专题1.2 直角三角形与折叠问题（8大类型）（全章题型梳理与分类讲解）-2024-2025学年八年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（湘教版）

专题1.2 直角三角形与折叠问题（8大类型）（全章题型梳理与分类讲解） 第一部分【题型目录】 【题型1】利用直角三角形两锐角互余解决折叠问题.........................................1 【题型2】利用斜边的中线等于斜边的一半解决折叠问题.....................................5 【题型3】利用含30度角的直角三角形三边关系解决折叠问题................................8 【题型4】利用勾股定理解决直角三角形中的折叠问题.......................................12 【题型5】利用勾股定理解决长方形中的折叠问题...........................................14 【题型6】利用全等的性质和HL综合解决折叠问题..........................................17 【题型7】利用角平分线的性质解决折叠问题...............................................21 【题型8】利用角平分线的判定解决折叠问题...............................................25 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】利用直角三角形两锐角互余解决折叠问题 【例1】（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，中，，，将其折叠，使点A落在边上处，折痕为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查图形的折叠变化及三角形的外角性质，直角三角形的性质．关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．解答此题的关键是要明白图形折叠后与折叠前所对应的角相等． 由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得，又折叠前后图形的形状和大小不变，，易求，从而求出的度数． 解：∵中，，， ∴， ∵将其折叠，使点A落在边上处，折痕为，则， ∴是的外角， ∴． 故选：D． 【变式1】（24-25八年级上·北京·期中）把一张长方形纸片沿对角线折叠，使折叠后的图形如图所示．若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，翻折的性质，直角三角形两个锐角互余．根据翻折的性质求出，根据两直线平行，内错角相等求出，再根据直角三角形两锐角互余求出即可． 解：如图，由题意，得，， ， ， ， ， 故选：B． 【变式2】（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在中，，，D、E分别在、上，将沿折叠得，且满足，则的度数为 ．    【答案】/56度 【分析】根据折叠的性质可得，从而求得，再根据平行线的性质可得，由直角三角形的性质求解即可． 解：由折叠的性质可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点拨】本题考查折叠的性质、平行线的性质、直角三角形的性质，熟练掌握折叠的性质得出是解题的关键． 【变式3】（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，中，，，将沿折叠，使点落在直角边上的点处，设与、边分别交于点、点，如果折叠后与均为等腰三角形，那么 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余、折叠的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题关键．连接，设，则，先求出，再根据等腰三角形的定义可得，根据折叠的性质可得，根据等腰三角形的性质可得，，然后根据三角形的外角性质、三角形的内角和定理求出的大小，从而可得，最后分两种情况：①和，根据等腰三角形的性质建立方程，解方程即可得． 解：如图，连接， 设，则， ∵在中，， ∴，即， ∴， ∵在中，，为等腰三角形， ∴， 由折叠的性质得：， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 则分以下两种情况： ①当时，为等腰三角形， ∴，即， 解得，符合题意， ∴； ②当时，为等腰三角形， ∴，即， 解得，符合题意， ∴； 综上，或， 故答案为：或． 【题型2】利用斜边的中线等于斜边的一半解决折叠问题 【例2】（22-23八年级上·浙江温州·期中）如图，是斜边上的高，将沿折叠，B点恰好落在的中点E处，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得到，从而得到，再由折叠的性质及三角形的外角性质得到，从而不难求得的度数． 解：∵在中，是斜边的中线， ∴， ∴， ∵是由折叠而成， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 【点拨】本题考查了直角三角形的性质，折叠的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握折叠的性质和直角三角形的性质是解决问题的关键． 