专题4.12 一次函数（中考常考点分类专题）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年八年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（湘教版）

专题4.12 一次函数（中考常考点分类专题）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分 考点目录 【考点1】函数自变量取值范围.....................................................1; 【考点2】函数图象中获取信息.....................................................1； 【考点3】一次函数图象的位置.....................................................2； 【考点4】一次函数图象的平移.....................................................3； 【考点5】一次函数图象的增减性...................................................3； 【考点6】比较一次函数的大小.....................................................4； 【考点7】求一次函数的解析式.....................................................5； 【考点8】一次函数与方程不等式...................................................6； 【考点9】一次函数图象与坐标轴交点...............................................7； 【考点10】一次函数与面积........................................................8； 【考点11】一次函数的应用........................................................8； 【考点12】一次函数与几何综合...................................................10； 第二部分【考点展示与方法点拨】 【考点1】函数自变量取值范围 【例1】（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）在函数中，自变量x的取值范围是 ． 【变式1】（23-24九年级下·河南驻马店·阶段练习）与函数自变量取值范围相同的函数是（    ） A．函数 B．函数 C．函数 D．函数 【变式2】（23-24八年级上·全国·单元测试）在周长为的等腰三角形中，底边长为，腰长为，则关于的函数解析式为 ，定义域为 ． 【考点2】函数图象中获取信息 【例2】（2024·山东威海·中考真题）同一条公路连接，，三地，地在，两地之间．甲、乙两车分别从地、地同时出发前往地．甲车速度始终保持不变，乙车中途休息一段时间，继续行驶．下图表示甲、乙两车之间的距离（）与时间（）的函数关系．下列结论正确的是（    ） A．甲车行驶与乙车相遇 B．，两地相距 C．甲车的速度是 D．乙车中途休息分钟 【变式1】（2025·山西·一模）物理学知识表明，在液体深度一定时，液体压强与液体密度有关，液体密度越大，液体压强越大．小文用如图1的装置探究两种液体压强与液体深度关系时，画出了如图2所示的图象．根据图象，两种液体的密度与的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）小明喜欢用计算机软件研究数学问题，下图是他绘制的某个函数的部分图象，则该函数的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【考点3】一次函数图象的位置 【例3】（2024·四川·中考真题）在平面直角坐标系中，一次函数的图象不经过的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1】（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）已知点在第四象限，则一次函数的图象大致是（   ） A．B．C．D． 【变式2】（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）若，则直线一定经过第 限． 【考点4】一次函数图象的平移 【例4】（2023·湖南娄底·中考真题）将直线向右平移2个单位所得直线的表达式为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·陕西西安·一模）在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向左平移1个单位长度后经过原点，则一次函数的图象与x轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24九年级下·吉林松原·开学考试）如图，直线与轴、轴分别交于，两点，以为边在轴右侧作等边，将点向左平移，使其对应点恰好落在直线上，则点的坐标为 ． 【考点5】一次函数图象的增减性 【例5】（2023·江苏南通·中考真题）已知一次函数，若对于范围内任意自变量的值，其对应的函数值都小于，则的取值范围是 ． 【变式1】（2025·浙江·模拟预测）函数的图象上有两点．