专题17.10 一元二次方程全章专项复习【3大考点12种题型】-2024-2025学年八年级数学下册举一反三系列（沪科版）

专题17.10 一元二次方程全章专项复习【3大考点12种题型】 【沪科版】 【考点1 一元二次方程】 1 【题型1 根据一元二次方程的定义求值】 1 【题型2 根据实际问题列一元二次方程】 3 【题型3 根据方程的根整体代入求代数式的值】 4 【考点2 解一元二次方程】 6 【题型4 一元二次方程的解法】 7 【题型5 一元二次方程根的判别式的应用】 10 【题型6 一元二次方程根与系数关系的应用】 13 【题型7 配方法的应用】 19 【考点3 实际问题与一元二次方程】 25 【题型8 列一元二次方程解决有关平均变化率的问题】 26 【题型9 列一元二次方程解决循环传播问题】 29 【题型10 列一元二次方程解决有关面积问题】 31 【题型11 列一元二次方程解决销售利润问题】 36 【题型12 一元二次方程与动点综合应用】 39 【考点1 一元二次方程】 （1）一元二次方程的定义 等号两边都就是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数就是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 注意以下几点：①只含有一个未知数；②未知数的最高次数就是2；③就是整式方程。 （2） 一元二次方程的一般形式 一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0)、其中，ax2就是二次项，a就是二次项系数；bx就是一次项，b就是一次项系数；c就是常数项。 （3）一元二次方程的根 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义就是解方程过程中验根的依据。 【题型1 根据一元二次方程的定义求值】 【例1】（2024·辽宁抚顺·模拟预测）已知一元二次方程有一个根为，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查一元二次方程的解、解一元二次方程及一元二次方程的定义，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．根据一元二次方程的根就是一元二次方程的解，把代入方程代入进行求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有一个根为0， ∴把代入方程得：， 解得：或， ∵，即， ∴， 故答案为：5． 【变式1-1】（23-24八年级·云南曲靖·期中）关于的方程是一元二次方程，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为的形式，则这个方程就为一元二次方程． 【详解】解：若关于x的方程是一元二次方程，则． 故选：B． 【变式1-2】（23-24八年级·广西崇左·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一次未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程． 根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、是一元一次方程，故此选项不符合题意； B、是一元二次方程，故本选项符合题意； C、含有2个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：B． 【变式1-3】（23-24八年级·浙江嘉兴·期中）若方程是关于x的一元二次方程，则 ． 【答案】2 【分析】此题主要是注意一元二次方程的定义：未知数的最高次数是二次的整式方程，且二次项系数不得为0，根据一元二次方程的定义得到且，求得m的值即可． 【详解】解：根据一元二次方程的定义，得且， 解得. 故答案为：2 【题型2 根据实际问题列一元二次方程】 【例2】（23-24八年级·贵州贵阳·期中）中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步?”翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步?利用方程思想，设宽为x步，则依题意列方程为 ，化为一般形式 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列方程解应用题．一元二次方程的一般形式为：，根据题意列出方程，再化成一般形式即可． 【详解】设宽为x步，则长为步，根据题意得 ， 化为一般式为：． 故空1答案为：， 空2 答案为：． 【变式2-1】（2024·浙江嘉兴·三模）随着科技发展，骑行共享单车这种“低碳”生活方式已融入人们的日常生活．据统计某市2024年4月份累计租车6500人次，租车量逐月增加，预计到6月份租车量达7600人次，求平均每个月的增长率．若设平均每月增长率为x，根据题意可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，可得月份租车量为次，进而可求解；掌握增长率的典型模型（）的解法是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 故答案：． 【变式2-2】（2024·江苏南通·模拟预测）某商品进价为25元，当每件售价为50元时，每天能售出100件，经市场调查发现，每件售价每降低1元，则每天可多售出5件，店里每天的利润要达到1500元．若设店主把该商品每件售价降低x元，求解可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意列出方程是解题关键． 设每件商品售价降低元，根据题意列出方程即可． 【详解】解：设每件商品售价降低元 则每天的利润为：， 故答案为：． 【变式2-3】（23-24八年级·河南南阳·期中）某花生种植基地原有花生品种每公顷产量为千克，出油率为．改用新品种之后，每公顷收获的花生可加工得到花生油千克．已知新品种花生的每公顷产量和出油率都比原有品种有所增加，其中出油率增加是每公顷产量增长率的一半，求出油率的增长率．若设：出油率的增长率为，则根据题意，可列方程为： ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用——增长率问题，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．根据“出油率增加是每公顷产量增长率的一半”可得公顷产量增长率为，根据“原有花生品种每公顷产量为千克，出油率为．改用新品种之后，每公顷收获的花生可加工得到花生油千克”即可列出关于的一元二次方程． 【详解】解：出油率增长率为，则公顷产量增长率为，依题意有： ， 故答案为：． 【题型3 根据一元二次方程的根代入求值】 【例3】（2024八年级·江苏·专题练习）已知是方程的根，则代数式的值为 . 【答案】4046 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．先根据一元二次方程根的定义得到，再整体代入计算即可． 【详解】解：是方程的根， ， ， ， 故答案为：4046． 【变式3-1】（2024·北京东城·模拟预测）若是关于的方程的解，则的值为 ． 【答案】2027 【分析】此题考查了一元二次方程的解及代数式求值，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 把代入方程求出的值，代入原式计算即可求出值． 【详解】解：把代入方程得：，即， 则原式， 故答案为：2027． 【变式3-2】（2024·江苏连云港·模拟预测）已知m是一元二次方程的一个根，则的值是 ． 【答案】0 【分析】本题考查了一元二次方程的解和代数式求值，利用整体代入的思想求解是解题的关键．利用一元二次方程的解的定义得到，再根据，代入求解即可求． 【详解】解：是一元二次方程的一个根， 即， ， 将代入得：原式， 故答案为：0． 【变式3-3】（2024·湖北黄冈·模拟预测）已知三个关于x的一元二次方程，，，恰有一个公共实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，求代数式的值，设公共实数根为，则，，，三式相加得出，即，求出，再将原式变形计算即可得出答案． 【详解】解：设公共实数根为，则，，， ∴三式相加得出，即， ∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【考点2 解一元二次方程】 （1） 直接开平方法解一元二次方程 如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边就是非负数，可以直接开平方。一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解的x1=,x2=-、 直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。 用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根就是零；负数没有平方根。 直接开平方法解一元二次方程的步骤就是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。 （2）配方法解一元二次方程 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的就是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。 配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。 ①把常数项移到等号的右边； ②方程两边都除以二次项系数； ③方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式； ④若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。 （3） 公式法解一元二次方程 一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0，那么方程的两个根为，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求的方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。 一元二次方程求根公式的推导过程，就就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的过程。 公式法解一元二次方程的具体步骤： ①方程化为一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，一般a化为正值； ②确定公式中a,b,c的值，注意符号； ③求出b2-4ac的值； ④若b2-4ac≥0，则把a,b,c与b-4ac的值代入公式即可求解，若b2-4ac＜0，则方程无实数根。 （4）一元二次方程根的判别式 式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即△=b2-4ac、 一元二次方程根的判别式： △＞0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根 △=0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根 △＜0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根 （5） 因式分解法解一元二次方程 把一元二次方程的一边化为0，而另一边分解成两个一次因式的积，进而转化为求两个求一元一次方程的解，这种解方程的方法叫做因式分解法。 因式分解法的详细步骤： ①移项，将所有的项都移到左边，右边化为0； ②把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因式、平方差公式与完全平方公式； ③令每一个因式分别为零，的到一元一次方程； ④解一元一次方程即可的到原方程的解。 （6） 一元二次方程根与系数的关系 若一元二次方程x2+px+q=0的两个根为x1,x2,则有x1+x2=-p,x1x2=q; 若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1,x2则有x1+x2=- , x1x2=. 【题型4 一元二次方程的解法】 【例4】（23-24八年级·北京·期中）方程的两个根分别是一个直角三角形的两条边长，则直角三角形的第三条边长是 ． 【答案】或4 【分析】本题考查了解一元二次方程和勾股定理，能求出符合的所有情况是解此题的关键． 先求出方程的解，再分为两种情况，根据勾股定理求出第三边即可． 【详解】解：解方程得：或， 即直角三角形的两边为3或5， 当长为5的边是直角边时，第三边为：； 当长为5的边是斜边时，第三边为：； 故答案为：或4． 【变式4-1】（23-24八年级·广西崇左·期中）用适当的方法解下列方程 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2) (3)， (4)， 【分析】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． （1）利用因式分解法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可； （3）利用因式分解法求解即可； （4）利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解： ， ， 或， ，． （2）解：解：， ， ， ． （3）解：， ， ， ， 或， ，． （4）解：， ， 或， ，． 【变式4-2】（23-24八年级·甘肃酒泉·期中）在实数范围内规定一种运算“#”，其规则为，根据这个规则，方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查实数的运算，理解新定义是解题的关键．根据题意得到，从而解一元二次方程即可． 【详解】解：由题意得：， ， 解得． 故答案为：． 【变式4-3】（2024·北京东城·模拟预测）如果是关于的一元二次方程的一个根，那么关于的一元二次方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了一元二次方程的解，因式分解法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握以上知识点．将代入得到，然后结合得到或，然后求解即可． 【详解】解：∵是关于的方程的根， ∴，得， ， 或或或， 解得或． 故选：A． 【题型5 一元二次方程根的判别式的应用】 【例5-1】（2024·辽宁抚顺·模拟预测）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程的根的判别式求参数，正确掌握一元二次方程的根与判别式的关系是解题的关键．根据一元二次方程有实数根得到且，即可求出答案． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴，且， 解得且， 故选：D． 【例5-2】（23-24八年级·山东淄博·期中）已知：关于x的一元二次方程（m为实数） (1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； (2)求证：无论m为何值，方程总有一个固定的根． 【答案】(1)且 (2)见解析 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根，熟练掌握相关知识并运用分类讨论的思想是解题的关键． （1）由方程有两个不相等的根，可得，由一元二次方程的定义可得，由此即可求得m的取值范围； （2）利用求根公式表示出方程的两个根，即可得证． 【详解】（1）解：， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴且， ∴且， ∴的取值范围是且； （2）解：由求根公式得 ， ∴， ， ∴无论为何值，方程总有一个固定的根是1 ． 【变式5-1】（2024·安徽合肥·模拟预测）对于实数定义一种新运算：，若关于的方程（为整数）有两个相等的实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的新定义运算，一元二次方程根的判别式，先由新定义运算得，即得，再根据即可求解，理解新定义运算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 整理得，， ∵关于的方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式5-2】（2024·北京东城·模拟预测）已知关于的一元二次方程． (1)利用判别式判断方程实数根的情况； (2)若该方程只有一个根小于2，求的取值范围． 【答案】(1)方程有两个实数根 (2) 【分析】本题考查了根的判别式、偶次方的非负性以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是掌握根的判别式． （1）根据根的判别式可得出， 利用偶次方的非负性即可判断； （2）利用因式分解法解一元二次方程可得出，结合该方程只有一个根小于 2可得出，解之即可得出的取值范围． 【详解】（1）解：， ∴原方程有两个实数根； （2）解：， 故， ， 解得，或， ∵方程只有一个根小于2 ， ， 解得：． 【变式5-3】（23-24八年级·浙江杭州·阶段练习）关于x的一元二次方程（ab≠0）有两个相等的实数根，则下列选项成立的是（    ） A．若﹣1＜a＜0，则 B．若，则0＜a＜1 C．若0＜a＜1，则 D．若，则-1＜a＜0 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的根的情况利用判别式求得a与b的数量关系，再代入方程求k的值，然后结合a的取值范围和分式加减法运算法则计算求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程（ab≠0）有两个相等的实数根k， ∴ ， ， 又∵， ∴a-b-1=0，即a=b+1， ∴ax2-2ax+a=0， 解得：x1=x2=1， ∴k=1， 当时，即， 即， ∴a（a-1）<0， 即或 解得0<a<1 当时，即， 即， ∴a（a-1）>0， 即或 解得：a>1或a<0． 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程的根的判别式，根据一元二次方程根的情况求得a与b之间的等量关系是解题关键． 【题型6 一元二次方程根与系数关系的应用】 【例6-1】（2024·湖南株洲·模拟预测）关于x的一元二次方程有两个根，且满足，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根于系数的关系，根据，列式结合求解即可得到答案； 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个根， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， 解得：，， 当时，，，故不符合题意舍去， 当时，，，符合题意， 故答案为：． 【例6-2】（2024·湖北武汉·模拟预测）已知a，b分别为方程的两个不相等的实数根，则值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的求值，完全平方公式，先由根与系数的关系得到，再根据分式的混合计算法则求出所求式子的化简结果，最后利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵a，b分别为方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴ ， 故选：B． 【例6-3】（2024·湖南长沙·模拟预测）若关于的一元二次方程的两个实数根分别是一个菱形的两条对角线长，且该菱形的面积为11，则菱形的边长为 ． 【答案】 【分析】先设出菱形两条对角线的长，利用根与系数的关系及对角线与菱形面积的关系得等式，再根据菱形的边长与对角线的关系求出菱形的边长． 