八年级数学下学期第一次月考测试卷【苏科版，测试范围：数据的收集、整理、描述～中心对称图形—平行四边形】-【上好课】2024-2025学年初中数学同步精品课堂

2024-2025学年八年级数学下学期第一次月考卷 基础知识达标测 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题。 2．测试范围：数据的收集、整理、描述~中心对称图形—平行四边形（苏科版）。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）为了了解我市今年6000名学生参加初中毕业考试数学成绩情况，从中抽取了500名考生的成绩进行统计，下列说法：①这6000名学生的成绩的全体是总体；②每个考生是个体；③500名考生是总体的一个样本；④样本容量是500．其中说法正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．（3分）以下说法合理的是（　　） A．小明在10次抛图钉的试验中发现3次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是30% B．掷一枚骰子，掷出点6的概率是，意思是每掷6次就有1次掷得点数为6 C．某彩票的中奖机会是2%，那么买100张彩票一定会有2张中奖 D．甲、乙两组同学分别进行抛掷硬币的试验，正面朝上的频率分别为0.48和0.51 4．（3分）用反证法证明“在△ABC中，AB＝c，BC＝a，CA＝b，∠C＞∠B＞∠A且∠C≠90°，那么a2+b2≠c2.”应先假设（　　） A．a2+b2＝c2 B．a2+b2＞c2 C．a2+b2＜c2 D．a2+b2＞c2或a2+b2＜c2 5．（3分）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，连结AE，若AC⊥DE于点H，∠AED＝20°，则旋转角∠ACE为（　　） A．20° B．30° C．40° D．50° 6．（3分）如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（　　） A．AB＝BE B．CE⊥DE C．∠ADB＝90° D．BE⊥AB 7．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且DE∥AC、CE∥BD，BC＝4，CE＝2.5，则四边形ODEC的面积为（　　） A．6 B．7 C．8 D．12 8．（3分）如图，正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于点E，F是边AB上一点，连接DF，若BE＝AF，则∠CDF的度数为（　　） A．60° B．62.5° C．65° D．67.5° 9．（3分）如图，已知菱形ABCD与菱形AEFG全等，菱形AEFG可以看作是菱形ABCD经过怎样的图形变化得到？下列结论：①经过1次平移和1次旋转；②经过1次平移和1次翻折；③经过1次旋转，且平面内可以作为旋转中心的点共有3个．其中所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 10．（3分）如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E、F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论： ①四边形CFHE是菱形； ②EC平分∠DCH； ③线段BF的取值范围为3≤BF≤4； ④当点H与点A重合时，EF． 以上结论中，你认为正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）有40个数据，共分成6组，第1～4组的频数分别为10、5、7、6，第5组的频率是0.1，则第6组的频率是 　 　． 12．（3分）在同样条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表，估计该麦种的发芽概率为　 　.（精确到0.01） 试验种子数n（粒） 5 100 500 1000 3000 5000 发芽频数m 4 92 476 951 2851 4750 发芽频率 0.800 0.920 0.952 0.951 0.950 0.950 13．（3分）如图，菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（0，8），（﹣6，0），则点D的坐标为 　 　． 14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，▱OABC的边OC落在x轴的正半轴上，且点B（6，2），点C（4，0），直线y＝2x+1以每秒1个单位长度的速度沿y轴向下平移，经过 　 　秒该直线可将▱OABC分成面积相等的两部分． 15．（3分）如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠A＝60°，将▱ABCD折叠，使得点B与点D重合，折痕交AD，BC分别于点E，F，则AE＝ 　 　． 