专题1.7 整式的除法（2大知识点3大考点8类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题1.7 整式的除法（2大知识点3大考点8类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】单项式除以单项式 单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只有被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 【要点提示】 （1） 法则包括三个方面：①系数相除；②同底数幂相除；③只在被除式里出现的字母，连同它的指 数作为商的一个因式. （2） 单项式除法的实质即有理数的除法（系数部分）和同底数幂的除法的组合，单项式除以单项式 的结果仍为单项式. 【知识点2】多项式除以单项式法则 多项式除以单项式：先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.即： 【要点提示】 （1） 由法则可知，多项式除以单项式转化为单项式除以单项式来解决，其实质是将它分解成多个单 项式除以单项式. （2）利用法则计算时，多项式的各项要包括它前面的符号，要注意符号的变化. 知识点与题型目录 【考点一】整体除法的运算 【题型1】单项式除以单项式...................................................2 【题型2】多项式除以单项式...................................................3 【题型3】整式的混合运算.....................................................4 【考点二】整体除法的化简求值 【题型4】多项式除以单项式化简求值...........................................6 【题型5】整式混合运算的化简求值.............................................7 【题型6】乘法公式与整式的除法综合化简求值...................................9 【考点三】链接中考与拓展延伸 【题型7】链接中考...........................................................11 【题型8】拓展延伸...........................................................12 第二部分【链接中考与拓展延伸】 【题型1】单项式除以单项式 【例1】（23-24七年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是积的乘方运算，单项式除以单项式，掌握运算法则是解本题的关键； （1）先计算积的乘方运算，再按照单项式除以单项式计算即可； （2）先计算积的乘方运算，再按照单项式除以单项式计算即可； 解：（1）解：； （2）． 【变式1】（23-24八年级上·全国·课后作业）下列计算不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用单项式除以单项式得运算法则． 解：A、，运算正确，不符合题意； B、，运算正确，不符合题意； C、，运算错误，符合题意； D、，运算正确，不符合题意； 故选：C． 【点拨】本题考查了单项式除以单项式，解题的关键是掌握同底数幂的除法，底不变，指数相减． 【变式2】（23-24七年级下·全国·课后作业）已知，则 ， ． 【答案】 5 3 【分析】本题考查的是单项式的除法，根据单项式除以单项式进行计算，再建立方程求解即可． 解：∵， ∴，， ∴，． 故答案为：， 【题型2】多项式除以单项式 【例2】（23-24七年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是积的乘方运算，多项式除以单项式的运算，熟记运算法则是解本题的关键； （1）先计算积的乘方运算，再计算多项式除以单项式的运算即可； （2）先计算积的乘方运算，再计算多项式除以单项式的运算即可； 解：（1）解： ； （2） ． 【变式1】（23-24七年级下·全国·课后作业）下列运算正确的是（    ） ①； ②； ③； ④． A．①② B．③④ C．①②③ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查多项式除以单项式，本题要依照多项式除以单项式的法则逐题进行检查计算即可． 解：①，故①计算错误，不符合题意； ②，故②计算错误，不符合题意； ③，故③计算正确，符合题意； ④，故④计算正确，符合题意． 所以，运算正确的是③④， 故选：B 【变式2】（24-25八年级上·山西大同·阶段练习）已知一个多项式乘，所得的结果是，那么这个多项式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘单项式，多项式除以单项式等知识点，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键． 根据“一个多项式乘所得的结果是”，得出这个多项式是，再根据多项式除以单项式法则进行计算，即可作答． 解：∵一个多项式乘所得的结果是， ， ∴这个多项式是， 故答案为：． 【题型3】整式的混合运算 【例3】（23-24八年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用多项式除以单项式及积的乘方运算法则计算后，再合并； （2）利用多项式除以单项式运算法则就算后合并同类项即可． 解：（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【点拨】本题考查了多项式除以单项式，积的乘方，解题的关键是掌握相应的运算法则． 【变式1】（24-25八年级上·重庆·期中）计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先计算积的乘方，再运用单项式乘单项式，单项式除单项式进行计算即可； （2）先运用多项式乘多项式，单项式乘单项式进行计算，再合并同类项即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】（24-25八年级上·福建厦门·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先计算幂的乘方与同底数幂相乘，再计算乘除； （2）先计算乘除，再计算加减． 解：（1）解：原式； （2）解：原式． 