七年级数学下学期第一次月考测试卷【苏科版2024，测试范围：幂的运算～整式乘法】-【上好课】2024-2025学年初中数学同步精品课堂

2024-2025学年七年级数学下学期第一次月考卷 基础知识达标测 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题。 2．测试范围：幂的运算~整式乘法（苏科版2024）。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（3分）（2024春•泰州期中）下列运算正确的是（　　） A．（a+b）2＝a2+b2 B．（﹣a3）•a＝a4 C．（a2b3）2＝a4b6 D．（﹣m）6÷（﹣m）2＝﹣m4 2．（3分）（2024春•泗阳县期末）2024年5月3日，嫦娥六号探测器由长征五号遥八运载火箭在中国文昌航天发射场成功发射，在近月轨道时飞行1m大约需要0.0000893s．数据0.0000893用科学记数法表示为（　　） A．8.93×10﹣5 B．893×10﹣4 C．8.93×10﹣4 D．8.93×10﹣7 3．（3分）（2024春•仪征市期中）计算（a•a3）2＝a2•（a3）2＝a2•a6＝a8，其中第一步运算的依据是（　　） A．同底数幂的乘法 B．积的乘方 C．幂的乘方 D．同底数幂的除法 4．（3分）（2024春•新吴区期中）若a＝﹣0.22，b＝﹣2﹣2，c＝（）﹣2，d＝（）0，则它们的大小关系是（　　） A．a＜b＜c＜d B．b＜a＜d＜c C．a＜d＜c＜b D．c＜a＜d＜b 5．（3分）（2024秋•如东县期中）在运用乘法公式计算（2x﹣y+3）（2x+y﹣3）时，下列变形正确的是（　　） A．[（2x﹣y）+3][（2x+y）﹣3] B．[（2x﹣y）+3][（2x﹣y）﹣3] C．[2x﹣（y+3）][2x+（y﹣3）] D．[2x﹣（y﹣3）][2x+（y﹣3）] 6．（3分）（2024春•东台市月考）已知2a＝4，2b＝12，2c＝6，那么a、b、c之间满足的关系是（　　） A．a+c＝b+1 B．a+c＝2b C．a：b：c＝1：3：2 D．ac＝2b 7．（3分）（2024春•商丘期末）若x2+2（m﹣3）x+1是完全平方式，x+n与x+2的乘积中不含x的一次项，则nm的值为（　　） A．﹣4 B．16 C．﹣4或﹣16 D．4或16 8．（3分）（2024春•吴江区期末）从前，一位庄园主把一块长为a米，宽为b米（a＞b＞100）的长方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的长增加10米，宽减少10米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（　　） A．变小了 B．变大了 C．没有变化 D．无法确定 9．（3分）（2024春•江阴市校级月考）我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列，其中“杨辉三角”（如图）就是一例，它的发现比欧洲早五百年左右．杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和．事实上，这个三角形给出了（a+b）n（n＝1，2，3，4，5，6）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应着（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3展开式中各项的系数，等等．人们发现，当n是大于6的自然数时，这个规律依然成立，那么（a+b）7的展开式中各项的系数的和为（　　） A．256 B．128 C．112 D．64 10．（3分）（2024春•鼓楼区校级月考）如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果a+b＝10，ab＝20，那么阴影部分的面积是（　　） A．10 B．20 C．30 D．40 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（2024春•广陵区校级月考）若单项式﹣6x2ym与xn﹣1y3是同类项，那么这两个单项式的积是　 　． 12．（3分）（2024春•南通期中）若x﹣2y﹣1＝0，则2x÷4y×8等于 　 　． 13．（3分）（2024春•泰兴市月考）如图，正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，如果要拼一个长为（3a+b），宽为（a+3b）的大长方形，则需要C类卡片张数为 　 　． 