16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P在CB的延长线上，点Q在直线AP上，连接BQ，DQ，若∠ADQ+∠BAQ＝180°，则BQ的最大值为 　 　． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（8分）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共30只，这些球除颜色外其余完全相同．搅匀后，小明做摸球试验，他从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据． 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数m 52 138 178 302 481 599 1803 摸到白球的频率 0.52 0.69 0.593 0.604 0.60 0.599 0.601 （1）若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为 　 　（精确到0.1）； （2）盒子里白色的球有 　 　只； （3）若将m个完全一样的白球放入这个盒子里并摇匀，随机摸出1个球是白球的概率是0.8，求m的值． 18．（8分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作EF⊥AC，分别交边AB，DC于点E，F，连结AF，CE．若AE＝13，OA＝12． （1）求EF的长； （2）求▱ABCD边AB上的高． 19．（8分）我市某中学开展了“强国复兴有我”迎国庆知识竞赛活动，赛后随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划分为A：60≤x＜70，B：70≤x＜80，C：80≤x＜90，D：90≤x≤100四个等级，绘制成如下两幅不完整的统计图表． 分数段（分） 频数（人） 频率 60≤x＜70 10 0.2 70≤x＜80 a b 80≤x＜90 16 c 90≤x≤100 4 d 请根据以上信息回答下列问题： （1）这次抽样调查的样本容量为 　 　； （2）其中频数分布表中a＝　 　，c＝　 　并补全频数分布直方图； （3）若该校共有1200名同学参赛，成绩在80分以上（包括80分）的为“优”等，估计全校学生成绩为“优”等的学生有多少人． 20．（8分）如图，A（0，1），B（3，3），C（1，3）B1（﹣2，4），C1（﹣2，2）． （1）△ABC绕点　 　逆时针旋转　 　度得到△AB1C1； （2）画出△ABC绕原点O顺时针旋转90°的△A2B2C2，直接写出点C2坐标　 　；若△ABC内一点P（m，n）在△A2B2C2的对应点为Q，则Q的坐标为　 　．（用含m，n的式子表示） （3）在x轴上描出点M，使AM+BM最小，此时AM+BM＝　 　． 21．（8分）已知正方形ABCD，P是CD的中点，请仅用无刻度的直尺按下列要求画图．（保留画图痕迹，不写画法） （1）在图①中，画PQ⊥AB，垂足为Q； （2）在图②中，画BH⊥AP，垂足为H． 22．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，E、F为对角线BD上两点，BE＝DF，连接AE、EC、CF、FA． （1）求证：四边形AECF为平行四边形； （2）若AB＝AD，求证：四边形AECF为菱形； （3）在（2）的条件下，连接AC交BD于点O，若AB：BE：AO＝5：1：3．求证：四边形AECF为正方形． 23．（10分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4cm，点O是对角线AC的中点，动点P、Q分别从点A、B同时出发，点P以1cm/s的速度沿边AB向终点B匀速运动，点Q以2cm/s的速度沿边BC向终点C匀速运动，当一点到达终点时另一点也停止运动，连接PO并延长交边CD于点M，连接QO并延长交边DA于点N，连接PQ、QM、MN、NP，得到四边形PQMN，设点P的运动时间为x（s）（x＞0），四边形PQMN的面积为y（cm2）． （1）BP的长为 　 　cm，CM的长为 　 　cm；（用含x的代数式表示） （2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； （3）当四边形PQMN是轴对称图形时，求出x的值． 24．（12分）定义：有一组对角是直角的四边形叫做“准矩形”；有两组邻边（不重复）相等的四边形叫做“准菱形”． 如图①，在四边形ABCD中，若∠A＝∠C＝90°，则四边形ABCD是“准矩形”； 如图②，在四边形ABCD中，若AB＝AD，BC＝DC，则四边形ABCD是“准菱形”． （1）如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C在格点（小正方形的顶点）上，请分别在图③、图④中画出“准矩形”ABCD和“准菱形”ABCD′．