专题1.1 直角三角形（4大知识点5大考点16类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年八年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（湘教版）

专题1.1 直角三角形（4大知识点5大考点16类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】直角三角形的性质和判定 1.直角三角形：有一个内角是直角的三角形。 三角形内角和等于180°。 三角形中线：连接三角形的一个顶点与它的对边中点的线段。 2.直角三角形的性质 （1）直角三角形的两个锐角互余。 （2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 （3）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 （4）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。 3.直角三角形的判定 （1）有两个角互余的三角形是直角三角形。 （2）如果三角形一边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 【知识点2】勾股定理 1.勾股定理：直角三角形两直角边a，b的平方和，等于斜边的c的平方，即a2＋b2=c2。 2.在直角三角形中，已知任意两条边长，可以根据勾股定理求出第三边的长。 3.如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。 【知识点3】直角三角形全等的判定 1.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）。 2.直角三角形全等的条件（A表示对应角相等、S表示对应边相等） 【知识点4】角平分线的性质 1.角平分线上的点到角的两边的距离相等。 2.角的内部到角的两边距离相等的点在叫的平分线上。 第一部分【题型目录】 知识点与题型目录 【知识点一】直角三角形的性质和判定（I） 【题型1】直角三角形的两个锐角互余.......................................2 【题型2】斜边的中线等于斜边的一半.......................................3 【题型3】含30度角的直角三角形.......................................4 【题型4】锐角互余的三角形是直角三角形................................4 【知识点二】直角三角形的性质和判定（Ⅱ） 【题型5】用勾股定理解三角形.......................................5 【题型6】勾股树（数）问题...........................................5 【题型7】勾股定理与折叠问题...........................................6 【题型8】勾股定理的证明方法..........................................7 【题型9】利用勾股定理求最值.........................................8 【题型10】利用勾股定理逆定理求解.............................................9 【知识点三】直角三角形全等的判定 【题型11】用HL证全等.......................................................10 【题型12】全等的性质与HL综合..............................................10 【知识点四】角平分线 【题型13】角平分线的性质定理...............................................11 【题型14】角平分线的判定定理................................................12 【知识点五】链接中考与拓展延伸 【题型15】链接中考..........................................................13 【题型16】拓展延伸..........................................................14 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】直角三角形的两个锐角互余 【例1】（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）如图，在中，是边上的高，，平分交于点E，，求的度数． 【变式1】（24-25八年级上·河南三门峡·期末）如图所示，在中，，是两条高，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知P是射线上一动点，．当的度数为 时，为直角三角形． 【题型2】斜边的中线等于斜边的一半 【例2】（24-25八年级上·全国·期末）如图，中，，，D为边上的中点，E为上的一动点（不与A、C点重合），过点D作的垂线交于点F．求证：． 【变式1】（2024·甘肃陇南·三模）如图，在中，，点D在上，且，点E和点F分别是和的中点，则的长是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2】（22-23八年级上·江苏扬州·期中）如图，中，，，点D为斜边的中点，连接，于点E，则为 度． 【题型3】含30度角的直角三角形 【例3】（24-25八年级上·安徽安庆·期末）如图，在中，，点D是上一点，过点D作交于点E，交延长线于点F． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【变式1】（24-25八年级上·山东滨州·期末）如图，在中，，D是上一点，连接，若，则的长为（    ） A．6 B．8 C．12 D．16 【变式2】（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，，将沿对折，使点B与点A重合，若，，则的长度是 ． 【题型4】锐角互余的三角形是直角三角形 【例4】（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）已知：如图，在中，于点，为上一点，且，．猜想与的关系，并说明理由． 【变式1】（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）下列条件：①；②；③；④；⑤，其中能确定是直角三角形的条件有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【变式2】（2024八年级上·全国·专题练习）裁剪师傅将一块长方形布料沿着折叠，使点落在边上的点处，若，则 ． 