专题4.13 一次函数与几何综合（4大考点12类题型）（题型梳理与分类讲解）-2024-2025学年八年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（湘教版）

专题4.13 一次函数与几何综合（4大考点12类题型）（题型梳理与分类讲解） 一次函数与几何综合是初中数学的重要内容，通常结合函数图象、平面直角坐标系、几何图形的性质进行考查，本专题梳理出以下考点和题型，供参考使用！ 第一部分 题型与题型目录 【考点一】一次函数与几何图形结合的基本题型 【题型1】求几何图形点的坐标..........................................................1; 【题型2】一次函数与平移、平行、垂直位置关系..........................................2； 【题型3】一次函数与图形面积..........................................................3； 【考点二】一次函数与动态几何结合 【题型4】一次函数与动点问题..........................................................4； 【题型5】一次函数与对称变换（折叠问题）..............................................5； 【题型6】一次函数与平移问题..........................................................6； 【题型7】一次函数与旋转问题..........................................................6； 【考点三】一次函数与特殊几何图形结合 【题型8】一次函数与特殊三角形........................................................7； 【题型9】一次函数与平行四边形........................................................8； 【题型10】一次函数与特殊平行四边形...................................................9； 【考点四】一次函数与最值问题 【题型11】利用函数性质求最值问题....................................................10； 【题型12】利用将军饮马求最值问题....................................................11； 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】一次函数与几何图形结合的基本题型 【题型1】求几何图形点的坐标 【例1】（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，平面直角坐标系中，，，A、C分别在x轴的正、负半轴上．过点C的直线绕点C旋转，交y轴于点D，交线段于点E． （1）直接写出A、C的坐标； （2）写出直线的解析式； （3）若与的面积相等，求点E的坐标． 【变式1】（24-25八年级下·辽宁大连·开学考试）如图，直线与轴，轴的交点分别为点，以为边，在第二象限内作正方形，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·河南濮阳·一模）如图，两座城市和在平面直角坐标系中的坐标为、，铁路所在的直线为，计划在铁路上修建一个站点，使站点到两城市的距离和最小，则站点的坐标为 ． 【题型2】一次函数与平移、平行、垂直关系 【例2】（2025·北京大兴·一模）在平面直角坐标系中，将函数的图象向上平移2个单位得到的直线经过点． （1）求k与b的值； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出的取值范围． 【变式1】（22-23八年级下·湖北十堰·期末）我们知道：若两条直线与垂直，则．如图，已知点到直线的距离是，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·山东青岛·期末）在平面直角坐标系中，将直线向上平移4个单位，将直线向左平移6个单位，平移后的两条直线相交于点，则点的坐标为 ； 【题型3】一次函数与图形面积 【例3】（24-25七年级下·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴，轴分别交于点，点，与直线：交于点，直线交轴于点． （1）求的值及直线的函数表达式； （2）求四边形的面积． 【变式1】（24-25八年级上·全国·期末）8个边长为2的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线将这8个正方形分成面积相等的两部分，则该直线的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·山东·期末）已知直线交轴于点，交轴于点，点是轴正半轴上的一点，连接．当的面积等于4时，直线的表达式为 ． 【考点二】一次函数与动态几何结合 【题型4】一次函数与动点问题 【例4】（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）如图，一次函数的图象与x轴交于点B，y轴交于点图象交于点，平面的角坐标系内有一动点P在线段和射线上运动． （1）求正比例函数的表达式； （2）求的面积； （3）是否存在点P，使的面积是的面积的？若存在，求此时点P的坐标；若不存在．请说明理由． 【变式1】（22-23八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，直线与直线交于点A，两条直线与轴的交点分别为C和B，若动点不在的内部，则的取值范围为（    ）    A． B． C．或 D．或 【变式2】（24-25八年级上·河南郑州·期中）如图，一次函数的图象与轴交于点与轴交于点，是轴上一动点，连接，将沿所在的直线折叠，当点落在轴上时，点的坐标为 ． 【题型5】一次函数与对称变换（折叠问题） 【例5】（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，已知点B的坐标为． （1）请用直尺（不带刻度）和圆规作一条直线，它与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和点C，使与关于直线对称．