（要求：D、D′在格点上）； （2）下列说法正确的有　 　；（填写所有正确结论的序号） ①一组对边平行的“准矩形”是矩形； ②一组对边相等的“准矩形”是矩形； ③一组对边相等的“准菱形”是菱形； ④一组对边平行的“准菱形”是菱形． （3）如图⑤，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为一边向外作“准菱形”ACEF，且AC＝EC，AF＝EF，AE、CF交于点D． ①若∠ACE＝∠AFE，求证：“准菱形”ACEF是菱形； ②在①的条件下，连接BD，若BD，∠ACB＝15°，∠ACD＝30°，请直接写出四边形ACEF的面积． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级数学下学期第一次月考卷 基础知识达标测 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题。 2．测试范围：数据的收集、整理、描述~中心对称图形—平行四边形（苏科版）。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；中心对称图形的概念：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度后与原图重合，这个图形叫做中心对称图形；据此进行判断即可． 【解答】解：A既是轴对称图形，也是中心对称图形，则A符合题意； B不是轴对称图形，是中心对称图形，则B不符合题意； C是轴对称图形，不是中心对称图形，则C不符合题意； D是轴对称图形，不是中心对称图形，则D不符合题意． 故选：A． 2．（3分）为了了解我市今年6000名学生参加初中毕业考试数学成绩情况，从中抽取了500名考生的成绩进行统计，下列说法：①这6000名学生的成绩的全体是总体；②每个考生是个体；③500名考生是总体的一个样本；④样本容量是500．其中说法正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量． 【解答】解：这6000名学生的初中毕业考试数学成绩的全体是总体，故①说法错误； 每个考生的初中毕业考试数学成绩是个体，故②说法错误； 500名考生的初中毕业考试数学成绩是总体的一个样本，故③说法错误； 样本容量是500，故④说法正确． ∴说法正确的有④共1个． 故选：D． 3．（3分）以下说法合理的是（　　） A．小明在10次抛图钉的试验中发现3次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是30% B．掷一枚骰子，掷出点6的概率是，意思是每掷6次就有1次掷得点数为6 C．某彩票的中奖机会是2%，那么买100张彩票一定会有2张中奖 D．甲、乙两组同学分别进行抛掷硬币的试验，正面朝上的频率分别为0.48和0.51 【分析】直接利用概率的意义分别分析得出答案． 【解答】解：A、小明在10次抛图钉的试验中发现3次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是30%，实验次数太少，没有代表性，故此选项错误； B、掷一枚骰子，掷出点6的概率是，意思是大量实验平均每掷6次就有1次掷得点数为6，故此选项错误； C、某彩票的中奖机会是2%，那么买100张彩票一定会有2张中奖，错误，不一定有两张中奖； D、甲、乙两组同学分别进行抛掷硬币的试验，正面朝上的频率分别为0.48和0.51，正确． 故选：D． 4．（3分）用反证法证明“在△ABC中，AB＝c，BC＝a，CA＝b，∠C＞∠B＞∠A且∠C≠90°，那么a2+b2≠c2.”应先假设（　　） A．a2+b2＝c2 B．a2+b2＞c2 C．a2+b2＜c2 D．a2+b2＞c2或a2+b2＜c2 【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可． 【解答】解：反证法证明“在△ABC中，AB＝c，BC＝a，CA＝b，∠C＞∠B＞∠A且∠C≠90°，那么a2+b2≠c2.” 先假设a2+b2＝c2， 故选：A． 5．（3分）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，连结AE，若AC⊥DE于点H，∠AED＝20°，则旋转角∠ACE为（　　） A．20° B．30° C．40° D．50° 【分析】如图，由旋转变换的性质知CA＝CE；根据AC⊥DE于点H，∠AED＝20°，可求出求出∠CAE的度数，进而可求出旋转角∠ACE的度数． 【解答】解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC， ∴△ABC≌△EDC， ∴CA＝CE， ∴∠CAE＝∠CEA， ∵AC⊥DE， ∴∠AHE＝90°， ∴∠HAE＝90°﹣20°＝70°， ∴∠ACE＝180°﹣2×70°＝40°． 故选：C． 6．（3分）如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（　　） A．AB＝BE B．CE⊥DE C．∠ADB＝90° D．