若，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（22-23八年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图所示，以长方形ABCD的边AD的中点为原点建立平面直角坐标系，且AD位于x轴上，AB=CD=2，AD=BC=4，过定点P（0，2）和动点Q（a，0）的直线解析式为y=kx+2． （1）若PQ经过点D，则k ． （2）若PQ与长方形ABCD的边有公共点，且函数y随x的增大而增大，则k的取值范围为 ． 【考点6】比较一次函数的大小 【例6】（2022·湖南邵阳·中考真题）在直角坐标系中，已知点，点是直线上的两点，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级上·安徽安庆·期中）已知直线过点和点，则和的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 【变式2】（23-24八年级下·山东聊城·期末）一次函数 与 的图象如图所示， ①随x的增大而减小 ②函数的图象不经过第二象限 ③ ④ 以上结论正确的是 . 【考点7】求一次函数的解析式 【例7】（2023·山东·中考真题）一辆汽车在行驶过程中，其行驶路程（千米）与行驶时间（小时）之间的函数关系如图所示．当时，与之间的函数表达式为；当时，与之间的函数表达式为 ．    【变式1】（24-25八年级上·湖北十堰·期末）六个边长为的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，已知点是其中一个正方形的顶点，经过点的一条直线将这六个正方形分成面积相等的两部分，则直线的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如图，直线与轴，轴分别交于，两点，点在该直线上，点为线段的中点，为线段上一动点，则当的值最小时，点的坐标为 ． 【考点8】一次函数与方程不等式 【例8】（2023·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且平行于x轴的线交于点C． （1）求该函数的解析式及点C的坐标； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值且小于4，直接写出n的值． 【变式1】（2025·陕西西安·二模）如图，一次函数与的图象如图所示．则下列结论正确的是（    ） A．在一次函数中，的值随着值的增大而增大 B．方程的解为 C． D．方程组的解为 【变式2】（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，已知直线与直线的交点横坐标为．根据图象有下列四个结论，①：②：③方程的解是；④不等式的解集是．其中正确的结论有 ． 【考点9】一次函数图象与坐标轴交点 【例9】（2021·湖南永州·中考真题）如图，A，B两点的坐标分别为，在x轴上找一点P，使线段的值最小，则点P的坐标是 ． 【变式1】（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，直线交坐标轴于点A，B，将向x轴负半轴平移4个单位长度得，则图中阴影部分面积为（    ） A．14 B．16 C．18 D．20 【变式2】（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点、点，以点为圆心，为半径画弧与轴负半轴交于点，则线段的长为 ． 【考点10】一次函数与面积 【例10】（2022·辽宁阜新·中考真题）如图，平面直角坐标系中，在直线和轴之间由小到大依次画出若干个等腰直角三角形（图中所示的阴影部分），其中一条直角边在轴上，另一条直角边与轴垂直，则第个等腰直角三角形的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24八年级下·河南驻马店·期末）在平面直角坐标系中，若直线分别交轴，轴于，两点，是原点，则过的顶点或，且把分成面积相等的两部分的直线所对应的函数表达式为 ． 【变式2】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，直线的解析式为，与x轴交于点B，直线经过点，与直线交于点，且与x轴交于点A，在上存在一点P，使的面积是面积的，则P点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 【考点11】一次函数的应用 【例11】（2024·山东日照·中考真题）【问题背景】2024年4月23日是第18个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍． 【素材呈现】 素材一：有两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高； 素材二：用18000元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个； 素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的． 【问题解决】 （1）问题一：求出两种书架的单价； （2）问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案； （3）问题三：实际购买时，商家调整了书架价格，A种书架每个降价m元，B种书架每个涨价元，按问题二的购买方案需花费21120元，求m的值． 【变式1】（22-23七年级下·吉林长春·阶段练习）如图表示的是某公司一种产品30天的销售情况，其中图①是该产品日销售量y（件）与日期t（日）的函数图象，图②是该产品单件的销售利润w（元）与日期：t（日）的函数图象．下列结论错误的是（　　） A．第25天的销售量为200件 B．第6天销售一件产品的利润是19元 C．第20天和第30天的日销售利润相等 D．