14．（3分）（2024春•玄武区校级月考）若（2024﹣x）（x﹣2021）+10＝0，则4045﹣2x的值为 　 　． 15．（3分）（2024春•淮安期末）如图，长方形ABCD的周长为16，分别以长方形的一条长和一条宽为边向外作两个正方形，且这两个正方形的面积和为44，则长方形ABCD的面积是 　 　． 16．（3分）（2024春•鼓楼区校级期末）规定两数a、b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．根据上述规定，填空：若（2，10）＝x，（2，5）＝y，则的值为 　 　． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（8分）（2024春•沛县校级期末）计算： （1）； （2）x3•x5﹣（2x4）2+x10÷x2． 18．（8分）（2024春•锡山区校级月考）计算： （1）若a+3b＝4，求3a×27b的值； （2）若2x＝3，求（23x+2•22x）2的值． 19．（8分）（2024春•鼓楼区期中）化简：（b﹣3）2+（2a+b﹣3）（2a﹣b+3）﹣（2a+b）（2a﹣b）． 20．（8分）（2024春•东台市月考）（1）已知a，b为实数． ①若a+b＝13，ab＝36，求（a﹣b）2， ②若a2+ab＝8，b2+ab＝1，分别求a，b的值． 21．（8分）（2024春•高新区校级月考）材料，一般的，若ax＝N（a＞0且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，比如指数式23＝8可以转化为对数式3＝log28，对数式2＝log636可转化为指数式62＝36，根据以上材料，解决下列问题： （1）计算：log24＝　 　，log216＝　 　，log264＝　 　； （2）猜想logaM+logaN＝　 　（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）； （3）已知loga5＝3，求loga25和loga125的值．（a＞0且a≠1） 22．（10分）（2024春•江都区校级期中）阅读： 在计算（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+…+x+1）的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示： [观察]①（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1； ②（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1； ③（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1； …… （1）[归纳]由此可得： （x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+．．．+x+1）＝　 　 （2）[应用]请运用上面的结论，解决下列问题： 计算：22024+22023+22022+22021+…+2+1＝　 　 （3）计算：220﹣219+218﹣217+…﹣23+22﹣2+1 23．（10分）（2024春•扬州期末）（1）如图1，对正方形进行分割，发现有两种不同的方法求图中大正方形的面积．得到等量关系为 　 　； （2）利用等量关系解决下面的问题． ①a+b＝3，ab＝﹣2，求a2+b2； ②若（x﹣2024）2+（2025﹣x）2＝2026，求（x﹣2024）（2025﹣x）的值； （3）如图2，在线段CE上取一点D，分别以CD、DE为边作正方形ABCD、DEFG，连接BG、CG、EG．若阴影部分的面积和为10，△CDG的面积为8，则AG的长度为 　 　． 24．（12分）（2024春•淮安区校级期中）【问题情境】我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．例如：由图1可得到（a+b）2＝a2+2ab+b2． 【活动猜想】 （1）写出由图2所表示的数学等式：　 　； 【类比探究】 （2）①根据上面的等式，如果将a﹣b看成a+（﹣b），则（结果化简）； ②若6，求的值． 【拓展运用】 （3）已知实数a、b、c满足以下条件：a2+b2+4c2+2ab﹣4bc﹣4ac＝0，a2+4b2+c2﹣4ab﹣4bc+2ac＝0，且a﹣b＝2k+1，求k的值． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年七年级数学下学期第一次月考卷 基础知识达标测 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题。 2．测试范围：幂的运算~整式乘法（苏科版2024）。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（3分）（2024春•泰州期中）下列运算正确的是（　　） A．（a+b）2＝a2+b2 B．（﹣a3）•a＝a4 C．（a2b3）2＝a4b6 D．（﹣m）6÷（﹣m）2＝﹣m4 【分析】利用完全平方公式，同底数幂的乘法法则，幂的乘方与积的乘方的法则和同底数幂的除法法则对每个选项进行逐一判断即可得出结论． 【解答】解：∵（a+b）2＝a2+2ab+b2， ∴A选项的结论不正确，不符合题意； ∵（﹣a3）•a＝﹣a4， ∴B选项的结论不正确，不符合题意； ∵（a2b3）2＝a4b6， ∴C选项的结论正确，符合题意； ∵（﹣m）6÷（﹣m）2＝（﹣m）4＝m4， ∴D选项的结论不正确，不符合题意． 故选：C． 2．（3分）（2024春•泗阳县期末）2024年5月3日，嫦娥六号探测器由长征五号遥八运载火箭在中国文昌航天发射场成功发射，在近月轨道时飞行1m大约需要0.0000893s．数据0.0000893用科学记数法表示为（　　） A．8.93×10﹣5 B．893×10﹣4 C．8.93×10﹣4 D．8.93×10﹣7 【分析】科学记数法的表现形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数，表示时关键是要正确确定a及n的值． 【解答】解：数据0.0000893用科学记数法表示为8.93×10﹣5， 故选：A． 3．（3分）（2024春•仪征市期中）计算（a•a3）2＝a2•（a3）2＝a2•a6＝a8，其中第一步运算的依据是（　　） A．同底数幂的乘法 B．积的乘方 C．幂的乘方 D．同底数幂的除法 【分析】积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，由此判断第一步的依据． 【解答】解：计算（a•a3）2＝a2•（a3）2＝a2•a6＝a8，其中第一步运算的依据是积的乘方， 故选：B． 4．（3分）（2024春•新吴区期中）若a＝﹣0.22，b＝﹣2﹣2，c＝（）﹣2，d＝（）0，则它们的大小关系是（　　） A．a＜b＜c＜d B．b＜a＜d＜c C．a＜d＜c＜b D．c＜a＜d＜b 【分析】根据负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，非零的零次幂等于1，可得答案． 【解答】解：∵a＝﹣0.22＝﹣0.04；b＝﹣2﹣20.25，c＝（）﹣2＝4，d＝（）0＝1， ∴﹣0.25＜﹣0.04＜1＜4， ∴b＜a＜d＜c， 故选：B． 5．（3分）（2024秋•如东县期中）在运用乘法公式计算（2x﹣y+3）（2x+y﹣3）时，下列变形正确的是（　　） A．[（2x﹣y）+3][（2x+y）﹣3] B．[（2x﹣y）+3][（2x﹣y）﹣3] C．[2x﹣（y+3）][2x+（y﹣3）] D．[2x﹣（y﹣3）][2x+（y﹣3）] 【分析】根据平方差结构特征进行解答即可． 【解答】解：（2x﹣y+3）（2x+y﹣3）＝[2x﹣（y﹣3）][2x+（y﹣3）]， 故选：D． 6．（3分）（2024春•东台市月考）已知2a＝4，2b＝12，2c＝6，那么a、b、c之间满足的关系是（　　） A．a+c＝b+1 B．a+c＝2b C．a：b：c＝1：3：2 D．ac＝2b 【分析】根据2b＝12可得2b+1＝24，再根据4×6＝24即可得到2a⋅2c＝2b+1．最后根据同底数幂的乘法可得出结论． 【解答】解：∵2a＝4，2b＝12，2c＝6， ∴2×2b＝2×12， 即：2b+1＝24， ∵4×6＝24， ∴2a⋅2c＝2b+1， ∴2a+c＝2b+1， ∴a+c＝b+1， 故选：A． 7．（3分）（2024春•商丘期末）若x2+2（m﹣3）x+1是完全平方式，x+n与x+2的乘积中不含x的一次项，则nm的值为（　　） A．﹣4 B．16 C．﹣4或﹣16 D．4或16 【分析】利用完全平方公式，以及多项式乘以多项式法则确定出m与n的值，代入原式计算即可求出值． 【解答】解：∵x2+2（m﹣3）x+1是完全平方式，（x+n）（x+2）＝x2+（n+2）x+2n不含x的一次项， ∴m﹣3＝±1，n+2＝0， 解得：m＝4或m＝2，n＝﹣2， 当m＝4，n＝﹣2时，nm＝16； 当m＝2，n＝﹣2时，nm＝4， 则nm＝4或16， 故选：D． 