【题型5】用勾股定理解三角形 【例5】（24-25八年级上·河南南阳·期末）已知和都是等腰直角三角形，． （1）若D为内部一点，如图，吗？说明理由； （2）若D为边上一点，，，求的长． 【变式1】（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如果直角三角形的两条边长分别为2和3，那么它的第三条边长为（   ） A．4 B． C． D．或 【变式2】（24-25八年级上·浙江宁波·期末）已知，，，则的长为 ． 【题型6】勾股树（数）问题 【例6】（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）观察下列勾股数： ①3，4，5，且； ②5，12，13，且； ③7，24，25，且； ④9，b，c，且； … （1）请你根据上述规律，并结合相关知识求：______，______； （2）猜想第n组勾股数，并说明你的猜想正确． 【变式1】（24-25八年级上·全国·期末）有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上“生长”出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图所示的形状图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，“生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（    ） A．1012 B．2024 C．2025 D．2026 【变式2】（24-25八年级上·江苏徐州·期中）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25；…这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如6、8、10；8、15、17；…若此类勾股数的勾为12，则其弦是 ． 【题型7】勾股定理与折叠问题 【例7】（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，把长方形纸片沿折叠后，点D与点B重合，点C落在点的位置． （1）若，则______，______； （2）判断的形状，并说明理由； （3）若，，求的面积． 【变式1】（24-25七年级上·山东烟台·期末）如图，在四边形中，，E是上一点，将沿折叠，B，D两点恰好重合，则的长度为（   ）    A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级下·湖南岳阳·期末）如图，在中，．点D是边上的一动点（不与点B、C重合），过点D作交于点E，将沿直线翻折，点B落在射线上的点F处．当为直角三角形时，的长为 ． 【题型8】勾股定理的证明方法 【例8】（24-25八年级上·贵州毕节·期中）两个全等的直角三角形按如图1所示的方式摆放，连接，的三边长分别为，，，四边形的面积可以表示为或，从而可推导出． （1）将从图1的位置开始沿向左移动，直到点与点重合时停止（如图2），此时与相交于点，连接，，请利用图2证明勾股定理； （2）在图2的基础上，若四边形的面积为200，，求的长． 【变式1】（23-24八年级上·全国·课后作业）下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·山西·阶段练习）如图，由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，则4 个直角三角形面积+小正方形面积=大正方形面积， 即 + = ，化简得： ． 【题型9】利用勾股定理求最值 【例9】（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，在中，，，过点作，延长至点，使得，在平面上有一动点，使，连接，则的最小值为 ． 【变式1】（24-25八年级上·四川眉山·期末）如图，在中，，，平分，E是上的一个动点，F是边的中点，则的最小值是（   ） A． B．6 C． D． 【变式2】（24-25八年级上·天津西青·期末）如图，在中，，点是边上一个动点，连接． （Ⅰ）是否存在长度等于的线段？ ．（填“存在”或“不存在”）。 （Ⅱ）若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由． 【题型10】利用勾股定理逆定理求解 【例10】（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，△ABC中，，，边上的中线． （1）与互相垂直吗？为什么？ （2）求的长． 【变式1】1．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，在中，，，，将折叠，得到折痕，且顶点B恰好与点A重合，点C落在点F处，则的长为（　　）． A．4 B． C．5 D． 【变式2】（24-25九年级上·重庆开州·阶段练习）将绕点A顺时针旋转得到，并使C点的对应点D点落在直线BC上，连接BE，若，，，则AD的长为 ． 【题型11】用HL证全等 【例11】（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）如图，，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【变式1】（23-24八年级上·全国·单元测试）如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·北京东城·一模）在中，，点D在上，于点E，且，连接．若，则的度数为 ． 【题型12】全等的性质与HL综合 【例12】（24-25八年级上·安徽六安·期末）已知：如图，于为上一点，交于，，． （1）求证：； （2）若，，求． 【变式1】（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图所示，将两个完全相同的直尺按照下图位置放置，则的形状是（） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【变式2】（24-25八年级上·北京石景山·期末）如图，中，，点D在上，于点．若，，则 ． 【题型13】角平分线的性质定理 【例13】（24-25八年级上·湖北随州·期末）如图，在△ABC中，，点D在的延长线上，连接，平分交于点E，过点E作，垂足为点F，与相交于点G． （1）求证：为等腰三角形； （2）求证：． 【变式1】（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图，点F在射线上，，点E在的角平分线上，，．若，则的面积是（    ） A．4 B．8 C．16 D．18 【变式2】（24-25八年级上·安徽黄山·期末）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧；分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点． 