（作图不必写作法，但要保留作图痕迹．）此时A点坐标为 ；C点坐标为 ． （2）若作一条直线，它与x轴和y轴的正半轴分别交于点D、E，使，且与的面积相等．此时直线的函数表达式为 ． 【变式1】（23-24八年级上·山西太原·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形是长方形，，将沿直线折叠，此时点A落在点D处，与交于点E，且，则所在直线的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级下·湖北荆州·阶段练习）在平面直角坐标系中，四边形为矩形，在x轴正半轴上，在y轴正半轴上，且，点E在上，连接，将沿折叠，使点A恰好落在边上的点F处，则直线的表达式为 ． 【题型6】一次函数与平移问题 【例6】（24-25九年级上·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交点A的横坐标为2，将直线沿轴向下平移4个单位长度，得到直线，直线与轴交于点B，与直线交于点C，点C的纵坐标为．直线与轴交于点D． （1）求点A与点C的坐标； （2）求的面积． 【变式1】（2025·陕西咸阳·一模）在平面直角坐标系中，将一次函数（为常数）的图象向上平移2个单位长度后恰好经过原点，若点在一次函数的图象上，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·上海·阶段练习）已知直线l经过和，把直线l沿x轴向左平移2个单位，再向下平移一个单位得到直线，则直线的解析式为 ． 【题型7】一次函数与旋转问题 【例7】（2025八年级下·全国·专题练习）如图1，等腰直角三角形中，，过点A作交于点D，过点B作交于点E，易得，我们称这种全等模型为“k型全等”．如图2，在直角坐标系中，直线分别与y轴，x轴交于点A、． （1）求k的值和点A的坐标； （2）在第二象限构造等腰直角，使得，求点E的坐标； （3）将直线绕点A旋转得到，求的函数表达式． 【变式1】（2024·浙江宁波·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知在第一象限内的点，，．若将点和点分别绕点按逆时针方向旋转得到点和点，设直线对应的函数解析式为．若，则和满足的关系是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x，y轴于点A，B，将直线绕点B按顺时针方向旋转，交x轴于点C，则直线的函数表达式为 ． 【考点三】一次函数与特殊几何图形结合 【题型8】一次函数与特殊三角形 【例8】（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）直线经过点，与y轴交于点B，与x轴交于点A． （1）求直线的函数表达式，以及点A和点B的坐标； （2）若y轴上有一点Q，且使得是以为腰的等腰三角形，求点Q坐标． 【变式1】（24-25八年级上·江西景德镇·期中）如图，直角三角形的两直角边、分别与x轴、y轴平行，且，顶点A的坐标为，若某正比例函数的图象经过点B，则此正比例函数的表达式为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，过点B的直线交x轴与点若点D在直线上，且是以为腰的等腰三角形，点D的坐标 ． 【题型9】一次函数与平行四边形 【例9】（24-25八年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，直线与直线，x轴分别交于点，． （1）求直线的表达式． （2）若D，E分别是直线和y轴上的动点，是否存在点D，E，使得以A，B，D，E为顶点，为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1】（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴和y轴分别相交于A，B两点，已知x轴上的点C坐标为，以，为邻边构造平行四边形，则直线和直线的距离是（     ） A．10 B．8 C． D． 【变式2】（23-24八年级下·广西河池·期末）如图，直线的解析式为分别与轴交于两点，点的坐标为，过点的直线交轴正半轴于点，且，在轴下方存在点，使以点为顶点的四边形为平行四边形，则点D的坐标为 ．    【题型10】一次函数与特殊平行四边形 【例10】（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，直线l：与x轴，y轴分别交于点A、B． （1）直接写出A、B两点的坐标． （2）点P是第一象限内直线l上一点，点P的横坐标为m，过点P分别作轴于点M，轴于点N，得矩形，当矩形的一边长是另一边长的2倍时，求m的值． 【变式1】（24-25八年级上·湖北十堰·期末）六个边长为的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，已知点是其中一个正方形的顶点，经过点的一条直线将这六个正方形分成面积相等的两部分，则直线的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图1，动点从菱形的点出发，沿边匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为的长为与的函数图象如图2所示，请你结合图象分析，函数图象位于低点时，对应的值为 ． 【考点四】一次函数与最值问题 【题型11】利用函数性质求最值问题 【例11】（2025·山东淄博·一模）已知关于的二元一次方程组． （1）若，求的值； （2）若均为非负数，求的取值范围； （3）已知，在（2）的条件下，求的最大值和最小值． 【变式1】（2021·江苏南通·二模）我们记函数的最大值为，函数的最小值为，已知函数的，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23八年级下·江苏南通·阶段练习）已知整数x满足，，，对于任意一个x，m都取、中的最大值，则m的最小值是 ． 【题型12】利用将军饮马求最值问题 【例12】（24-25八年级上·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，点、分别在轴和轴上，已知点，以为直角边在左侧作等腰直角，． （1）当点在轴正半轴上，且时， ①求解析式； ②求点坐标； （2）当点在轴上运动时，连接，求的最小值及此时点坐标． 