8．（3分）（2024春•吴江区期末）从前，一位庄园主把一块长为a米，宽为b米（a＞b＞100）的长方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的长增加10米，宽减少10米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（　　） A．变小了 B．变大了 C．没有变化 D．无法确定 【分析】原面积可列式为ab，第二年按照庄园主的想法则面积变为（a+10）（b﹣10），又a＞b，通过计算可知租地面积变小了． 【解答】解：由题意可知：原面积为ab（平方米）， 第二年按照庄园主的想法则面积变为（a+10）（b﹣10）＝ab﹣10a+10b﹣100＝[ab﹣10（a﹣b）﹣100]平方米， ∵a＞b， ∴ab﹣10（a﹣b）﹣100＜ab， ∴面积变小了， 故选：A． 9．（3分）（2024春•江阴市校级月考）我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列，其中“杨辉三角”（如图）就是一例，它的发现比欧洲早五百年左右．杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和．事实上，这个三角形给出了（a+b）n（n＝1，2，3，4，5，6）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应着（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3展开式中各项的系数，等等．人们发现，当n是大于6的自然数时，这个规律依然成立，那么（a+b）7的展开式中各项的系数的和为（　　） A．256 B．128 C．112 D．64 【分析】（a+b）7的展开式的系数对应第八行的数，据图写出第八行的数求和即可． 【解答】解：根据题意可知第八行的数为：1，7，21，35，35，21，7，1， ∴（a+b）7的展开式中各项的系数分别为：1，7，21，35，35，21，7，1， ∴（a+b）7的展开式中各项的系数的和为1+7+21+35+35+21+7+1＝128． 故选：B． 10．（3分）（2024春•鼓楼区校级月考）如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果a+b＝10，ab＝20，那么阴影部分的面积是（　　） A．10 B．20 C．30 D．40 【分析】观察图形，阴影部分除了在正方形中，还以正方形边长为直角边构造三角形，因此阴影部分可看作由不同三角形组成，每个阴影部分都与其所在三角形有关系，由此可逐个分析：首先令直线BF与直线CD的交点为O（如图），则可看出△BDO与△EFO、△BGF有关，用△BCD与▱ECGF的面积和减去△BGF的面积可得阴影部分△BDO与△EFO的面积，阴影部分△DEF和△CGF的面积可依据正方形的边长a与b各自求出．至此，阴影部分面积可计和求出，然后利用已知条件进行完全平方公式再代入计算数值． 【解答】解：首先令直线BF与直线CD的交点为O； 则S△BDO+S△EFO＝S△BDC+S▱ECGF﹣S△BGF＝a•a÷2+b•b﹣（a+b）•b÷2；① S△DEF＝底EF•高DE÷2＝b•（a﹣b）÷2； ② S△CGF＝底CG•高GF÷2＝b•b÷2； ③ ∴阴影部分面积＝①+②+③ ＝a2÷2+b2﹣（ab+b2）÷2+（ab﹣b2）÷2+b2÷2 ＝{a2+2b2﹣（ab+b2 ）+（ab﹣b2）+b2}÷2 ＝（a2+b2）÷2，④ 由已知 a+b＝10，ab＝20，构造完全平方公式： （ a+b）2＝102， 解得a2+b2+2ab＝100， a2+b2＝100﹣2•20， 化简＝60代入④式， 得60÷2＝30， ∴S阴影部分＝30． 故选：C． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（2024春•广陵区校级月考）若单项式﹣6x2ym与xn﹣1y3是同类项，那么这两个单项式的积是　﹣2x4y6　． 【分析】先根据同类项的定义求出m与n的值，再根据单项式乘单项式的法则计算即可． 【解答】解：∵单项式﹣6x2ym与xn﹣1y3是同类项， ∴m＝3，n﹣1＝2， ∴m＝3，n＝3， ∴﹣6x2y3•x2y3＝﹣2x4y6． 故答案为﹣2x4y6． 12．（3分）（2024春•南通期中）若x﹣2y﹣1＝0，则2x÷4y×8等于 　16　． 