若，，则的面积是 ． 【题型14】角平分线的判定定理 【例1】（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，与均为等腰直角三角形，连接，，相交于点． （1）求证：； （2）求的大小． （3）连接，求证：平分． 【变式1】（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，，，垂足分别为D，E，，相交于点O，，连接，若，则（　　） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级上·上海·期末）如图，在四边形中，，，垂足为点E．如果，，那么 ． 第二部分【链接中考与拓展延伸】 【题型15】链接中考 【例1】（2024·西藏·中考真题）如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线交于点F．已知，，则的长为 ． 【例2】（2023·四川甘孜·中考真题）如图，在中，，点在边上，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，．   （1）求证：； （2）若时，求的长； （3）点在上运动时，试探究的值是否存在最小值，如果存在，求出这个最小值；如果不存在，请说明理由． 【题型16】拓展延伸 【例1】（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在等边三角形的，边上分别取点，，使，连结，相交于点． （1）求的度数． （2）若，，求的长． （3）如图，连结，若，，求的长． 【例2】（24-25九年级上·天津西青·期末）在等边中，，垂足为点，点为直线上一动点，连接，以点为旋转中心，把线段顺时针旋转，得到线段，连接． （1）如图①，当点在线段上时，求证：． （2）如图②，当点在线段的延长线上时，连接，，若，求的大小． （3）若等边的边长是6，连接，在点运动过程中，直接写出线段的最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1 直角三角形（4大知识点5大考点16类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】直角三角形的性质和判定 1.直角三角形：有一个内角是直角的三角形。 三角形内角和等于180°。 三角形中线：连接三角形的一个顶点与它的对边中点的线段。 2.直角三角形的性质 （1）直角三角形的两个锐角互余。 （2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 （3）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 （4）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。 3.直角三角形的判定 （1）有两个角互余的三角形是直角三角形。 （2）如果三角形一边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 【知识点2】勾股定理 1.勾股定理：直角三角形两直角边a，b的平方和，等于斜边的c的平方，即a2＋b2=c2。 2.在直角三角形中，已知任意两条边长，可以根据勾股定理求出第三边的长。 3.如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。 【知识点3】直角三角形全等的判定 1.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）。 2.直角三角形全等的条件（A表示对应角相等、S表示对应边相等） 【知识点4】角平分线的性质 1.角平分线上的点到角的两边的距离相等。 2.角的内部到角的两边距离相等的点在叫的平分线上。 第一部分【题型目录】 知识点与题型目录 【知识点一】直角三角形的性质和判定（I） 【题型1】直角三角形的两个锐角互余.....................................2 【题型2】斜边的中线等于斜边的一半.....................................4 【题型3】含30度角的直角三角形.....................................6 【题型4】锐角互余的三角形是直角三角形...............................9 【知识点二】直角三角形的性质和判定（Ⅱ） 【题型5】用勾股定理解三角形......................................11 【题型6】勾股树（数）问题..........................................14 【题型7】勾股定理与折叠问题.........................................16 【题型8】勾股定理的证明方法........................................20 【题型9】利用勾股定理求最值.......................................22 【题型10】利用勾股定理逆定理求解.....................................26 【知识点三】直角三角形全等的判定 【题型11】用HL证全等.................................................29 【题型12】全等的性质与HL综合..........................................32 【知识点四】角平分线 【题型13】角平分线的性质定理............................................34 【题型14】角平分线的判定定理...........................................37 【知识点五】链接中考与拓展延伸 【题型15】链接中考......................................................41 【题型16】拓展延伸....................................................43 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】直角三角形的两个锐角互余 【例1】（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）如图，在中，是边上的高，，平分交于点E，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义，先求出，由三角形内角和定理得出，，再由角平分线的定义可得，从而得出，即可得解． 解：∵， ∴， ∵在中，是边上的高， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（24-25八年级上·河南三门峡·期末）如图所示，在中，，是两条高，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的高的定义，直角三角形两个锐角互余，三角形的外角的性质，掌握以上知识是解题的关键．