BE⊥AB 【分析】先证四边形DBCE为平行四边形，再由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB＝CD，BC＝AD，BC∥AD，AB∥CD， ∵DE＝AD， ∴BC＝DE， ∵BC∥AD， ∴BC∥DE， ∴四边形DBCE是平行四边形 A、∵AB＝BE时，AB＝CD， ∴BE＝CD， ∴平行四边形DBCE是矩形，故选项A不符合题意； B、∵CE⊥DE， ∴∠CED＝90°时， ∴平行四边形DBCE是矩形，故选项B不符合题意； C、∵∠ADB＝90°， ∴∠BDE＝180°﹣∠ADB＝90°， ∴平行四边形DBCE是矩形，故选项C不符合题意； D、∵BE⊥AB，AB∥CD， ∴BE⊥CD， ∴平行四边形DBCE是菱形，故选项D符合题意． 故选：D． 7．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且DE∥AC、CE∥BD，BC＝4，CE＝2.5，则四边形ODEC的面积为（　　） A．6 B．7 C．8 D．12 【分析】根据S△ODCS矩形ABCD以及四边形OCED的面积＝2S△ODC即可解决问题． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OC＝OB＝OD，∠BCD＝90°， ∵CE∥BD，DE∥AC， ∴四边形CODE是平行四边形， ∴OD＝CE＝2.5， ∴BD＝2OD＝5， ∴CD3， ∴矩形ABCD的面积＝4×3＝12， ∴△OCD的面积矩形ABCD的面积＝3， ∴四边形ODEC的面积＝2△OCD的面积＝2×3＝6． 故选：A． 8．（3分）如图，正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于点E，F是边AB上一点，连接DF，若BE＝AF，则∠CDF的度数为（　　） A．60° B．62.5° C．65° D．67.5° 【分析】先由正方形的性质得到AB＝AD，∠B＝∠BAD＝∠ADC＝90°，∠BAC＝45°，由角平分线的定义得到∠BAE＝∠EAC＝22.5°，再证明△ADF≌△BAE（SAS）得到∠ADF＝22.5°，即可得到∠CDF＝67.5°． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠B＝∠BAD＝∠ADC＝90°，∠BAC＝45°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠EAC＝22.5°， 又∵BE＝AF． 在△ADF和△BAE中， ． ∴△ADF≌△BAE（SAS）， ∴∠ADF＝∠BAE＝22.5°， ∴∠CDF＝67.5°， 故选：D． 9．（3分）如图，已知菱形ABCD与菱形AEFG全等，菱形AEFG可以看作是菱形ABCD经过怎样的图形变化得到？下列结论：①经过1次平移和1次旋转；②经过1次平移和1次翻折；③经过1次旋转，且平面内可以作为旋转中心的点共有3个．其中所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【分析】依据旋转变换以及轴对称变换，分别画图可得结论． 【解答】解：①如图1，先将菱形ABCD向右平移，再绕着点E顺时针旋转得到菱形AEFG，故①正确； ②如图2，将菱形ABCD先平移，再沿直线l翻折可得菱形AEFG，故②正确； ③如图3，经过1次旋转，且平面内可以作为旋转中心的点有A和G，共有2个，故③不正确； 故选：A． 10．（3分）如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E、F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论： ①四边形CFHE是菱形； ②EC平分∠DCH； ③线段BF的取值范围为3≤BF≤4； ④当点H与点A重合时，EF． 以上结论中，你认为正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】①先判断出四边形CFHE是平行四边形，再根据翻折的性质可得CF＝FH，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出①正确； ②根据菱形的对角线平分一组对角线可得∠BCH＝∠ECH，然后求出只有∠DCE＝30°时EC平分∠DCH，判断出②错误； ③点H与点A重合时，设BF＝x，表示出AF＝FC＝8﹣x，利用勾股定理列出方程求解得到BF的最小值，点G与点A重合时，CF＝CD，求出BF＝4，然后写出BF的取值范围，判断出③正确； ④过点F作FM⊥AD于M，求出ME，再利用勾股定理列式求解得到EF，判断出④正确． 【解答】解：①∵FH与CG，EH与CF都是矩形ABCD的对边AD、BC的一部分， ∴FH∥CG，EH∥CF， ∴四边形CFHE是平行四边形， 由翻折的性质得，CF＝FH， ∴四边形CFHE是菱形， 故①正确； ②∴∠BCH＝∠ECH， ∴只有∠DCE＝30°时EC平分∠DCH， 故②错误； ③点H与点A重合时，设BF＝x，则AF＝FC＝8﹣x， 在Rt△ABF中，AB2+BF2＝AF2， 即42+x2＝（8﹣x）2， 解得x＝3， 点G与点D重合时，CF＝CD＝4， ∴BF＝4， ∴线段BF的取值范围为3≤BF≤4， 故③正确； 过点F作FM⊥AD于M， 则ME＝（8﹣3）﹣3＝2， 由勾股定理得， EF2， 故④正确； 综上所述，结论正确的有①③④共3个． 故选：C． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）有40个数据，共分成6组，第1～4组的频数分别为10、5、7、6，第5组的频率是0.1，则第6组的频率是 　0.2　． 【分析】先求出第5组的频数，从而求出第6组的频数，然后根据频率＝频数÷总次数进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得： 40×0.1＝4， ∴40﹣（10+5+7+6+4）＝8， ∴8÷40＝0.2， ∴第6组的频率是0.2， 故答案为：0.2． 12．（3分）在同样条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表，估计该麦种的发芽概率为　0.95　.（精确到0.01） 试验种子数n（粒） 5 100 500 1000 3000 5000 发芽频数m 4 92 476 951 2851 4750 发芽频率 0.800 0.920 0.952 0.951 0.950 0.950 【分析】观察大量重复试验频率稳定到哪个常数附近，就可以用这个常数来估计发芽概率． 【解答】解：观察发现：随着大量重复试验，发芽频率逐渐稳定到常数0.95附近， 所以估计该麦种的发芽概率为0.95． 故答案为：0.95． 13．（3分）如图，菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（0，8），（﹣6，0），则点D的坐标为 　（10，8）　． 【分析】过点D作DE⊥x轴于点E，由题意得AO＝8，BO＝6，根据菱形的性质可得AB＝DC，AB∥DC，再由平行线的性质可得∠B＝∠DCE，可证△AOB≌△DEC（AAS），可得AO＝DE＝8，再利用勾股定理求解即可． 【解答】解：过点D作DE⊥x轴于点E， ∵点A，B的坐标分别为（0，8），（﹣6，0）， ∴AO＝8，BO＝6， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝DC，AB∥DC， ∴∠B＝∠DCE， 又∵∠AOB＝∠DEC＝90°， ∴△AOB≌△DEC（AAS）， ∴AO＝DE＝8， ∵AD∥BC，AO⊥BC， ∴AO⊥AD， 在Rt△AOB中，， ∴AD＝AB＝10， ∴D（10，8）， 故答案为：（10，8）． 14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，▱OABC的边OC落在x轴的正半轴上，且点B（6，2），点C（4，0），直线y＝2x+1以每秒1个单位长度的速度沿y轴向下平移，经过 　6　秒该直线可将▱OABC分成面积相等的两部分． 【分析】先连接AC、BO，交于点D，当y＝2x+1经过D点时，该直线可将▱OABC的面积平分，然后计算出过D且平行直线y＝2x+1的直线解析式，从而可得直线y＝2x+1要向下平移6个单位，进而可得答案 【解答】解：连接AC、BO，交于点D，当y＝2x+1经过D点时，该直线可将▱OABC的面积平分； ∵四边形AOCB是平行四边形， ∴BD＝OD， ∵B（6，2）， ∴D（3，1）， 设DE的解析式为y＝kx+b， ∵平行于y＝2x+1， ∴k＝2， ∵过D（3，1）， ∴1＝2×3+b， ∴b＝﹣5， ∴DE的解析式为y＝2x﹣5， ∴直线y＝2x﹣5于y轴交于点（0，﹣5）， ∴直线y＝2x+1要向下平移6个单位， ∴时间为6秒， 故答案为：6． 15．（3分）如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠A＝60°，将▱ABCD折叠，使得点B与点D重合，折痕交AD，BC分别于点E，F，则AE＝ 　　． 【分析】设AE＝2x，作EL⊥GD于点L，因为AB＝6，AD＝8，∠A＝60°，所以CE＝8﹣2x，由折叠得GD＝AB＝6，GE＝AE＝2x，∠G＝∠A＝60°，则∠GEL＝30°，所以GLGE＝x，则DL＝6﹣x，于是得（2x）2﹣x2＝（8﹣2x）2﹣（6﹣x）2＝EL2，求得x，则AE，于是得到问题的答案． 【解答】解：设AE＝2x，作EL⊥GD于点L，则∠GLE＝∠DLE＝90°， ∵AB＝6，AD＝8，∠A＝60°， ∴CE＝AD﹣AE＝8﹣2x， 由折叠得GD＝AB＝6，GE＝AE＝2x，∠G＝∠A＝60°， ∴∠GEL＝90°﹣∠G＝30°， ∴GLGE＝x， ∴DL＝6﹣x， ∵GE2﹣GL2＝DE2﹣DL2＝EL2， ∴（2x）2﹣x2＝（8﹣2x）2﹣（6﹣x）2， 解得x， ∴AE＝2， 故答案为：． 16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P在CB的延长线上，点Q在直线AP上，连接BQ，DQ，若∠ADQ+∠BAQ＝180°，则BQ的最大值为 　2　． 【分析】取AD的中点E，连接BE、QE，由矩形的性质得∠BAD＝90°，AD＝BC＝4，则AE＝2，由勾股定理求得BE，再证明∠ADQ＝∠PAB，可求得∠ADQ+∠DAQ＝∠PAB+∠DAQ＝90°，则∠AQD＝90°，所以QEAD＝2，由BQ≤BE+QE，得BQ2，则BQ的最大值是2，于是得到问题的答案． 