专题3.1 图形与坐标（4大知识点3大考点13类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年八年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（湘教版）

专题3.1 图形与坐标（4大知识点3大考点13类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】平面直角坐标系及有关概念 1、平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴，组成平面直角坐标系。其中，水平的数轴叫做轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做轴或纵轴，取向上为正方向；轴和轴统称坐标轴。它们的公共原点O称为直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。 2、象限：为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被轴和轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。 特别注意：轴和轴上的点（坐标轴上的点），不属于任何一个象限。 3、点的坐标的概念 （1）对于平面内任意一点,过点分别轴、轴向作垂线，垂足在上轴、y轴对应的数a，b分别叫做点的横坐标、纵坐标，有序数对（a，b）叫做点的坐标。 （2）点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。 （3）平面内点的与有序实数对是一一对应的。 【知识点2】平面直角坐标系内点的特征 1.各象限内点的坐标的符号特征 点在第一象限⇔ ，； 点在第二象限⇔ ，； 点在第三象限⇔ ，； 点在第四象限⇔ ，. 2.坐标轴上点的坐标特征 点在横轴上⇔y＝0； 点在纵轴上⇔x＝0； 点在原点⇔x＝0，y＝0. 3.各象限角平分线上点的坐标 第一，三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等； 第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数. 4.平行于x轴的直线上的点的纵坐标都相等； 平行于y轴的直线上的点的横坐标都相等. 【知识点3】点的距离问题 1.点到坐标轴、原点的距离 点到x轴的距离为； 点到y轴的距离为；点到原点的距离. 2.平行于x轴，y轴的直线上两点间的距离 水平线段，铅锤线段. 3.两点之间的距离公式：. 4.中点公式：. 【知识点4】点的平移与轴对称 1.点平移的坐标特征 向左平移a个单位的坐标为； 向右平移a个单位的坐标为； 向上平移b个单位的坐标为； 向下平移b个单位的坐标为； 口诀：“右加左减，上加下减”. 2.点的对称点的坐标特征 关于x轴对称的点P1的坐标为 ； 关于y轴对称的点P2的坐标为 ； 关于原点对称的点P3的坐标为 ． 口诀：关于谁对称谁不变，另一个变号；关于原点对称都要变号。 知识点与题型目录 【考点一】有序数对与确定位置方法 【题型1】有序数对....................................................................1 【题型2】确定物体位置................................................................5 【考点二】平面直角坐标系 【题型3】点的位置....................................................................7 【题型4】点到坐标轴距离..............................................................8 【题型5】坐标与面积.................................................................11 【题型6】坐标与图形综合.............................................................14 【题型7】坐标与规律问题.............................................................17 【考点三】平面直角坐标系中点与图形变换 【题型8】平面直角坐标系中点与平移...................................................20 【题型9】平面直角坐标系中点与轴对称.................................................22 【题型10】平面直角坐标系中点与旋转..................................................25 【题型11】平面直角坐标系平移综合题..................................................28 【题型12】平面直角坐标系旋转综合题..................................................32 【题型13】平面直角坐标系轴对称综合题................................................34 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】有序数对与确定位置方法 【题型1】有序数对 【例1】（23-24八年级上·甘肃兰州·期中）以下能够准确表示我们学校地理位置的是（  ） A．兰州新区500米 B．东经，北纬 C．在黄河以南 D．在兰州市 【答案】B 【分析】本题主要考查了有序数对确定位置，理解有序数对的定义是解题的关键． 根据有序数对的定义，确定一个位置需要两个数据，即可获得答案． 解：A．不能准确表示我们学校地理位置，故不符合题意； B．能准确表示我们学校地理位置，故符合题意； C．不能准确表示我们学校地理位置，故不符合题意； D．不能准确表示我们学校地理位置，故不符合题意． 故选：B． 【变式1】（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，雷达探测器测得六个目标，，，，，出现，按照规定的目标表示方法，目标，的位置表示为，．