根据直角三角形中的两个锐角互余求得：，根据三角形的外角性质可得，即可求解． 解： 在中，，是两条高，， ，， ， 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知P是射线上一动点，．当的度数为 时，为直角三角形． 【答案】或 【分析】本题考查了直角三角形的两锐角互余，分类讨论是解题的关键． 先分类讨论，根据直角三角形的两锐角互余即可求解． 解：依题意，为直角三角形时， 当为直角三角形时，； 当时，， 故答案为：或． 【题型2】斜边的中线等于斜边的一半 【例2】（24-25八年级上·全国·期末）如图，中，，，D为边上的中点，E为上的一动点（不与A、C点重合），过点D作的垂线交于点F．求证：． 【答案】证明见分析 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形全等的判定与性质等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．连接，先根据等腰三角形的三线合一、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，，，再证出，然后证出，根据全等三角形的性质即可得证． 解：证明：如图，连接， ∵中，，，为边上的中点， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【变式1】（2024·甘肃陇南·三模）如图，在中，，点D在上，且，点E和点F分别是和的中点，则的长是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形，直角三角形，解题的关键是熟练掌握三线合一，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 连接，根据等腰三角形的性质得，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半进行解答即可得． 解：如图，连接， ∵，点F是的中点， ∴，， ∵，点E是的中点， ∴， 故选：B． 【变式2】（22-23八年级上·江苏扬州·期中）如图，中，，，点D为斜边的中点，连接，于点E，则为 度． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质、等边对等角、三角形外角的定义及性质、三角形内角和定理，由直角三角形的性质可得，由等边对等角可得，由三角形外角的定义及性质可得，最后由三角形内角和定理计算即可得解． 解：∵中，，，点D为斜边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型3】含30度角的直角三角形 【例3】（24-25八年级上·安徽安庆·期末）如图，在中，，点D是上一点，过点D作交于点E，交延长线于点F． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2）7 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定及含30度直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定及含30度直角三角形的性质是解题的关键； （1）由题意易得，，，然后可得，进而问题可求证； （2）由题意易得，，然后可得是等边三角形，进而根据含30度直角三角形的性质可进行求解． 解：（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1】（24-25八年级上·山东滨州·期末）如图，在中，，D是上一点，连接，若，则的长为（    ） A．6 B．8 C．12 D．16 【答案】D 【分析】可得，，进而得出，得到，中，由，可求出，即可． 解：∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故选：D． 【点拨】本题考查了直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，直角三角形两锐角互余的性质，等角对等边的性质，三角形的外角性质，熟记这些性质是解题的关键． 【变式2】（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，，将沿对折，使点B与点A重合，若，，则的长度是 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，折叠的性质，等边对等角，三角形内角和定理．根据折叠的性质可得，推出，得到，根据三角形内角和定理求得，根据直角三角形的性质即可求解． 解：由折叠的性质可得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 在中，，， ∴， 故答案为：． 【题型4】锐角互余的三角形是直角三角形 【例4】（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）已知：如图，在中，于点，为上一点，且，．猜想与的关系，并说明理由． 【答案】,，理由见分析． 【分析】本题考查了三角形全等判定及性质，直角三角形的两锐角互余，垂直定义．通过证明，可得，进而得，进而得，从而即可得解． 解：，，理由如下： ∵ ∴ 又∵在和中， ∴（） ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）下列条件：①；②；③；④；⑤，其中能确定是直角三角形的条件有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的判定，三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和是和有两个角互余的三角形是直角三角形是解题的关键；根据直角三角形的判定，三角形的内角和定理逐项计算判定即可。 解：①，， ， ， 是直角三角形， 故本选项符合题意； ②， ， 是直角三角形， 故本选项符合题意； ③， ， 是直角三角形， 故本选项符合题意； ④，， ， 不是直角三角形， 故本选项不符合题意； ⑤， 设，则， ， ， 解得：， ， 不是直角三角形， 故本选项不符合题意； 能确定是直角三角形的条件有①②③，共有个， 故选：． 【变式2】（2024八年级上·全国·专题练习）裁剪师傅将一块长方形布料沿着折叠，使点落在边上的点处，若，则 ． 【答案】70 【分析】本题主要考查了折叠的性质，直角三角形的性质，掌握折叠的性质，直角三角形两锐角互余是解题的关键． 根据长方形的性质可求出，由折叠可得对应角相等可得，，由直角三角形两锐角互余即可求解． 解：∵， ， 由折叠的性质知，， ∴在中，， 故答案为：． 【题型5】用勾股定理解三角形 【例5】（24-25八年级上·河南南阳·期末）已知和都是等腰直角三角形，． （1）若D为内部一点，如图，吗？说明理由； （2）若D为边上一点，，，求的长． 