【变式1】（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点是线段的中点，点是轴上的一个动点，连接，以为直角边，点为直角顶点作等腰直角，连接．则长度的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D．3 【变式2】（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图所示，已知点，直线与两坐标轴分别交于、两点，、分别是，上的动点，则周长的最小值是 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.13 一次函数与几何综合（4大考点12类题型）（题型梳理与分类讲解） 一次函数与几何综合是初中数学的重要内容，通常结合函数图象、平面直角坐标系、几何图形的性质进行考查，本专题梳理出以下考点和题型，供参考使用！ 第一部分 题型与题型目录 【考点一】一次函数与几何图形结合的基本题型 【题型1】求几何图形点的坐标..........................................................1; 【题型2】一次函数与平移、平行、垂直位置关系..........................................5； 【题型3】一次函数与图形面积..........................................................8； 【考点二】一次函数与动态几何结合 【题型4】一次函数与动点问题.........................................................11； 【题型5】一次函数与对称变换（折叠问题）.............................................16； 【题型6】一次函数与平移问题.........................................................21； 【题型7】一次函数与旋转问题.........................................................23； 【考点三】一次函数与特殊几何图形结合 【题型8】一次函数与特殊三角形.......................................................28； 【题型9】一次函数与平行四边形.......................................................32； 【题型10】一次函数与特殊平行四边形..................................................36； 【考点四】一次函数与最值问题 【题型11】利用函数性质求最值问题....................................................40； 【题型12】利用将军饮马求最值问题....................................................42； 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】一次函数与几何图形结合的基本题型 【题型1】求几何图形点的坐标 【例1】（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，平面直角坐标系中，，，A、C分别在x轴的正、负半轴上．过点C的直线绕点C旋转，交y轴于点D，交线段于点E． （1）直接写出A、C的坐标； （2）写出直线的解析式； （3）若与的面积相等，求点E的坐标． 【答案】（1）、；（2）；（3） 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，坐标与图形的性质，三角形的面积等知识点，数形结合是解此题的关键． （1）根据，求解即可； （2）用待定系数法即可求出直线的解析式； （3）推出和的面积相等，根据面积公式求出E的纵坐标． 解：（1）解：∵，， ∴， ∴，； （2）解：设直线的解析式为． ∴ 解得 ∴直线的解析式为； （3）解：∵， ∴， 即， ∵点E在线段上， ∴点E在第一象限，且， ∴ ∴ 把代入直线的解析式得：   ∴ ∴． 【变式1】（24-25八年级下·辽宁大连·开学考试）如图，直线与轴，轴的交点分别为点，以为边，在第二象限内作正方形，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线的关系式可求出点A、点B的坐标，即可得的长，证明得，，可得出点C的坐标． 解：如图，过点C作轴，垂足为N． ∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点， ∴，， 即，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴点． 故选：A． 【点拨】本题考查正方形的性质，一次函数图象与坐标轴的交点，全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质，证明是解答本题的关键．． 【变式2】（2025·河南濮阳·一模）如图，两座城市和在平面直角坐标系中的坐标为、，铁路所在的直线为，计划在铁路上修建一个站点，使站点到两城市的距离和最小，则站点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，待定系数法求一次函数的解析式，求两直线的交点坐标，两点之间，线段最短等．熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．先确定点关于直线对称的点的坐标，连接与直线的交点即为点，再求出直线的解析式，联立方程组，求出两直线的交点坐标即可． 解：作点关于直线对称的点，连接，如图： ∵点与点关于直线对称， ∴， 故， 当点、、三点共线时，的值最小，最小值为线段的长， 即点是与直线的交点； ∵点关于直线对称点坐标为， ∴点关于直线对称的点的坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入解析式，得， 解得：， ∴直线的解析式为； ∵点是直线与直线的交点， 故联立方程组， 解得：， 即点的坐标为． 