第18天的日销售利润高于第25天的日销售利润 【变式2】（2023·北京丰台·二模）甲地组织20辆汽车装运食品、药品、生活用品三种物资共100吨到乙地．每辆汽车可装运物资的运载量和每吨所需运费如下表． 物资种类 食品 药品 生活用品 每辆汽车运载量/吨 6 5 4 每吨所需运费/元 120 160 100 如果20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种物资且必须装满，每种物资至少装运1辆车，那么总运费最少的车辆安排方案为：装运食品、药品、生活用品的汽车辆数依次是 ，此时总运费为 元． 【考点12】一次函数与几何综合 【例12】（2024·江苏南通·中考真题）平面直角坐标系中，已知，．直线（k，b为常数，且）经过点，并把分成两部分，其中靠近原点部分的面积为，则k的值为 ． 【变式1】（24-25八年级下·河南南阳·期中）如图，一次函数的图象分别与坐标轴交于点，，M为y轴上一点．把线段沿直线翻折，点A的对应点为C．当点C刚好落在x轴上时，点M的坐标为 ． 【变式2】（2025·河北保定·一模）如图，直线与坐标轴交于点，，直线经过点，与交于点，点的横坐标为1． （1）求直线的解析式． （2）点是线段上一点，过点作垂直于轴的直线，分别与轴和直线交于点，．设点的横坐标为． ①当时，求点的坐标； ②若，求线段的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.12 一次函数（中考常考点分类专题）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分 考点目录 【考点1】函数自变量取值范围.....................................................1; 【考点2】函数图象中获取信息.....................................................3； 【考点3】一次函数图象的位置.....................................................5； 【考点4】一次函数图象的平移.....................................................7； 【考点5】一次函数图象的增减性...................................................9； 【考点6】比较一次函数的大小....................................................11； 【考点7】求一次函数的解析式....................................................13； 【考点8】一次函数与方程不等式..................................................16； 【考点9】一次函数图象与坐标轴交点..............................................19； 【考点10】一次函数与面积.......................................................22； 【考点11】一次函数的应用.......................................................26； 【考点12】一次函数与几何综合...................................................30； 第二部分【考点展示与方法点拨】 【考点1】函数自变量取值范围 【例1】（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）在函数中，自变量x的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查函数自变量取值范围，分别根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式求解即可． 解：根据题意得，，且， 解得，， 故答案为：． 【变式1】（23-24九年级下·河南驻马店·阶段练习）与函数自变量取值范围相同的函数是（    ） A．函数 B．函数 C．函数 D．函数 【答案】D 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，分式有意义的条件．熟练掌握函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，分式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件判断题干函数与各选项中函数的自变量取值范围，然后作答即可． 解：由题意知，函数自变量取值范围为，即； A中函数自变量取值范围为，即，故不符合要求； B中函数自变量取值范围为取所有实数，故不符合要求； C中函数自变量取值范围为，即，故不符合要求； D中函数自变量取值范围为，即，故符合要求； 故选：D． 【变式2】（23-24八年级上·全国·单元测试）在周长为的等腰三角形中，底边长为，腰长为，则关于的函数解析式为 ，定义域为 ． 【答案】 【分析】本题考查根据实际问题列函数解析式，根据等腰三角形周长公式及三角形三边关系求解即可． 解：∵在周长为的等腰三角形中，底边长为，腰长为， ∴，整理得， 由等腰三角形可得， ∴，解得， ∴关于的函数解析式为，定义域为， 故答案为：，． 【考点2】函数图象中获取信息 【例2】（2024·山东威海·中考真题）同一条公路连接，，三地，地在，两地之间．甲、乙两车分别从地、地同时出发前往地．甲车速度始终保持不变，乙车中途休息一段时间，继续行驶．下图表示甲、乙两车之间的距离（）与时间（）的函数关系．