【答案】（1），见分析；（2）25． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等腰直角三角形的性质可得，，，从而得出，证明即可得证； （2）由全等三角形的性质可得，，从而得出，再由勾股定理计算即可得解． 解：（1）解：． 理由如下：和都是等腰直角三角形， ，，， ，即， ， ； （2）解：如图， 由（1）可知：， ，， ， ． 【变式1】（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如果直角三角形的两条边长分别为2和3，那么它的第三条边长为（   ） A．4 B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理，分两种情况：①2和3为两条直角边；②3为斜边；再利用勾股定理进行求解即可． 解：①2和3为两条直角边时，由勾股定理得第三条边长为； ②3为斜边时，由勾股定理得第三条边长为； 即第三条边长为或， 故选：D． 【变式2】（24-25八年级上·浙江宁波·期末）已知，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是全等三角形性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质，牢记相关性质是解题关键，先证明是等边三角形，得出，作，分当垂足在延长线上或当垂足在上时，根据勾股定理分别求出即可． 解：，， 是等边三角形， ， 作，垂足为E，当垂足在延长线上时，如下图： ，， ， ， ， ； 当垂足在上时，如下图： ，， ， ， ， ； 综上所述，的长为， 故答案为：． 【题型6】勾股树（数）问题 【例6】（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）观察下列勾股数： ①3，4，5，且； ②5，12，13，且； ③7，24，25，且； ④9，b，c，且； … （1）请你根据上述规律，并结合相关知识求：______，______； （2）猜想第n组勾股数，并说明你的猜想正确． 【答案】（1）40；41；（2），，，见分析 【分析】此题考查勾股数有关的规律探究． （1）由规律可得，然后再由勾股定理得：，再计算即可； （2）认真观察三个数之间的关系：首先发现每一组的三个数为勾股数，第一个数为从3开始连续的奇数，第二、三个数为连续的自然数；进一步发现第一个数的平方是第二、三个数的和；最后得出第组数为，，，由此规律解决问题． 解：（1）解：由规律可得， 由勾股定理得：， ∴，解得， ∴， 故答案为：40，41； （2）解：根据规律设第组勾股数为：，，． ∴， 解得， ∴猜想第组勾股数为：，，． 证明：， ， ， 是整数， ，，，是一组勾股数． 【变式1】（24-25八年级上·全国·期末）有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上“生长”出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图所示的形状图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，“生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（    ） A．1012 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可． 解：如图，由题意得，正方形的面积为，由勾股定理得，正方形的面积正方形的面积为， “生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， “生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， …… “生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2025， 故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·江苏徐州·期中）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25；…这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如6、8、10；8、15、17；…若此类勾股数的勾为12，则其弦是 ． 【答案】37 【分析】本题考查勾股定理，根据勾为偶数，弦与股相差为2，设弦为，则：股为，利用勾股定理，列出方程进行求解即可． 解：设弦为，则：股为， 由勾股定理，得：， 解得：； 故答案为：37． 【题型7】勾股定理与折叠问题 【例7】（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，把长方形纸片沿折叠后，点D与点B重合，点C落在点的位置． （1）若，则______，______； （2）判断的形状，并说明理由； （3）若，，求的面积． 【答案】（1），；（2）是等腰三角形，见分析；（3） 【分析】此题考查了勾股定理、折叠的性质、等腰三角形的判定等知识． （1）根据平行线的性质和折叠的性质即可求出答案； （2）由折叠可知，由得到，则，即可得到结论； （3）设的长为x，则，，由勾股定理得，解得，，则，利用三角形面积公式即可求出答案． 解：（1）解：∵，， ∴， 由折叠可知，， ∴； 故答案为：， （2）是等腰三角形， 由折叠可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （3）设的长为x，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴ 解得，， ∴ ∴． 【变式1】（24-25七年级上·山东烟台·期末）如图，在四边形中，，E是上一点，将沿折叠，B，D两点恰好重合，则的长度为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，掌握折叠的性质，熟练运用勾股定理计算是解题关键． 设，由折叠的性质可得：，从而在中利用勾股定理求解即可． 解：设， ∵， ∴由折叠的性质可得：， ∵， ， 即，解得：， ． 即的长度为， 故选：C 【变式2】（23-24八年级下·湖南岳阳·期末）如图，在中，．点D是边上的一动点（不与点B、C重合），过点D作交于点E，将沿直线翻折，点B落在射线上的点F处．当为直角三角形时，的长为 ． 【答案】1或2 【分析】此题主要考查了直角三角形折叠，熟练掌握折叠性质，含的直角三角形性质，勾股定理解直角三角形，分类讨论，是解决问题的关键． 由折叠性质得到，，，由三角形外角性质得到，分和，两种情况，进行求解即可． 解：由折叠知，，，， ∴， ∵在中，，，， ∴，， ∴， ∴， 如图1，若， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵； 如图2，若， 则， ∴， ∴ ∴为直角三角形时，的长为：1或2． 故答案为：1或2． 