【解答】解：取AD的中点E，连接BE、QE， ∵四边形ABCD是矩形，AB＝3，BC＝4， ∴∠BAD＝90°，AD＝BC＝4， ∴AE＝DEAD＝2， ∴BE， ∵∠ADQ+∠BAQ＝180°，∠PAB+∠BAQ＝180°， ∴∠ADQ＝∠PAB， ∴∠ADQ+∠DAQ＝∠PAB+∠DAQ＝180°﹣∠BAD＝90°， ∴∠AQD＝90°， ∴QEAD＝2， ∵BQ≤BE+QE， ∴BQ2， ∴BQ的最大值是2， 故答案为：2． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（8分）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共30只，这些球除颜色外其余完全相同．搅匀后，小明做摸球试验，他从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据． 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数m 52 138 178 302 481 599 1803 摸到白球的频率 0.52 0.69 0.593 0.604 0.60 0.599 0.601 （1）若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为 　0.6　（精确到0.1）； （2）盒子里白色的球有 　18　只； （3）若将m个完全一样的白球放入这个盒子里并摇匀，随机摸出1个球是白球的概率是0.8，求m的值． 【分析】（1）由表中n的最大值所对应的频率即为所求； （2）用总数乘以其频率即可求得频数； （3）利用概率公式求解即可． 【解答】解：（1）由表可知，若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为0.6， 故答案为：0.6； （2）∵摸到白球的概率为0.6，共有30只球， ∴则白球的个数为30×0.6＝18（只）， 故答案为：18； （3）根据题意得：0.8， 解得：m＝30． 答：m的值为30． 18．（8分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作EF⊥AC，分别交边AB，DC于点E，F，连结AF，CE．若AE＝13，OA＝12． （1）求EF的长； （2）求▱ABCD边AB上的高． 【分析】（1）先由勾股定理可得，，再判定△DOF≌△BOE（ASA），即可得OE＝OF，进而得出EF的长； （2）过点F作FH⊥AB于点H，利用等面积即可得出高． 【解答】解：（1）∵EF⊥AC，AE＝13，OA＝12， ∴． ∵▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O， ∴OD＝OB，DC∥BA， ∴∠FDO＝∠EBO． 又∵∠FOD＝∠EOB， ∴△FDO≌△EBO（ASA）， ∴FO＝EO， ∴EF＝2EO＝10． （2）如图，过点F作FH⊥AB于点H， ∵， 即， ∴▱ABCD边AB上的高． 19．（8分）我市某中学开展了“强国复兴有我”迎国庆知识竞赛活动，赛后随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划分为A：60≤x＜70，B：70≤x＜80，C：80≤x＜90，D：90≤x≤100四个等级，绘制成如下两幅不完整的统计图表． 分数段（分） 频数（人） 频率 60≤x＜70 10 0.2 70≤x＜80 a b 80≤x＜90 16 c 90≤x≤100 4 d 请根据以上信息回答下列问题： （1）这次抽样调查的样本容量为 　50　； （2）其中频数分布表中a＝　20　，c＝　0.32　并补全频数分布直方图； （3）若该校共有1200名同学参赛，成绩在80分以上（包括80分）的为“优”等，估计全校学生成绩为“优”等的学生有多少人． 【分析】（1）由A等级的频数除以频率求出参赛学生共有的人数，即可解决问题； （2）用总人数减去其它等级的人数即可求出成绩在B等级的学生人数，得到a的值，用C等级的人数除以总人数即可得到c的值，根据所求补全统计图即可； （3）由C、D等级的人数之和的占比乘以全校人数同学即可． 【解答】解：（1）参赛学生共有10÷0.2＝50（人）， 即这次抽样调查的样本容量为50， 故答案为：50 （2）成绩在B等级的学生人数为50﹣10﹣16﹣4＝20（人）， 即a＝20 ， 故答案为：20，0.32， 补全频数分布直方图如下： （3）（人） 答：估计全校学生成绩为“优”等的学生有480人． 20．（8分）如图，A（0，1），B（3，3），C（1，3）B1（﹣2，4），C1（﹣2，2）． （1）△ABC绕点　A　逆时针旋转　90　度得到△AB1C1； （2）画出△ABC绕原点O顺时针旋转90°的△A2B2C2，直接写出点C2坐标　（3，﹣1）　；若△ABC内一点P（m，n）在△A2B2C2的对应点为Q，则Q的坐标为　（n，﹣m）　．（用含m，n的式子表示） （3）在x轴上描出点M，使AM+BM最小，此时AM+BM＝　5　． 