋转90°得到． （1）线段的长是______，的度数是______°； （2）连接，求证：四边形是平行四边形． 22．（本小题满分10分）（2023·湖南岳阳·三模）已知四边形中，，，相交于点，将两端延长，使，连结，，，，添加下列条件之一①，②，③，使四边形为平行四边形． （1）你添加的条件是：______；（填序号） （2）添加条件后求证四边形ABCD为平行四边形． 23．（本小题满分10分）（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，，，且． （1）求证：是等边三角形； （2）如备用图，，延长于点，使得．连接并延长，交于点，若，求的值（用含的式子表示）． （备用图） 24．（本小题满分12分）（21-22八年级下·吉林长春·阶段练习）【教材呈现】下图是华师版八年级下册数学教材第83页和84页的部分内容． 平行四边形的判定定理2  一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 我们可以用演绎推理证明这一结论． 已知：如图，在四边形中，ABCD且． 求证：四边形是平行四边形． 证明：连接． （1）请根据教材提示，结合图，写出完整的证明过程． （2）【知识应用】如图①，在中，延长到点，使，连接、．求证：四边形是平行四边形． （3）【拓展提升】在【知识应用】的条件下，若四边形的面积为7，直接写出四边形的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B D B D C A D C D 1．D 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，根据平行四边形的性质依次验证即可． 解：A.四边形平行四边形， ， ，故选项正确，不符合题意； B.四边形平行四边形， ，故选项正确，不符合题意； C.四边形平行四边形， ， 与的高相等， ，故选项正确，不符合题意； D.四边形平行四边形， 与不一定相等，故选项错误，符合题意． 故选：D． 2．B 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，等角对等边，结合平行四边形的性质求得是解题的关键． 由平行四边形的性质可得，结合角平分线的定义可求得、，再由线段的和差可求得． 解：四边形为平行四边形， ，，， ， 平分， ， ， ， 同理， ， 故选：B． 3．D 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．根据平行四边形的判定定理依次对各个选项进行判定即可． 解：A． 只有一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，故A不符合题意； B．不能判定四边形是平行四边形，故B不符合题意； C．有一组对边平行，另一组对边相等的四边形也可能是等腰梯形，故C不符合题意； D．根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可判定四边形为平行四边形，故D符合题意； 故选：D． 4．B 【分析】本题考查了基本作图，平行四边形的判定和性质．由作图知，是的垂直平分线，根据平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，求得，，故选项不符合题意；根据平行线的性质得到，由不一定等于，得到不一定等于，于是得到不一定等于，故选项符合题意． 解：由作图知，是的垂直平分线，故选项C不符合题意； ，， 四边形是平行四边形， ，，故选项AD不符合题意； ， ， 不一定等于， 不一定等于， 不一定等于，故选项B符合题意． 故选：B． 5．D 【分析】本题考查了平行线性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质．根据平行四边形的判定和性质得到四边形是平行四边形，求得，再利用勾股定理即可求出的长． 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，即， ∵， ∴， 即, 故选：D． 6．C 【分析】本题考查了三角形的三边关系以及平行四边形的判定与性质，根据题意得出、四边形是平行四边形是解题关键． 解：由题意得： ∵ ∴ ∵； ∴且 ∴四边形是平行四边形 ∴ ∴ 故选：C 7．A 【分析】本题考查对反证明法的理解，用反证明法证明命题时，一般先假设结论不成立，再假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面有可能的情况，本题即是找出命题结论“至少有一个锐角不大于”的反面，得到最终答案． 解：由“至少有一个锐角不大于”的反面是“每一个锐角都大于”可知应先假设每一个锐角都大于． 故选：A． 8．D 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形的内角和等知识点，设，用x表示出和，再由和三角形的内角和列出方程求出x，进而即可得解，熟练掌握其性质并灵活运用是解决此题的关键． 解：设， ∵四边形平行四边形， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， 故选：D． 9．C 【分析】本题主要查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理．根据题意可得当和边垂直时，最小，当与对角线重合时，最大，再分别求出的最小值和最大值，即可． 解：如图，在平行四边形中，， 根据题意得：当和边垂直时，最小，过点A作于点N，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 当与对角线重合时，最大，过点D作交于点F，则 ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，线段的长度取值范围为． 故选C 10．D 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理．平移至的位置，连接，，则，此时，即的最小值为的长，可证得四边形是平行四边形，从而得到，再由勾股定理求出的长，即可． 解：如图，平移至的位置，连接，，则，此时，即的最小值为的长， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D 11．平行四边形 【解析】略 12． 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，根据题意可推出四边形是平行四边形，连接，作，由、即可求解. 解：∵，， ∴四边形是平行四边形， 连接，作， ∵ ∴ ∵， ∴， 解得： 故答案为： 13．6 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定． 