【题型8】勾股定理的证明方法 【例8】（24-25八年级上·贵州毕节·期中）两个全等的直角三角形按如图1所示的方式摆放，连接，的三边长分别为，，，四边形的面积可以表示为或，从而可推导出． （1）将从图1的位置开始沿向左移动，直到点与点重合时停止（如图2），此时与相交于点，连接，，请利用图2证明勾股定理； （2）在图2的基础上，若四边形的面积为200，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）先根据题意求出梯形的面积，再求出四边形的面积，即可证明结论； （2）根据题意得到，进而得到，再根据计算即可得到答案． 解：（1）解：， 由图所示，，则由平移的性质可得到图中， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， 或（舍去）， ． 【变式1】（23-24八年级上·全国·课后作业）下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是掌握勾股定理的证明方法． 根据各个图象，利用面积的不同表示方法，列式证明结论，找出不能证明的那个选项． 解：A．∵，整理，得，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； B．∵，整理，得，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； C．∵．∴整理，得，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； D．根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意． 故选：D． 【变式2】（24-25八年级上·山西·阶段练习）如图，由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，则4 个直角三角形面积+小正方形面积=大正方形面积， 即 + = ，化简得： ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的证明方法，先求出小正方形的边长，再根据4 个直角三角形面积+小正方形面积=大正方形面积解答即可． 解：由图可知，小正方形的边长为， ∵4 个直角三角形面积+小正方形面积=大正方形面积， ∴， ∴． 故答案为：，，． 【题型9】利用勾股定理求最值 【例9】（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，在中，，，过点作，延长至点，使得，在平面上有一动点，使，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接，由，，得 ，，，从而得，由勾股定理得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知始终不变，则要使有最小值，通过根据三角形的三边关系可知，当点在线段上时最小，最小值为，从而求解． 解：如图，连接， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵，， ∴， ∴始终不变， ∴要使有最小值，根据三角形的三边关系可知，当点在线段上时最小，最小值为， 故选：． 【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的三边关系，所对直角边是斜边的一半，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，掌握知识点的应用是解题的关键． 【变式1】（24-25八年级上·四川眉山·期末）如图，在中，，，平分，E是上的一个动点，F是边的中点，则的最小值是（   ） A． B．6 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和判定，勾股定理， 先判断是等边三角形 ，根据等边三角形的性质可知点B，C关于对称，可得，根据“两点之间线段最短”，连接，交于点E，此时最小，即，然后根据勾股定理求出答案即可． 解：∵， ∴是等边三角形， ∴． ∵平分， ∴是的垂直平分线， ∴点B，C关于对称， ∴． 根据“两点之间线段最短”，连接，交于点E，此时最小，即， 在中，点F是的中点， ∴，． 根据勾股定理，得， 所以的最小值是6． 故选：B． 【变式2】（24-25八年级上·天津西青·期末）如图，在中，，点是边上一个动点，连接． （Ⅰ）是否存在长度等于的线段？ ．（填“存在”或“不存在”）。 （Ⅱ）若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】 存在 【分析】此题考查了垂直平分线的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识， （1）依题意过点作于D，，根据含度角的直角三角形的性质得出，即存在长度等于的线段 （2）如图所示作辅助线，先证明，然后得，当与共线时，为最小值，再由勾股定理求即可． 解：（1）存在长度等于的线段； 如图所示，过P点作于D， ∵在中， ∴ 故答案为：存在． （2）如图所示，在中，， 过P点作于D，延长至E，使，连接， ∴ 垂直平分线段， ， ， ， ， 当与共线时，为最小值， 此时，， ， ， 故的最小值为； 故答案为：． 【题型10】利用勾股定理逆定理求解 【例10】（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，△ABC中，，，边上的中线． （1）与互相垂直吗？为什么？ （2）求的长． 【答案】（1）与互相垂直，理由见分析；（2）． 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，关键是利用勾股定理的逆定理证得． （1）先根据三角形中线的定义得出，然后在中，根据勾股定理的逆定理即可证明； （2）由（1）可得，再根据勾股定理即可求出的长． 解：（1）解：与互相垂直， 证明：∵是边上的中线，， ∴， ∵， ， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴； （2）解：∵， ∴， 在中，． 【变式1】1．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，在中，，，，将折叠，得到折痕，且顶点B恰好与点A重合，点C落在点F处，则的长为（　　）． A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，勾股定理及其逆定理的应用．连接，先证明是直角三角形，且，再证明是的垂直平分线，得到，设，则，利用勾股定理即可求解． 解：连接，如图； ，，， ，，， ， 是直角三角形，且， 由折叠的性质得：， 顶点B恰好与点A重合， ， 是的垂直平分线， ， 设，则， 在中，， ， , ， 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·重庆开州·阶段练习）将绕点A顺时针旋转得到，并使C点的对应点D点落在直线BC上，连接BE，若，，，则AD的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查几何变换的综合应用，涉及等腰三角形的性质与判定，勾股定理及逆定理的应用等知识，解题的关键是掌握旋转的性质和勾股定理． 