【变式1】（2022·贵州黔西·中考真题）在如图所示的纸片中，，D是斜边AB的中点，把纸片沿着CD折叠，点B到点E的位置，连接AE．若，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知CD=BD=AD，根据折叠的性质可知∠B=∠DCB=∠DCE=∠EDC=，根据平行线的性质，可得出∠AED=∠EDC，根据等边对等角即可求得∠EAD的度数，最后=∠EAD-∠CAD即可求出． 解：∵D是斜边AB的中点，△ABC为直角三角形， ∴CD=BD=AD， ∵△CDE由△CDB沿CD折叠得到， ∴△CDE≌△CDB， 则CD=BD=AD=ED， ∴∠B=∠DCB=∠DCE=∠DEC=， ∴∠EDC=180°-2， ∵， ∴∠AED=∠EDC=180°-2， ∵ED=AD， ∴∠EAD=∠AED=180°-2， ∵∠B=，△ABC为直角三角形， ∴∠CAD=90°-， ∴=∠EAD-∠CAD=180°-2-（90°-）=90°-， 故选：B． 【点拨】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，折叠的性质，等腰三角形的性质以及直角三角形两个锐角互余，熟练地掌握相关知识是解题的关键． 【变式2】（23-24九年级下·山东临沂·阶段练习）如图，在四边形中，，．若将沿折叠，点与边的中点恰好重合，则四边形的周长为 ．    【答案】4 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质，直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．根据，，边的中点是，得到，根据沿折叠，点与边的中点恰好重合，得到，得到四边形的周长为，解答即可． 解：由，，边的中点为， ∴， ∵沿折叠，点与边的中点恰好重合， ∴， ∴四边形的周长为， 故答案为：4． 【变式3】（22-23八年级上·江苏泰州·期末）如图，直角三角形纸片中，，点是边上的中点，连接，将沿折叠，点落在点处，此时恰好有．若，那么折痕的长为 ．    【答案】 【分析】如图，设交于点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，由翻折的性质可知，再根据，可证明，可得，从而得到是等边三角形，由等边三角形的性质可得结论． 解：如图，设交于点， ∵，点是边上的中点， ∴， ∴， 由翻折的性质可知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴折痕的长为． 故答案为：．    【点拨】本题考查翻折变换，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握翻折变换的性质． 【题型3】利用含30度角的直角三角形三边关系解决折叠问题 【例3】（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）如图，在中，，，将沿折叠后得到，且点D在上，若，则的长为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质及含30度角的直角三角形的性质，掌握折叠的性质是解题的关键．先求出即可求出结论． 解：在中，，，， ， 沿折叠后得到， ， 故选：C ． 【变式1】（23-24八年级上·安徽·单元测试）如图所示，将矩形（四角都是直角）纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为，若，折痕，那么的长为（     ） A．5 B．5.5 C．6 D．6.5 【答案】C 【分析】由折叠的性质知，，、都是直角，则，求得，，进一步求得和，那么为等边三角形，即可得，，利用即可． 解：由折叠的性质知，，，、都是直角， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，则． ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∵， ∴，， 则， 故选∶C． 【点拨】本题考查图形的翻折变换、平行线的判定和性质、三角形内角和定理、等边三角形的判定和性质和含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是折叠的性质和角度之间关系的判断． 【变式2】（24-25七年级上·山东东营·期中）如图，三角形纸片中，，，．沿过点A的直线将纸片折叠（折痕为），使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，折痕交于点E（折痕为），则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，含角的直角三角形的性质，解题的关键是：熟练掌握折叠的性质．根据折叠的性质可得，，，即，再由角所对的直角边是斜边的一半，即可求解． 解：由折叠可知，，， ， 在中，，，， ， ， 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级上·浙江·期中）如图，点E在边上，点F在边上，将等边沿折叠，使点A落在边上的点D的位置，，若的长是1，则等边的边长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、翻折变换的性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，正确地求出BD的长或AE的长是解题的关键．