专题17.15 函数及其图象全章专项复习【8大考点28种题型】-2024-2025学年八年级数学下册举一反三系列（华东师大版）

专题17.15 函数及其图象全章专项复习【8大考点28种题型】 【华东师大版】 【考点1 平面直角坐标系】 2 【题型1 定位法的应用】 3 【题型2 坐标平面内点的坐标特征】 7 【题型3 根据已知点的坐标在平面直角坐标系中作图】 10 【考点2 图形在坐标系中的平移】 15 【题型4 坐标系中的平移】 16 【题型5 关于坐标轴对称的点的坐标特点】 19 【题型6 在平面直角坐标系中作图】 21 【题型7 在平面直角坐标系中求图形的面积】 26 【题型8 坐标中的规律探究】 33 【考点3 函数】 35 【题型9 函数的概念】 36 【题型10 函数值及自变量的取值范围】 38 【题型11 函数的表示方法】 39 【题型12 识图并分析图象信息】 42 【考点4 一次函数】 45 【题型13 正比例函数的图象与性质】 46 【题型14 一次函数的图象与性质】 49 【题型15 求一次函数的解析式】 51 【题型16 一次函数与方程、不等式的关系】 55 【题型17 一次函数图象的平移问题】 58 【考点5 一次函数的应用】 60 【题型18 利用一次函数的性质解决分配方案问题】 60 【题型19 利用一次函数的性质解决最大利润问题】 64 【题型20 一次函数图象的应用】 68 【考点6 反比例函数】 74 【题型21 反比例函数的识别】 75 【题型22 反比例函数定义的应用】 77 【题型23 利用待定系数法求反比例函数的解析式】 79 【考点7 反比例函数的图象与性质】 82 【题型24 反比例函数性质的应用】 83 【题型25 比例系数k的几何意义的应用】 86 【考点8 反比例函数的应用】 90 【题型26 利用反比例函数解决实际问题】 90 【题型27 反比例函数与一次函数图象的交点问题】 95 【题型28 反比例函数与一次函数的综合】 98 【考点1 平面直角坐标系】 1.有序数对 有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对. 2.坐标 数轴上的点与实数（包括有理数与无理数）一一对应，数轴上的每一个点都对应一个实数，这个实数叫做这个点在数轴上的坐标. 3.平面直角坐标系 ①在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系. ②水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴为y轴或纵轴，取向上方向为正方向； ③两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点(坐标轴上的点不属于任何象限，原点既在x轴上，又在y轴上). 4.点的坐标 有了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一个有序数对来表示，a点对应x轴的数值为横坐标，b点对应y轴的数值为纵坐标，有序数对就叫做点A的坐标，记作（a,b）. 书写时先横后纵再括号，中间隔开用逗号. 5.坐标平面图 坐标平面图是由两条坐标轴和四个象限构成的，也可以说坐标平面内的点可以分为六个区域：x轴上，y轴上，第一象限，第二象限，第三象限，第四象限.在这六个区域中，除x轴与y轴的一个公共点（原点）之外，其他区域之间都没有公共点. 6.坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的 对于坐标平面内任意一点M，都有唯一的一对有序实数（x，y）（即点M的坐标）的坐标和它对应；反过来，对于任意一对有序实数（x，y）在坐标平面内都有唯一的一点M，即坐标为(x，y)的点和它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的. 7.象限 平面直角坐标系把坐标平面分成四个象限，从右上部分开始，按逆时针方向分别叫第一象限 (或第Ⅰ象限)、第二象限（或第Ⅱ象限）、第三象限（第Ⅲ象限）和第四象限（或第Ⅳ象限）. 注：ⅰ、坐标轴（x轴、y轴）上的点不属于任何一个象限. ⅱ、平面直角坐标系的原点发生改变，则点的坐标相应发生改变；坐标轴的单位长度发生 改变，点的坐标也相应发生改变. 8.