过作于，因为，，，求出，即可得，故，而，，有，，从而，． 解：过作于，如图： 由旋转可知， ，，， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， 是等腰直角三角形， ； 故答案为：． 【题型11】用HL证全等 【例11】（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）如图，，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见分析；（2）2 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定等知识；熟练掌握等腰三角形的判定，证明三角形全等是解题的关键． （1）由证明即可； （2）由全等三角形的性质得，再由等腰三角形的判定得，即可得出结论． 解：（1）证明：∵， ∴和是直角三角形， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式1】（23-24八年级上·全国·单元测试）如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了网格与勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，掌握网格的特点，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意可证，得到，则有，由网格的性质可得是等腰直角三角形，，由此即可求解． 解：如图所示， ∵网格是正方形网格， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故选：A ． 【变式2】（2024·北京东城·一模）在中，，点D在上，于点E，且，连接．若，则的度数为 ． 【答案】35 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上知识点，学会通过全等三角形证明角相等是解题的关键．由，，求得，然后证明，推导出，即可求解． 解：，， ， 于点E， ， 在和中， ， ， ， ． 故答案为：35． 【题型12】全等的性质与HL综合 【例12】（24-25八年级上·安徽六安·期末）已知：如图，于为上一点，交于，，． （1）求证：； （2）若，，求． 【答案】（1）证明见分析；（2） 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握其判定方法及性质是解题的关键． （1）根据垂直可得，在和中，运用“斜边直角边”的方法即可求证； （2）根据，，得到，由即可求解． 解：（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴，即， ∴． 【变式1】（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图所示，将两个完全相同的直尺按照下图位置放置，则的形状是（） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的判定，解决本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质及等腰三角形的判定，过点A作，过点C作，先证明，可得，从而得出，即可得出结论． 解：如图，过点A作，过点C作， 两个完全相同的直尺， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 是等腰三角形， 故选：B． 【变式2】（24-25八年级上·北京石景山·期末）如图，中，，点D在上，于点．若，，则 ． 【答案】25 【分析】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．由，，求得，再根据“HL”证明，则，于是得到问题的答案． 解：，， ， 于点E， ， 在和中， ， ， ， 故答案为： 【题型13】角平分线的性质定理 【例13】（24-25八年级上·湖北随州·期末）如图，在△ABC中，，点D在的延长线上，连接，平分交于点E，过点E作，垂足为点F，与相交于点G． （1）求证：为等腰三角形； （2）求证：． 【答案】（1）证明见分析；（2）证明见分析 【分析】本题主要考查角平分线的计算，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，等角对等边，理解题意，找准各角之间的关系是解题关键． （1）根据等边对等角得出，再由等角的余角相等得出，利用等角对等边即可证明； （2）根据三角形内角和定理得出， ，即可证明． 解：（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∴，， ∴． ∵， ∴． ∴为等腰三角形． （2）证明：在中， ， 在中， ， ∴． 【变式1】（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图，点F在射线上，，点E在的角平分线上，，．若，则的面积是（    ） A．4 B．8 C．16 D．18 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线、含角直角三角形、等腰三角形的判定和性质以及平行线的性质等知识点．过点E作，交于点D，根据角平分线的性质可得和，再根据含角直角三角形的性质计算求得的长，利用平行线的性质证明，求得，利用三角形面积公式即可解答． 解：如图，过点E作，交于点D，如图所示：      ∵点E在的平分线上，， ∴，， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴的面积是， 故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·安徽黄山·期末）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧；分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点． 若，，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了尺规作角平分线，角平分线的性质定理，掌握角平分线的性质定理是解题的关键． 根据作图可得，是的角平分线，过点作于点，由角平分线的性质可得，由面积的计算即可求解． 解：根据作图可得，是的角平分线， 如图所示，过点作于点， ∵， ∴， ∴， 故答案为： ． 【题型14】角平分线的判定定理 【例1】（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，与均为等腰直角三角形，连接，，相交于点． （1）求证：； （2）求的大小． （3）连接，求证：平分． 