【分析】（1）根据旋转变换的性质即可解决问题． （2）分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可解决问题． （3）作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B交x轴于M，连接AM，此时AM+BM的值最小，最小值＝BA′． 【解答】解：（1））△ABC绕点A逆时针旋转90度得到△AB1C1． 故答案为A，90． （2）△A2B2C2即为所求，C2（3，﹣1），由题意Q（n，﹣m）． 故答案为（3，﹣1），（n，﹣m）． （3）作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B交x轴于M，连接AM，此时AM+BM的值最小，最小值＝BA′5， 故答案为5． 21．（8分）已知正方形ABCD，P是CD的中点，请仅用无刻度的直尺按下列要求画图．（保留画图痕迹，不写画法） （1）在图①中，画PQ⊥AB，垂足为Q； （2）在图②中，画BH⊥AP，垂足为H． 【分析】（1）连接AC、BD，它们相交于O点，延长PO交AB于Q，则PQ⊥AB； （2）连接DQ交AP于E点，延长OE交AD于F，连接BF交AP于H，则可证明△ABF≌△DAP得到∠ABF＝∠DAP，再证明∠AHB＝90°，则BH⊥AP． 【解答】解：（1）如图①，PQ为所作； （2）如图②，BH为所作． 22．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，E、F为对角线BD上两点，BE＝DF，连接AE、EC、CF、FA． （1）求证：四边形AECF为平行四边形； （2）若AB＝AD，求证：四边形AECF为菱形； （3）在（2）的条件下，连接AC交BD于点O，若AB：BE：AO＝5：1：3．求证：四边形AECF为正方形． 【分析】（1）连接AC交BD于点O，根据平行四边形的对角线互相平分可得OA＝OC，OB＝OD，然后求出OE＝OF，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明； （2）根据菱形的对角线互相垂直可得AC⊥EF，从而得到AC⊥BD，所以▱ABCD需要满足是菱形，即邻边相等； （3）在（2）的条件下∠AOB＝90°，由勾股定理得BO＝4k，可得EO＝BO﹣BE＝3k，可得AO＝EO＝OF，得到∠OAE＝∠OEA＝45°，∠OAF＝∠OFA＝45°，进一步得到∠EAF＝∠OAE+∠OAF＝90°，再根据正方形的判定可得四边形AECF是正方形． 【解答】证明：（1）如图，连接AC交BD于点O， 在▱ABCD中，OA＝OC，OB＝OD， ∵BE＝DF， ∴OB﹣BE＝OD﹣DF， 即OE＝OF， ∴四边形AECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）； （2）在▱ABCD中，∵AB＝AD， ∴▱ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴AC⊥EF， ∴平行四边形AECF是菱形． （3）在（2）的条件下∠AOB＝90°， ∵AB：BE：AO＝5：1：3， 设AB＝5k，则AO＝3k，BE＝k， 由勾股定理得BO＝4k， ∴EO＝BO﹣BE＝3k， ∴AO＝EO， ∴AO＝EO＝OF， ∴∠OAE＝∠OEA＝45°，∠OAF＝∠OFA＝45°， ∴∠EAF＝∠OAE+∠OAF＝90°， ∵四边形AECF是菱形． ∴四边形AECF是正方形． 23．（10分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4cm，点O是对角线AC的中点，动点P、Q分别从点A、B同时出发，点P以1cm/s的速度沿边AB向终点B匀速运动，点Q以2cm/s的速度沿边BC向终点C匀速运动，当一点到达终点时另一点也停止运动，连接PO并延长交边CD于点M，连接QO并延长交边DA于点N，连接PQ、QM、MN、NP，得到四边形PQMN，设点P的运动时间为x（s）（x＞0），四边形PQMN的面积为y（cm2）． （1）BP的长为 　（4﹣x）　cm，CM的长为 　x　cm；（用含x的代数式表示） （2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； （3）当四边形PQMN是轴对称图形时，求出x的值． 【分析】（1）证△MCO≌△PAO，得出CM＝AP即可； （2）证△QCO≌△NAO，分别列出S△APN，S△CMQ，S△BPQ，S△DMN，再用正方形面积减去即可； （3）先确定四边形PQMN是平行四边形，其中能为轴对称的只有矩形和菱形，分别讨论即可． 