设，则，求得，由折叠得，所以，求得，则，于是得到问题的答案． 解：设， ∵是等边三角形， ∴， ∵于点F，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由折叠得， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型4】利用勾股定理解决直角三角形中的折叠问题 【例4】（18-19八年级下·湖北宜昌·期中）在中，，，，D，E分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点B的对应点是． （1）如图1，如果点和顶点A重合，求的长． （2）如图2，如果点落在的中点上，求的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查折叠问题以及勾股定理，熟练掌握折叠的基本性质是解题关键； （1）设，则，在中，利用勾股定理列出方程解方程即可； （2）根据中点性质，先得到，在中，再利用勾股定理列出方程解方程即可． 解：（1）解：设，则． 由折叠可得：． 在中， 由， 得：， 解得：， 即的长为． （2）∵点落在的中点上， ． 设，则． 在中， 由， 得， 解得：， 即的长为． 【变式1】（24-25八年级上·重庆·期中）如图，在中，，，，将折叠，得到折痕，且顶点B恰好与点A重合，点C落在点F处，则的长为（　　）． A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，勾股定理及其逆定理的应用．连接，先证明是直角三角形，且，再证明是的垂直平分线，得到，设，则，利用勾股定理即可求解． 解：连接，如图； ，，， ，，， ， 是直角三角形，且， 由折叠的性质得：， 顶点B恰好与点A重合， ， 是的垂直平分线， ， 设，则， 在中，， ， , ， 故选：B． 【变式2】（24-25七年级上·江西萍乡·期末）如图，在中，，，，把沿折叠，使边与重合，点B落在边上的处，则折痕的长等于 ．    【答案】 【分析】此题重点考查勾股定理、轴对称的性质求线段的长度等知识与方法，熟练掌握这些基础知识点是解题的关键． 由勾股定理得，由折叠得，确定，设，则，利用勾股定理求解即可． 解：∵，，， ， ∴， ∵把沿折叠，使边与重合，点B落在边上的处， ， ∴， 设，则， ， 解得：， ∴， ∴ 故答案为：． 【题型5】利用勾股定理解决长方形中的折叠问题 【例5】（24-25八年级上·全国·期中）如图，将长方形沿着对角线折叠，使点落在处，交于点． （1）求证：； （2）若，，求的面积． 【答案】（1）证明见分析；（2） 【分析】（1）由折叠可知，，再由，得到，即可得到，于是由等腰三角形性质确定即可得证； （2）设，则，，在中，由勾股定理求出的值，再由三角形的面积公式求出面积的值． 解：（1）解：由折叠可知，， ， ， ， ； （2）解：设，则，， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， ． 【点拨】本题主要考查折叠性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理及解方程等知识，解答本题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定与勾股定理的知识． 【变式1】（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，折叠长方形纸片，使得点D落在边上的点F处，折痕为，已知，，则的长为（  ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，正确地求出CF的长是解题的关键．由折叠得，，由勾股定理得，求得，由即可求解． 解：由折叠得，， ，， ，， ， ， ， ， ， 解得， 故选： 【变式2】（24-25八年级上·辽宁阜新·阶段练习）如图，在长方形纸片中，，，点P在边上，将沿DP折叠，点C落在点E处，，分别交于点G，F，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换，勾股定理和全等三角形的判定与性质等知识，根据证明，，设，利用勾股定理得方程，求出x即可解决问题． 解：∵四边形是长方形， 由翻折的性质可知，， 在和中， ∴， ∴ ∵ ∴ 设，则 ∴， ，， ∴， ∴， 解得，， ∴， 故答案为：． 【题型6】利用全等的性质和HL综合解决折叠问题 【例6】（2020·山西·模拟预测）如图，在中，，点是的中点，将沿折叠后得到，过点作交的延长线于点.求证：． 【答案】证明见分析． 【分析】根据折叠的性质、平行线的性质、直角三角形全等的判定和性质进行推理即可得证结论． 解：证明：连接，如图： ∵是的中点 ∴ ∵将沿折叠后得到 ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ 在和中， ∴ ∴． 【点拨】本题考查了折叠的性质、平行线的性质、两直角三角形全等的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解决问题的关键． 