下列对于，，，四个点的表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用有序数对确定位置，首先根据点，的表示方法可知，有序数对的第一个数代表目标在第几个圆圈上，第二个数代表对应的角的度数；根据有序数对的确定方法逐项分析即可． 解：A．，故原表示不正确； B．，故原表示不正确；     C．，故原表示不正确；     D．，正确． 故选D． 【变式2】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，已知图中△的位置为，则○的位置是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查用有序数对表示位置，根据△的位置为表示第1列，第3行；再根据○的位置是第3列，第2行，表示出○的位置即可． 解：根据题意，△的位置为， 即第1列，第3行； ○的位置是第3列，第2行； ∴○的位置是； 故答案为：． 【题型2】确定物体位置 【例2】（24-25八年级上·宁夏中卫·期末）下列数据中不能确定物体位置的是（ ） A．电影票上的“排号” B．小明住在御景华城号楼一单元号 C．南偏西 D．东经，北纬的城市 【答案】C 【分析】本题主要考查了位置的确定，根据位置确定需要两个数据对各选项分析判断后利用排除法求解，理解位置的确定需要两个数据是解题的关键． 解：A．电影票上的“排号”，位置明确，故本选项不符合题意； B．小明住在御景华城号楼一单元号，位置明确，故本选项不符合题意； C．南偏西，位置不明确，故本选项符合题意； D．东经，北纬的城市，位置明确，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式1】（24-25八年级上·河南郑州·期末）下列各项能准确表示学校图书馆相对于旗杆的位置的是（   ） A．南偏东且距离旗杆 B．距离旗杆 C．南偏东 D．北偏西且距离旗杆 【答案】A 【分析】本题考查了用方向角和距离确定物体的位置，采用数形结合的思想是此题的关键，结合图形即可得解． 解：由图知，能准确表示学校图书馆相对于旗杆的位置的是南偏东且距离旗杆， 故选：A． 【变式2】（19-20七年级上·四川成都·期末）如图，射线的方向是北偏东，射线的方向是北偏西，,是的反向延长线. （1）射线的方向是 ； （2）的度数是 . 【答案】 北偏东70° 70° 【分析】（1）先求出∠AOB＝55°，再求得∠NOC的度数，即可确定OC的方向； （2）根据∠AOB＝55°，∠AOC＝∠AOB，得出∠BOC＝110°，进而求出∠COD的度数． 解：（1）∵OB的方向是北偏西40°，OA的方向是北偏东15°， ∴∠NOB＝40°，∠NOA＝15°， ∴∠AOB＝∠NOB＋∠NOA＝55°， ∵∠AOB＝∠AOC， ∴∠AOC＝55°， ∴∠NOC＝∠NOA＋∠AOC＝70°， ∴OC的方向是北偏东70°； 故答案为：北偏东70°； （2）∵∠AOB＝55°，∠AOC＝∠AOB， ∴∠BOC＝110°． 又∵射线OD是OB的反向延长线， ∴∠BOD＝180°． ∴∠COD＝180°−110°＝70°． 【点拨】本题考查方向角和射线，解题的关键是掌握方位角的相关知识． 【考点二】平面直角坐标系 【题型3】点的位置 【例3】（24-25八年级上·陕西西安·期中）已知平面直角坐标系中有一点． （1）当点P位于第一象限，且到x轴的距离为1时，求点P的坐标； （2）若点P到x轴和y轴的距离相等，求点P的坐标． 【答案】（1）；（2）或 【分析】本题考查平面直角坐标系，解题的关键是掌握点的坐标与点到坐标轴的距离的关系，以及象限的角平分线上的点的坐标特征． （1）根据点所处象限及到轴的距离，可得，求出a的值，进而可得点的坐标； （2）点P到x轴和y轴的距离相等，即第一、三象限的点的横、纵坐标相等，第二、四象限的上的点的横、纵坐标互为相反数，由此可解． 解：（1）解：点位于第一象限，且到轴的距离为1， ， 解得， ， 点的坐标为． （2）解：当点在第一、三象限上时： ， 解得， ， 点的坐标为； 当点在第二、四象限时： ， 解得， ，， 点的坐标为； 综上可知，点的坐标为或． 【变式1】（24-25九年级下·浙江金华·阶段练习）在平面直角坐标系中，若点在第二象限内，则点所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题主要考查平面直角坐标系，熟练掌握平面直角坐标系是解题的关键．根据象限中点的坐标也在进行求解即可． 解：由题意可知，， 故点所在的象限是第四象限． 故选D． 【变式2】（24-25八年级下·山西太原·阶段练习）已知点在平面直角坐标系的第四象限，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，根据点在平面直角坐标系的第四象限，得到，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 解：∵点在平面直角坐标系的第四象限， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型4】点到坐标轴距离 【例4】（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）已知平面直角坐标系中有一点． （1）若点到轴的距离为，且在第二象限，求点的坐标； （2）若点在第一、三象限的角平分线上，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系的特点，掌握平面直角坐标系中点的特点是解题的关键． （1）根据点到轴的距离为，且在第二象限得出，且，，即可求解； （2）根据在一、三象限角平分线上的点横纵坐标相等即，即可求解 解：（1）解：∵点到轴的距离为，且在第二象限， ∴，且，， 解得： ∴； （2）∵在第一、三象限的角平分线上， 又∵第一、三象限的角平分线上的点的横纵坐标相等， ∴， 解得：． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法不正确的是（　　） A．点一定在第四象限 B．点到轴的距离为6 C．若中，则点在轴上 D．