专题1.3 直角三角形与最值问题（8大类型）（全章题型梳理与分类讲解）-2024-2025学年八年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（湘教版）

专题1.3 直角三角形与最值问题（8大类型）（全章题型梳理与分类讲解） 第一部分【题型目录】 【题型1】直角三角形两锐角互余与最值.....................................................1 【题型2】斜边的中线等于斜边的一半与最值.................................................4 【题型3】含30度角的直角三角形三边关系与最值............................................8 【题型4】勾股定理与最值................................................................11 【题型5】全等的性质和HL综合与最值.....................................................15 【题型6】角平分线的性质与判定与最值....................................................18 【题型7】链接中考......................................................................22 【题型8】拓展延伸......................................................................25 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】直角三角形两锐角互余与最值 【例1】（23-24八年级上·安徽阜阳·期末）如图，在中，，，，是边上的中线．   （1）若，则的度数是 ；（用含m的式子表示） （2）若点P是线段上的一个动点，点Q为线段上的一个动点，则的最小值是 ． 【答案】 / 【分析】本题主要考查了三线合一定理，直角三角形的性质，轴对称最短路径问题： （1）根据三线合一定理得到，，再根据直角三角形两锐角互余可得； （2）连接，过点C作于点，由对称性得到，则当C，P，Q三点共线且时，的值最小，即为的长． ；利用等面积法求出，则的最小值是． 解：（1）是等腰三角形，，是边上的中线， ，， ， ， ， 故答案为：； （2）如图，连接，过点C作于点．    ∵所在直线是等腰三角形的对称轴， ， ， 当C，P，Q三点共线且时，的值最小，即为的长． ， ， 的最小值是， 故答案为：． 【变式1】（21-22七年级下·福建宁德·期中）已知，点P为平面内一点，且BP为定长，，Q为射线BC上一动点，连接PQ，当的最小值， ． 【答案】50°或10° 【分析】分点P在的内部和外部两种情况讨论，当BP+PQ的值最小时，PQ最小，此时PQ⊥BC，据此解答即可． 解：①当点P在的内部，如图1， ∵BP为定长， ∴当BP+PQ的值最小时，PQ最小，此时PQ⊥BC， ∴∠PQB=90°， ∵∠ABC=60°，∠ABP=20°， ∴∠PBQ=40°， ∴∠BPQ=90°-40°=50°， ②当点P在的外部，如图2， 同理可得，∠PBQ=80°， ∴∠BPQ=90°-80°=10°， 故答案为：50°或10°． 【点拨】本题考查了直角三角形的性质，正确理解点到直线上所有连线中垂线段最短是解题的关键． 【变式2】（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，中，，点 D为上一点，点E为上一点，当有最小值时，为（  ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】本题主要考查轴对称的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质，熟记轴对称的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质是解题关键．作出点B关于的对称点，过点作，垂足为点E，交于点D，连接，此时有最小值，由对称性质可得，得出，再由，可得，可得出，再由，可得，从而求解即可． 解：如图，作出点B关于的对称点，过点作，垂足为点E，交于点D，连接，此时有最小值， 点B关于的对称点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 【题型2】斜边的中线等于斜边的一半与最值 【例2】（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，，D为边上一动点，连接．以为底边，在的左侧作等腰直角三角形，点F是边上的定点，连接，当取最小值时，若，则为（    ）（用含的式子表示） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，取的中点H，连接，交于，作直线，交于，设，取的中点，连接，，证明，则在直线上运动，且，当，，三点共线时，，此时最短，从而可得结论． 解：如图，取的中点H，连接，交于，作直线，交于， ∵，， ∴，，， ∵等腰直角三角形，， ∴， 设， 取的中点，连接，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在直线上运动，且， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴，， 当，，三点共线时， ，此时最短， ∵， ∴， ∴， 故选D． 