【变式1】（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，长方形纸片中，，，M是上的点，且．将长方形纸片沿过点M的直线折叠，使点D落在边上的点P处，点C落在点Q处，折痕为，则线段的长是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查长方形的折叠问题，解题的关键是看到隐藏条件，学会利用翻折不变性解决问题．连接，证明即可得到，即可求解． 解：连接， ∵长方形纸片中，，， ∴， ∵， ∴， 由折叠性质可知：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【变式2】（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在中，，将沿折叠至，，连接，平分，则的度数是 ．（请用含有的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查的是翻折变换，等边三角形的判定和性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等，连接，过点作于E，于F，可得是等边三角形，得出，，运用可证得，得出，再运用三角形内角和定理即可求得答案． 解：如图，连接，过点作于E，于F， 则， 由折叠可知，，，， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ，， ∵平分， ∴， 又∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 【题型7】利用角平分线的性质解决折叠问题 【例7】（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）爱动脑筋的小明同学在学习完角平分线的性质一节后意犹未尽，经过思考发现里面还有一个有趣的结论： 【问题发现】 如图1所示，若AD是∠BAC的角平分线，可得到结论：． 小明的解法如下： 过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，过点A作AG⊥BC于点G， ∵AD是∠BAC的角平分线，且DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE=DF， ∴． 【类比探究】 如图2所示，若是的外角平分线，与的延长线交于点D，求证：； 【直接应用】 如图3所示，中，，平分交于D，若，求出的长． 【拓展应用】 如图4所示，在中，，将先沿的平分线折叠，B点刚好落在上的E点，剪掉重叠部分（即四边形），再将余下部分沿的平分线折叠，再剪掉重叠部分（即四边形），求出剩余部分的面积． 【答案】【类比探究】见分析；【直接应用】20；【拓展应用】． 【分析】本题是阅读理解题，主要考查了角平分线的性质的应用，翻折的性质，三角形的面积等知识 类比探究：过点作于N，过点D作于M．过点A作于点P．根据角平分线的性质得，再利用面积法可得结论； 直接应用：作于H，由角平分线的性质得，由勾股定理得，，可得答案； （4）由（1）可得，从而得出的面积，同理可求：，进而解决问题． 解：证明：过点作于N，过点D作于M．过点A作于点P． ∵平分， ∴. ∴， ， ∴； 直接应用：由（1）得， 设 在中，由勾股定理得， ， 解得 ∴. 拓展应用：∵， ∴， ∵将先沿的平分线折叠， ∴， ∴， 由（1）可得， ∴， ∴， 同理可求：， ∴， ∴. 【变式1】（22-23八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，若将沿DE折叠，使点B与点A重合，则折痕的长为（    ）    A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，折叠的性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，灵活运用角平分线的性质和直角三角形的性质是解题的关键． 根据直角三角形的两个锐角互余可得，根据折叠可得，根据直角三角形的性质可得，进而根据角平分线的性质求得，据此求解即可． 解：∵将折叠，使点B与点A重合， ∴，， 在中，， ，， , ∴平分， ∵，， ， ∴， ∵， ∴， ∴ 故选：A． 【变式2】（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）已知，直角三角形纸片中，，点D是线段上一个动点，将该纸片沿所在直线折叠，点A的对应点为点E，若点E在的边上，求 ．    【答案】或 【分析】分点在线段和在线段上，两种情况进行讨论求解． 解：∵， ∴， 当点在线段上时，如图：    ∵折叠， ∴垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴； 当点在线段上时，如图：过点作，    ∵翻折， ∴， ∴， ∴， ∴，即：， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上：或； 故答案为：或． 【点拨】本题考查三角形中的折叠问题，勾股定理．熟练掌握折叠的性质，勾股定理，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 【题型8】利用角平分线的判定解决折叠问题 【例8】（22-23九年级上·吉林长春·期末）将沿折叠，使点刚好落在边上的点处．展开如图1． 