【详解】解：设菱形的两条对角线长分别为a、b， 由题意，得． ∴菱形的边长 ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，根与系数关系定理，方程组，勾股定理，熟练掌握根与系数关系定理，方程组，勾股定理是解题的关键． 【变式6-1】（23-24八年级·浙江宁波·期中）十六世纪的法国数学家韦达在研究一元二次方程的解法的过程中，发现方程的根与系数之间存在着特殊关系，由于该关系最早由韦达发现，人们把这个关系称之为韦达定理．韦达定理：有一元二次方程形如的两根分别为，，则有，． (1)，是关于x的一元二次方程的两实根，且，求k的值． (2)已知：是一元二次方程的两个实数根，设，，…，，根据根的定义，有，，将两式相加，得，于是，得．根据以上信息，解答下列问题： ①直接写出，的值． ②经计算可得：，，，当时，请猜想，，之间满足的数量关系，并给出证明． 【答案】(1)k的值为1 (2)①，；②猜想：当时，，证明见解析 【分析】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的根的定义； （1）根据根与系数的关系即可求出答案． （2）①根据根与系数的关系，可得由根的定义可知，，，根据一元二次方程的解的定义可得，进而求得； ②根据题意，，，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵，是关于x的一元二次方程的两实根， ∴ 解得：， 由根与系数的关系可知∶， ，即， 整理得：， 解得： (舍去)， ， ∴k的值为1． （2）①由根的定义可知，， 又∵是一元二次方程的两个实数根， ， ②猜想：当时， 证明：因为为方程的根，所以有，等式两边都乘以，得 同理可得： 两式相加可得： 根据题意，，， ∴，且根据题意，因此， 所以当3时，有． 【变式6-2】（23-24八年级·四川凉山·期中）若a，b是两个不相等的实数，且满足，，则代数式的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，，． 先根据一元二次方程的解得的定义得到a，b是方程的两个根，，将代数式化为，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵a，b是两个不相等的实数，且满足，， ∴a，b是方程的两个根， ∴， ∵， ∴， ∴， ， 故答案为：4． 【变式6-3】（2024·浙江·模拟预测）已知方程（x为实数），请你解答下列问题： (1)若，解此方程； (2)若，求证：此方程至少有一个实数根； (3)设此方程有两个不相等的实数根分别为．若，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查一元二次方程的知识，涉及一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解一元二次方程． （1）将代入，利用配方法求解方程即可； （2）利用一元二次方程根的判别式，结合，得到，根据，即可证明； （3）根据题意原方程为，由一元二次方程根与系数的关系的到，再根据完全平方公式变形得到，从而得到，根据根的判别式得到即可证明结论． 【详解】（1）解： ， 原方程为， 解得：； （2）证明：中， ， ， ， ， ， 此方程至少有一个实数根； （3）证明：根据题意原方程为，且方程有两个不相等的实数根分别为， ， ， ， 即， ． 【变式6-4】（2024·福建龙岩·模拟预测）新定义：已知关于x的一元二次方程的两根之和与两根之积，分别是另一个一元二次方程的两个根，则一元二次方程称为一元二次方程的“再生韦达方程”，一元二次方程称为“原生方程”． 比如：一元二次方程的两根分别为，则，所以它的“再生韦达方程”为． (1)已知一元二次方程，求它的“再生韦达方程”； (2)已知“再生韦达方程”，求它的“原生方程”． 【答案】(1) (2)或 【分析】题目主要考查一元二次方程根与系数的关系及因式分解法解一元二次方程，熟练掌握根与系数的关系是解题关键． （1）根据一元二次方程根与系数的关系得出，然后根据新定义求解即可； （2）令它的“原生方程”两根分别为，根据题意得出，或，然后求解即可． 【详解】（1）解：解 得， 则，       所以一元二次方程的“再生韦达方程”为， 即； （2）解得， 令它的“原生方程”两根分别为， 则，或． 当，则所求“原生方程”为；           当，则所求“原生方程”为． 综上所述，它的“原生方程”为或． 【题型7 配方法的应用】 【例7-1】（23-24八年级·山东泰安·期中）配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来解决一些最值问题．例如：，所以的最小值为，此时． (1)尝试：，因此当 时，代数式有最小值，最小值是 ； ，所以当 时，代数式有最 （填“大”或“小”）值． (2)应用：如图，矩形花圃一面靠墙（墙足够长）另外三面所围成的栅栏的总长是，栅栏如何围能使花圃面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)；，大； (2)当为米，为米时，面积最大为平方米． 【分析】（）根据配方后的结果即可求解；根据配方后的结果即可求解； （）设垂直于墙的边长为，则平行于墙的边长为，列式表示出矩形的面积，再利用配方法解答即可求解； 本题考查了利用配方法求代数式的最值，掌握配方法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，代数式有最小值，最小值为， 故答案为：，； ∵， ∴当时，代数式有最大值， 故答案为：，大； （2）解：设垂直于墙的边长为，则平行于墙的边长为， 根据题意得，， 当时，有最大值，最大值为， ∴围成的矩形花圃垂直于墙的栅栏长时，能使花圃面积最大，最大面积是． 【例7-2】（23-24八年级·四川南充·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法，利用配方法可求一元二次方程的根，也可以求二次函数的顶点坐标等，所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，其实这种方法还经常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义解决某些问题．我们规定：一个整数能表示成 (a，b是整数)的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． 【解决问题】： （1）下列各数中，“完美数”有_____ (只填序号)； ①10      ②24     ③34    ④60 【探究问题】： （2）若可配方成 (m，n为常数)，则的值为_____； （3）已知 (a，b是整数，k是常数)，要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由； 【拓展应用】： （4）已知实数x，y均满足，求代数式的最小值． 【答案】（1）①③；（2）；（3），理由见解析；（4）2029 【分析】本题考查配方法的应用．熟练掌握配方法，理解并掌握完美数的定义是解题的关键． （1）根据“完美数”的定义，判断各数是否能写成的形式即可； （2）通过配方将变形，求出m和n的值，代入求解即可； （3）通过配方将变形为，对照“完美数”的定义即可求解； （4）通过配方将变形为，根据求出x的取值范围，根据增减性即可求解 【详解】解：（1），，24和60不能写成的形式， 10和34是“完美数”， 24和60不是“完美数”， 故答案为：①③； （2）， ，， ， 故答案为：； （3）当时，S是“完美数”，理由如下： ， 当时，， ∵a，b是整数， ∴和也是整数， ∴当时，S是“完美数”； （4）解：∵， ∴，                                                        ∴原式 ，                                                       …… 又∵， ∴， ∵， ∴当时，原式的值随着x的增大而增大， ∴当时，原式取最小值，最小值为：． 【变式7-1】（2024·安徽马鞍山·二模）已知为实数，且，则之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据已知等式求出，再利用完全平方公式判断出的符号，由此即可得出答案． 【详解】， ， ， ， ， ， 又， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键． 【变式7-2】（23-24八年级·湖北鄂州·期中）已知实数m，n满足，，且，若，则代数式的最小值是 ． 【答案】8 【分析】根据一元二次方程根与系数关系得到和的值，代入变形后的代数式，再利用配方法即可求出最小值． 【详解】、满足，， 、是方程的两个实数根， ，， ，， 的最小值是， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了代数式求值，一元二次方程根与系数的关系，配方法的运用，熟练掌握根和系数关系是解题关键． 【变式7-3】（2024·四川成都·二模）在测量时，为了确定被测对象的最佳值，经常要对同一对象测量若干次，然后选取与各测量数据的差的平方和为最小的数作为最佳近似值．例如测量数据为时，设最佳值为a，那么应为最小，此时 ；设某次实验测量了m次，由这m次数据的得到的最佳值为；又测量了n次，这n次数据得到的最佳值为，则利用这次数据得到的最佳值为 ． 【答案】 【分析】利用完全平方公式展开后合并，再将配方得到，则利用非负数的性质得到当时，代数式有最小值；次数据得到的最佳值为个数据的平均数． 【详解】解： ， ∵， ∴当时，有最小值； ∵m次数据的得到的最佳值为，n次数据得到的最佳值为， 设最佳值为a，与个数据的差的平方和为，与个数据的差的平方和为， 当时，最小， ∴次数据得到的最佳值为． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了配方法：根据完全平方公式为，二次项系数为1的多项式配成完全平方式是加上一次项系数一半的平方，注意等式是恒等变形是解题关键． 【变式7-4】（23-24八年级·浙江杭州·期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式的最小值． 