故答案为：． 【题型2】一次函数与平移、平行、垂直关系 【例2】（2025·北京大兴·一模）在平面直角坐标系中，将函数的图象向上平移2个单位得到的直线经过点． （1）求k与b的值； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，熟知一次函数的性质是解题的关键． （1）先根据直线向上平移 2 个单位得出，再将点代入，求出的值即可； （2）根据点结合一次函数的性质即可求得． 解：（1）解：∵将函数的图象向上平移 2 个单位得到的直线， ∴， ∵一次函数的图象经过点， ∴， ∴． （2）解：把代入，得， 把点代入，得． ∵当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值， ∴的取值范围是． 【变式1】（22-23八年级下·湖北十堰·期末）我们知道：若两条直线与垂直，则．如图，已知点到直线的距离是，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得直线一定过，进而得，由垂线段最短得垂直于直线，进而利用待定系数法求得直线：，从而根据两直线垂直时，一次项系数的关系即可得解． 解：如图，    ∵对于，当时，， ∴直线一定过， ∵， ∴， ∵点到直线的距离是， ∴由垂线段最短可得垂直于直线， 设直线：， ∵过点，， ∴， 解得， ∴直线：， ∵两条直线与垂直，则， ∴直线为：， 解得， 故选B． 【点拨】本题主要考查了垂线段最短，待定系数法求解一次函数，求函数值，熟练掌握待定系数法求解一次函数是解题的关键． 【变式2】（24-25八年级上·山东青岛·期末）在平面直角坐标系中，将直线向上平移4个单位，将直线向左平移6个单位，平移后的两条直线相交于点，则点的坐标为 ； 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，两条直线相交或平行问题．根据平移的规律顶点平移后两直线的解析式，进一步即可求得交点坐标． 解：将直线向向上平移4个单位，得到直线， 将直线向左平移6个单位得到直线，即， 联立得， 解得， ， ∴点A的坐标为． 故答案为：． 【题型3】一次函数与图形面积 【例3】（24-25七年级下·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴，轴分别交于点，点，与直线：交于点，直线交轴于点． （1）求的值及直线的函数表达式； （2）求四边形的面积． 【答案】（1），直线的解析式为；（2）四边形的面积为13 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征． （1）将代入可得，从而得出点C的坐标，再根据待定系数法即可求出一次函数解析式； （2）过点作轴于点，根据一次函数图象上点的坐标特征求出的值，令，即可求出点D的坐标，即可得出，再将四边形分成一个三角形和一个梯形，分别求面积即可得出答案． 解：（1）解：∵直线：过点， ， 解得，， ， 把点，代入直线：中， ， 解得， 直线的解析式为：； （2）如图1所示，过点作轴于点， ，， ，，，则， 直线：交轴于点， 令，则， ，则， ， 四边形的面积为13． 【变式1】（24-25八年级上·全国·期末）8个边长为2的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线将这8个正方形分成面积相等的两部分，则该直线的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了待定系数法求一次函数的解析式以及正方形的性质．根据题意得到直角三角形的面积，利用三角形的面积公式求出的长是解题的关键．设直线l和八个正方形的最上面交点为A，过A作轴于B，作轴于C，易知，利用三角形的面积公式和已知条件求出A的坐标即可得到该直线l的解析式． 解：设直线l和八个正方形的最上面交点为A，过A作轴于B，作轴于C， ∵正方形的边长为2， ∴， ∵经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分， ∴两边面积分别是， ∴面积是， ∴， ∴， 由此可知直线l经过， 设直线l解析式为， 则，解得：， ∴直线l解析式为， 故选：A． 【变式2】（24-25九年级上·山东·期末）已知直线交轴于点，交轴于点，点是轴正半轴上的一点，连接．当的面积等于4时，直线的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形、一次函数与几何的综合、求函数解析式等知识点，确定点的坐标是解题的关键．先求得，，设点的坐标为，则，再根据的面积等于4求得，即；然后运用待定系数法求解即可． 解：由条件可知，， 设点的坐标为，则， 的面积等于4， ，解得：或（不合题意，舍弃）， ， 设直线的解析式为， 则， 解得：， 直线的表达式为． 故答案为：． 【考点二】一次函数与动态几何结合 【题型4】一次函数与动点问题 【例4】（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）如图，一次函数的图象与x轴交于点B，y轴交于点图象交于点，平面的角坐标系内有一动点P在线段和射线上运动． （1）求正比例函数的表达式； （2）求的面积； （3）是否存在点P，使的面积是的面积的？若存在，求此时点P的坐标；若不存在．请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在点P，P的坐标为或或 【分析】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积等知识． （1）用待定系数法可得正比例函数的表达式为； （2）求出，，，即可得； （3）分两种情况：当P在上时，设，，当P在射线上时，设，，解方程可得答案． 解：（1）解：把代入得：， 解得， ∴正比例函数的表达式为； （2）解：把代入得：， 解得， ∴， 令得， ∴， ∴， ∴， 即的面积为12； （3）解：存在点P，使的面积是的面积的， 当P在上时，设， ∵的面积是的面积的， ∴， 解得， ∴； 当P在射线上时，设， ∵的面积是的面积的， ∴， 解得或， ∴或， 综上所述，P的坐标为或或． 【变式1】（22-23八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，直线与直线交于点A，两条直线与轴的交点分别为C和B，若动点不在的内部，则的取值范围为（    ）    A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】先求得动点在的内部，根据函数的图象，可列出不等式组求解． 