【分析】根据幂的乘方，可化成同底数幂的除法，根据同底数幂的除法，可得答案． 【解答】解：∵x﹣2y﹣1＝0， ∴x﹣2y＝1， ∴2x÷4y×8＝2x÷22y×8＝2x﹣2y×8＝2×8＝16． 故答案为：16． 13．（3分）（2024春•泰兴市月考）如图，正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，如果要拼一个长为（3a+b），宽为（a+3b）的大长方形，则需要C类卡片张数为 　10　． 【分析】先计算多项式乘多项式，再根据计算结果进行求解． 【解答】解：由题意得， （3a+b）（a+3b） ＝3a2+9ab+ab+3b2 ＝3a2+10ab+3b2， ∴需要C类卡片张数为10， 故答案为：10． 14．（3分）（2024春•玄武区校级月考）若（2024﹣x）（x﹣2021）+10＝0，则4045﹣2x的值为 　±7　． 【分析】设a＝2024﹣x，b＝x﹣2021，则ab＝﹣10，a+b＝3，那么4045﹣2x＝2024﹣x﹣（x﹣2021）＝a﹣b，利用完全平方公式计算即可． 【解答】解：设a＝2024﹣x，b＝x﹣2021， 则ab+10＝0，a+b＝3， 即ab＝﹣10， 那么（a﹣b）2 ＝（a+b）2﹣4ab ＝32﹣4×（﹣10） ＝49， ∴4045﹣2x ＝2024﹣x﹣（x﹣2021） ＝a﹣b ＝±7， 故答案为：±7． 15．（3分）（2024春•淮安期末）如图，长方形ABCD的周长为16，分别以长方形的一条长和一条宽为边向外作两个正方形，且这两个正方形的面积和为44，则长方形ABCD的面积是 　10　． 【分析】设长方形ABCD的长为x，宽为y，根据长方形ABCD的周长及两个正方形的面积和为44，可列出关于x，y的方程组，再利用（①2﹣②×4）÷8，即可求出xy的值，此题得解． 【解答】解：设长方形ABCD的长为x，宽为y， 根据题意得：， （①2﹣②×4）÷8得：xy＝10， ∴长方形ABCD的面积是10． 故答案为：10． 16．（3分）（2024春•鼓楼区校级期末）规定两数a、b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．根据上述规定，填空：若（2，10）＝x，（2，5）＝y，则的值为 　50　． 【分析】根据新定义得2x＝10，2y＝5，从而2x﹣y＝2，2x+y＝50，求出x﹣y＝1，进而可求出的值． 【解答】解：∵（2，10）＝x，（2，5）＝y， ∴2x＝10，2y＝5， ∵，2x+y＝2x•2y＝10×5＝50， ∴x﹣y＝1， ＝2（x﹣y）（x+y） ＝2x+y ＝50． 故答案为：50． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（8分）（2024春•沛县校级期末）计算： （1）； （2）x3•x5﹣（2x4）2+x10÷x2． 【分析】（1）根据零指数幂法则、负整数指数幂法则、有理数的加减混合运算法则进行解题即可； （2）根据同底数幂的乘除法法则，幂的乘方与积的乘方法则进行计算即可． 【解答】解：（1）原式＝﹣1+1﹣8＝﹣8； （2）原式＝x8﹣4x8+x8＝﹣2x8． 18．（8分）（2024春•锡山区校级月考）计算： （1）若a+3b＝4，求3a×27b的值； （2）若2x＝3，求（23x+2•22x）2的值． 【分析】（1）利用幂的乘方与积的乘方和同底数幂的乘法法则，转化成3a+3b，再整体代入，即可求出． （2）方法一：利用幂的乘方得出23x＝33，22x＝32，23x+2＝23x•22，然后再整体代入即可求出答案；方法二：将原式用同底数幂的乘法和幂的乘方化简为210x+4，再变形为（2x）10×24，然后再代入2x＝3，进行计算即可得出答案． 【解答】解：（1）3a×27b＝3a×（33）b＝3a×33b＝3a+3b， ∵a+3b＝4， ∴3a×27b＝34＝81； （2）方法一：∵2x＝3， ∴23x＝33，22x＝32， ∴（23x+2•22x）2 ＝（23x•22•22x）2 ＝（33•22•32）2 ＝（35•22）2 ＝16×310． 方法二：原式＝（25x+2）2＝210x+4＝（2x）10×24＝310×16＝16×310． 19．（8分）（2024春•鼓楼区期中）化简：（b﹣3）2+（2a+b﹣3）（2a﹣b+3）﹣（2a+b）（2a﹣b）． 【分析】先根据平方差公式进行计算，再合并同类项即可． 【解答】解：原式＝（b﹣3）2+（2a+b﹣3）（2a﹣b+3）﹣（2a+b）（2a﹣b） ＝（b﹣3）2+（2a）2﹣（b﹣3）2﹣4a2+b2 ＝b2． 