【操作观察】 （1）图1中，． ①则_________； ②若，则________； 【理解应用】 （2）如图2，若，试说明∶； 【拓展延伸】 （3）如图3，若，点为的中点，且．点是上的一个动点，连接、．的最小值为________； 【答案】（1）①；②；（2）见分析；（3） 【分析】（1）①由于翻折，故，所以－； ②由于翻折，故平分，故点到的距离等于点到的距离，即边上的高等于边上的高．再由三角形面积公式可知，，从而得到； （2）由于翻折，知，又因为，等量代换得，从而，整理代换即可； （3）根据“将军饮马模型知，的最小值为．再根据，，可推断出是含角的直角三角形，从而得到的长，得解． 解：（1）解：①翻折 ， ， － －－ ； 故答案为：； ②翻折， 平分， 点到的距离等于点到的距离，即边上的高等于边上的高 ∴由三角形面积公式可知，， 又∵， ∴． 故答案为：； （2）翻折 ， ，， 又， ， ， 又 ． （3）翻折 ， ，当点、 、共线时，有最小值为 的最小值为 ，， 是含角的直角三角形 ，即 ∴的最小值为48． 【点拨】本题考查了翻折的性质、角平分线的性质，轴对称求线段和最值问题，勾股定理，含度角的直角三角形的性质利用翻折得到全等三角形是解决本题的关键． 【变式】（21-22八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在中，，把折叠，使、两点重合，得到折痕，若，则 ． 【答案】30° 【分析】由折叠可知∠ADE=∠BDE=90°，∠A=∠ABE，根据角平分线的判定定理可知BE平分∠ABC，即可求解． 解：由题意可知，∠ADE=∠BDE=90°，∠A=∠ABE 又∵ ∴DE⊥AB，EC⊥BC 又 ∴BE平分∠ABC，即∠ABE=∠CBE ∵ABE+∠CBE+∠A=90° ∴∠ABE=∠CBE=∠A= 故答案为：30° 【点拨】本题考查了折叠的性质，角平分线的判定，解题的关键是熟练掌握角平分线的判定定理． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.2 直角三角形与折叠问题（8大类型）（全章题型梳理与分类讲解） 第一部分【题型目录】 【题型1】利用直角三角形两锐角互余解决折叠问题.........................................1 【题型2】利用斜边的中线等于斜边的一半解决折叠问题.....................................2 【题型3】利用含30度角的直角三角形三边关系解决折叠问题................................3 【题型4】利用勾股定理解决直角三角形中的折叠问题.......................................4 【题型5】利用勾股定理解决长方形中的折叠问题...........................................5 【题型6】利用全等的性质和HL综合解决折叠问题..........................................5 【题型7】利用角平分线的性质解决折叠问题...............................................6 【题型8】利用角平分线的判定解决折叠问题...............................................8 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】利用直角三角形两锐角互余解决折叠问题 【例1】（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，中，，，将其折叠，使点A落在边上处，折痕为，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级上·北京·期中）把一张长方形纸片沿对角线折叠，使折叠后的图形如图所示．若，则为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在中，，，D、E分别在、上，将沿折叠得，且满足，则的度数为 ．    【变式3】（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，中，，，将沿折叠，使点落在直角边上的点处，设与、边分别交于点、点，如果折叠后与均为等腰三角形，那么 ． 【题型2】利用斜边的中线等于斜边的一半解决折叠问题 【例2】（22-23八年级上·浙江温州·期中）如图，是斜边上的高，将沿折叠，B点恰好落在的中点E处，则等于（　　） A． B． C． D． 【变式1】（2022·贵州黔西·中考真题）在如图所示的纸片中，，D是斜边AB的中点，把纸片沿着CD折叠，点B到点E的位置，连接AE．若，，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24九年级下·山东临沂·阶段练习）如图，在四边形中，，．若将沿折叠，点与边的中点恰好重合，则四边形的周长为 ．    【变式3】（22-23八年级上·江苏泰州·期末）如图，直角三角形纸片中，，点是边上的中点，连接，将沿折叠，点落在点处，此时恰好有．若，那么折痕的长为 ．    