若，则点一定在第一，第三象限的角平分线上 【答案】C 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，坐标轴上点的坐标特征以及点到y轴的距离，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键． 根据各象限角平分线上点的坐标特征，坐标轴上点的坐标特征以及点到y轴的距离等于横坐标的长度对各选项分析判断即可得解． 解：A．∵，， ∴点一定在第四象限， 故本选项不符合题意； B．点到轴的距离为6， 故本选项不符合题意； C．若中，则或， 即点在轴或轴上，本说法错误， 故本选项符合题意； D．若，则， 则点一定在第一，第三象限的角平分线上， 故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·福建龙岩·期末）如图，在平面直角坐标系中，，点B，A分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，且，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，坐标与图形性质；过作轴于，轴于，推出证，推出，即可求解． 解：过作轴于，轴于，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型5】坐标与面积 【例5】（2025八年级下·全国·专题练习）如图所示，直线交x轴于点，交y轴于点． （1）如图1，若点C的坐标为，且于点H，交于点P．求证：． （2）如图2，若点D为的中点，点M为y轴正半轴上一动点，连接，过D作交x轴于N点，当M点在y轴正半轴上运动的过程中， ①线段与有什么数量关系？ ②若S表示三角形的面积，式子的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，写出该式子的值． 【答案】（1）见分析；（2）①，②不变，4 【分析】本题考查的是坐标与图形综合运用，涉及到三角形全等、面积的计算等，证明三角形全等是解题的关键． （1）用证明，即可求解； （2）①证明，即可求解； ②点D为的中点，则，而，则，即可求解． 解：（1）证明：∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴； （2）解：①线段， 理由如下：如图2，连接， ∵，，点D为的中点， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴； ②式子的值不发生改变， 理由如下：， ∵点D为的中点， ∴， ∵， ∴． 【变式1】（24-25八年级上·甘肃张掖·期中）已知为坐标原点，关于轴对称，点、点，若在x轴上有一个点，满足的面积等于2，则点的坐标为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查了点到坐标轴的距离，图形结合是解题的关键． 根据点坐标，可知点到轴的距离，根据的面积等于2，即可得到点的坐标． 解：如图， ∵点坐标为， ∴点到轴的距离是2， ∵在轴上有一个点，满足的面积等于2， ∴， ∴， ∴点的坐标为或， 故选：B． 【变式2】（23-24七年级下·四川南充·期中）如图，在平面直角坐标系中，，则四边形的面积是 【答案】 【分析】该题主要考查了坐标与图形，解题的关键是将四边形的面积转换成三角形面积． 连接，根据即可求解； 解：连接， ， ， ， 故答案为：． 【题型6】坐标与图形综合 【例6】（22-23九年级上·内蒙古兴安盟·开学考试）在平面直角坐标系中 （1）在图中描出，，； （2）连接、、，试判断的形状； （3）求的面积． 【答案】（1）见分析；（2）是直角三角形；（3）的面积＝25 【分析】此题主要考查了描点，勾股定理，以及勾股定理逆定理，关键是正确画出图形，算出、、的长． （1）根据题目中给出的点的坐标描出点； （2）连接、、，利用勾股定理结合网格算出、、的长，根据数据可得到，由勾股定理逆定理可得是直角三角形； （3）根据三角形面积公式计算即可． 解：（1）解：如图所示： （2）解：， ， ， ， ， ， 是直角三角形； （3）解：的面积． 【变式1】（24-25八年级上·江西吉安·期末）在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点是轴上一动点，要使为等腰三角形，那么符合要求的点的位置共有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】此题考查了等腰三角形的判定，垂直平分线的性质，以点A为圆心的长为半径画弧，交y轴于和，以点B为圆心的长为半径画弧，交y轴于点和，的中垂线交y轴于点，即可求得答案． 解：如图，①以点A为圆心的长为半径画弧，交y轴于和，此时， ②以点B为圆心的长为半径画弧，交y轴于点和，此时， ③的中垂线交y轴于点，此时， 综上所述，符合要求的点的位置共有5个， 故选：D． 【变式2】（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）在直角坐标系中，点，点，的最小值为，最大值大于，则的取值范围 ． 【答案】或 【分析】本题考查了坐标与图形，解不等式组，根据题意画出图形，然后列出不等式组或，解不等式组即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：如图，由题意得：，， ∵的最大值大于， ∴当，即；当，即， ∵点， ∴点在正方形及内部， ∵点，的最小值为，最大值大于， ∴或， 解得：或， 故答案为：或． 【题型7】坐标与规律问题 【例7】（2023·安徽合肥·一模）将从1开始的连续自然数按以下规律排列： 请根据上述规律解答下面的问题： （1）第6行有______个数；第n行有______个数（用含n的式子表示）； （2）若有序数对表示第n行，从左到右第m个数，如表示6． ①求表示的数；②求表示2023的有序数对． 【答案】（1）11；；（2）①；② 【分析】（1）观察前5行发现：后一行数字的个数比前一行多2个，以此规律解答即可； （2）①先求第11行最后一个数，然后判断为第11行倒数第二个数即可解答； ②先根据判断2023为第45行的数字，然后根据2023比第45行最后一个数字2025小2，即可判断． 解：（1）解：第1行有1个数， 第2行有个数， 第3行有个数， 第4行有个数， 第5行有个数， ∴第6行有个数， …… 第n行有个数； （2）解：①∵第11行有个数，且最末尾的数是， 而表示第11行的第20个数， ∴表示的数是； ②∵，， ∴， ∴2023位于第45行， ∵第45行有个数，而2023与2025相差2个数， ∴2023位于第45行的第87个数， ∴表示2023的有序数对是． 