【题型4】多项式除以单项式化简求值 【例4】（24-25八年级上·福建漳州·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值，完全平方公式，多项式除以单项式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据完全平方公式，多项式除以单项式进行展开，再去括号，合并同类项，得，把，代入计算，即可作答． 解： ， 把，代入， 得：． 【变式1】（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）先化简，再求值：其中，． 【答案】，0 【分析】本题考查整式的混合运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则，本题属于基础题型．根据多项式除以单项式，平方差公式及整式的加减运算法则进行化简，然后将a与b的值代入化简后的式子即可求出答案． 解：原式 当，时，原式． 【变式2】（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）先化简，再求的值，其中，； 【答案】， 【分析】此题考查了整式的化简求值．先计算括号内的整式的四则混合运算，再计算多项式除以单项式得到化简结果，再代入求值即可． 解： 当，时， 原式 【题型5】整式混合运算的化简求值 【例5】（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）先化简，再求值：，其中， 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先计算多项式乘多项式，再合并同类项，再将代入化简后的式子计算即可． 解：原式      ； 当，时， 原式           【变式1】（24-25八年级上·吉林·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】，10 【分析】本题主要考查了整式四则混合运算，原式利用多项式乘单项式，多项式乘多项式，以及多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值，熟练掌握其运算法则是解决此题的关键． 解：                                                                             当， 时，原式． 【变式2】（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）先化简再求值． （1），其中，； （2）已知，求的值． 【答案】（1），；（2）， 【分析】本题主要考查整式的混合运算，整式的化简求值，根据乘法公式，整式的混合运算化简，代入求值即可，掌握乘法公式，整式的混合运算法则是解题的关键． （1）运用乘法公式化简，再代入求值即可； （2）运用乘法公式将代数式化简，再整体代入计算即可求解． 解：（1）解： ， 当时，原式； （2）解： ， ∵， ∴原式． 【题型6】乘法公式与整式的除法综合化简求值 【例6】（24-25八年级上·山西晋城·期中）先化简，再求值： （1），其中． （2），其中，． 【答案】（1），；（2），． 【分析】本题考查了整式的混合运算和求值，解决本题的关键是根据乘法公式把各部分展开，然后再根据合并同类项的法则合并同类项，把字母的值代入化简后的代数式中计算求值． 首先根据完全平方公式和平方差公式把各部分展开，得到：原式，然后再根据合并同类项的法则合并同类项，可得：原式，把的值代入化简后的代数式计算求值； 首先根据完全平方公式和平方差公式把各部分展开，得到：原式，把括号里面的部分合并同类项，可得：原式，再根据多项式除以单项式的法则计算出结果，把，代入化简后的代数式计算求值． 解：（1）解： ， 当时， 原式； （2）解： ． 当，时， 原式． 【变式1】（24-25八年级上·河南周口·期末）先化简，再求值：，其中x、y满足． 【答案】；16 【分析】本题主要考查整式的混合运算和非负数的性质，先根据乘法公式和单项式乘以多项式运算法则将括号展开，再合并得最简结果，由非负数的性质得出的值代入计算即可． 解： ， ， 解得， ∴原式 【变式2】（24-25八年级上·重庆梁平·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】，0 【分析】本题中主要考查整式的化简求值，根据整式混合运算的顺序和法则化简原式后将x、y的值代入计算可得． 解：原式 ， 当，时， 原式． 第二部分【中考链接与拓展延伸】 【题型7】链接中考 【例1】（2024·甘肃·中考真题）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据平方差公式和完全平方公式去小括号，然后合并同类项，再根据多项式除以单项式的计算法则化简，最后代值计算即可． 解： ， 当，时，原式． 【例2】（2020·湖北武汉·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】根据同底数幂相乘、乘积的幂、幂的乘方、同底数幂相除运算法则逐步求解即可． 解：原式 ． 【点拨】本题考查了整式的乘除中幂的运算法则，熟练掌握公式及其运算法则是解决此类题的关键． 【题型8】拓展延伸 【例1】．（18-19七年级下·江苏常州·期中）已知a是大于1的实数，且有，成立． （1）若，求的值； （2）当（，且n是整数）时，比较p与的大小，并说明理由． 【答案】（1）1；（2）当时，；当时，；当时，，见分析． 【分析】（1）根据已知条件可得，代入可求的值； （2）根据作差法得到，分三种情况：当时；当时；当时进行讨论即可求解． 解：（1）解：（1）∵①，②， ∴得，， ∴； 得，． （2）∵（，且n是整数）， ∴， ∴， 又由（1）中得，， 得，， ∴， ， ∴， ∴③， ④， ∴得， ∴， ∴， 当时，即； 当时，即； 当时，即． 【点拨】本题考查了负整数指数幂：（，p为正整数），关键是加减消元法和作差法的熟练掌握． 【例2】（21-22七年级下·山西晋中·期中）（1）化简： （2）阅读下面这位同学的计算过程，并完成任务 先化简，再求值：，其中，． 解：原式第一步 第二步 ．第三步 当，时，原式．第四步 任务： ①第一步运算用到了乘法公式______（写出1种即可）； ②以上步骤第______步出现了错误，错误的原因是______； ③请写出正确的解答过程． 【答案】（1）；（2）①平方差公式或完全平方公式或或（写出1种即可）；②一，丢了括号或去括号时符号出错（合理即可）；③-16 【分析】（1）利用单项式乘多项式的运算法则计算即可； （2）①平方差公式或完全平方公式； ②根据去括号法则可知第一步出现了错误； ③根据整式的混合运算顺序解答即可． 