【题型3】利用含30度角的直角三角形三边关系解决折叠问题 【例3】（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）如图，在中，，，将沿折叠后得到，且点D在上，若，则的长为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【变式1】（23-24八年级上·安徽·单元测试）如图所示，将矩形（四角都是直角）纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为，若，折痕，那么的长为（     ） A．5 B．5.5 C．6 D．6.5 【变式2】（24-25七年级上·山东东营·期中）如图，三角形纸片中，，，．沿过点A的直线将纸片折叠（折痕为），使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，折痕交于点E（折痕为），则的长是 ． 【变式3】（24-25八年级上·浙江·期中）如图，点E在边上，点F在边上，将等边沿折叠，使点A落在边上的点D的位置，，若的长是1，则等边的边长为 ． 【题型4】利用勾股定理解决直角三角形中的折叠问题 【例4】（18-19八年级下·湖北宜昌·期中）在中，，，，D，E分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点B的对应点是． （1）如图1，如果点和顶点A重合，求的长． （2）如图2，如果点落在的中点上，求的长． 【变式1】（24-25八年级上·重庆·期中）如图，在中，，，，将折叠，得到折痕，且顶点B恰好与点A重合，点C落在点F处，则的长为（　　）． A．4 B． C．5 D． 【变式2】（24-25七年级上·江西萍乡·期末）如图，在中，，，，把沿折叠，使边与重合，点B落在边上的处，则折痕的长等于 ．    【题型5】利用勾股定理解决长方形中的折叠问题 【例5】（24-25八年级上·全国·期中）如图，将长方形沿着对角线折叠，使点落在处，交于点． （1）求证：； （2）若，，求的面积． 【变式1】（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，折叠长方形纸片，使得点D落在边上的点F处，折痕为，已知，，则的长为（  ） A．3 B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·辽宁阜新·阶段练习）如图，在长方形纸片中，，，点P在边上，将沿DP折叠，点C落在点E处，，分别交于点G，F，若，则 ． 【题型6】利用全等的性质和HL综合解决折叠问题 【例6】（2020·山西·模拟预测）如图，在中，，点是的中点，将沿折叠后得到，过点作交的延长线于点.求证：． 【变式1】（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，长方形纸片中，，，M是上的点，且．将长方形纸片沿过点M的直线折叠，使点D落在边上的点P处，点C落在点Q处，折痕为，则线段的长是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式2】（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在中，，将沿折叠至，，连接，平分，则的度数是 ．（请用含有的代数式表示） 【题型7】利用角平分线的性质解决折叠问题 【例7】（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）爱动脑筋的小明同学在学习完角平分线的性质一节后意犹未尽，经过思考发现里面还有一个有趣的结论： 【问题发现】 如图1所示，若AD是∠BAC的角平分线，可得到结论：． 小明的解法如下： 过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，过点A作AG⊥BC于点G， ∵AD是∠BAC的角平分线，且DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE=DF， ∴． 【类比探究】 如图2所示，若是的外角平分线，与的延长线交于点D，求证：； 【直接应用】 如图3所示，中，，平分交于D，若，求出的长． 【拓展应用】 如图4所示，在中，，将先沿的平分线折叠，B点刚好落在上的E点，剪掉重叠部分（即四边形），再将余下部分沿的平分线折叠，再剪掉重叠部分（即四边形），求出剩余部分的面积． 【变式1】（22-23八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，若将沿DE折叠，使点B与点A重合，则折痕的长为（    ）    A． B．3 C． D． 【变式2】（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）已知，直角三角形纸片中，，点D是线段上一个动点，将该纸片沿所在直线折叠，点A的对应点为点E，若点E在的边上，求 ．    【题型8】利用角平分线的判定解决折叠问题 【例8】（22-23九年级上·吉林长春·期末）将沿折叠，使点刚好落在边上的点处．展开如图1． 【操作观察】 （1）图1中，． ①则_________； ②若，则________； 【理解应用】 （2）如图2，若，试说明∶； 【拓展延伸】 （3）如图3，若，点为的中点，且．点是上的一个动点，连接、．的最小值为________； 【变式】（21-22八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在中，，把折叠，使、两点重合，得到折痕，若，则 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$