【点拨】本题考查了数字的变化类，找到变化规律是解题的关键． 【变式1】（22-23七年级上·重庆九龙坡·阶段练习）将自然数按以下规律排列： 第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 第一行 1 4 5 16 17… 第二行 2 3 6 15 第三行 9 8 7 14 第四行 10 11 12 13 第五行 … … 表中数2在第二行、第一列，与有序数对对应；数5与对应；数14与对应；根据这一规律，数2013对应的有序数对为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，有序数对，根据题意可得第一列奇数行的数是其行数的平方，第一行偶数列的数是其列数的平方，据此可确定数2025为第45行第一列数，则数2013在第45行，再由即可确定数2013的列数，故可得到答案． 解：观察可知，第一列奇数行的数是其行数的平方，第一行偶数列的数是其列数的平方， ∵， ∴数2025为第45行第一列数， ∴数2013在第45行， ∵， ∴数2013在第45行第13列，即数2013对应的有序数对为， 故选：D． 【变式2】（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标均为整数的点，按…的顺序用线段依次连接起来．根据这个规律，第个点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的坐标的规律探究，根据图形，找出第个点得坐标，再根据这个变化规律即可求解． 解：根据题意可知：第1个点的坐标为，下一个点在右方1个单位长度处； 第4个点的坐标为，下一个点在上方1个单位长度处； 第9个点的坐标为，下一个点在右方1个单位长度处； 第16个点的坐标为，下一个点在上方1个单位长度处； 第25个点的坐标为，下一个点在右方1个单位长度处； …… 总结规律得：当n为奇数时，第个点的坐标为，下一个点在右方1个单位长度处； 当n为偶数时，第个点的坐标为，下一个点在上方1个单位长度处； ∴第个点的坐标为，下一个点在右方1个单位长度处； 第个点的坐标是； 故答案为：． 【考点三】平面直角坐标系中点与图形变换 【题型8】平面直角坐标系中点与平移 【例8】（21-22七年级下·陕西西安·期末）在平面直角坐标系中，将点向上平移个单位得到点，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】利用平移变换的性质判断出点的坐标，根据四个象限的符号特点即可得结论． 解：将点向上平移个单位得到点， ， 点在第四象限， 故选：． 【点拨】考查坐标与图形变化一平移，解题的关键是掌握平移变换的性质，以及记住各象限内点的坐标的符号． 【变式1】（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，已知点，，若将线段平移至，其中点，，则n的值为（   ） A． B．1 C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查了平移的性质，由题意可得平移方式为向左平移个单位长度，向上平移个单位长度，从而得出，，即可得解，熟练掌握平移的性质是解此题的关键． 解：∵将线段平移至，点，，点，， ∴平移方式为向左平移个单位长度，向上平移个单位长度， ∴，， 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·福建福州·开学考试）对于平面直角坐标系中的任意点，给出如下定义：将点平移到称为将点P进行“t型平移”，点称为将点P进行“t型平移”的对应点；已知点，点，，点M是线段上的一个动点，将点A进行“t型平移”后得到的对应点为，当t的取值范围是 时，的最小值保持不变． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变换——平移，解题的关键是理解题中定义，灵活运用平移性质，利用图象解决问题． 作出图形，根据平行线间的距离处处相等得到点在上时满足条件，即可解答． 解：如图，，当点在上时，根据平行线间的距离处处相等可得的最小值保持不变， ∵，， ∴． 故答案为： 【题型9】平面直角坐标系中点与轴对称 【例9】（24-25八年级上·山西吕梁·期末）如图，小敏将等腰直角三角板放置于直角坐标系中，直角顶点C与x轴上表示的点重合，点B坐标为，则点A关于y轴的对称点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，图形与坐标，关于轴对称点的性质，过点，点分别作，垂直于轴，先证明，得点的坐标，在根据关于轴对称点的坐标特点为纵坐标不变，横坐标互为相反数解答即可． 解：过点，点分别作，垂直于轴， ∵点C与x轴上表示的点重合，点B坐标为， ∴，，，即：， 由题意可知，， ∴， 则， ∴， ∴， ∴，，则， ∴点的坐标为， ∴点A关于y轴的对称点的坐标为， 故选：B． 【变式1】（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，在中，，点D是边的中点，的周长为16，，点M，N分别是和边上的动点，则的最小值是（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题、等腰三角形的性质，勾股定理，利用点到直线垂直线段最短找出的最小值为是解题的关键．过点B作与点N，交与点M，连接，利用等腰三角形性质求出垂直平分，利用勾股定理求出的长，根据轴对称可知点、M点、B点在一条直线上最短，则的最小值是，利用三角形等面积公式求出即可． 解：如图，过点B作与点N，交与点M，连接， ∵在中，，点D是边的中点， ∴在等腰中，垂直平分， ， 点、C点关于直线对称， 点和N点分别是和边上的动点， ， ， 点、M点、B点在一条直线上最短， 点N点最短的直线为B点到的垂线最短， ∴则的最小值是， ， 故选：B． 【变式2】（24-25八年级下·河北衡水·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，，点C是y轴上一点，连接，则周长的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查最短路径问题，关键是根据轴对称的性质找到对称点，然后利用勾股定理进行求解即可．