根据平行四边形的性质得出，通过证明出四边形是平行四边形，以及，即可得出结论． 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：6． 14． 【分析】作AE⊥BC，AF⊥CD，然后确定四边形ABCD为平行四边形，从而根据平行四边形的面积公式求解即可． 解：如图所示，作AE⊥BC，AF⊥CD， 由题意，AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD为平行四边形， ∵AE⊥BC，∠ABC=45°， ∴∠AEB=90°，∠BAE=45°， ∴△ABE为等腰直角三角形，AB=AE， 由题意，AE=AF=4， ∴AB=4， ∴四边形ABCD的面积=AB·AF=16． 【点拨】本题考查平行四边形的判定与性质，掌握平行四边形的判定方法，理解题中的实际意义是解题关键． 15．或 【分析】此题考查了坐标与图形的性质以及平行四边形的性质，先建立平面直角坐标第，再分和两种情况求解即可． 解：①当，时，如图： ∵点C的坐标是，点A的坐标是， ∴， ∵点B不在第一象限， ∴点B坐标为，即 ①当，时，如图： 由坐标可知：点向下平移3个单位，向左平移1个单位到点O， ∴由坐标可知：点向下平移3个单位，向左平移1个单位到点B， 故点B坐标为：即， 综上所述：点B的坐标是或， 16． 【分析】先根据平行四边形对角相等，邻角互补求出，的度数，再求出的度数即可利用五边形内角和定理求出答案． 解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质，多边形内角和定理，正确求出，，的度数是解题的关键． 17． 【分析】设平移后的直线方程为；把的中点坐标代入进行解答即可． 解：∵直线l将的面积平分， ∴直线l经过对角线的交点， ∵的顶点， ∴对角线的交点为， 设平移后的直线方程为， 把代入，得， 解得 ， 则平移后的直线l解析式为：； 故答案为：． 【点拨】本题考查了一次函数图象的几何变换．平行四边形的性质，直线平移时k的值不变，只有b发生变化是解题的关键． 18．/ 【分析】本题考查了“将军饮马”求最值的模型，涉及了平行四边形的判定与性质、两点之间线段最短等知识点，将点向右平移1个单位长度得到点构造平行四边形是解题关键． 解：将点向右平移1个单位长度得到点，作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点，此时的值最小，如图所示： ∵，且 ∴四边形为平行四边形 ∴ ∵点关于轴的对称点为， ∴ ∴ ∵ ∴的最小值为： 故答案为： 19．（1）；（2）见分析 【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． （1）由角平分线定义得，则，再由直角三角形的性质得，然后由平行线的性质即可得出结论； （2）证，即可得出结论． 解：（1）解：平分，， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ∴， ； （2）证明：四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ． 20．（1）；（2）（答案不唯一） 【分析】本题考查添加条件使四边形为平行四边形，平行线的性质： （1）利用平行线的性质，和角平分线的定义进行求解即可； （2）根据平行四边形的判定方法，添加条件即可． 解：（1）解：∵，， ∴， ∵的平分线交于点， ∴， ∴； （2）添加条件为：（答案不唯一），理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 21．（1）2；135；（2）见分析 【分析】本题考查了旋转的性质和平行四边形的判定，掌握旋转前后的图形对应边相等，对应顶点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题关键． （1）利用旋转可以直接求出，再利用即可求解； （2）利用旋转得出，，即可求证． 解：（1）解：∵在中，，， ∴， 由旋转可得，， ∴； 故答案分别为：2；135； （2）证明：由旋转可得，， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形． 22．（1）①；（2）见分析． 【分析】（1）根据已知条件可知，再添加即可证明，进而可证得，根据平行四边形的判定定理，一组对边平行且相等证明即可； （2）证明，进而可证得，根据平行四边形的判定定理，一组对边平行且相等证明即可． 解：（1）解：添加的条件是①：； 而②，③，根据已有条件无法证明三角形全等，无法判断四边形ABCD为平行四边形， 故答案为：①． （2）证明：在和中， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 【点拨】本题考查了平行四边形的判定和三角形全等判定和性质，解题关键是熟练掌握平行四边形的判定定理． 23．（1）见分析；（2） 【分析】对于（1），过点C作轴，交于点D，根据题意可知，再根据勾股定理求出，然后求出，可得结论； 对于（2），作，可知四边形是平行四边形，可得，再证明，可得，即可得出答案． 解：（1）如图所示，过点C作轴，交于点D， ∵， ∴， ∴． 根据勾股定理，得， ∴． 在中，， ∴， ∴是等边三角形； （2）过点D作，交于点F，过点C作于点G，连接，则， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵轴， ∴轴. ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴． 【点拨】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，等边三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，作出辅助线将两条线段的差转化为一条线段是解题的关键． 24．（1）见分析；（2）见分析；（3）7 【分析】（1）根据条件证明，然后判定即可； （2）根据可得AD∥BC，，然后判定即可； （3）根据平行四边形的特点，同底等高面积相等判断即可． 解：（1）证明：连接，在和中 ∴AB∥CD， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形 （2）证明：在中，AD∥BC， ∵ ∴AD∥CF， ∴四边形是平行四边形 （3）根据题意判断四边形和四边形均为平行四边形， ∴平行四边形和平行四边形同底等高， ∴平行四边形面积=平行四边形面积=7 【点拨】此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质是解本题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$