解：； ∵无论x取何实数，都有， ∴，即的最小值为2． 【尝试应用】（1）请直接写出的最小值 ； 【拓展应用】（2）试说明：无论x取何实数，二次根式都有意义； 【创新应用】（3）如图，在四边形中，，若，求四边形的面积最大值． 【答案】（1）1；（2）见解析；（3） 【分析】（1）根据配方法进行配方即可求得答案； （2）根据配方法进行配方，得到即可求解； （3）根据，得到，设，得到面积关于x的表达式，再对表达式进行配方，即可求得最大值． 【详解】解：（1） ， ∵， 故答案为：1； （2）∵， ∴无论x取何实数，二次根式都有意义； （3）设，交于点O，如下图所示， ∵， ， 设，则, ， ∴四边形的面积最大值为：50． 【点睛】本题主要考查了配方法在求最值中的应用，解决问题的关键是熟练掌握配方法，注意当配上一次项系数一半的平方时，二次项系数要化成“1”后才能配方 【考点3 实际问题与一元二次方程】 （1）列一元二次方程解应用题的一般步骤： 审：就是指读懂题目，弄清题意，明确哪些就是已知量，哪些就是未知量以及它们之间的等量关系。 设：就是指设元，也就就是设出未知数。 列：就就是列方程，这就是关键步骤,一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等含义，然后列代数式表示这个相等关系中的各个量，就的到含有未知数的等式，即方程。 解：就就是解方程，求出未知数的值。 验：就是指检验方程的解就是否保证实际问题有意义，符合题意。 答：写出答案。 （2） 列一元二次方程解应用题的几种常见类型 ①数字问题 三个连续整数：若设中间的一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1。 三个连续偶数（奇数）：若中间的一个数为x，则另两个数分别为x-2,x+2。 三位数的表示方法：设百位、十位、个位上的数字分别为a,b,c，则这个三位数就是100a+10b+c、 ②增长率问题 设初始量为a，终止量为b，平均增长率或平均降低率为x，则经过两次的增长或降低后的等量关系为a（1±x）2=b。 ③利润问题 利润问题常用的相等关系式有：总利润=总销售价-总成本；总利润=单位利润×总销售量；利润=成本×利润率。 ④图形的面积问题 根据图形的面积与图形的边、高等相关元素的关系，将图形的面积用含有未知数的代数式表示出来，建立一元二次方程。 【题型8 列一元二次方程解决有关平均变化率的问题】 【例8】（23-24八年级·山东济宁·期中）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”学校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆200人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末进馆288人次．若进馆人次的月平均增长率相同： (1)求进馆人次的月平均增长率； (2)因学校条件限制，图书馆月接纳能力不超过400人次．在进馆人次月平均增长率不变的前提下，学校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次？请说明理由 【答案】(1) (2)能，理由见详解 【分析】（1）设进馆人次的月增长率为，利用第三个月进馆人次数第一个月进馆人次数月平均增长率），即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）利用第四个月进馆人次数第三个月进馆人次数月平均增长率），可求出第四个月进馆人次数，再将其与400比较后即可得出结论． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设进馆人次的月增长率为， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：进馆人次的月平均增长率． （2）解：学校图书馆能接纳第四个月的进馆人次，理由如下： 进馆人次的月平均增长率， 第四个月的进馆人次为（人次）． ， 学校图书馆能接纳第四个月的进馆人次． 【变式8-1】（23-24八年级·重庆·期中）某县开展老旧小区改造，2020年投入此项工程的专项资金为1000万元，2021、2022年投入资金一共为3440万元．设该县这两年投入老旧小区改造工程专项资金的年平均增长率为x，根据题意，可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据2020年投入此项工程的专项资金及该县这两年投入老旧小区改造工程专项资金的年平均增长率，可得出2021、2022年投入此项工程的专项资金，结合2021、2022年投入资金一共为3440万元，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：年投入此项工程的专项资金为1000万元，且该县这两年投入老旧小区改造工程专项资金的年平均增长率为， 年投入此项工程的专项资金为万元，2022年投入此项工程的专项资金为万元． 根据题意得：． 故答案为：． 【变式8-2】（23-24八年级·广东佛山·期中）甲商品的售价为每件40元． (1)若现在需进行降价促销活动，预备从原来的每件40元进行两次调价，已知该商品现价为每件元．若该商品两次调价的降价率相同，求这个降价率； (2)经调查，该商品每降价元，即可多销售10件．已知甲商品售价40元时每月可销售500件，若该商场希望该商品每月销售额为26250元，且尽可能扩大销售量，则该商品在原售价的基础上应如何调整？ 【答案】(1) (2)该商品在原售价的基础上，再降低25元 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用：平均变化率问题和销售问题，正确分析题目中的数量关系是解题的关键． (1)设调价百分率为x，根据售价从原来每件40元经两次调价后调至每件元，可列方程求解． (2)根据已知条件求出多售的件数，根据该商场希望该商品每月销售额为26250元列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设这种商品平均降价率是x， 依题意得： 解得：，（舍去） 答：这个降价率为。 （2）设降价y元，则多销售件， 根据题意得 ， 解得：， 因为尽可能扩大销售量，所以（舍去） 答：该商品在原售价的基础上，再降低25元． 【变式8-3】（23-24八年级·重庆·期末）某房地产商决定将一片小型公寓作为精装房出售，每套公寓面积均为32平方米，现计划为100套公寓地面铺地砖，根据用途的不同选用了A、B两种地砖，其中50套公寓全用A种地砖铺满，另外50套公寓全用B种地砖铺满，A种地砖是每块面积为0.64平方米的正方形，B种地砖是每块而积为0.16平方米的正方形，且A种地砖每块的进价比B种地砖每块的进价高40元，购进A、B两种地砖共花费350000元．（注：每套公寓地面看成正方形，均铺满地砖且地砖无剩余） （1）求A、B两种地砖每块的进价分别是多少元？ （2）实际施工时，房地产商增加了精装的公寓套数，结果实际铺满A种地砖的公寓套数增加了，铺满B种地砖的公寓套数增加了，由于地砖的购进量增加．B种地砖每块进价在（1）问的基础上降低了，但A种地砖每块进价保持不变，最后购进A、B两种地砖的总花费比原计划增加了，求a的值． 【答案】（1）A、B两种地砖每块的进价分别是60，20元；（2） 【分析】（1）利用每套公寓需要地砖的数量=公寓的面积÷每块地砖的面积，可分别求出每套公寓需要A种地砖的数量及每套公寓需要B种地砖的数量，设B种地砖每块的进价为x元，则A种地砖每块的进价为(x+40)元，根据等量关系：购进A种地砖的钱数+购进B种地砖的钱数=350000，即可列出方程，解方程即可； （2）根据等量关系： 购进A种地砖的钱数+购进B种地砖的钱数=总钱数，列出方程，即可得到关于a的方程，解方程即可求出a的值，当然取正值即可． 【详解】（1）一套公寓用A种地砖需要：块 一套公寓用B种地砖需要：块 设B种地砖每块的进价为x元 由题可得： 解得： 元 故A、B两种地砖每块的进价分别是60，20元． （2）由题可得： 整理得： 解得然：． ∵， ∴ 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用和一元二次方程的应用，关键是找出等量关系，正确列出方程，同时（2）问是的方程比较复杂，要善于化简． 【题型9 列一元二次方程解决循环传播问题】 【例9】（23-24八年级·河南新乡·阶段练习）2020年赛季中国男子篮球职业联赛，采用循环制（每两队之间都进行一场比赛），比赛总场数为380场，若设参赛队伍有x支，则可列方程（　　） A． B． C． D．x(x+1)=380 【答案】B 【分析】设参赛队伍有x支，根据采用循环制共需比赛380场，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设参赛队伍有x支， 根据题意，可得． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意，正确列出一元二次方程是解题关键． 【变式9-1】（23-24八年级·山东威海·期中）近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有91人有此短信． (1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？ (2)如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？ 【答案】(1)这个短信要求收到短信的人必须转发给9人 (2)从小王开始计算，三轮后会有820人有此短信． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，含乘方的有理数混合计算的实际应用： （1）设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人，则第一轮小王会发给x人，第一轮被转发的x人每个人又要转发x人，据此列出方程求解即可； （2）根据（1）所求列式求解即可． 【详解】（1）解：设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 答：这个短信要求收到短信的人必须转发给9人； （2）解：人， 答：从小王开始计算，三轮后会有820人有此短信． 