【点拨】本题考查的是等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理的应用，证明在直线上运动是解本题的关键． 【变式1】（2024·陕西渭南·二模）如图，在四边形中，，连接交于点O，点E为上一动点，连接，点P为的中点，连接，则的最小值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查全等三角形判定及性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半，等边三角形判定，垂直平分线性质等．根据题意证明，继而得到，再利用直角三角形斜边中线等于斜边一半可得，推出，再得，继而得到为等边三角形，即可得到本题答案． 解：∵， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵点P为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴当点在一条直线上时，的最小值为， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 故答案为：6． 【变式2】（23-24八年级上·广西桂林·期末）如图，在中，的平分线交于点，点分别是上的动点，若的最小值为3，则的长是（    ） A．3 B． C． D．6 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的性质、直角三角形的特征、全等三角形的判定及性质，作点P关于直线的对称点，连接交于点Q，根据轴对称图形的性质及全等三角形的性质得点在边上，结合的最小值为3和直角三角形的特征即可求解． 解：作点P关于直线的对称点，连接交于点Q，如图： 则， ∵根据对称的性质知， ∴， 又∵是的平分线，点P在边上，点Q在直线上， ∴， ∴， ∴点在边上． ∵当时，线段最短． ∵的最小值为3，即最短 ∵在中， ∴ 故选D 【题型3】含30度角的直角三角形三边关系与最值 【例3】（24-25八年级上·北京·阶段练习）如图，两直线与相交于点，他们相交所形成的锐角等于，若点是直线上一定点，，点、分别是直线、上的动点，则的最小值为（   ） A．3 B． C． D．6 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称、垂线段最短、含角的直角三角形的性质等知识，解题关键是牢记并灵活运用相关概念．先利用轴对称作出点关于直线的对称点，再利用垂线段最短得到它的最小值等于线段的长，最后利用直角三角形中的角所对的直角边等于斜边的一半求解即可． 解：如图，作点关于直线的对称点，作直线， ∴，，， ∴ 过点作，垂足为点， 则当点、、，共线，与重合时，的值最小，等于， ∴， ∴的最小值为3 故选：A． 【变式1】（23-24八年级上·辽宁铁岭·阶段练习）如图，已知，点M在边上，且，点N和点P分别是和上的一个动点，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查轴对称的性质，垂线段最短及直角三角形角所对直角边等于斜边一半，作M关于的对称点，过作交于一点即为最小距离和点P，结合直角三角形角所对直角边等于斜边一半求解即可得到答案． 解：作M关于的对称点，过作交于一点P，如图所示， ∵是M关于的对称点，，， ∴，，， ∵， ∴，， ∴． ∴， 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，，，是边上的一动点，连接，把线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则线段的最小值为 ． 【答案】1 【分析】在上截取，连接，过点作于点，证明，得出，结合垂线段最短可知当点与点重合时，最短，即最小，且为的长．最后根据含30度角的直角三角形的性质求解即可． 解：在上截取，连接，过点作于点，如图， ，， ， 由旋转可知，， ，即， 在和中， ， ， ， 当最短时，最小， 垂线段最短， 当点与点重合时，最短，即为的长， ，，， ， ， ， ， 线段的最小值为1． 故答案为：1． 【点拨】本题考查旋转的性质，垂线段最短，全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题关键． 【题型4】勾股定理与最值 【例4】（24-25八年级上·四川内江·期末）如图，在中，，点是边上的点，且，，平分交于，点、分别是、上的动点，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，垂线段最短的性质．作于点，由垂线段最短知的最小值为的长，根据勾股定理结合等积法即可求解． 解：在上取点，使，连接，，作于点， ∵平分， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 根据垂线段最短的性质知，当点与点重合时，的最小值为的长， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即的最小值为， 故选：C． 【变式1】（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，中，，，点D为边上的动点，将线段绕点逆时针旋转，得到，连接，则在点运动过程中，线段的最小值为（ ） A．2 B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形，勾股定理等知识，由旋转的性质可得，由“”可证，可得，可得点E在过点C且垂直的直线上运动，则当时，的值最小，即的值最小，即可求解． 