解：（1）原式 （2）①第一步运算用到了乘法公式或； 故答案为：或． ②以上步骤第一步出现了错误，错误的原因是去括号时符号错误； 故答案为：一；去括号时符号错误． ③ 当，时，原式． 【点拨】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是掌握相关运算法则． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.7 整式的除法（2大知识点3大考点8类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】单项式除以单项式 单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只有被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 【要点提示】 （1） 法则包括三个方面：①系数相除；②同底数幂相除；③只在被除式里出现的字母，连同它的指 数作为商的一个因式. （2） 单项式除法的实质即有理数的除法（系数部分）和同底数幂的除法的组合，单项式除以单项式 的结果仍为单项式. 【知识点2】多项式除以单项式法则 多项式除以单项式：先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.即： 【要点提示】 （1） 由法则可知，多项式除以单项式转化为单项式除以单项式来解决，其实质是将它分解成多个单 项式除以单项式. （2）利用法则计算时，多项式的各项要包括它前面的符号，要注意符号的变化. 知识点与题型目录 【考点一】整体除法的运算 【题型1】单项式除以单项式...................................................2 【题型2】多项式除以单项式...................................................2 【题型3】整式的混合运算.....................................................2 【考点二】整体除法的化简求值 【题型4】多项式除以单项式化简求值...........................................3 【题型5】整式混合运算的化简求值.............................................3 【题型6】乘法公式与整式的除法综合化简求值...................................3 【考点三】链接中考与拓展延伸 【题型7】链接中考...........................................................4 【题型8】拓展延伸...........................................................4 第二部分【链接中考与拓展延伸】 【题型1】单项式除以单项式 【例1】（23-24七年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）． 【变式1】（23-24八年级上·全国·课后作业）下列计算不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级下·全国·课后作业）已知，则 ， ． 【题型2】多项式除以单项式 【例2】（23-24七年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2） 【变式1】（23-24七年级下·全国·课后作业）下列运算正确的是（    ） ①； ②； ③； ④． A．①② B．③④ C．①②③ D．②③④ 【变式2】（24-25八年级上·山西大同·阶段练习）已知一个多项式乘，所得的结果是，那么这个多项式是 ． 【题型3】整式的混合运算 【例3】（23-24八年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）． 【点拨】本题考查了多项式除以单项式，积的乘方，解题的关键是掌握相应的运算法则． 【变式1】（24-25八年级上·重庆·期中）计算： （1） （2） 【变式2】（24-25八年级上·福建厦门·期中）计算： （1）； （2）． 【题型4】多项式除以单项式化简求值 【例4】（24-25八年级上·福建漳州·期中）先化简，再求值：，其中，． 【变式1】（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）先化简，再求值：其中，． 【变式2】（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）先化简，再求的值，其中，； 【题型5】整式混合运算的化简求值 【例5】（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）先化简，再求值：，其中， 【变式1】（24-25八年级上·吉林·期中）先化简，再求值：，其中． 【变式2】（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）先化简再求值． （1），其中，； （2）已知，求的值． 【题型6】乘法公式与整式的除法综合化简求值 【例6】（24-25八年级上·山西晋城·期中）先化简，再求值： （1），其中． （2），其中，． 【变式1】（24-25八年级上·河南周口·期末）先化简，再求值：，其中x、y满足． 【变式2】（24-25八年级上·重庆梁平·期中）先化简，再求值：，其中． 第二部分【中考链接与拓展延伸】 【题型7】链接中考 【例1】（2024·甘肃·中考真题）先化简，再求值：，其中，． 【例2】（2020·湖北武汉·中考真题）计算：． 【题型8】拓展延伸 【例1】．（18-19七年级下·江苏常州·期中）已知a是大于1的实数，且有，成立． （1）若，求的值； （2）当（，且n是整数）时，比较p与的大小，并说明理由． 【例2】（21-22七年级下·山西晋中·期中）（1）化简： （2）阅读下面这位同学的计算过程，并完成任务 先化简，再求值：，其中，． 解：原式第一步 第二步 ．第三步 当，时，原式．第四步 任务： ①第一步运算用到了乘法公式______（写出1种即可）； ②以上步骤第______步出现了错误，错误的原因是______； ③请写出正确的解答过程． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$