【变式9-2】（23-24八年级·全国·课后作业）某足球赛实行主客场循环赛制，经计算共要进行132场比赛，参加比赛的足球队有多少支？ 【答案】12支. 【分析】每个队与其它队都要进行主、 客场比赛， 即每两个队之间要进行两场比赛， 设有个足球队， 比赛场次共有场， 再根据共有 132 场比赛活动来列出方程， 从而求解 ． 【详解】解： 设有个足球队参加， 依题意， ， 整理， 得， ， 解得：，（舍 去） ． 答： 共有 12 个足球队参加比赛 ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．此题的关键是抓住“每两支球队都要在自己的主场和客场踢一场”列等量关系． 【变式9-3】（23-24八年级·广东东莞·期末）春季流感爆发，有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感． (1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)经过三轮传染后共有多少人患了流感？ 【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染了个人 (2)经过三轮传染后共有人会患流感 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）设每轮传染中平均一个人传染个人，根据经过两轮传染后共有人患了流感，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据经过三轮传染后患流感的人数经过两轮传染后患流感的人数经过两轮传染后患流感的人数，即可求出结论． 【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染了个人， 根据题意得： ， ， ， ，（不合题意，舍去）， 每轮传染中平均一个人传染了个人； （2）解：（人）， 答：经过三轮传染后共有人会患流感． 【题型10 列一元二次方程解决有关面积问题】 【例10】（2024·天津河西·一模）把一根长为的绳子剪成两段，并把每一段绳子都围成一个正方形，如图所示，有以下结论： ①当的长是时，的长为； ②这两个正方形的面积之和可以是； ③这两个正方形的面积之和可以是． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】①利用的长（绳子的长度的长），即可求出的长；②假设这两个正方形的面积之和可以是，设的长为，则的长为，根据这两个正方形的面积之和是，可列出关于的一元二次方程，由根的判别式，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即这两个正方形的面积之和不能是；③假设这两个正方形的面积之和可以是，设的长为，则的长为，根据这两个正方形的面积之和是，解之可得出的值，结合，可得出假设成立，即这两个正方形的面积之和可以是． 本题考查了一元二次方程的应用、根的判别式以及正方形的性质，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：①当的长是时，的长是，结论①正确； ②假设这两个正方形的面积之和可以是， 设的长为，则的长为， 根据题意得：， 整理得：， ， 原方程没有实数根， 假设不成立，即这两个正方形的面积之和不能是，结论②不正确； ③假设这两个正方形的面积之和可以是， 设的长为，则的长为， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， ， 符合题意， 假设成立，即这两个正方形的面积之和可以是，结论③正确． 正确的结论有2个． 故选：C． 【变式10-1】（23-24八年级·江苏扬州·期中）将正方形板材①、②、③如图放置，已知正方形①、②的边长分别是、，若线段恰好分这三个正方形成面积相等的两部分，则正方形③的边长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了正方形的面积，解一元二次方程的应用；作辅助线，由已知线段恰好分这三个正方形成面积相等的两部分可得，列方程可解答． 【详解】解：如图，将图形补成长方形， 设正方形③的边长为，则，， 正方形①、②的边长分别是，， 线段恰好分这三个正方形成面积相等的两部分， ， ， ， 解得：，， 则正方形③的边长为或． 故答案为：或． 【变式10-2】（2024·福建莆田·一模）如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．连接，若与的面积相等，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程、弦图的计算等知识点，明确弦图中的线段关系成为解题的关键． 设,进而得到，然后再根据“与的面积相等”得到方程求解即可． 【详解】解：由“赵爽弦图”可知,设，, ∵， ∴， ∵与的面积相等， ∴， ∴，即：，解得：（舍弃负值） ∴． 故答案为：． 【变式10-3】（23-24八年级·河南洛阳·阶段练习）某农场要建一个饲养场（矩形），两面靠墙（位置的墙最大可用长度为位置的墙最大可用长度为），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在上各留宽的门（不用木栏），建成后木栏总长． (1)若饲养场（矩形）的一边长为，则_______________m． (2)若饲养场（矩形）的面积为，求边的长． (3)饲养场的面积能达到吗？若能达到，求出边的长；若不能达到，请说明理由． 【答案】(1)27 (2)边的长为 (3)饲养场的面积不能达到，详见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）直接根据图形计算即可； （2）根据矩形的面积等于长乘宽，即可列方程求解； （3）列出方程，根据一元二次方程根的判别式计算． 【详解】（1）解：(米)． 故答案为：27． （2）解：设米， 则米， 依题意得：， 整理得：， 解得：． 当时，(米)， ，符合题意， 答：边的长为8米． （3）解：不能，理由如下： 设米， 则米， 依题意得：， 整理得：． ， ∴该方程没有实数根， ∴饲养场的面积不能达到198平方米． 【题型11 列一元二次方程解决销售利润问题】 【例11】（23-24八年级·山西临汾·期末）品山西风味，享三晋美食，就在司徒小镇，十一假期某特色杂粮面店为扩大销售，增加盈利，计划降价销售，该杂粮面店的成本价为每碗4元，若每碗卖18元，平均每天将销售200碗，若价格每降低1元，则平均每天多销售20碗，为维护城市形象，店家现规定每碗售价不得超过15元，若每天盈利2800元，则每碗售价应为（    ） A．15元 B．14元 C．13元 D．12元 【答案】B 【分析】可设每碗售价定为x元时，店家才能实现每天利润2800元，根据利润的等量关系列出方程求解即可． 【详解】解：设每碗售价定为x元时，店家才能实现每天利润2800元，依题意有 ， 解得， ∵每碗售价不得超过15元， ∴． ∴当每碗售价定为14元时，店家才能实现每天利润2800元． 故选：B 【点睛】题目主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 【变式11-1】（23-24八年级·全国·课后作业）一件工艺品进价为100元，标价为135元售出，每天可售出100件，根据销售统计，一件工艺品每降低1元出售，则每天可多售出4件，要使顾客尽量得到优惠，且每天获得利润为3596元，每件工艺品需降价（　　） A．4元 B．6元 C．4元或6元 D．5元 【答案】B 【分析】设每件工艺品需降价元，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设每件工艺品需降价元， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 要使顾客尽量得到优惠， ， 要使顾客尽量得到优惠，且每天获得利润为3596元，每件工艺品需降价6元， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式11-2】（23-24八年级·云南曲靖·期中）东坡某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次（即最低档次）的产品每天生产 76 件，每件利润10元，调查表明：生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元． (1)若生产的某批次蛋糕每件利润为16元，此批次蛋糕属第几档次产品； (2)由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件，若生产的某档次产品一天的总利润为1080元，该烘培店生产的是第几档次的产品？ 【答案】(1)第四档次产品 (2)该烘焙店生产的是第五档次的产品 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，根据数量关系列出一元二次方程是解决问题的关键． （1）根据生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元，即可求出每件利润为16元的蛋糕属第几档次产品； （2）设烘焙店生产的是第档次的产品，根据单件利润销售数量总利润，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：， 答：此批次蛋糕属第四档次产品； （2）设烘焙店生产的是第档次的产品， 则每天生产件，每件利润元， 根据题意得， 整理得， 解得，（不合题意，舍去）． 答：该烘焙店生产的是第五档次的产品． 【变式11-3】（2024·福建龙岩·模拟预测）龙岩市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 【答案】(1)设该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)该品牌头盔每个售价应定为50元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用： （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个列出方程求解即可； （2）设该品牌头盔每个售价为y元，根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可． 