作于D，则，，，，得出，由勾股定理求出即可；由题意得出最小，作A关于y轴的对称点，连接交y轴于点C，点C即为使最小的点，作轴于E，由勾股定理求出，即可得出结果． 解：作于D， 则，，，， ∴， ∴； 要使的周长最小，一定， 则最小， 作A关于y轴的对称点，连接交y轴于点C， 点C即为使最小的点， 作轴于E， 由对称的性质得： ，， ∴， 由勾股定理得：＝， ∴的周长的最小值为． 故答案为：． 【题型10】平面直角坐标系中点与旋转 【例10】（2024·浙江温州·模拟预测）如图，已知点，A与关于y轴对称，连结，现将线段以点为中心顺时针旋转得，点 B的对应点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，图形的旋转问题，坐标与图形．过点作轴于点C，证明，可得，即可求解． 解：∵点，A与关于y轴对称， ∴， 如图，过点作轴于点C，    ∵将线段以点为中心顺时针旋转得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点 B的对应点的坐标为． 故选：A 【变式1】（22-23九年级上·河南郑州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，点C的坐标为，．将先绕点C逆时针旋转，再向右平移3个单位长度，则变换后点A的对应点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转变换的性质得到旋转变换后点A的对应点坐标，根据平移的性质解答即可． 解：∵点C的坐标为， ∴点A的坐标为， 如图所示，将先绕点C顺时针旋转， 则点的坐标为， 再向右平移3个单位长度，则变换后点的对应点坐标为， 故选：B． 【点拨】本题考查的是坐标与图形变化旋转和平移，掌握旋转变换、平移变换的性质是解题的关键． 【变式2】（22-23九年级下·山东烟台·期中）如图，在直角坐标系中，边长为2个单位长度的正方形绕原点O逆时针旋转，则点的坐标为 ．    【答案】 【分析】过作轴于D，连接，，根据边长为2个单位长度的正方形绕原点O逆时针旋转，得，，，即知，可得，又再沿y轴方向向上平移1个单位长度，故． 解：过作轴于D，连接，，如图：    ∵边长为2个单位长度的正方形绕原点O逆时针旋转， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵再沿y轴方向向上平移1个单位长度， ∴， 故答案为：． 【点拨】本题考查正方形的旋转和平移变换，解题的关键是掌握旋转、平移变换的性质及正方形的性质． 【题型11】平面直角坐标系平移综合题 【例11】（24-25八年级上·浙江杭州·期末）在平面直角坐标系中，对于点，若点坐标为，则称点为点的“关联点”．例如，点，则点是点的“关联点”． （1）若点，则点的坐标为______； （2）若点则点的坐标为（______）；并猜想：若点在轴上，则中，的关系式：______． （3）若点是点的“关联点”，若点向右平移个单位可与重合，求点的坐标． 【答案】（1）；（2），，；（3）点的坐标为 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化——平移，点的坐标变化规律，熟练掌握平移后点的坐标变化规律是解题的关键． （1）根据“关联点”的定义进行计算即可． （2）令点的坐标为，再根据“关联点”的定义建立关于，的方程进行计算即可；先用，表示出的坐标，再结合点在轴上，得出其横坐标为即可解决问题． （3）令点的坐标为，再用，表示出点的坐标，再表示出点向右平移个单位后的坐标，最后根据此点与重合，建立关于，的等式即可解决问题． 解：（1）解：因为点是点的“关联点”，且点的坐标为， 且，， 所以点的坐标为． 故答案为：． （2）解：令点的坐标为， 根据题意可得， 解得， 所以点的坐标为． 由点坐标为可知， 点的坐标为． 因为点在轴上， 所以， 即，的关系式为． 故答案为：，，． （3）解：令点的坐标为， 则点的坐标为， 将点向右平移个单位后，所得点的坐标为， 因为此点与重合， 所以， 解得， 所以点的坐标为． 【变式】（24-25七年级下·重庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知，将线段平移至，点D在x轴正半轴上，，且．连接，，，． （1）直接写出点C的坐标为_______；点B的坐标为_______； （2）当三角形的面积是三角形的面积的4倍时，求点D的坐标； 【答案】（1）；；（2）或 【分析】本题考查的是平移变换的性质，非负数的性质，掌握算术平方根和绝对值的非负性，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． （1）根据非负数的性质求出a，b，得到点的坐标，根据平移的性质求出点B的坐标； （2）分点在线段上，点在线段的延长线上两种情况，根据三角形的面积公式计算，得到答案； 解：（1）解： 解得，， ∴点的坐标为， ∵点的坐标为， ，， ∴点的坐标为， 故答案为：；； （2）设点的坐标为， ∵的面积是的面积的4倍，即 ①当点在线段上时， 则 解得，， ∴点的坐标为； ②当点在线段延长线上时， 则 解得，， ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 【题型12】平面直角坐标系轴对称综合题 【例12】（24-25八年级上·山东泰安·期末）在平面直角坐标系中，面积为8的正方形，如图． （1）写出A、、、的坐标． （2）把边绕某点旋转到与重合，怎么转？ （3）将边平移到与重合，怎么平移？ 【答案】（1），，，；（2）线段绕点顺（逆）时针旋转与线段重合；（3）把线段先向右平移2个单位，再向下平移2个单位与线段重合 【分析】本题考查的是点的坐标，坐标和图形的平移与旋转，熟知各坐标轴上点的坐标特点是解题的关键． （1）先求出正方形的边长，进而可得出的长，据此得出结论； （2）根据两点的坐标即可得出结论； （3）根据两点的坐标即可得出结论． 解：（1）解： 正方形的面积为8， ，， ， ，，，； （2）解：边绕某点旋转到与重合，，， 线段绕点顺时针旋转与线段重合； （3）解：边平移到与重合，，， 把线段先向右平移2个单位，再向下平移2个单位与线段重合． 