解：当动点在的内部时， ∴列不等式组， 解得：或， ∴点不在的内部，则m的取值范围为或． 故选：D． 【点拨】本题是两条直线相交问题，考查了一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，根据题意得到关于m的不等式组是解题的关键． 【变式2】（24-25八年级上·河南郑州·期中）如图，一次函数的图象与轴交于点与轴交于点，是轴上一动点，连接，将沿所在的直线折叠，当点落在轴上时，点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，折叠的性质，勾股定理的应用；分两种情况讨论：当点落在轴正半轴上处时，在中，，当点落在轴负半轴上处时，连结，在中， ，求出，即可求解． 解：∵的图象与轴交于点与轴交于点， 当时，， 当时，， ∴， ∴， ∴， 设， 如图1，当A点落在y轴正半轴上处时，连接， ∵与关于对称， ∴， ∴， ∵， 在中，， ∴， ∴； 如图2，当A点落在y轴负半轴上处时，连结， 由对称可得，， ∴， 在中， ， ∴， ∴； 综上所述：C点坐标为或， 故答案为：或． 【题型5】一次函数与对称变换（折叠问题） 【例5】（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，已知点B的坐标为． （1）请用直尺（不带刻度）和圆规作一条直线，它与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和点C，使与关于直线对称．（作图不必写作法，但要保留作图痕迹．）此时A点坐标为 ；C点坐标为 ． （2）若作一条直线，它与x轴和y轴的正半轴分别交于点D、E，使，且与的面积相等．此时直线的函数表达式为 ． 【答案】（1）图见分析，，；（2）或 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、求一次函数解析式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）作线段的垂直平分线，与轴和轴的正半轴分别交于点和点，直线即为所求，作轴于，轴于，则四边形为矩形，由线段垂直平分线的性质可得，，设，，有点B的坐标为，得出，，再由勾股定理计算即可得解； （2）分两种情况，再结合待定系数求一次函数的解析式即可得解． 解：（1）解：如图，直线即为所求， 作轴于，轴于， 则， ∴四边形为矩形， ∵垂直平分， ∴，， 设，， ∵点B的坐标为， ∴，， 由勾股定理得：，， 解得：，， ∴，； 故答案为：，； （2）解：如图：作线段的线段垂直平分线交轴于点，交轴于点，则直线即为所求， 由线段垂直平分线的性质可得，， ∵， ∴， ∴，与的面积相等， 由（1）可得，， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 如图，作轴于，轴于，则四边形为矩形， ∴，与的面积相等， 此时，， 同理可得直线的解析式为； 综上所述直线的解析式为或； 故答案为：或． 【变式1】（23-24八年级上·山西太原·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形是长方形，，将沿直线折叠，此时点A落在点D处，与交于点E，且，则所在直线的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、翻折变换、勾股定理，设点E的坐标为，则，，利用勾股定理即可求出m值，再根据点E的坐标，利用待定系数法即可求出OD所在直线的解析式．利用勾股定理求出点E的坐标是解题的关键． 解：∵四边形是长方形，， ∴， 设点E的坐标为，则，， 在中，，， ∴， ∴， ∴点E的坐标为， 设所在直线的解析式为， 将点代入中， 得，解得：， ∴所在直线的解析式为． 故选C． 【变式2】（23-24八年级下·湖北荆州·阶段练习）在平面直角坐标系中，四边形为矩形，在x轴正半轴上，在y轴正半轴上，且，点E在上，连接，将沿折叠，使点A恰好落在边上的点F处，则直线的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，一次函数解析式等知识．熟练掌握矩形与折叠，勾股定理，一次函数解析式是解题的关键． 由矩形，，可得，，，由折叠的性质可知，，，由勾股定理得，，则，，设，则，由勾股定理得，，可求，则，待定系数法求直线的表达式即可． 解：∵矩形，， ∴，，， 由折叠的性质可知，，， 由勾股定理得，， ∴，， 设，则， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴， 设直线的表达式为， 将，代入得，， 解得，， ∴， 故答案为：． 【题型6】一次函数与平移问题 【例6】（24-25九年级上·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交点A的横坐标为2，将直线沿轴向下平移4个单位长度，得到直线，直线与轴交于点B，与直线交于点C，点C的纵坐标为．直线与轴交于点D． （1）求点A与点C的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1）A的坐标为，点C的坐标为；（2）16 【分析】（1）把点A的横坐标代入中，求得点A的纵坐标，得到点A的坐标；由平移得的解析式，则可求得直线与y轴的交点B的坐标，将点C的纵坐标代入中求得x的值，从而求得点C的坐标； （2）待定系数法求出直线的解析式为，则可求得点D的坐标，根据点B的坐标得，由三角形面积公式即可求解． 解：（1）解：把代入，得， ∴A的坐标为． ∵将直线沿y轴向下平移4个单位长度，得到直线， ∴直线的解析式为， ∴时，， ∴． 将代入，得， ∴点C的坐标为． （2）解：设直线的解析式为， ∵直线过、， ∴，解得，      ∴直线的解析式为； ∵， ∴时，， ∴． ∵， ∴，       ∴的面积． 【点拨】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，直线与坐标轴的交点，直线上点的坐标特征，求直线围成的图形面积，一次函数图象的平移等知识．正确求出直线的解析式是解题的关键． 