下列结论正确的是（    ） A．甲车行驶与乙车相遇 B．，两地相距 C．甲车的速度是 D．乙车中途休息分钟 【答案】A 【分析】本题考查了函数图象，根据函数图象结合选项，逐项分析判断，即可求解． 解：根据函数图象可得两地之间的距离为（） 两车行驶了小时，同时到达地， 如图所示，在小时时，两车同向运动，在第2小时，即点时，两车距离发生改变，此时乙车休息， 点的意义是两车相遇，点意义是乙车休息后再出发， ∴乙车休息了1小时，故D不正确， 设甲车的速度为，乙车的速度为， 根据题意，乙车休息后两车同时到达地，则甲车的速度比乙车的速度慢， ∵ 即 在时，乙车不动，则甲车的速度是， ∴乙车休息前速度为，故C不正确， ∴的距离为千米，故B不正确， 设小时两辆车相遇，依题意得， 解得：即小时时，两车相遇，故A正确 故选：A． 【变式1】（2025·山西·一模）物理学知识表明，在液体深度一定时，液体压强与液体密度有关，液体密度越大，液体压强越大．小文用如图1的装置探究两种液体压强与液体深度关系时，画出了如图2所示的图象．根据图象，两种液体的密度与的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了函数图象和物理知识，正确从函数图象上获取所需信息成为解题的关键． 由图1可知液体1的压强大，然后根据在液体深度一定时，液体压强与液体密度有关，液体密度越大，液体压强越大解答即可． 解：由图1结合物理知识可得：液体1的压强大， ∵在液体深度一定时，液体压强与液体密度有关，液体密度越大，液体压强越大， ∴． 故选A． 【变式2】（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）小明喜欢用计算机软件研究数学问题，下图是他绘制的某个函数的部分图象，则该函数的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数图象的识别，根据函数图象的特征判断自变量不能取，再根据时，即可判断． 解：由函数图象可知，自变量不能取，B选项不符合题意； 当时，，可判断A符合题意，C、D不符合题意； 故选：A． 【考点3】一次函数图象的位置 【例3】（2024·四川·中考真题）在平面直角坐标系中，一次函数的图象不经过的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图像，掌握根据k，b的符号正确判断一次函数图象经过的象限是解题的关键．根据k，b的符号判断直线所经过的象限，然后确定必不经过的象限即可． 解：∵由已知，得：， ∴图象经过第一、二、三象限， ∴图象不经过第四象限． 故选：D． 【变式1】（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）已知点在第四象限，则一次函数的图象大致是（   ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与、的关系．解答本题注意理解：直线所在的位置与、的符号有直接的关系．时，直线必经过一、三象限；时，直线必经过二、四象限；时，直线与轴正半轴相交；时，直线过原点；时，直线与轴负半轴相交． 根据已知条件“点为第四象限内的点”推知、的符号，由它们的符号可以得到一次函数的图象所经过的象限． 解：点为第四象限内的点， ，， 一次函数的图象经过第一、二、四象限，观察选项，B选项符合题意，A、C、D选项不符合题意； 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）若，则直线一定经过第 限． 【答案】三，四 【分析】本题考查一次函数的性质，解题的关键是分类讨论思想的应用． 由，可得，当时，，直线经过一，三，四象限；当时，直线为经过二，三，四象限；即可得到答案． 解：∵， ，，， ， 当时，， ∴直线为，经过一，三，四象限； 当时，有， ， ∴直线为，经过二，三，四象限； 综上所述，直线一定经过第三，四象限； 故答案为：三，四． 【考点4】一次函数图象的平移 【例4】（2023·湖南娄底·中考真题）将直线向右平移2个单位所得直线的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接根据“左加右减，上加下减” 的平移规律求解即可. 解：将直线向右平移2个单位， 所得直线的解析式为， 即， 故选：B. 【点拨】本题考查一次函数图象与几何变换，在平面直角坐标系中，平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”. 【变式1】（2025·陕西西安·一模）在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向左平移1个单位长度后经过原点，则一次函数的图象与x轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，一次函数的性质，熟知“左加右减”的平移法则是解题的关键． 先根据题意得出函数图象向左平移1个单位长度后的解析式，再根据函数图象平移后经过原点求出m的值，进而可得出一次函数的解析式，据此可得出结论． 解：将一次函数的图象向左平移1个单位长度后的解析式为 ， ∵函数图象平移后经过原点， ∴当时，，即， 解得， ∴一次函数的解析式为， ∴当时，， 解得， ∴一次函数的图象与轴的交点坐标为． 故选：C． 【变式2】（23-24九年级下·吉林松原·开学考试）如图，直线与轴、轴分别交于，两点，以为边在轴右侧作等边，将点向左平移，使其对应点恰好落在直线上，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，坐标与图形变化平移，得出点纵坐标为是解题的关键．先求出直线与轴交点的坐标为，再由在线段的垂直平分线上，得出点纵坐标为，将代入，求得，即可得到的坐标． 