坐标平面内点的位置特点 ①坐标原点的坐标为（0，0）； ②第一象限内的点，x、y同号，均为正； ③第二象限内的点，x、y异号，x为负，y为正； ④第三象限内的点，x、y同号，均为负； ⑤第四象限内的点，x、y异号，x为正，y为负； ⑥横轴（x轴）上的点，纵坐标为0，即（x，0），所以，横轴也可写作：y=0 （表示一条直线） ⑦纵轴（y轴）上的点，横坐标为0，即（0，y）,所以，纵横也可写作：x=0 （表示一条直线） 9.点到坐标轴的距离 坐标平面内的点的横坐标的绝对值表示这点到纵轴（y轴）的距离，而纵坐标的绝对值表示这点到横轴（x轴）的距离. 注: ①已知点的坐标求距离，只有一个结果，但已知距离求坐标，则因为点的坐标有正有负， 可能有多个解的情况，应注意不要丢解. ②坐标平面内任意两点A（x₁，y₁）、B(x₂，y₂)之间的距离公式为：d = 10.坐标平面内对称点坐标的特点 ①一个点A（a,b）关于x轴对称的点的坐标为A＇（a,-b）,特点为：x不变，y相反； ②一个点A（a,b）关于y轴对称的点的坐标为A＇（-a,b）,特点为：y不变，x相反； ③一个点A（a,b）关于原点对称的点的坐标为A＇（-a,-b），特点为：x、y均相反. 11.平行于坐标轴的直线的表示 ①平行于横轴（x轴）的直线上的任意一点，其横坐标不同，纵坐标均相等，所以，可表示为：y=a（a为纵坐标）的形式，a的绝对值表示这条直线到x轴的距离，直线上两点之间的距离等于这两点横坐标之差的绝对值； ②平行于纵轴（y轴）的直线上的任意一点，其纵坐标不同，横坐标均相等，所以，可表示为：x=b（b为横坐标）的形式，b的绝对值表示这条直线到y轴的距离，直线上两点之间的距离等于这两点纵坐标之差的绝对值. 12.象限角平分线的特点 ①第一、三象限的角平分线可表示为y=x的形式，即角平分线上的点的纵坐标与横坐标相等（同号） ②第二、四象限的角平分线可表示为y=-x的形式，即角平分线的点的纵坐标与横坐标互为相反数(异号) 【题型1 定位法的应用】 【例1】（23-24八年级·全国·单元测试）阅读与理解： 如图，一只甲虫在的方格（每个方格边长均为1）上沿着网格线爬行．若我们规定：在如图网格中，向上（或向右）爬行记为“+”，向下（或向左）爬行记为“－”，并且第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． 例如：从A到B记为：， 从D到C记为：．    思考与应用： (1)图中（ ， ）； （ ， ）； （ ， ）． (2)若甲虫从A到P的行走路线依次为：，请在图中标出P的位置． (3)若甲虫的行走路线为，请计算该甲虫走过的总路程． 【答案】(1)，；，0；， (2)见解析 (3)16 【分析】此题考查正负数的意义和有理数的加减混合运算，注意在方格内对于运动方向规定的正负． （1）根据向上（或向右）爬行记为“+”，向下（或向左）爬行记为“－”解答即可． （2）由可知从A处右移3格，上移2格，再右移1格，上移3格，右移1格，下移2格即是甲虫P处的位置； （3）由知：先向右移动1格，向上移动4格，向右移动2格，再向右移动1格，向下移动2格，最后向左移动4格，向下移动2格，把移动的距离相加即可． 【详解】（1）解：由图可知，，，． 故答案为：，；，0；，； （2）解：若甲虫从A到P的行走路线依次为：，图中P的即为所求．    （3）解：∵甲虫的行走路线为， ∴甲虫走过的总路程． 【变式1-1】（23-24八年级·新疆乌鲁木齐·期末）两个小伙伴拿着如下密码表玩听声音猜动物的游戏，若听到“咚咚﹣咚咚，咚﹣咚，咚咚咚﹣咚”表示的动物是“狗”，则听到“咚咚﹣咚，咚咚咚﹣咚咚，咚﹣咚咚咚”时，表示的动物是 ．（写汉字） 4 Q R S U V X 3 T B E I N P 2 W D A H L M Y 1 O C G F J K Z 1 2 3 4 5 6 7 【答案】猫 【分析】本题考查了有序数对的应用．根据题意确定所对应的字母位置是解题的关键． 由咚咚﹣咚咚，咚﹣咚，咚咚咚﹣咚”表示的动物是“狗”，即表示对应的字母为“”，可知“咚咚﹣咚，咚咚咚﹣咚咚，咚﹣咚咚咚”表示对应的字母为“”，然后作答即可． 【详解】解：∵咚咚﹣咚咚，咚﹣咚，咚咚咚﹣咚”表示的动物是“狗”，即表示对应的字母为“”， ∴“咚咚﹣咚，咚咚咚﹣咚咚，咚﹣咚咚咚”表示对应的字母为“”． 故答案为：猫． 【变式1-2】（23-24八年级·广东广州·期中）如图，若点表示放置2个胡萝卜，1棵青菜；点表示放置4个胡萝卜，2棵青菜．    (1)请写出其他各点C，D，E，F所表示的意义； (2)若一只小兔子从A到达B（顺着方格线走）有以下几种路径可选择： ①A→C→D→B；②A→E→D→B；③A→E→F→B． 