【变式1】（2025·陕西咸阳·一模）在平面直角坐标系中，将一次函数（为常数）的图象向上平移2个单位长度后恰好经过原点，若点在一次函数的图象上，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的平移，掌握一次函数的图象和性质是解题关键．根据一次函数的平移规律，得到平移后的解析式为，再根据平移后的图象过原点，求出，再把点代入一次函数求解即可． 解：将一次函数为常数的图象向上平移2个单位长度后得到，且经过原点， ， ， ， 点在一次函数的图象上， ， 故选：C． 【变式2】（24-25八年级下·上海·阶段练习）已知直线l经过和，把直线l沿x轴向左平移2个单位，再向下平移一个单位得到直线，则直线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的平移，先求出直线l的解析式，再根据一次函数平移规律即可解答． 解：设直线l的解析式为， ∵直线l经过和，则， 解得：， ∴直线l的解析式为， 把直线l沿x轴向左平移2个单位，再向下平移一个单位得到直线， 则直线的解析式为， 故答案为：． 【题型7】一次函数与旋转问题 【例7】（2025八年级下·全国·专题练习）如图1，等腰直角三角形中，，过点A作交于点D，过点B作交于点E，易得，我们称这种全等模型为“k型全等”．如图2，在直角坐标系中，直线分别与y轴，x轴交于点A、． （1）求k的值和点A的坐标； （2）在第二象限构造等腰直角，使得，求点E的坐标； （3）将直线绕点A旋转得到，求的函数表达式． 【答案】（1），点；（2）点E的坐标为；（3）或 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质，正确利用模型是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）过点C作轴交于点F，证明，据此即可求解； （3）当直线绕点A顺时针旋转得到时，过点B作交直线于点C，过点C作轴交于点D，证明，求得，利用待定系数法即可求解；当直线绕点A逆时针旋转得到时，同理可求． 解：（1）解：将点B的坐标代入得：， 解得：， 则该函数的表达式为：， 令，则； ∴， 即，点 （2）解：过点E作轴交于点F， ∵， ∴由K型全等模型可得， ∴，则， ∴点E的坐标为； （3）解：当直线绕点A顺时针旋转得到时， 过点B作交直线于点C，过点C作轴交于点D， ∵， ∴， ∴由K型全等模型可得， ∵与x轴的交点， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴； 当直线绕点A逆时针旋转得到时， 同理可得； 综上所述：直线的解析式为或． 【变式1】（2024·浙江宁波·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知在第一象限内的点，，．若将点和点分别绕点按逆时针方向旋转得到点和点，设直线对应的函数解析式为．若，则和满足的关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在平面直角坐标系中画出点、、的大致坐标，将点和点分别绕点按逆时针方向旋转得到点和点，根据图形观察，计算点和点的坐标，根据一次函数的解析式，把和点的坐标代入中，可得到含有字母，，的两个关系式，分别表示出的值，代换并整理后可得和的关系． 解：由题意得：， 将点绕点按逆时针方向旋转得到点的坐标为：． 作于点，于点．   ，，． 将点绕点按逆时针方向旋转得到点， ，． ， ． ． ，． 点的坐标为：． 直线对应的函数解析式为，， ． ． ． ， ． 故选：C． 【点拨】本题考查一次函数的图象与性质，一次函数的解析式，旋转的性质，三角形全等判定与性质，得到点和点分别绕点按逆时针方向旋转后的坐标是解决本题的关键． 【变式2】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x，y轴于点A，B，将直线绕点B按顺时针方向旋转，交x轴于点C，则直线的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数与几何的综合，全等三角形的性质与判定，熟练掌握一次函数与几何的综合及全等三角形的性质与判定是解题的关键．根据已知条件得到，，求得，，过A作交于F，过F作轴于E，得到，根据全等三角形的性质得到，求得，设直线的函数表达式为：，解方程组于是得到结论． 解：∵一次函数的图象分别交x、y轴于点A、B， ∴令，得，令，则， ∴，， ∴，， 过A作交于F，过F作轴于E， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， 设直线的函数表达式为：， ∴, 解得， ∴直线的函数表达式为：， 故答案为：． 【考点三】一次函数与特殊几何图形结合 【题型8】一次函数与特殊三角形 【例8】（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）直线经过点，与y轴交于点B，与x轴交于点A． （1）求直线的函数表达式，以及点A和点B的坐标； （2）若y轴上有一点Q，且使得是以为腰的等腰三角形，求点Q坐标． 【答案】（1）；，；（2），，． 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的判定，正确求出k的值是解题的关键， （1）根据待定系数法即可求得k的值，求得直线的解析式，然后根据坐标轴上点的坐标特征求得A、B的坐标； （2）根据等腰三角形的性质，分两种情况讨论，由勾股定理即可求得Q的坐标． 解：（1）∵将点代入直线中，得 ． 解得． ∴直线的表达式为． ∵直线与y轴交于点B，与x轴交于点A， 令，则． 解得， ∴点的坐标为． 令，则， ∴点的坐标为． （2）∵，， ∴． ∵点在轴上，设点的坐标为． 情况一：当时，，即． 解得， ∵， ∴． 情况二：当时，． 则或． 当时， 解得， ∴ ；当时， 解得， ∴． ∴综上所述：点Q坐标为，，． 【变式1】（24-25八年级上·江西景德镇·期中）如图，直角三角形的两直角边、分别与x轴、y轴平行，且，顶点A的坐标为，若某正比例函数的图象经过点B，则此正比例函数的表达式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求正比例函数的解析式，正确求出点的坐标是解题关键．先求出点的坐标，再利用待定系数法求解即可得． 解：∵直角三角形的两直角边与轴平行，且，顶点的坐标为， ∴， 又∵直角三角形的两直角边与轴平行，且， ∴， 设这个正比例函数的表达式为， 将点代入得：， 解得， 则这个正比例函数的表达式为， 故选：A． 