解：直线与轴交于点， 时，得， ． 以为边在轴右侧作等边三角形， 在线段的垂直平分线上， 点纵坐标为． 将代入，得， 解得． ∴的坐标是． 故答案为：． 【考点5】一次函数图象的增减性 【例5】（2023·江苏南通·中考真题）已知一次函数，若对于范围内任意自变量的值，其对应的函数值都小于，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意和一次函数的性质可得到，然后求解即可． 解：一次函数， 随的增大而增大， 对于范围内任意自变量的值，其对应的函数值都小于， ， 解得． 故答案为：． 【点拨】本题主要考查一次函数的性质，明确题意，列出正确的不等式是解题的关键． 【变式1】（2025·浙江·模拟预测）函数的图象上有两点．若，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，掌握一次函数图象的增减性，分类讨论思想是关键． 根据一次函数图象的性质，分类讨论求解． 解：函数的图象上有两点， 当时，，随的增大而增大， ∵， ∴， ∴，符合题意； 当时，即，，随的增大而减小， ∴，， ∴， ∴，不符合题意； 当，时，，，若， ∴， 解得，， 综上所述，当时，， 故选：A ． 【变式2】（22-23八年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图所示，以长方形ABCD的边AD的中点为原点建立平面直角坐标系，且AD位于x轴上，AB=CD=2，AD=BC=4，过定点P（0，2）和动点Q（a，0）的直线解析式为y=kx+2． （1）若PQ经过点D，则k ． （2）若PQ与长方形ABCD的边有公共点，且函数y随x的增大而增大，则k的取值范围为 ． 【答案】 k≥1 【分析】（1）根据坐标系，矩形的性质，确定点D（2，0），代入解析式求解即可； （2）函数y随x的增大而增大，故k大于零，根据坐标系，矩形的性质，确定点A（-2，0），代入解析式求解即可． 解：（1）∵长方形ABCD的边AD的中点为原点建立平面直角坐标系，且AD位于x轴上，且AB=CD=2，AD=BC=4， ∴A（-2，0），D（2，0）， ∵过定点P（0，2）和动点Q（a，0）的直线解析式为y=kx+2， ∴2k+2=0， 解得k=-1， 故答案为：-1； （2）∵函数y随x的增大而增大， ∴k＞0， ∵PQ与矩形ABCD的边由公共点， ∴经过点A时，是直线k的最小值， ∴-2k+2=0， 解得k=1， ∴k≥1， 故答案为：k≥1． 【点拨】本题考查了坐标系的建立，矩形的性质，待定系数法确定解析式，一次函数的性质，熟练掌握矩形的性质，待定系数法，一次函数的增减性是解题的关键． 【考点6】比较一次函数的大小 【例6】（2022·湖南邵阳·中考真题）在直角坐标系中，已知点，点是直线上的两点，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】因为直线，所以随着自变量的增大，函数值会减小，根据这点即可得到问题解答． 解：∵因为直线， ∴y随着x的增大而减小， ∵32>， ∴ ∴m<n， 故选：A． 【点拨】此题考查了一次函数的图象和性质，解题的关键是正确判断一次函数的增减性并灵活运用． 【变式1】（24-25八年级上·安徽安庆·期中）已知直线过点和点，则和的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象性质．熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 由，可知随着的增大而减小，由，可得，然后作答即可． 解：∵， ∴随着的增大而减小， ∵， ∴， 故选：B． 【变式2】（23-24八年级下·山东聊城·期末）一次函数 与 的图象如图所示， ①随x的增大而减小 ②函数的图象不经过第二象限 ③ ④ 以上结论正确的是 . 【答案】①②③ 【分析】此题考查了一次函数交点问题，一次函数的性质，根据一次函数的图象及交点分别判断即可得到答案，正确理解函数图象是解题的关键． 解：由图象得过一，二，三象限；过二，三，四象限； ∴, ∴随x的增大而减小，故①正确； 函数的图象不经过第二象限，故②正确； ∵两图象交点横坐标为， ∴ ∴，故③正确； 当时，，故 ∴，故④错误； 故正确的是①②③． 【考点7】求一次函数的解析式 【例7】（2023·山东·中考真题）一辆汽车在行驶过程中，其行驶路程（千米）与行驶时间（小时）之间的函数关系如图所示．当时，与之间的函数表达式为；当时，与之间的函数表达式为 ．    【答案】 【分析】先把代入，求得，再设当时，与之间的函数表达式为，然后把，分别代入，得，求解得，即可求解． 解：把代入，得 ， 设当时，与之间的函数表达式为， 把，分别代入，得 ，解得：， ∴与之间的函数表达式为 故答案为：． 【点拨】本题考查函数的图象，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握用待定系数法求一次函数解析式是解题的关键． 【变式1】（24-25八年级上·湖北十堰·期末）六个边长为的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，已知点是其中一个正方形的顶点，经过点的一条直线将这六个正方形分成面积相等的两部分，则直线的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数点的坐标特征、待定系数法求一次函数的解析式、坐标与图形等内容，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 过点作轴，交轴于点，设直线与轴交于点，因为直线将这六个正方形分成面积相等的两部分，所以每一部分的面积是，根据求出，即，由题意得，根据、两点的坐标求出直线的函数表达式即可． 