【解答】解：（1）由题意得，AP＝x cm，BQ＝2x cm， ∵AB＝4cm， ∴BP＝AB﹣AP＝（4﹣x）cm， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB∥CD， ∴∠MCO＝∠PAO，∠CMO＝∠APO， ∵点O是对角线AC的中点， ∴CO＝AO， 在△MCO和△PAO中， ， ∴△MCO≌△PAO（AAS）， ∴CM＝AP＝x cm， 故答案为：（4﹣x），x； （2）根据题意，得：0＜x≤2，如图1， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD∥BC， ∴∠QCO＝∠NAO，∠CQO＝∠ANO， ∵点O是对角线AC的中点， ∴CO＝AO， 在△QCO和△NAO中， ， ∴△QCO≌△NAO（AAS）， ∴CQ＝AN， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝AB＝CD＝AD＝4cm， ∵BQ＝2x cm， ∴CQ＝BC﹣BQ＝（4﹣2x）cm， ∴AN＝（4﹣2x）cm， ∴DM＝CD﹣CM＝（4﹣x）cm，DN＝AD﹣AN＝2x cm， ∴； ；；， ∴y＝S正方形ABCD﹣S△APN﹣S△CMQ﹣S△BPQ﹣S△DMN＝42﹣2（2x﹣x2）﹣2（4x﹣x2）＝4x2﹣12x+16， 综上，y＝4x2﹣12x+16（0＜x≤2）； （3）∵△MCO≌△PAO， ∴MO＝PO， ∵△QCO≌△NAO， ∴QO＝NO， ∴四边形PQMN是平行四边形， ∵四边形PQMN是轴对称图形， ①当四边形PQMN是矩形时，如图2， 只需PO＝QO即可， 则此时只需PB＝QB即可， ∴4﹣x＝2x， 解得； ②当四边形PQMN是菱形时，PQ＝MQ， ∴（4﹣x）2+（2x）2＝x2+（4﹣2x）2， 解得x＝0（舍去）； 综上，当四边形PQMN是轴对称图形时，x的值是． 24．（12分）定义：有一组对角是直角的四边形叫做“准矩形”；有两组邻边（不重复）相等的四边形叫做“准菱形”． 如图①，在四边形ABCD中，若∠A＝∠C＝90°，则四边形ABCD是“准矩形”； 如图②，在四边形ABCD中，若AB＝AD，BC＝DC，则四边形ABCD是“准菱形”． （1）如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C在格点（小正方形的顶点）上，请分别在图③、图④中画出“准矩形”ABCD和“准菱形”ABCD′．（要求：D、D′在格点上）； （2）下列说法正确的有　①②③④　；（填写所有正确结论的序号） ①一组对边平行的“准矩形”是矩形； ②一组对边相等的“准矩形”是矩形； ③一组对边相等的“准菱形”是菱形； ④一组对边平行的“准菱形”是菱形． （3）如图⑤，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为一边向外作“准菱形”ACEF，且AC＝EC，AF＝EF，AE、CF交于点D． ①若∠ACE＝∠AFE，求证：“准菱形”ACEF是菱形； ②在①的条件下，连接BD，若BD，∠ACB＝15°，∠ACD＝30°，请直接写出四边形ACEF的面积． 【分析】（1）根据题意画出图形即可； （2）根据矩形和菱形的判定定理即可得到结论； （3）①根据全等三角形的性质得到∠ACF＝∠ECF，∠AFC＝∠EFC，求得∠ACF＝∠EFC，∠ECF＝∠AFC，推出AC∥EF，AF∥CE，根据菱形的判定定理即可得到结论； ②首先取AC的中点G，连接BG、DG，再根据∠ADC＝90°，∠ABC＝90°，然后求出∠BGD＝90°，即可判断出△BGD是等腰直角三角形；最后根据勾股定理，分别求出AD、CD的值，再根据三角形的面积的求法，求出菱形ACEF的面积为多少即可． 【解答】解：（1）如图③所示，四边形ABCD即为所求； 如图④所示，四边形ABCD′即为所求； （2）①如图①，当CD∥AB， ∴∠D+∠A＝∠C+∠B＝180°， ∵∠A＝∠C＝90°， ∴∠D＝∠B＝90°， ∴四边形ABCD是矩形，故①正确； ②如图，连接BD， ∵∠A＝∠C＝90°，CD＝AB，BD＝BD， ∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL）， ∴AD＝CB， ∴四边形ABCD是矩形，故②正确； ③如图②，∵AD＝AB，CD＝CB，AD＝BC， ∴AD＝AB＝BC＝CD， ∴四边形ABCD是菱形； ④如图②，连接BD， ∵AD＝AB，CD＝CB， ∴∠ADB＝∠ABD，∠CDB＝∠CBD， 当AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD， ∴∠ABD＝∠CBD， ∴∠CDB＝∠ABD， ∴AB∥CD， ∴四边形ABCD是菱形； 故正确的有①②③④， 故答案为：①②③④； （3）①证明：∵AC＝EC，AF＝EF，CF＝CF， ∴△ACF≌△ECF（SSS）， ∴∠ACF＝∠ECF，∠AFC＝∠EFC， ∵∠ACE＝∠AFE， ∴∠ACF＝∠EFC，∠ECF＝∠AFC， ∴AC∥EF，AF∥CE， ∴准菱形ACEF是平行四边形， ∵AC＝EC， ∴准菱形ACEF是菱形； ②如图⑤，取AC的中点G，连接BG、DG、BD． ∵四边形ACEF是菱形， ∴AE⊥CF， ∴∠ADC＝90°， ∵∠ACD＝30°，∠ACB＝15°， ∵DG＝GA＝GC＝GB， ∴∠GCD＝∠GDC＝30°，∠GCB＝∠GBC＝15°， ∴∠AGB＝15°×2＝30°，∠AGD＝30°×2＝60°， ∴∠BGD＝30°+60°＝90°， ∴△BGD是等腰直角三角形， ∴BG2+DG2＝2DG2＝BD2， ∴DG＝1， ∴AC＝2DG＝2， ∴ADAC＝21， ∴CD， ∴菱形ACEF的面积为：14＝2． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$