【变式2】（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，过点B的直线交x轴与点若点D在直线上，且是以为腰的等腰三角形，点D的坐标 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特点，待定系数法求函数解析式以及等腰三角形的存在性；解题的关键是熟练掌握点与函数图象的关系．由题意易得点A、B的左边，然后可得直线的解析式，进而可分当时，此时D与B重合，求得D点坐标；当时，如图，D点在的垂直平分线上，求得此时D点的横坐标，代入的表达式求得纵坐标即可． 解：直线与x轴、y轴分别交于A、B两点， 令即，解得， 令得， 即点A坐标为，点B坐标为， ∴，， 设过点、的直线解析式为， 则有：， 解得：， ∴直线的表达式； 当时，此时D与B重合， ∴D点坐标为， 当时，如图，D点在的垂直平分线上， 此时D点的横坐标为：， 将代入， 解得， ∴D点坐标为， 故D点坐标为或； 故答案为或． 【题型9】一次函数与平行四边形 【例9】（24-25八年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，直线与直线，x轴分别交于点，． （1）求直线的表达式． （2）若D，E分别是直线和y轴上的动点，是否存在点D，E，使得以A，B，D，E为顶点，为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在，或 【分析】本题是一次函数综合题，考查待定系数法求函数的解析式，一次函数的图象及性质，平行四边形的性质，分类讨论是解题的关键． （1）由待定系数法求直线的解析式即可； （2）设，，再分两种情况讨论：当为平行四边形对角线时；当为平行四边形的对角线时；利用平行四边形对角线互相平分的性质求解即可． 解：（1）设直线的表达式为， ∵直线与直线，x轴分别交于点，， ∴解得 ∴直线的表达式为； （2）解：存在. ∵与x轴交于点B， ∴. 设，， ①当为平行四边形的对角线时， ∵，， ∴解得 ∴； ②当为平行四边形的对角线时， ∵，， ∴ 解得 ∴. 综上所述，点D的坐标为或． 【变式1】（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴和y轴分别相交于A，B两点，已知x轴上的点C坐标为，以，为邻边构造平行四边形，则直线和直线的距离是（     ） A．10 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】求解，，可得，求解平行四边形的面积为，过作于，再利用等面积法列方程求解即可． 解：如图，∵直线与x轴和y轴分别相交于A，B两点， ∴，， ∴， ∵点C坐标为， ∴， ∴平行四边形的面积为， 过作于， ∴， 解得：， ∴直线和直线的距离是为； 故选D 【点拨】本题考查的是平行四边形的性质，一次函数与坐标轴的交点坐标，二次根式的除法运算，等面积法的运用，熟练的利用等面积法求解平行四边形的高是解本题的关键． 【变式2】（23-24八年级下·广西河池·期末）如图，直线的解析式为分别与轴交于两点，点的坐标为，过点的直线交轴正半轴于点，且，在轴下方存在点，使以点为顶点的四边形为平行四边形，则点D的坐标为 ．    【答案】 【分析】此题考查了一次函数和四边形综合题，坐标与图形，平行四边形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 首先求出直线的解析式为，得到，然后求出，然后画出图形根据平行四边形的性质求解即可． 解：∵直线的解析式为分别与轴交于两点， ∴将代入得， ∴ ∴ ∴当时， ∴ ∵点的坐标为， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵在轴下方存在点，使以点为顶点的四边形为平行四边形， ∴如图所示，四边形为平行四边形    ∵，， ∴设D点坐标为 ∴， ∴， ∴点D的坐标为． 故答案为：． 【题型10】一次函数与特殊平行四边形 【例10】（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，直线l：与x轴，y轴分别交于点A、B． （1）直接写出A、B两点的坐标． （2）点P是第一象限内直线l上一点，点P的横坐标为m，过点P分别作轴于点M，轴于点N，得矩形，当矩形的一边长是另一边长的2倍时，求m的值． 【答案】（1）；（2）或 【分析】本题主要考查了一次函数图象与坐标轴交点问题，矩形的性质，点到坐标轴的距离，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）分别令直线l：中，代入计算即可； （2）根据题意可得，得到，分或，解方程即可． 解：（1）解：令，则， 将代入线，则， ∴； （2）解：由题意得：， ∵轴，轴， ∴， ∵矩形的一边长是另一边长的2倍， ∴或， ∴或， 解得：或． 【变式1】（24-25八年级上·湖北十堰·期末）六个边长为的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，已知点是其中一个正方形的顶点，经过点的一条直线将这六个正方形分成面积相等的两部分，则直线的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数点的坐标特征、待定系数法求一次函数的解析式、坐标与图形等内容，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 过点作轴，交轴于点，设直线与轴交于点，因为直线将这六个正方形分成面积相等的两部分，所以每一部分的面积是，根据求出，即，由题意得，根据、两点的坐标求出直线的函数表达式即可． 解：过点作轴，交轴于点，设直线与轴交于点， 直线将这六个正方形分成面积相等的两部分， 每一部分的面积是， ， ，， ，即， 由题意得， 设直线的函数表达式为，将，代入， 得， 解得， 直线的函数表达式为， 故选：A． 【变式2】（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图1，动点从菱形的点出发，沿边匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为的长为与的函数图象如图2所示，请你结合图象分析，函数图象位于低点时，对应的值为 ． 