【变式】（24-25九年级上·天津南开·期中）如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于原点对称的，并写出点的坐标； （2）请画出绕点逆时针旋转后的； （3）求出（2）的面积是多少． 【答案】（1），见分析；（2）见分析；（3） 【分析】（1） 根据原点对称，坐标都变成原来坐标的相反数，确定坐标后，再画图即可． （2） 根据旋转的全等性作图即可． （3） 利用分割法计算面积即可． 本题考查了原点对称作图，旋转作图，分割法计算图形的面积，正确理解旋转的性质，原点对称的坐标特点是解题的关键． 解：（1）解：根据题意，，，． ∴，画图如下： 则即为所求，且． （2）解：根据旋转的全等性作图如下： 则即为所求． （3）解：根据题意，得 ． 【题型13】平面直角坐标系旋转综合题 【例13】（24-25八年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l经过点，且平行于y轴．给出如下定义：点先关于y轴对称得点，再将点关于直线l对称得点，则称点是点P关于y轴和直线l的二次反射点． （1）已知，则它们关于y轴和直线l的二次反射点的坐标分别是______； （2）若点D的坐标是，其中，点D关于y轴和直线l的二次反射点是点，求线段的长； （3）已知点，点，以线段为直角边在x轴上方作等腰直角三角形，若点关于y轴和直线l的二次反射点分别为，且线段与等腰直角三角形的边有公共点，则a的取值范围为_____________________． 【答案】（1）、、；（2）；（3）或． 【分析】（1）根据二次反射点的定义直接得出答案； （2）根据二次反射点的定义得出，则可得出答案； （3）根据二次反射点的定义得出，，由题意分两种情况列出不等式组，解不等式组可得出答案． 解：（1）解：∵ ∴点关于轴对称点的坐标为， ∵关于直线对称的点 ∴关于轴和直线的二次反射点的坐标 ∵ ∴点关于轴对称点的坐标为， ∵关于直线对称的点 ∴关于轴和直线的二次反射点的坐标 ∵ ∴点关于轴对称点的坐标为， ∵关于直线对称的点 ∴关于轴和直线的二次反射点的坐标 故答案为：、、 （2）∵点的坐标是， ∴点关于轴对称点的坐标为， ∴关于直线对称的点， ∴； （3）∵点 ∴点关于轴和直线的二次反射点分别为， 当与有公共点时， ∴， 解得 当与有公共点时， 解得； 综上：或 【点拨】本题考查了轴对称性质，动点问题，新定义二次反射点的理解和运用；解题关键是对新定义二次反射点的正确理解． 【变式】（24-25八年级上·辽宁阜新·期末）如图，在平面直角坐标系内，已知点，，，点，，平行于x轴． （1）求出点P的坐标； （2）作出关于y轴对称的； （3）在y轴上是否存在一点Q，使得的周长最小？若存在，请直接写出点Q的坐标 ． 【答案】（1）点P的坐标为；（2）见分析；（3）存在． 【分析】本题考查了作图—轴对称变换、轴对称—最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）由题意可得，求出的值即可得解； （2）根据轴对称的性质作图即可； （3）连接，交y轴于点Q，连接，点Q即为所求． 解：（1）解：点，，平行于x轴， ∴， 解得， ∴点P的坐标为． （2）解：如图，即为所求． （3）解：存在． 连接，交y轴于点Q，连接， 此时的周长为，为最小值，则点Q即为所求． ∴点Q的坐标为． 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.1 图形与坐标（4大知识点3大考点13类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】平面直角坐标系及有关概念 1、平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴，组成平面直角坐标系。其中，水平的数轴叫做轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做轴或纵轴，取向上为正方向；轴和轴统称坐标轴。它们的公共原点O称为直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。 2、象限：为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被轴和轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。 特别注意：轴和轴上的点（坐标轴上的点），不属于任何一个象限。 3、点的坐标的概念 （1）对于平面内任意一点,过点分别轴、轴向作垂线，垂足在上轴、y轴对应的数a，b分别叫做点的横坐标、纵坐标，有序数对（a，b）叫做点的坐标。 （2）点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。 （3）平面内点的与有序实数对是一一对应的。 【知识点2】平面直角坐标系内点的特征 1.各象限内点的坐标的符号特征 点在第一象限⇔ ，； 点在第二象限⇔ ，； 点在第三象限⇔ ，； 点在第四象限⇔ ，. 2.坐标轴上点的坐标特征 点在横轴上⇔y＝0； 点在纵轴上⇔x＝0； 点在原点⇔x＝0，y＝0. 3.各象限角平分线上点的坐标 第一，三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等； 第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数. 4.平行于x轴的直线上的点的纵坐标都相等； 平行于y轴的直线上的点的横坐标都相等. 【知识点3】点的距离问题 1.点到坐标轴、原点的距离 点到x轴的距离为； 点到y轴的距离为；点到原点的距离. 2.平行于x轴，y轴的直线上两点间的距离 水平线段，铅锤线段. 3.两点之间的距离公式：. 4.中点公式：. 【知识点4】点的平移与轴对称 1.点平移的坐标特征 向左平移a个单位的坐标为； 向右平移a个单位的坐标为； 向上平移b个单位的坐标为； 向下平移b个单位的坐标为； 口诀：“右加左减，上加下减”. 2.点的对称点的坐标特征 关于x轴对称的点P1的坐标为 ； 关于y轴对称的点P2的坐标为 ； 关于原点对称的点P3的坐标为 ． 口诀：关于谁对称谁不变，另一个变号；关于原点对称都要变号。 