解：过点作轴，交轴于点，设直线与轴交于点， 直线将这六个正方形分成面积相等的两部分， 每一部分的面积是， ， ，， ，即， 由题意得， 设直线的函数表达式为，将，代入， 得， 解得， 直线的函数表达式为， 故选：A． 【变式2】（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如图，直线与轴，轴分别交于，两点，点在该直线上，点为线段的中点，为线段上一动点，则当的值最小时，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及轴对称中最短路径问题，根据一次函数解析式求出点A、B的坐标，再由中点坐标公式求出点C、D的坐标，根据对称的性质找出点的坐标，结合点C、的坐标求出直线的解析式，令即可求出x的值，从而得出点P的坐标． 解：作点D关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，此时值最小，最小值为，如图．    ∵点在上， ∴ 解得： ∴， ∴点B的坐标为； 令中，则，解得：， ∴点A的坐标为． ∵点D为线段的中点， ∴点． ∵点和点D关于x轴对称， ∴点的坐标为． 设直线的解析式为， ∵直线过点， ∴，解得， ∴直线的解析式为． 令，则，解得：， ∴点P的坐标为． 故答案为：． 【考点8】一次函数与方程不等式 【例8】（2023·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且平行于x轴的线交于点C． （1）求该函数的解析式及点C的坐标； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值且小于4，直接写出n的值． 【答案】（1），；（2）． 【分析】（1）利用待定系数法可求出函数解析式，由题意知点C的纵坐标为4，代入函数解析式求出点C的横坐标即可； （2）根据函数图象得出当过点时满足题意，代入求出n的值即可． 解：（1）解：把点，代入得：， 解得：， ∴该函数的解析式为， 由题意知点C的纵坐标为4， 当时， 解得：， ∴； （2）解：由（1）知：当时，， 因为当时，函数的值大于函数的值且小于4， 所以如图所示，当过点时满足题意， 代入得：， 解得：．      【点拨】本题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法的应用，一次函数图象上点的坐标特征，利用数形结合的思想是解题的关键． 【变式1】（2025·陕西西安·二模）如图，一次函数与的图象如图所示．则下列结论正确的是（    ） A．在一次函数中，的值随着值的增大而增大 B．方程的解为 C． D．方程组的解为 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，一次函数与二元一次方程组、一次函数与一元一次方程、一次函数与一元一次不等式的关系，利用数形结合是解题的关键． 根据一次函数的图象及性质，一次函数与二元一次方程组、与一元一次方程、与一元一次不等式的关系对各项判断即可解答． 解：A、由图象可知：的值随着值的增大而减小， 故A错误，不符合题意； B、一次函数的图象过点， ， ， ， 当时，， ∴， 方程的解为， 故B错误，不符合题意； C、直线过， ， ， ； 故C错误，不符合题意； D、由图象可知：方程组的解为， 故D正确，符合题意 故选：D． 【变式2】（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，已知直线与直线的交点横坐标为．根据图象有下列四个结论，①：②：③方程的解是；④不等式的解集是．其中正确的结论有 ． 【答案】①③ 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 由图象可知，故①正确，②错误；由直线与直线的交点横坐标为，得到方程的解是，故③正确；由图象可知，当时，直线在直线的上方，得到不等式的解集是，故④错误；即可得到答案． 解： 由图象可知， 故①正确，②错误； 直线与直线的交点横坐标为， 方程的解是， 故③正确； 由图象可知，当时，直线在直线的上方， 即， ， 不等式的解集是， 故④错误； 综上所述，正确的结论有：①③， 故答案为：①③． 【考点9】一次函数图象与坐标轴交点 【例9】（2021·湖南永州·中考真题）如图，A，B两点的坐标分别为，在x轴上找一点P，使线段的值最小，则点P的坐标是 ． 【答案】 【分析】连接点A，B交轴于点P，则 PA+PB的值最小，此时点P即为所求． 解：连接点A，B， 设直线AB的解析式为 点，点 解得 直线AB的解析式为 当时，则 解得 故答案为： 【点拨】本题考查了两线段之和的最值问题，待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点等知识，熟练掌握解题方法是解题关键． 【变式1】（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，直线交坐标轴于点A，B，将向x轴负半轴平移4个单位长度得，则图中阴影部分面积为（    ） A．14 B．16 C．18 D．20 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数与几何变换的综合．根据一次函数图象分别求出，，的长，根据平移可算出的长，根据点在一次函数图象上可算出点F的坐标，即求出的长，再根据，可得，求出梯形的面积即可． 