解：如图，连接， 在中，， ∴， ∵将绕A点逆时针旋转得到， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点E在过点C且垂直的直线上运动， ∴当时，的值最小，即的值最小， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即的值最小为， 故选：B． 【变式2】（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，在钝角三角形中，，，点、关于轴对称，连接、，点、分别是、上的动点，的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质， 连接，根据轴对称的性质，得出，即，得出当、、在同一直线上，且时，最小，先证明，根据勾股定理求出结果即可． 解：连接， 点、关于轴对称， ， ， 当、、在同一直线上，且时，最小， 如图所示： 点、关于轴对称， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：（负值舍去）， 的最小值为． 故答案为：． 【题型5】全等的性质和HL综合与最值 【例5】（20-21九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，BC=9，AC=12，Q为AB上一动点，则DQ的最小值为（      ） A．6 B．4.5 C．4 D．5 【答案】C 【分析】作DH⊥AB于H，如图，根据角平分线的性质得到DH=DC，然后求出DH的长度，根据垂线段最短求解． 解：作DH⊥AB于H，如图， ∵AD平分∠BAC，DH⊥AB，DC⊥AC， ∴DH=DC， ∵AD=AD，∠C=∠AHD=90°， ∴△ACD≌△AHD（HL）， ∴AH=AC=12， ∵， ∴BH=1512=3， ∵BD=， ∴， ∴， ∵Q为AB上一动点， ∴DQ的最小值为DH的长，即DQ的最小值为4． 故选：C． 【点拨】本题考查了角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，也考查了垂线段最短．解题的关键是正确确定点Q的位置，从而求出最小值． 【变式】（24-25八年级上·河南周口·期中）如图，已知，，平分与交于点，分别在线段、上的动点，连接，当最小时，画出的位置．已知的面积为，，求的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题、角平分线的性质 ，解题的关键是掌握“两点之间线段最短”与“点到直线的所有连线当中，垂线段最短”. 作于点， 连接， 作于点，交于点，则点、就是所求作的点.作于点， 证明： 的最短距离为，再证明点、、三点共线，，然后根据三角形的面积求解即可. 解：如图： 作于点， 连接， 作于点，交于点，则点、就是所求作的点. ∵平分与交于点， ， ∴由作图可知： ， ∴与关于直线对称， 即点与点关于直线对称， ∵作于点， 交于点， ∴是点到的最短距离， ∴， 作于点， 则， 在与中， ， ， ∴，即. ∴点、、三点共线， ， ∵的面积为 ， ， 即：的最小值为， 故答案为：． 【题型6】角平分线的性质与判定与最值 【例6】（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在中，，平分，平分，N，M分别为射线上的动点．若，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】如图，作关于的对称点，则，当三点共线时最短即，当时最短，过点作，交的延长线于点，即与点重合时最短，过点作于点，根据等面积法求得，即可求解． 解：如图，作关于的对称点，过点作，交的延长线于点，过点作于点， ∴，当三点共线时最小即， ∵当时，最短， ∴即为所求， ∵， 是等腰直角三角形， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵平分， ∴ ∵， 设，则 在中， ∵ ∴ 解得 ∴ ∵ ∴ 故答案为：4． 【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，轴对称的性质，角平分线的性质，勾股定理，作出辅助线是解题的关键． 【变式1】（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，，，点E、F分别是线段、射线上的动点，以为斜边向上作等腰，，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，勾股定理，连接并延长，证明，得到点D的轨迹，最后利用垂线段最短和等腰直角三角形的性质解答即可得出结论． 解：如图，连接并延长，过点D作于点M，于点N． ∵， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， ∴， ∴点D的轨迹为的平分线， ∵垂线段最短， ∴当时，取最小值，此时， ∵， ∴的最小值为， 故答案为：． 【变式2】（23-24八年级下·安徽安庆·期中）如图，是的角平分线，点是上一点，已知，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质．根据题意可得的长恒定不变，从而得到当时，有最小值．再由角平分线的性质，可得．再证明，可得，设，则，在中，根据勾股定理，即可求解． 解：在中，由勾股定理得：． ∵是的角平分线， ∴的长恒定不变， ∴当最小时，最小， 而当时，有最小值． 如图，当时， 是的平分线，， ． 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴． 