【答案】或 【分析】结合图象，得到当时，，当点运动到点时，，根据菱形的性质，得，继而得到，当点运动到或时，函数图象位于低点，利用面积法求出的长，从而可求出点的运动路程． 解：由图象可得：当时，， 当点运动到点时，， 菱形， ， ， ， 当点运动到时，函数图象位于低点，如图， ∵ ∴ 解得：， ∴； 当点运动到时，函数图象位于低点，如图， 同理可得， ∴， ∴． 综上，函数图象位于低点时，对应的值为或． 故答案为：或． 【点拨】本题考查了菱形的性质，动点函数的图象，勾股定理，熟练掌握菱形的性质，从函数的图象获取信息是解题的关键． 【考点四】一次函数与最值问题 【题型11】利用函数性质求最值问题 【例11】（2025·山东淄博·一模）已知关于的二元一次方程组． （1）若，求的值； （2）若均为非负数，求的取值范围； （3）已知，在（2）的条件下，求的最大值和最小值． 【答案】（1）；（2）；（3）的最大值，的最小值 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，整式的加减及一次函数的性质，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先求出，得到，求解即可； （2）解方程组得到，得到，且，计算即可得到答案； （3）求出，根据一次函数的性质求得的最大值，的最小值． 解：（1）解：关于的二元一次方程组， 将①＋②，得， ， ， ； （2）解：解关于的二元一次方程组，得 均为非负数， ，且， 的取值范围为； （3）解：， ， ∵， 随着的增大而增大， ， 的最大值，的最小值． 【变式1】（2021·江苏南通·二模）我们记函数的最大值为，函数的最小值为，已知函数的，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】函数在时，y随x的增大而减小，得到，，进而得出结论． 解：∵函数， 函数当时，y随x的增大而减小， ∴， ， ∴， 把代入（2）得：， 解得， 又∵， ∴， ∴， 综上所述， 故选：A． 【点拨】本题考查了一次函数的应用，利用函数的性质进行求解是解题的关键． 【变式2】（22-23八年级下·江苏南通·阶段练习）已知整数x满足，，，对于任意一个x，m都取、中的最大值，则m的最小值是 ． 【答案】2 【分析】联立两个函数的解析式，可求得两函数的交点为，在范围内，的函数值随x的增大而减小，的函数值随x的增大而增大，由此即可求解． 解：联立两函数的解析式，得：， 解得：，即两函数图象交点为，如图所示， 在范围内，由于的函数值随x的增大而减小，的函数值随x的增大而增大； ∴当时，；当时，； ∴m的最小值是2， 故答案为：2． 【点拨】本题考查的是一次函数的性质，根据题意画出函数图象，利用数形结合求解是解答此题的关键． 【题型12】利用将军饮马求最值问题 【例12】（24-25八年级上·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，点、分别在轴和轴上，已知点，以为直角边在左侧作等腰直角，． （1）当点在轴正半轴上，且时， ①求解析式； ②求点坐标； （2）当点在轴上运动时，连接，求的最小值及此时点坐标． 【答案】（1）①；②；（2）， 【分析】（1）①根据，，推出，所以；设直线的解析式为，将点的坐标代入即可求出解析式； ②过点作轴的平行线，分别过点、作轴的平行线，交于、．则，所以，，即； （2）由可知，点在直线上运动，作点关于直线的对称点，所以，的最小值为的长度，此时，即可求出坐标． 解：（1）解：①，， ， ， 设直线的解析式为， ， ， 解析式：； ②过点作轴的平行线，与分别过点、作轴的平行线交于、． 则， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ，， ； （2）解：由可知，在轴负半轴同理可说明） 点在直线上运动，设直线交轴于点M， 作点关于直线的对称点， ，， ． 当、C、在同一直线上时，的最小值为， ∵，，， ∴， ∴， 此时， ． 【点拨】本题主要考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，勾股定理，利用轴对称求最短线路．这里构造三角形全等找到点的运动轨迹是关键． 【变式1】（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点是线段的中点，点是轴上的一个动点，连接，以为直角边，点为直角顶点作等腰直角，连接．则长度的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】作轴且，连接，延长交轴于，求出点坐标为，点坐标为，得出，得出点，设点，则，证明得出，，得出，，三点共线，从而得到，得出，再由勾股定理表示出，即可得出答案． 解：如图，作轴且，连接，作轴于， ，直线与轴交于点，与轴交于点， 令，则，解得，令，， 点坐标为，点坐标为， ， 轴， ，， 点坐标为， 设点，则， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ，，三点横坐标相同，都为， ，，三点共线， ， ， 点是线段的中点， ， ， ， 当即时，最小，为， 的最小值为， 故选：D． 【点拨】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，综合程度较高，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【变式2】（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图所示，已知点，直线与两坐标轴分别交于、两点，、分别是，上的动点，则周长的最小值是 ． 【答案】 【分析】作点C关于的对称点，点C关于直线的对称点，连接，连接，可得由对称得：，，，轴，周长为，当点共线时，周长取得最小值为，再由两点之间距离公式即可求解． 解：如图，作点C关于的对称点，点C关于直线的对称点，连接，连接， ∵直线的解析式为， ∴，当， 解得：， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 由对称得：，， ∴，轴， ∴周长为， ∴当点共线时，周长取得最小值为， 而 故答案为：． 【点拨】本题考查了一次函数与几何综合，涉及一次函数与坐标轴的交点问题，两点之间线段最短，轴对称的性质，两点之间距离公式等． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$