解：直线交坐标轴于点A，B， 令，；令，； ，，即，， 向x轴负半轴平移4个单位长度得， ，，， 设、交于点F， 点F在直线的图象上，且点F的横坐标与点D的横坐标相同， 当时，， ，即， ， ， ，即图中阴影部分面积为18， 故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点、点，以点为圆心，为半径画弧与轴负半轴交于点，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理，熟练掌握以上知识点是关键． 根据一次函数图象上点的坐标特征解答即可． 解：在一次函数中， 当时，，当时，， ，， 由勾股定理得：， ， ， 故答案为： 【考点10】一次函数与面积 【例10】（2022·辽宁阜新·中考真题）如图，平面直角坐标系中，在直线和轴之间由小到大依次画出若干个等腰直角三角形（图中所示的阴影部分），其中一条直角边在轴上，另一条直角边与轴垂直，则第个等腰直角三角形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征，可得第个等腰直角三角形的直角边长，求出第个等腰直角三角形的面积，用同样的方法求出第个等腰直角三角形的面积，第个等腰直角三角形的面积，找出其中的规律即可求出第个等腰直角三角形的面积． 解：当时，， 根据题意，第个等腰直角三角形的直角边长为， 第个等腰直角三角形的面积为， 当时，， 第个等腰直角三角形的直角边长为， 第个等腰直角三角形的面积为， 当时，， 第个等腰直角三角形的直角边长为， 第个等腰直角三角形的面积为， 依此规律，第个等腰直角三角形的面积为， 故选：C． 【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征与规律的综合，涉及等腰直角三角形的性质，找出规律是解题的关键． 【变式1】（23-24八年级下·河南驻马店·期末）在平面直角坐标系中，若直线分别交轴，轴于，两点，是原点，则过的顶点或，且把分成面积相等的两部分的直线所对应的函数表达式为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式等，由得点，，然后分当直线经过点和中点时，当直线经过点和中点时，两种情况讨论即可，掌握待定系数法是解题的关键． 解：由得， 当时，；当时，； ∴点，， ∴过的顶点或，且把分成面积相等， 当直线经过点和中点时， 设解析式为， ∴，解得：， ∴解析式为； 当直线经过点和中点时， 设解析式为， ∴，解得：， ∴解析式为， 故答案为：或． 【变式2】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，直线的解析式为，与x轴交于点B，直线经过点，与直线交于点，且与x轴交于点A，在上存在一点P，使的面积是面积的，则P点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的性质、待定系数法求一次函数解析式．将代入得到，即可求出的值，得到，利用待定系数法求得直线的解析式；再求出点的坐标，求得；由题意得出或，分别代入中进行计算即可． 解：在中，当时，， ， 设直线的解析式为：， 将，代入得：， 解得：， 直线的解析式为； 在中，当时，， 解得：， ， 在中，当时，， 解得：， ， ， ； 的面积是面积的， ， ， ， 或， 当时，，解得：，即， 当时，，解得：，即， 综上所述，在上存在一点，使的面积是面积的，或． 故选：C． 【考点11】一次函数的应用 【例11】（2024·山东日照·中考真题）【问题背景】2024年4月23日是第18个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍． 【素材呈现】 素材一：有两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高； 素材二：用18000元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个； 素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的． 【问题解决】 （1）问题一：求出两种书架的单价； （2）问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案； （3）问题三：实际购买时，商家调整了书架价格，A种书架每个降价m元，B种书架每个涨价元，按问题二的购买方案需花费21120元，求m的值． 【答案】（1）1200元；1000元;（2）；购买A种书架8个，B种书架12个；（3）120 【分析】本题考查运用分式方程，一次函数，一元一次方程解决实际问题． （1）设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为元，用18000元购买A种书架个，用9000元购买B种书架个，根据素材二即可列出方程，求解并检验即可解答； （2）根据总费用＝A种书架的总费用＋B种书架的总费用即可列出函数，根据资料三求出自变量a的取值范围，再根据一次函数的增减性即可求出总费用的最小值； （3）根据总费用＝A种书架的总费用＋B种书架的总费用列出一元一次方程，求解即可解答． 解：（1）解：设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为元． 由题意得， 解得， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， ． 答：两种书架的单价分别为1200元，1000元． （2）解：购买a个A种书架时，购买总费用， 即， 由题意得，a应满足：，解得． ， ∴w随着a的增大而增大， 当时，w的值最小，最小值为， 费用最少时购买A种书架8个，B种书架12个． （3）解：由题意得 ， 解得． 【变式1】（22-23七年级下·吉林长春·阶段练习）如图表示的是某公司一种产品30天的销售情况，其中图①是该产品日销售量y（件）与日期t（日）的函数图象，图②是该产品单件的销售利润w（元）与日期：t（日）的函数图象．