【答案】（1）见分析；（2）；（3）见分析 【分析】（1）首先根据等腰直角三角形的性质得到，，，进而得到，即可证明出； （2）首先根据全等三角形的性质得到，然后根据对顶角相等得到，然后利用三角形内角和定理求解即可； （3）首先根据全等三角形的性质得到，然后利用角平分线的判定定理求解即可． 解：（1）∵与均为等腰直角三角形， ∴，， ∴，即 ∴ ∴； （2）设与交于点B， ∵ ∴ 又∵ ∴； （3）如图所示，连接，过点D作，， ∵，，，， ∴ ∴平分． 【点拨】此题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理的应用，角平分线的判定定理，对顶角相等等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 【变式1】（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，，，垂足分别为D，E，，相交于点O，，连接，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、角平分线的判定定理，正确找出两个全等三角形是解题关键．先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据角平分线的判定定理可得平分，从而可得，由此即可得． 解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，，点在的内部， ∴平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：D． 【变式2】（23-24八年级上·上海·期末）如图，在四边形中，，，垂足为点E．如果，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形性质，角平分线判定及性质，三角形内角和定理．根据题意过点作，再利用已知条件得到平分，再利用等腰三角形性质及三角形内角和定理即可得到本题答案． 解：过点作， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴平分， ∴， ∵， ∴为等腰三角形， ∴平分， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 第二部分【链接中考与拓展延伸】 【题型15】链接中考 【例1】（2024·西藏·中考真题）如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线交于点F．已知，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了作图基本作图：作角平分线，角平分线的性质定理，勾股定理及全等三角形的判定与性质等知识．根据基本作图可判断平分，过F作于G，再利用角平分线的性质得到，根据勾股定理求出，证明，得出，设，则，，根据勾股定理得出，求出，根据勾股定理求出． 解：过F作于G， 由作图得：平分，，， ∴， 在中根据勾股定理得：， ，， ， ， 设，则，， 在中，根据勾股定理得： ， 即：， 解得：， ， 在中根据勾股定理得：． 故答案为：． 【例2】（2023·四川甘孜·中考真题）如图，在中，，点在边上，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，．   （1）求证：； （2）若时，求的长； （3）点在上运动时，试探究的值是否存在最小值，如果存在，求出这个最小值；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）见分析；（2）；（3）存在， 【分析】（1）由即可证明； （2）证明（），勾股定理得到，在 中，勾股定理即可求解； （3）证明，即可求解． 解：（1）解：由题意，可知，，． ． 即． ． （2）在中，， ． ． ， ，． ． ． 在中，． （3）由（2）可知，． 当最小时，有的值最小，此时． 为等腰直角三角形， ． ． 即的最小值为． 【点拨】本题主要考查了图形的几何变换，涉及到等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【题型16】拓展延伸 【例1】（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在等边三角形的，边上分别取点，，使，连结，相交于点． （1）求的度数． （2）若，，求的长． （3）如图，连结，若，，求的长． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】由等边三角形的性质可得，，，利用可证得，由全等三角形的性质可得，再利用三角形外角的性质即可求出的度数； 过点作于点，由含度角的直角三角形的性质可得，利用勾股定理可求得，由等腰直角三角形的性质可得，然后利用勾股定理即可求出的长度； 过点作于点，构造，设，利用可证得，利用勾股定理可建立关于的方程，解方程即可求得的长，进而可求得的长． 解：（1）解：是等边三角形， ，，， 在和中， ， ， ， ； （2）解：如图，过点作于点， ， ， ，， ，， ， ； （3）解：如图，过点作于点， 设， 在中，， ， ， 在等边三角形中，，， 又， ， 又，， 在和中， ， ， ， ， 在中，， ， 解得：， ， ， ． 【点拨】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，一元二次方程的解法，三角形外角的性质等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【例2】（24-25九年级上·天津西青·期末）在等边中，，垂足为点，点为直线上一动点，连接，以点为旋转中心，把线段顺时针旋转，得到线段，连接． （1）如图①，当点在线段上时，求证：． （2）如图②，当点在线段的延长线上时，连接，，若，求的大小． （3）若等边的边长是6，连接，在点运动过程中，直接写出线段的最小值． 【答案】（1）见分析；（2）；（3） 【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质； （1）由旋转得到，，再证明，得到； （2）先证明，得到，，由等边三角形的性质可得，得到，由，得到是等腰直角三角形，即可得到，得到； （3）过作，则，，由（1）（2）可得点在直线上运动，过作于，则长度即为的最小值，再根据直角三角形的性质求解即可． 解：（1）证明：∵等边， ∴，， 线段顺时针旋转，得到线段， ，， ， ，即， ， ； （2）解：同（1）可知，，， ，即， ， ，， 是等边三角形，， ，， ， ， ， ， ， ，即， ， 又， ， ； （3）解：过作，则， ∵， ∴，， 由（1）可得，当点在线段上时，，； 由（2）可得，当点在在线段的延长线上时，，； ∴点在直线上运动， 过作于，则长度即为的最小值，此时， ∵等边的边长是6， ∴， ∴， ∴中，，， ∴的最小值为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$