20．（8分）（2024春•东台市月考）（1）已知a，b为实数． ①若a+b＝13，ab＝36，求（a﹣b）2， ②若a2+ab＝8，b2+ab＝1，分别求a，b的值． 【分析】①利用完全平方公式进行变形，再整体代入求值即可； ②把已知的两式相加可求得a+b＝±3，再代入求值即可． 【解答】解：①当a+b＝13，ab＝36时， （a﹣b）2 ＝a2﹣2ab+b2 ＝（a+b）2﹣4ab ＝132﹣4×36 ＝169﹣144 ＝25； ②∵a2+ab＝8，b2+ab＝1， ∴a2+2ab+b2＝9，即（a+b）2＝9， ∴a+b＝±3， ∵a2+ab＝8，b2+ab＝1， 即a（a+b）＝8，b（a+b）＝1， 当a+b＝3时，3a＝8，3b＝1， ∴，， 当a+b＝﹣3时，﹣3a＝8，﹣3b＝1， ∴，， 综上所述，，或，； 21．（8分）（2024春•高新区校级月考）材料，一般的，若ax＝N（a＞0且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，比如指数式23＝8可以转化为对数式3＝log28，对数式2＝log636可转化为指数式62＝36，根据以上材料，解决下列问题： （1）计算：log24＝　2　，log216＝　4　，log264＝　6　； （2）猜想logaM+logaN＝　logaMN　（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）； （3）已知loga5＝3，求loga25和loga125的值．（a＞0且a≠1） 【分析】（1）根据题中定义求解即可； （2）设logaM＝x，logaN＝y，根据题中定义将对数式转化为指数式，利用同底数幂的乘法法则求解即可； （3）利用（2）中结论求解即可． 【解答】解：（1）∵22＝4，24＝16，26＝64， ∴log24＝2，log216＝4，log264＝6， 故答案为：2；4；6； （2）设logaM＝x，logaN＝y， 则ax＝M，ay＝N， ∴ax•ay＝ax+y＝MN，logaMN＝x+y＝logaM+logaN， 即logaM+logaN＝logaMN， 故答案为：logaMN； （3）由（2）知，logaMN＝logaM+logaN， ∵loga5＝3， ∴loga25＝loga5×5＝loga5+loga5＝3+3＝6， loga125＝loga25×5 ＝loga25+loga5 ＝6+3 ＝9． 22．（10分）（2024春•江都区校级期中）阅读： 在计算（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+…+x+1）的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示： [观察]①（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1； ②（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1； ③（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1； …… （1）[归纳]由此可得： （x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+．．．+x+1）＝　xn+1﹣1　（2）[应用]请运用上面的结论，解决下列问题： 计算：22024+22023+22022+22021+…+2+1＝　22025﹣1　（3）计算：220﹣219+218﹣217+…﹣23+22﹣2+1 【分析】（1）根据题意得到规律即可； （2）由（2﹣1）（22024+22023+22022+22021+…+2+1）＝22025﹣1即可得到答案； （3）设S＝220﹣219+218﹣217+…﹣23+22﹣2+1①，则2S＝221﹣220+219﹣218+…﹣24+23﹣22+2②，①+②后即可得到答案． 【解答】解：（1）由题意可得，（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+．．．+x+1）＝xn+1﹣1 故答案为：xn+1﹣1； （2）由题意可得，（2﹣1）（22024+22023+22022+22021+…+2+1）＝22025﹣1， ∴22024+22023+22022+22021+…+2+1＝22025﹣1 故答案为：22025﹣1； （3）设S＝220﹣219+218﹣217+…﹣23+22﹣2+1① 则2S＝221﹣220+219﹣218+…﹣24+23﹣22+2② ①+②得，3S＝221+1 ∴． 