知识点与题型目录 【考点一】有序数对与确定位置方法 【题型1】有序数对....................................................................3 【题型2】确定物体位置................................................................4 【考点二】平面直角坐标系 【题型3】点的位置....................................................................5 【题型4】点到坐标轴距离..............................................................5 【题型5】坐标与面积..................................................................6 【题型6】坐标与图形综合..............................................................7 【题型7】坐标与规律问题..............................................................7 【考点三】平面直角坐标系中点与图形变换 【题型8】平面直角坐标系中点与平移....................................................9 【题型9】平面直角坐标系中点与轴对称..................................................9 【题型10】平面直角坐标系中点与旋转..................................................10 【题型11】平面直角坐标系平移综合题..................................................11 【题型12】平面直角坐标系旋转综合题..................................................12 【题型13】平面直角坐标系轴对称综合题................................................13 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】有序数对与确定位置方法 【题型1】有序数对 【例1】（23-24八年级上·甘肃兰州·期中）以下能够准确表示我们学校地理位置的是（  ） A．兰州新区500米 B．东经，北纬 C．在黄河以南 D．在兰州市 【变式1】（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，雷达探测器测得六个目标，，，，，出现，按照规定的目标表示方法，目标，的位置表示为，．下列对于，，，四个点的表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，已知图中△的位置为，则○的位置是 ． 【题型2】确定物体位置 【例2】（24-25八年级上·宁夏中卫·期末）下列数据中不能确定物体位置的是（ ） A．电影票上的“排号” B．小明住在御景华城号楼一单元号 C．南偏西 D．东经，北纬的城市 【变式1】（24-25八年级上·河南郑州·期末）下列各项能准确表示学校图书馆相对于旗杆的位置的是（   ） A．南偏东且距离旗杆 B．距离旗杆 C．南偏东 D．北偏西且距离旗杆 【变式2】（19-20七年级上·四川成都·期末）如图，射线的方向是北偏东，射线的方向是北偏西，,是的反向延长线. （1）射线的方向是 ； （2）的度数是 . 【考点二】平面直角坐标系 【题型3】点的位置 【例3】（24-25八年级上·陕西西安·期中）已知平面直角坐标系中有一点． （1）当点P位于第一象限，且到x轴的距离为1时，求点P的坐标； （2）若点P到x轴和y轴的距离相等，求点P的坐标． 【变式1】（24-25九年级下·浙江金华·阶段练习）在平面直角坐标系中，若点在第二象限内，则点所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2】（24-25八年级下·山西太原·阶段练习）已知点在平面直角坐标系的第四象限，则的取值范围为 ． 【题型4】点到坐标轴距离 【例4】（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）已知平面直角坐标系中有一点． （1）若点到轴的距离为，且在第二象限，求点的坐标； （2）若点在第一、三象限的角平分线上，求的值． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法不正确的是（　　） A．点一定在第四象限 B．点到轴的距离为6 C．若中，则点在轴上 D．若，则点一定在第一，第三象限的角平分线上 【变式2】（24-25八年级上·福建龙岩·期末）如图，在平面直角坐标系中，，点B，A分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，且，若，则 ． 【题型5】坐标与面积 【例5】（2025八年级下·全国·专题练习）如图所示，直线交x轴于点，交y轴于点． （1）如图1，若点C的坐标为，且于点H，交于点P．求证：． （2）如图2，若点D为的中点，点M为y轴正半轴上一动点，连接，过D作交x轴于N点，当M点在y轴正半轴上运动的过程中， ①线段与有什么数量关系？ ②若S表示三角形的面积，式子的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，写出该式子的值． 【变式1】（24-25八年级上·甘肃张掖·期中）已知为坐标原点，关于轴对称，点、点，若在x轴上有一个点，满足的面积等于2，则点的坐标为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式2】（23-24七年级下·四川南充·期中）如图，在平面直角坐标系中，，则四边形的面积是 【题型6】坐标与图形综合 【例6】（22-23九年级上·内蒙古兴安盟·开学考试）在平面直角坐标系中 （1）在图中描出，，； （2）连接、、，试判断的形状； （3）求的面积． 