设，则， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得， 则，， 故的最小值为． 故选：A 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型7】链接中考 【例1】（2023·辽宁锦州·中考真题）如图，在中，，，，按下列步骤作图：①在和上分别截取、，使．②分别以点D和点E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点M．③作射线交于点F．若点P是线段上的一个动点，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】过点P作于点Q，过点C作于点H，先利用角平分线和三角形的内角和定理求出，然后利用含的直角三角的性质得出，则，当C、P、Q三点共线，且与垂直时，最小，最小值为，利用含的直角三角的性质和勾股定理求出，，最后利用等面积法求解即可． 解：过点P作于点Q，过点C作于点H， 由题意知：平分， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当C、P、Q三点共线，且与垂直时，最小，最小值为， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即最小值为． 故答案为：． 【点拨】本题考查了尺规作图-作角平分线，含的直角三角形的性质，勾股定理等知识，注意掌握利用等积法求三角形的高或点的线的距离的方法． 【例2】（2023·四川甘孜·中考真题）如图，在中，，点在边上，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，．   （1）求证：； （2）若时，求的长； （3）点在上运动时，试探究的值是否存在最小值，如果存在，求出这个最小值；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）见分析；（2）；（3）存在， 【分析】（1）由即可证明； （2）证明（），勾股定理得到，在 中，勾股定理即可求解； （3）证明，即可求解． 解：（1）解：由题意，可知，，． ． 即． ． （2）在中，， ． ． ， ，． ． ． 在中，． （3）由（2）可知，． 当最小时，有的值最小，此时． 为等腰直角三角形， ． ． 即的最小值为． 【点拨】本题主要考查了图形的几何变换，涉及到等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【题型8】拓展延伸 【例1】（24-25九年级上·福建福州·期中）如图， 是内一点，，，，是由绕点顺时针旋转得到，则线段的最小值为（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，由旋转可得，，，，进而得到都为等边三角形，即得，，得到，又可得，可知当四点共线时，取最小值，最小值即为的长，最后利用勾股定理求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 解：连接， 由旋转可得，，，，， ∴都为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴当四点共线时，取最小值，最小值即为的长，如图， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故选：． 【例2】（24-25八年级上·北京西城·期末）如图，在中，．D为边上一动点，连接．当取最小值时，的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查等边三角形的性质与判定，含直角三角形的三边关系，垂线段最短等相关知识，延长到点，使，连接，证是等边三角形，可推出，过点作于点，则，从而，故当，，三点共线时，的最小，过点作于点，即为所求最小值，求出的值即可，构造含的直角三角形，将目标转化为求的最小值是解题关键． 解：如图，延长到点，使，连接， ，即， 垂直平分， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 过点作于点， ， ， 求的最小值即求的最小值，当，，三点共线时，的最小，过点作于点，即为所求最小值， 此时，设，则， ， 即当取最小值时，的值为． 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.3 直角三角形与最值问题（8大类型）（全章题型梳理与分类讲解） 第一部分【题型目录】 【题型1】直角三角形两锐角互余与最值.....................................................1 【题型2】斜边的中线等于斜边的一半与最值.................................................2 【题型3】含30度角的直角三角形三边关系与最值............................................3 【题型4】勾股定理与最值.................................................................3 【题型5】全等的性质和HL综合与最值......................................................4 【题型6】角平分线的性质与判定与最值.....................................................5 【题型7】链接中考.......................................................................6 【题型8】拓展延伸.......................................................................6 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】直角三角形两锐角互余与最值 【例1】（23-24八年级上·安徽阜阳·期末）如图，在中，，，，是边上的中线．   （1）若，则的度数是 ；（用含m的式子表示） （2）若点P是线段上的一个动点，点Q为线段上的一个动点，则的最小值是 ． 【变式1】（21-22七年级下·福建宁德·期中）已知，点P为平面内一点，且BP为定长，，Q为射线BC上一动点，连接PQ，当的最小值， ． 【变式2】（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，中，，点 D为上一点，点E为上一点，当有最小值时，为（  ） A． B． C． D．不能确定 【题型2】斜边的中线等于斜边的一半与最值 【例2】（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，，D为边上一动点，连接．以为底边，在的左侧作等腰直角三角形，点F是边上的定点，连接，当取最小值时，若，则为（    ）（用含的式子表示） A． B． C． D． 【变式1】（2024·陕西渭南·二模）如图，在四边形中，，连接交于点O，点E为上一动点，连接，点P为的中点，连接，则的最小值为 ． 【变式2】（23-24八年级上·广西桂林·期末）如图，在中，的平分线交于点，点分别是上的动点，若的最小值为3，则的长是（    ） A．3 B． C． D．6 【题型3】含30度角的直角三角形三边关系与最值 【例3】（24-25八年级上·北京·阶段练习）如图，两直线与相交于点，他们相交所形成的锐角等于，若点是直线上一定点，，点、分别是直线、上的动点，则的最小值为（   ） A．3 B． C． D．6 【变式1】（23-24八年级上·辽宁铁岭·阶段练习）如图，已知，点M在边上，且，点N和点P分别是和上的一个动点，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，，，是边上的一动点，连接，把线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则线段的最小值为 ． 【题型4】勾股定理与最值 【例4】（24-25八年级上·四川内江·期末）如图，在中，，点是边上的点，且，，平分交于，点、分别是、上的动点，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D． 【变式1】（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，中，，，点D为边上的动点，将线段绕点逆时针旋转，得到，连接，则在点运动过程中，线段的最小值为（ ） A．2 B． C． D．1 【变式2】（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，在钝角三角形中，，，点、关于轴对称，连接、，点、分别是、上的动点，的最小值为 ． 【题型5】全等的性质和HL综合与最值 【例5】（20-21九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，BC=9，AC=12，Q为AB上一动点，则DQ的最小值为（      ） A．6 B．4.5 C．4 D．5 【变式】（24-25八年级上·河南周口·期中）如图，已知，，平分与交于点，分别在线段、上的动点，连接，当最小时，画出的位置．已知的面积为，，求的最小值为 ． 【题型6】角平分线的性质与判定与最值 【例6】（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在中，，平分，平分，N，M分别为射线上的动点．若，则的最小值为 ． 【变式1】（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，，，点E、F分别是线段、射线上的动点，以为斜边向上作等腰，，连接，则的最小值为 ． 【变式2】（23-24八年级下·安徽安庆·期中）如图，是的角平分线，点是上一点，已知，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型7】链接中考 【例1】（2023·辽宁锦州·中考真题）如图，在中，，，，按下列步骤作图：①在和上分别截取、，使．②分别以点D和点E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点M．③作射线交于点F．若点P是线段上的一个动点，连接，则的最小值是 ． 【例2】（2023·四川甘孜·中考真题）如图，在中，，点在边上，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，．   （1）求证：； （2）若时，求的长； （3）点在上运动时，试探究的值是否存在最小值，如果存在，求出这个最小值；如果不存在，请说明理由． 【题型8】拓展延伸 【例1】（24-25九年级上·福建福州·期中）如图， 是内一点，，，，是由绕点顺时针旋转得到，则线段的最小值为（      ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·北京西城·期末）如图，在中，．D为边上一动点，连接．当取最小值时，的值为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$