【详解】（1）解；设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得 解得（不合题意，舍去） 答：设该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设该品牌头盔每个售价为y元， 依题意，得 整理，得 解得 因尽可能让顾客得到实惠 ，所以不合题意，舍去． 所以． 答：该品牌头盔每个售价应定为50元． 【变式11-4】（23-24八年级·重庆沙坪坝·期中）四川省会理县是全国有名的石榴之乡， 由于石榴味道酸甜可口，具有保护血管、调节血 压等功效，所以深受人们喜爱．今年月，小张为了在网上开辟营销市场，在网上售卖了 两种类型的石榴：一种是豪华装大型果实（简称“大果”），一种是豪华装超大型果实（简称“帝王果”）． (1)网友小红花了元买了箱大果和箱帝王果，小华花了元买了箱大果和箱帝王果，每箱大果和帝王果的售价分别是多少？ (2)在（1）的条件下，正常情况平均每天可销售箱大果，箱帝王果，为了减少库 存，小张决定对大果降价销售，经调查发现，一箱大果的售价每降价元，大果的 销售每天可增加箱，帝王果的售价和销量不变，如果小张每天销售总额为元，每箱大果的售价应该降低多少？ 【答案】(1)每箱大果的售价为元，每箱帝王果的售价为元 (2)小张每天销售总额为元时，每箱大果的售价应该降低元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元二次方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． （1）设每箱大果的售价为元，每箱帝王果的售价为元，根据“元买了箱大果和箱帝王果；元买了箱大果和箱帝王果”列出二元一次方程组求解即可； （2）设每箱大果的售价应该降低元，根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设每箱大果的售价为元，每箱帝王果的售价为元， 根据题意得，， 解得， 答：每箱大果的售价为元，每箱帝王果的售价为元． （2）解：设每箱大果的售价应该降低元， 根据题意得， 即： 解得：，（舍） ∴， 答：小张每天销售总额为元时，每箱大果的售价应该降低元． 【题型12 一元二次方程与动点综合应用】 【例12】（2024·浙江杭州·一模）在平面直角坐标系O中，过原点O及点A(0，2) 、C(6，0)作矩形OABC，∠AOC的平分线交AB于点D 点P从点O出发，以每秒个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动 设移动时间为t秒，当t为 时，为直角三角形． 【答案】秒或2秒 【详解】由题易知，B(6，2)，P(t，t)，Q(2t，0) 则BP2=(6-t)2+(2-t)2；BQ2=(6-2t)2+4；PQ2=2t2； 当△PQB为直角三角形时， ①BP2=BQ2+ PQ2时， (6-t)2+(2-t)2=(6-2t)2+4+2t2 解得t=2；t=0(舍去) ②BP2+BQ2= PQ2时， (6-t)2+(2-t)2+(6-2t)2+4=2t2 解得： ②BP2+PQ2=BQ2时， (6-t)2+(2-t)2+2t2= (6-2t)2+4 解得：t=0(舍去) 综上，t=或t=2 故答案为：秒或2秒 【点睛】掌握两点之间的距离，一元二次方程的解法，直角三角形的判定是解题的关键． 【变式12-1】（23-24八年级·河南郑州·期中）如图，矩形中，，点E从点B出发，沿以 的速度向点C移动，同时点F从点C出发，沿以的速度向点D移动，当E，F两点中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当是以为底边的等腰三角形时，则点运动时间为(       ) A． B． C．6 D． 【答案】B 【分析】设点E运动的时间是．根据题意可得，根据勾股定理列出方程，解方程即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， 设点E运动的时间是． 根据题意可得， 解得， ， ∵， ∴两点运动了后停止运动． ∴ ． 故选∶B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，考查了矩形的性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定理的运用． 【变式12-2】（23-24八年级·海南省直辖县级单位·期中）如图，在矩形中，，，点P从点A沿边向点B以的速度移动；同时，点Q从点B沿边向点C以的速度移动．有一点到终点运动即停止．问： (1)几秒后的面积等于； (2)几秒后． 【答案】(1)1秒后或5秒后的面积等于 (2)秒或6秒后 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，理解题意列出一元二次方程是解题的关键． （1）设秒后的面积等于，则，，则，再利用的面积等于得出一元二次方程，解方程即可得到答案； （2）设秒后，结合矩形的性质可知，，，根据，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设秒后的面积等于， 则，， ， 根据题意得：， 解得：，， 答：1秒后或5秒后的面积等于； （2）解：四边形为矩形， ，，， 设秒后， 则，， ，， 则， ， ， ∴， 即：， 解得：，， 即：秒或6秒后． 【变式12-3】（23-24八年级·山东烟台·期中）如图，中，，，． (1)如图1，点从点开始沿边向点以的速度移动（到达点即停止运动），点从点开始沿边向点以的速度移动（到达点即停止运动）．如果点，分别从，两点同时出发． ①经过多少秒钟，的面积等于； ②线段能否将分成面积为的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由； (2)如图2，若点沿射线方向从点出发以的速度移动，点沿射线方向从点出发以的速度移动，，同时出发，直接写出几秒后，的面积为． 【答案】(1)①秒或秒；②秒 (2)秒或秒或秒 【分析】本题考查一元二次方程的应用，三角形的面积， （1）①由三角形的面积公式可求解； ②分两种情况讨论，由题意列出方程可求出答案； （2）分三种情况：①点在线段上，点在线段上，②点在线段上，点在线段的延长线上时，③点在线段的延长线上，点在线段的延长线上时，由三角形面积公式可得出答案； 运用分类讨论的思想是解题的关键． 【详解】（1）解：①设经过秒钟，的面积等于， 由题意，，， ∴， ∴， 解得：，， ∴经过秒或秒钟，的面积等于； ②设经过秒，线段能将分成面积为的两部分，由题意得： 1），即：， ∴， 解得：（不合题意，舍去），； 2），即：， ∴， ∵， 此方程无实数根，即这种情况不存在； 综上所述，经过秒时，线段能将分成面积为的两部分； （2）设经过秒，的面积为，可分三种情况： ①点在线段上，点在线段上时， 此时，， ∴， ∴， 解得：（舍去），； ②点在线段上，点在线段的延长线上时， 此时，， ∴， ∴， 解得：； ③点在线段的延长线上，点在线段的延长线上时， 此时，， ∴， ∴， 解得：，（舍去）； 综上所述，经过秒或秒或秒后，的面积为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题17.10 一元二次方程全章专项复习【3大考点12种题型】 【沪科版】 【考点1 一元二次方程】 1 【题型1 根据一元二次方程的定义求值】 1 【题型2 根据实际问题列一元二次方程】 2 【题型3 根据一元二次方程的根代入求值】 2 【考点2 解一元二次方程】 3 【题型4 一元二次方程的解法】 4 【题型5 一元二次方程根的判别式的应用】 4 【题型6 一元二次方程根与系数关系的应用】 5 【题型7 配方法的应用】 6 【考点3 实际问题与一元二次方程】 8 【题型8 列一元二次方程解决有关平均变化率的问题】 8 【题型9 列一元二次方程解决循环传播问题】 9 【题型10 列一元二次方程解决有关面积问题】 9 【题型11 列一元二次方程解决销售利润问题】 11 【题型12 一元二次方程与动点综合应用】 12 【考点1 一元二次方程】 （1）一元二次方程的定义 等号两边都就是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数就是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 注意以下几点：①只含有一个未知数；②未知数的最高次数就是2；③就是整式方程。 （2） 一元二次方程的一般形式 一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0)、其中，ax2就是二次项，a就是二次项系数；bx就是一次项，b就是一次项系数；c就是常数项。 （3）一元二次方程的根 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义就是解方程过程中验根的依据。 【题型1 根据一元二次方程的定义求值】 【例1】（2024·辽宁抚顺·模拟预测）已知一元二次方程有一个根为，则 ． 【变式1-1】（23-24八年级·云南曲靖·期中）关于的方程是一元二次方程，则（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24八年级·广西崇左·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24八年级·浙江嘉兴·期中）若方程是关于x的一元二次方程，则 ． 【题型2 根据实际问题列一元二次方程】 【例2】（23-24八年级·贵州贵阳·期中）中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步?”翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步?利用方程思想，设宽为x步，则依题意列方程为 ，化为一般形式 ． 【变式2-1】（2024·浙江嘉兴·三模）随着科技发展，骑行共享单车这种“低碳”生活方式已融入人们的日常生活．