【变式1】（24-25八年级上·江西吉安·期末）在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点是轴上一动点，要使为等腰三角形，那么符合要求的点的位置共有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2】（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）在直角坐标系中，点，点，的最小值为，最大值大于，则的取值范围 ． 【题型7】坐标与规律问题 【例7】（2023·安徽合肥·一模）将从1开始的连续自然数按以下规律排列： 请根据上述规律解答下面的问题： （1）第6行有______个数；第n行有______个数（用含n的式子表示）； （2）若有序数对表示第n行，从左到右第m个数，如表示6． ①求表示的数；②求表示2023的有序数对． 【变式1】（22-23七年级上·重庆九龙坡·阶段练习）将自然数按以下规律排列： 第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 第一行 1 4 5 16 17… 第二行 2 3 6 15 第三行 9 8 7 14 第四行 10 11 12 13 第五行 … … 表中数2在第二行、第一列，与有序数对对应；数5与对应；数14与对应；根据这一规律，数2013对应的有序数对为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标均为整数的点，按…的顺序用线段依次连接起来．根据这个规律，第个点的坐标为 ． 【考点三】平面直角坐标系中点与图形变换 【题型8】平面直角坐标系中点与平移 【例8】（21-22七年级下·陕西西安·期末）在平面直角坐标系中，将点向上平移个单位得到点，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1】（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，已知点，，若将线段平移至，其中点，，则n的值为（   ） A． B．1 C． D．3 【变式2】（24-25九年级上·福建福州·开学考试）对于平面直角坐标系中的任意点，给出如下定义：将点平移到称为将点P进行“t型平移”，点称为将点P进行“t型平移”的对应点；已知点，点，，点M是线段上的一个动点，将点A进行“t型平移”后得到的对应点为，当t的取值范围是 时，的最小值保持不变． 【题型9】平面直角坐标系中点与轴对称 【例9】（24-25八年级上·山西吕梁·期末）如图，小敏将等腰直角三角板放置于直角坐标系中，直角顶点C与x轴上表示的点重合，点B坐标为，则点A关于y轴的对称点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，在中，，点D是边的中点，的周长为16，，点M，N分别是和边上的动点，则的最小值是（   ） A． B． C． D．4 【变式2】（24-25八年级下·河北衡水·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，，点C是y轴上一点，连接，则周长的最小值为 ． 【题型10】平面直角坐标系中点与旋转 【例10】（2024·浙江温州·模拟预测）如图，已知点，A与关于y轴对称，连结，现将线段以点为中心顺时针旋转得，点 B的对应点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【变式1】（22-23九年级上·河南郑州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，点C的坐标为，．将先绕点C逆时针旋转，再向右平移3个单位长度，则变换后点A的对应点坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23九年级下·山东烟台·期中）如图，在直角坐标系中，边长为2个单位长度的正方形绕原点O逆时针旋转，则点的坐标为 ．    【题型11】平面直角坐标系平移综合题 【例11】（24-25八年级上·浙江杭州·期末）在平面直角坐标系中，对于点，若点坐标为，则称点为点的“关联点”．例如，点，则点是点的“关联点”． （1）若点，则点的坐标为______； （2）若点则点的坐标为（______）；并猜想：若点在轴上，则中，的关系式：______． （3）若点是点的“关联点”，若点向右平移个单位可与重合，求点的坐标． 【变式】（24-25七年级下·重庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知，将线段平移至，点D在x轴正半轴上，，且．连接，，，． （1）直接写出点C的坐标为_______；点B的坐标为_______； （2）当三角形的面积是三角形的面积的4倍时，求点D的坐标； 【题型12】平面直角坐标系轴对称综合题 【例12】（24-25八年级上·山东泰安·期末）在平面直角坐标系中，面积为8的正方形，如图． （1）写出A、、、的坐标． （2）把边绕某点旋转到与重合，怎么转？ （3）将边平移到与重合，怎么平移？ 【变式】（24-25九年级上·天津南开·期中）如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于原点对称的，并写出点的坐标； （2）请画出绕点逆时针旋转后的； （3）求出（2）的面积是多少． 【题型13】平面直角坐标系旋转综合题 【例13】（24-25八年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l经过点，且平行于y轴．给出如下定义：点先关于y轴对称得点，再将点关于直线l对称得点，则称点是点P关于y轴和直线l的二次反射点． （1）已知，则它们关于y轴和直线l的二次反射点的坐标分别是______； （2）若点D的坐标是，其中，点D关于y轴和直线l的二次反射点是点，求线段的长； （3）已知点，点，以线段为直角边在x轴上方作等腰直角三角形，若点关于y轴和直线l的二次反射点分别为，且线段与等腰直角三角形的边有公共点，则a的取值范围为_____________________． 【变式】（24-25八年级上·辽宁阜新·期末）如图，在平面直角坐标系内，已知点，，，点，，平行于x轴． （1）求出点P的坐标； （2）作出关于y轴对称的； （3）在y轴上是否存在一点Q，使得的周长最小？若存在，请直接写出点Q的坐标 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$