下列结论错误的是（　　） A．第25天的销售量为200件 B．第6天销售一件产品的利润是19元 C．第20天和第30天的日销售利润相等 D．第18天的日销售利润高于第25天的日销售利润 【答案】C 【分析】根据函数图象分别求出当，一件产品的销售利润w（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系为，当时，产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位；天）的函数关系为，根据日销售利润＝日销售量×一件产品的销售利润，即可进行判断． 解：A、根据图①可得第25天的销售量为200件， 故此选项正确，不符合题意； B、设当，一件产品的销售利润w（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系为， 把代入得： ， 解得：， ∴， 当时，， 故此选项正确，不符合题意； C、当时，设产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位；天）的函数关系为， 把代入得： ， 解得：， ∴， 当时，日销售利润为（元）； 当时，日销售利润为（元）， ∴第20天和第30天销售利润不相等， 故此选项错误，符合题意； D、当时，日销售利润为（元）， 当时，日销售利润为（元）． ∴第18天的日销售利润高于第25天的日销售利润， 故此选项正确，不符合题意． 故选：C． 【点拨】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是利用待定系数法求函数解析式． 【变式2】（2023·北京丰台·二模）甲地组织20辆汽车装运食品、药品、生活用品三种物资共100吨到乙地．每辆汽车可装运物资的运载量和每吨所需运费如下表． 物资种类 食品 药品 生活用品 每辆汽车运载量/吨 6 5 4 每吨所需运费/元 120 160 100 如果20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种物资且必须装满，每种物资至少装运1辆车，那么总运费最少的车辆安排方案为：装运食品、药品、生活用品的汽车辆数依次是 ，此时总运费为 元． 【答案】 【分析】设辆汽车装运食品，辆汽车装运药品，则装运生活用品的车辆数为， 根据三种物资共100吨列出等式，求出，再根据每种物资至少装运1辆车，求出的取值范围，最后列出总费用与的函数关系式，利用函数的性质即可解决问题． 解：设辆汽车装运食品，辆汽车装运药品，则装运生活用品的车辆数为， 由题意，得：， ∴． ∴． ∵每种物资至少装运1辆车， ∴． 解得：， 设总费用为，则 ， ∵， ∴随的增大而减小． ∵，且为整数， ∴当时，总费最少，最少费用为元． 此时． 故答案为：；． 【点拨】本题主要考查了一次函数的应用，用两个未知数表示出运送生活用品的车辆数是列出方程的关键，也是解决本题的突破点，利用一次函数的增减性求出最小值是本题的难点． 【考点12】一次函数与几何综合 【例12】（2024·江苏南通·中考真题）平面直角坐标系中，已知，．直线（k，b为常数，且）经过点，并把分成两部分，其中靠近原点部分的面积为，则k的值为 ． 【答案】/0.6 【分析】本题主要考查了一次函数的综合问题，根据题意画出图形，求待定系数法求出的解析式，再根据直线经过点，求出，联立两直线求出点D的坐标，再根据靠近原点部分的面积为为等量关系列出关于k的等式，求解即可得出答案． 解：根据题意画出图形如下， 设直线的解析式为：， 把，代入， 可得出：， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵直线经过点， ∴， ∴， ∴直线， 联立两直线方程：， 解得：， ∴ ∵，， ∴，， 根据题意有：， 即， ， 解得：, 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级下·河南南阳·期中）如图，一次函数的图象分别与坐标轴交于点，，M为y轴上一点．把线段沿直线翻折，点A的对应点为C．当点C刚好落在x轴上时，点M的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查一次函数与几何图形的综合，涉及坐标与图形、两点坐标距离公式、折叠性质等知识，分点M在y轴的正半轴上和点M在y轴的负半轴上两种情况，利用坐标与图形性质、勾股定理求解即可． 解：如图1，当点M在y轴的正半轴上时． 把线段沿直线翻折，点C正好落在x轴上，则有，． ∵，， ∴，． ∴， ∴， ∴点C的坐标为． 设点M的坐标为，则，． ∵， ∴，解得， ∴点M的坐标为； 如图2，当点M在y轴的负半轴上时，． 设点M的坐标为，则，． ∵， ∴，解得， ∴点M的坐标为． 综上所述，点M的坐标为或， 故答案为：或． 【变式2】（2025·河北保定·一模）如图，直线与坐标轴交于点，，直线经过点，与交于点，点的横坐标为1． （1）求直线的解析式． （2）点是线段上一点，过点作垂直于轴的直线，分别与轴和直线交于点，．设点的横坐标为． ①当时，求点的坐标； ②若，求线段的长． 【答案】（1）；（2）①；②2 【分析】本题主要考查了利用待定系数法求一次函数，以及一次函数的性质，熟练掌握一次函数的图像和性质是解题的关键． （1）设直线的解析式为，求出，将，代入即可得到答案； （2）①求出，将代入，得，即可得到答案； ②由题意，得．若，则，求出和，即可得到答案． 解：（1）解：设直线的解析式为． 将代入直线的解析式，得， ； 直线经过点，， 解得 直线的解析式为； （2）解：①当时，， ． 将代入，得， 解得， ； ②由题意，得． 若，则， 解得， ． 令，解得， ， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$