据统计某市2024年4月份累计租车6500人次，租车量逐月增加，预计到6月份租车量达7600人次，求平均每个月的增长率．若设平均每月增长率为x，根据题意可列方程为 ． 【变式2-2】（2024·江苏南通·模拟预测）某商品进价为25元，当每件售价为50元时，每天能售出100件，经市场调查发现，每件售价每降低1元，则每天可多售出5件，店里每天的利润要达到1500元．若设店主把该商品每件售价降低x元，求解可列方程为 ． 【变式2-3】（23-24八年级·河南南阳·期中）某花生种植基地原有花生品种每公顷产量为千克，出油率为．改用新品种之后，每公顷收获的花生可加工得到花生油千克．已知新品种花生的每公顷产量和出油率都比原有品种有所增加，其中出油率增加是每公顷产量增长率的一半，求出油率的增长率．若设：出油率的增长率为，则根据题意，可列方程为： ． 【题型3 根据一元二次方程的根代入求值】 【例3】（2024八年级·江苏·专题练习）已知是方程的根，则代数式的值为 . 【变式3-1】（2024·北京东城·模拟预测）若是关于的方程的解，则的值为 ． 【变式3-2】（2024·江苏连云港·模拟预测）已知m是一元二次方程的一个根，则的值是 ． 【变式3-3】（2024·湖北黄冈·模拟预测）已知三个关于x的一元二次方程，，，恰有一个公共实数根，则的值为 ． 【考点2 解一元二次方程】 （1） 直接开平方法解一元二次方程 如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边就是非负数，可以直接开平方。一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解的x1=,x2=-、 直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。 用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根就是零；负数没有平方根。 直接开平方法解一元二次方程的步骤就是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。 （2）配方法解一元二次方程 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的就是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。 配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。 ①把常数项移到等号的右边； ②方程两边都除以二次项系数； ③方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式； ④若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。 （3） 公式法解一元二次方程 一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0，那么方程的两个根为，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求的方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。 一元二次方程求根公式的推导过程，就就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的过程。 公式法解一元二次方程的具体步骤： ①方程化为一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，一般a化为正值； ②确定公式中a,b,c的值，注意符号； ③求出b2-4ac的值； ④若b2-4ac≥0，则把a,b,c与b-4ac的值代入公式即可求解，若b2-4ac＜0，则方程无实数根。 （4）一元二次方程根的判别式 式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即△=b2-4ac、 一元二次方程根的判别式： △＞0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根 △=0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根 △＜0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根 （5） 因式分解法解一元二次方程 把一元二次方程的一边化为0，而另一边分解成两个一次因式的积，进而转化为求两个求一元一次方程的解，这种解方程的方法叫做因式分解法。 因式分解法的详细步骤： ①移项，将所有的项都移到左边，右边化为0； ②把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因式、平方差公式与完全平方公式； ③令每一个因式分别为零，的到一元一次方程； ④解一元一次方程即可的到原方程的解。 （6） 一元二次方程根与系数的关系 若一元二次方程x2+px+q=0的两个根为x1,x2,则有x1+x2=-p,x1x2=q; 若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1,x2则有x1+x2=- , x1x2=. 【题型4 一元二次方程的解法】 【例4】（23-24八年级·北京·期中）方程的两个根分别是一个直角三角形的两条边长，则直角三角形的第三条边长是 ． 【变式4-1】（23-24八年级·广西崇左·期中）用适当的方法解下列方程 (1) (2) (3) (4) 【变式4-2】（23-24八年级·甘肃酒泉·期中）在实数范围内规定一种运算“#”，其规则为，根据这个规则，方程的解为 ． 【变式4-3】（2024·北京东城·模拟预测）如果是关于的一元二次方程的一个根，那么关于的一元二次方程的解为（    ） A． B． C． D． 【题型5 一元二次方程根的判别式的应用】 【例5-1】（2024·辽宁抚顺·模拟预测）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　） A． B．且 C． D．且 【例5-2】（23-24八年级·山东淄博·期中）已知：关于x的一元二次方程（m为实数） (1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； (2)求证：无论m为何值，方程总有一个固定的根． 【变式5-1】（2024·安徽合肥·模拟预测）对于实数定义一种新运算：，若关于的方程（为整数）有两个相等的实数根，则的值为 ． 【变式5-2】（2024·北京东城·模拟预测）已知关于的一元二次方程． (1)利用判别式判断方程实数根的情况； (2)若该方程只有一个根小于2，求的取值范围． 【变式5-3】（23-24八年级·浙江杭州·阶段练习）关于x的一元二次方程（ab≠0）有两个相等的实数根，则下列选项成立的是（    ） A．若﹣1＜a＜0，则 B．若，则0＜a＜1 C．若0＜a＜1，则 D．若，则-1＜a＜0 【题型6 一元二次方程根与系数关系的应用】 【例6-1】（2024·湖南株洲·模拟预测）关于x的一元二次方程有两个根，且满足，则m的值为 ． 【例6-2】（2024·湖北武汉·模拟预测）已知a，b分别为方程的两个不相等的实数根，则值为（   ） A． B． C．2 D．4 【例6-3】（2024·湖南长沙·模拟预测）若关于的一元二次方程的两个实数根分别是一个菱形的两条对角线长，且该菱形的面积为11，则菱形的边长为 ． 【变式6-1】（23-24八年级·浙江宁波·期中）十六世纪的法国数学家韦达在研究一元二次方程的解法的过程中，发现方程的根与系数之间存在着特殊关系，由于该关系最早由韦达发现，人们把这个关系称之为韦达定理．韦达定理：有一元二次方程形如的两根分别为，，则有，． (1)，是关于x的一元二次方程的两实根，且，求k的值． (2)已知：是一元二次方程的两个实数根，设，，…，，根据根的定义，有，，将两式相加，得，于是，得．根据以上信息，解答下列问题： ①直接写出，的值． ②经计算可得：，，，当时，请猜想，，之间满足的数量关系，并给出证明． 【变式6-2】（23-24八年级·四川凉山·期中）若a，b是两个不相等的实数，且满足，，则代数式的值为 ． 【变式6-3】（2024·浙江·模拟预测）已知方程（x为实数），请你解答下列问题： (1)若，解此方程； (2)若，求证：此方程至少有一个实数根； (3)设此方程有两个不相等的实数根分别为．若，求证：． 【变式6-4】（2024·福建龙岩·模拟预测）新定义：已知关于x的一元二次方程的两根之和与两根之积，分别是另一个一元二次方程的两个根，则一元二次方程称为一元二次方程的“再生韦达方程”，一元二次方程称为“原生方程”． 比如：一元二次方程的两根分别为，则，所以它的“再生韦达方程”为． (1)已知一元二次方程，求它的“再生韦达方程”； (2)已知“再生韦达方程”，求它的“原生方程”． 【题型7 配方法的应用】 【例7-1】（23-24八年级·山东泰安·期中）配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来解决一些最值问题．例如：，所以的最小值为，此时． (1)尝试：，因此当 时，代数式有最小值，最小值是 ； ，所以当 时，代数式有最 （填“大”或“小”）值． (2)应用：如图，矩形花圃一面靠墙（墙足够长）另外三面所围成的栅栏的总长是，栅栏如何围能使花圃面积最大？最大面积是多少？ 【例7-2】（23-24八年级·四川南充·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法，利用配方法可求一元二次方程的根，也可以求二次函数的顶点坐标等，所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，其实这种方法还经常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义解决某些问题．我们规定：一个整数能表示成 (a，b是整数)的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． 