23．（10分）（2024春•扬州期末）（1）如图1，对正方形进行分割，发现有两种不同的方法求图中大正方形的面积．得到等量关系为 　（x+y）2＝x2+2xy+y2　； （2）利用等量关系解决下面的问题． ①a+b＝3，ab＝﹣2，求a2+b2； ②若（x﹣2024）2+（2025﹣x）2＝2026，求（x﹣2024）（2025﹣x）的值； （3）如图2，在线段CE上取一点D，分别以CD、DE为边作正方形ABCD、DEFG，连接BG、CG、EG．若阴影部分的面积和为10，△CDG的面积为8，则AG的长度为 　2　． 【分析】（1）从“整体”和“部分”两个方面分别用代数式表示图1的总面积即可； （2）①由（1）的结论，代入计算即可； ②设m＝x﹣2024，n＝2025﹣x，由题意得m+n＝1，m2+n2＝2026，由（m+n）2＝m2+n2+2mn进行计算即可； （3）设正方形ABCD的边长为p，正方形DEFG的边长为q，根据题意得到p2+q2＝36，pq＝16，由（p﹣q）2＝p2+q2﹣2pq求出p﹣q即可． 【解答】解：（1）从“整体”上看大正方形的边长为x+y，因此面积为（x+y）2，拼成图1的四个部分的面积和为x2+2xy+y2， 所以有（x+y）2＝x2+2xy+y2， 故答案为：（x+y）2＝x2+2xy+y2； （2）①由（1）可得a2+b2＝（a+b）2﹣2ab， ∵a+b＝3，ab＝﹣2， ∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab ＝9+4 ＝13； ②设m＝x﹣2024，n＝2025﹣x，则m+n＝1，m2+n2＝（x﹣2024）2+（2025﹣x）2＝2026， ∵（m+n）2＝m2+n2+2mn， 即1＝2026+2mn， ∴mn， 即（x﹣2024）（2025﹣x）； （3）设正方形ABCD的边长为p，正方形DEFG的边长为q， ∵阴影部分的面积和为10，△CDG的面积为8， ∴p（p﹣q）q2＝10，pq＝8， 即p2+q2＝36，pq＝16， ∴（p﹣q）2＝p2+q2﹣2pq＝36﹣32＝4，而p＞q， ∴p﹣q＝2， 即AG＝2． 故答案为：2． 24．（12分）（2024春•淮安区校级期中）【问题情境】我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．例如：由图1可得到（a+b）2＝a2+2ab+b2． 【活动猜想】 （1）写出由图2所表示的数学等式：　（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc　； 【类比探究】 （2）①根据上面的等式，如果将a﹣b看成a+（﹣b），则（结果化简）； ②若，求的值． 【拓展运用】 （3）已知实数a、b、c满足以下条件：a2+b2+4c2+2ab﹣4bc﹣4ac＝0，a2+4b2+c2﹣4ab﹣4bc+2ac＝0，且a﹣b＝2k+1，求k的值． 【分析】（1）把几何面积和完全平方式结合起来，便可求出相应关系式； （2）灵活运用公式，尤其是符号变换； （3）灵活运用公式，可得（a+b﹣2c）2＝0，（a﹣2b+c）2＝0，再结合a﹣b＝2k+1，可求出k的值． 【解答】解：（1）大正方形面积＝（a+b+c）2，大正方形面积也等于各个小矩形面积之和，即：a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc， ∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc． 故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc； （2）①根据上面的等式，如果将a﹣b看成a+（﹣b）， 则， ②由题意得：（n）2＝n22， ∵n26， ∴4， ∴n2或2， ∴（n1）2＝1或9； （3）∵a2+b2+4c2+2ab﹣4bc﹣4ac＝0，a2+4b2+c2﹣4ab﹣4bc+2ac＝0， ∴运用公式可得：（a+b﹣2c）2＝0，（a﹣2b+c）2＝0， ∴a+b﹣2c＝0，a﹣2b+c＝0， ∴a﹣2b+c＝0等号两边同时乘2得：2a﹣4b+2c＝0， 与a+b﹣2c＝0相加得：3a﹣3b＝0， 即a﹣b＝0， 又∵a﹣b＝2k+1， ∴2k+1＝0， 解得：k． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$