【解决问题】： （1）下列各数中，“完美数”有_____ (只填序号)； ①10      ②24     ③34    ④60 【探究问题】： （2）若可配方成 (m，n为常数)，则的值为_____； （3）已知 (a，b是整数，k是常数)，要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由； 【拓展应用】： （4）已知实数x，y均满足，求代数式的最小值． 【变式7-1】（2024·安徽马鞍山·二模）已知为实数，且，则之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（23-24八年级·湖北鄂州·期中）已知实数m，n满足，，且，若，则代数式的最小值是 ． 【变式7-3】（2024·四川成都·二模）在测量时，为了确定被测对象的最佳值，经常要对同一对象测量若干次，然后选取与各测量数据的差的平方和为最小的数作为最佳近似值．例如测量数据为时，设最佳值为a，那么应为最小，此时 ；设某次实验测量了m次，由这m次数据的得到的最佳值为；又测量了n次，这n次数据得到的最佳值为，则利用这次数据得到的最佳值为 ． 【变式7-4】（23-24八年级·浙江杭州·期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式的最小值． 解：； ∵无论x取何实数，都有， ∴，即的最小值为2． 【尝试应用】（1）请直接写出的最小值 ； 【拓展应用】（2）试说明：无论x取何实数，二次根式都有意义； 【创新应用】（3）如图，在四边形中，，若，求四边形的面积最大值． 【考点3 实际问题与一元二次方程】 【题型8 列一元二次方程解决有关平均变化率的问题】 【变式8-1】（23-24八年级·重庆·期中）某县开展老旧小区改造，2020年投入此项工程的专项资金为1000万元，2021、2022年投入资金一共为3440万元．设该县这两年投入老旧小区改造工程专项资金的年平均增长率为x，根据题意，可列方程为 ． 【变式8-2】（23-24八年级·广东佛山·期中）甲商品的售价为每件40元． (1)若现在需进行降价促销活动，预备从原来的每件40元进行两次调价，已知该商品现价为每件元．若该商品两次调价的降价率相同，求这个降价率； (2)经调查，该商品每降价元，即可多销售10件．已知甲商品售价40元时每月可销售500件，若该商场希望该商品每月销售额为26250元，且尽可能扩大销售量，则该商品在原售价的基础上应如何调整？ 【变式8-3】（23-24八年级·重庆·期末）某房地产商决定将一片小型公寓作为精装房出售，每套公寓面积均为32平方米，现计划为100套公寓地面铺地砖，根据用途的不同选用了A、B两种地砖，其中50套公寓全用A种地砖铺满，另外50套公寓全用B种地砖铺满，A种地砖是每块面积为0.64平方米的正方形，B种地砖是每块而积为0.16平方米的正方形，且A种地砖每块的进价比B种地砖每块的进价高40元，购进A、B两种地砖共花费350000元．（注：每套公寓地面看成正方形，均铺满地砖且地砖无剩余） （1）求A、B两种地砖每块的进价分别是多少元？ （2）实际施工时，房地产商增加了精装的公寓套数，结果实际铺满A种地砖的公寓套数增加了，铺满B种地砖的公寓套数增加了，由于地砖的购进量增加．B种地砖每块进价在（1）问的基础上降低了，但A种地砖每块进价保持不变，最后购进A、B两种地砖的总花费比原计划增加了，求a的值． 【题型9 列一元二次方程解决循环传播问题】 【例9】（23-24八年级·河南新乡·阶段练习）2020年赛季中国男子篮球职业联赛，采用循环制（每两队之间都进行一场比赛），比赛总场数为380场，若设参赛队伍有x支，则可列方程（　　） A． B． C． D．x(x+1)=380 【变式9-1】（23-24八年级·山东威海·期中）近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有91人有此短信． (1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？ (2)如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？ 【变式9-2】（23-24八年级·全国·课后作业）某足球赛实行主客场循环赛制，经计算共要进行132场比赛，参加比赛的足球队有多少支？ 【变式9-3】（23-24八年级·广东东莞·期末）春季流感爆发，有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感． (1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)经过三轮传染后共有多少人患了流感？ 【题型10 列一元二次方程解决有关面积问题】 【例10】（2024·天津河西·一模）把一根长为的绳子剪成两段，并把每一段绳子都围成一个正方形，如图所示，有以下结论： ①当的长是时，的长为； ②这两个正方形的面积之和可以是； ③这两个正方形的面积之和可以是． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式10-1】（23-24八年级·江苏扬州·期中）将正方形板材①、②、③如图放置，已知正方形①、②的边长分别是、，若线段恰好分这三个正方形成面积相等的两部分，则正方形③的边长为 ． 【变式10-2】（2024·福建莆田·一模）如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．连接，若与的面积相等，，则的长为 ． 【变式10-3】（23-24八年级·河南洛阳·阶段练习）某农场要建一个饲养场（矩形），两面靠墙（位置的墙最大可用长度为位置的墙最大可用长度为），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在上各留宽的门（不用木栏），建成后木栏总长． (1)若饲养场（矩形）的一边长为，则_______________m． (2)若饲养场（矩形）的面积为，求边的长． (3)饲养场的面积能达到吗？若能达到，求出边的长；若不能达到，请说明理由． 【题型11 列一元二次方程解决销售利润问题】 【例11】（23-24八年级·山西临汾·期末）品山西风味，享三晋美食，就在司徒小镇，十一假期某特色杂粮面店为扩大销售，增加盈利，计划降价销售，该杂粮面店的成本价为每碗4元，若每碗卖18元，平均每天将销售200碗，若价格每降低1元，则平均每天多销售20碗，为维护城市形象，店家现规定每碗售价不得超过15元，若每天盈利2800元，则每碗售价应为（    ） A．15元 B．14元 C．13元 D．12元 【变式11-1】（23-24八年级·全国·课后作业）一件工艺品进价为100元，标价为135元售出，每天可售出100件，根据销售统计，一件工艺品每降低1元出售，则每天可多售出4件，要使顾客尽量得到优惠，且每天获得利润为3596元，每件工艺品需降价（　　） A．4元 B．6元 C．4元或6元 D．5元 【变式11-2】（23-24八年级·云南曲靖·期中）东坡某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次（即最低档次）的产品每天生产 76 件，每件利润10元，调查表明：生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元． (1)若生产的某批次蛋糕每件利润为16元，此批次蛋糕属第几档次产品； (2)由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件，若生产的某档次产品一天的总利润为1080元，该烘培店生产的是第几档次的产品？ 【变式11-3】（2024·福建龙岩·模拟预测）龙岩市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 【变式11-4】（23-24八年级·重庆沙坪坝·期中）四川省会理县是全国有名的石榴之乡， 由于石榴味道酸甜可口，具有保护血管、调节血 压等功效，所以深受人们喜爱．今年月，小张为了在网上开辟营销市场，在网上售卖了 两种类型的石榴：一种是豪华装大型果实（简称“大果”），一种是豪华装超大型果实（简称“帝王果”）． (1)网友小红花了元买了箱大果和箱帝王果，小华花了元买了箱大果和箱帝王果，每箱大果和帝王果的售价分别是多少？ (2)在（1）的条件下，正常情况平均每天可销售箱大果，箱帝王果，为了减少库 存，小张决定对大果降价销售，经调查发现，一箱大果的售价每降价元，大果的 销售每天可增加箱，帝王果的售价和销量不变，如果小张每天销售总额为元，每箱大果的售价应该降低多少？ 【题型12 一元二次方程与动点综合应用】 【例12】（2024·浙江杭州·一模）在平面直角坐标系O中，过原点O及点A(0，2) 、C(6，0)作矩形OABC，∠AOC的平分线交AB于点D 点P从点O出发，以每秒个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动 设移动时间为t秒，当t为 时，为直角三角形． 【变式12-1】（23-24八年级·河南郑州·期中）如图，矩形中，，点E从点B出发，沿以 的速度向点C移动，同时点F从点C出发，沿以的速度向点D移动，当E，F两点中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当是以为底边的等腰三角形时，则点运动时间为(       ) A． B． C．6 D． 【变式12-2】（23-24八年级·海南省直辖县级单位·期中）如图，在矩形中，，，点P从点A沿边向点B以的速度移动；同时，点Q从点B沿边向点C以的速度移动．有一点到终点运动即停止．问： (1)几秒后的面积等于； (2)几秒后． 【变式12-3】（23-24八年级·山东烟台·期中）如图，中，，，． (1)如图1，点从点开始沿边向点以的速度移动（到达点即停止运动），点从点开始沿边向点以的速度移动（到达点即停止运动）．如果点，分别从，两点同时出发． ①经过多少秒钟，的面积等于； ②线段能否将分成面积为的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由； (2)如图2，若点沿射线方向从点出发以的速度移动，点沿射线方向从点出发以的速度移动，，同时出发，直接写出几秒后，的面积为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$