问：走哪条路径吃到的胡萝卜最多？走哪条路径吃到的青菜最多？ 【答案】(1)点表示放置2个胡萝卜，2棵青菜；点表示放置3个胡萝卜，2棵青菜；点表示放置3个胡萝卜，1棵青菜；点表示放置4个胡萝卜，1棵青菜 (2)走③吃到的胡萝卜最多，走①吃的青菜最多 【分析】（1）由题可知，数对中第一个数表示胡萝卜的个数，第二个数表示青菜的棵数，由此可解； （22）根据第（1）问中求出的结果计算即可 【详解】（1）解：点表示放置2个胡萝卜，2棵青菜；点表示放置3个胡萝卜，2棵青菜；点表示放置3个胡萝卜，1棵青菜；点表示放置4个胡萝卜，1棵青菜； （2）解：走①A→C→D→B可以吃到个胡萝卜，棵青菜； 走②A→E→D→B可以吃到个胡萝卜，棵青菜； 走③A→E→F→B吃到个胡萝卜，棵青菜； 因此走③吃到的胡萝卜最多，走①吃的青菜最多． 【点睛】本题考查有序数对，明白第一个数表示胡萝卜的个数，第二个数表示青菜的棵数是关键． 【变式1-3】（23-24八年级·贵州安顺·期中）如图，雷达探测器测得六个目标A，B，C，D，E，F出现，按照规定的目标表示方法，目标C，F的位置表示为，． (1)按照此方法表示目标A，B，D，E的位置．A：_______；B：_______；D：_______；E：_______； (2)若目标C的实际位置是北偏西距观测站，目标F的实际位置是南偏西距观测站，写出目标A，B，D，E的实际位置； (3)若另有目标G在东南方向距观测站处，目标H在南偏东距观测站处，写出G，H的位置表示． 【答案】(1)，，， (2)目标A的实际位置为北偏东距观测站，目标B的实际位置为正北方向距观测站，目标D的实际位置为南偏西距观测站，目标E的实际位置为南偏东距观测站 (3)， 【分析】本题考查了用有序数对表示位置、用方向角和距离确定物体的位置，理解题意、熟练掌握用有序数对表示位置、用方向角和距离确定物体的位置是解题的关键． （1）根据“目标C，F的位置表示为，”， 表示目标A，B，D，E的位置即可； （2）根据“目标C的实际位置是北偏西距观测站，目标F的实际位置是南偏西距观测站”，求出每一圈表示，观察图形，根据用方向角和距离确定物体的位置，写出目标A，B，D，E的实际位置即可； （3）根据“目标G在东南方向距观测站处，目标H在南偏东距观测站处”，观察图形并计算，写出G，H的位置表示即可． 【详解】（1）解：∵目标C，F的位置表示为，， ∴按照此方法表示：，，，， 故答案为：，，，； （2）解：∵，，目标C的实际位置是北偏西距观测站，目标F的实际位置是南偏西距观测站， ∴， 又∵，，，， ∴，，，， ∴目标A的实际位置为北偏东距观测站，目标B的实际位置为正北方向距观测站，目标D的实际位置为南偏西距观测站，目标E的实际位置为南偏东距观测站； （3）解：∵目标G在东南方向距观测站处，目标H在南偏东距观测站处， ∴，，，， ∴，． 【题型2 坐标平面内点的坐标特征】 【例2】（23-24八年级·新疆乌鲁木齐·期中）已知点，解答下列各题． (1)点在轴上，求出点的坐标； (2)点的坐标为，直线轴；求出点的坐标； (3)若点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）根据题意得：点在轴上，得到，解出的值，由此得到答案． （2）根据直线轴，得到，解出的值，由此得到答案． （3）根据点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，得到，，故，解出的值，由此得到答案． 本题考查了坐标与图形性质及立方根，熟知坐标轴上的点及平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征，是解答本题的关键． 【详解】（1）解：根据题意得： ∵点在轴上， ， 解得：， 则， 点的坐标为：； （2）解：直线轴， 直线上所有点的横坐标都相等， ， 解得：， 则， 即点的坐标为； （3）解：点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等， ，， ， 即， 解得：． 【变式2-1】（23-24八年级·河南许昌·期中）在平面直角坐标系中，已知点． (1)当时，点m在第______象限； (2)若点M在x轴上，求m的值； (3)若点M在第一、三象限的角平分线上，求m的值． 【答案】(1)二 (2) (3) 【分析】此题考查了点与坐标的对应关系，坐标轴上的点的特征，第一、三象限的角平分线上的点的特征． （1）将代入计算得出点坐标即可； （2）根据点在x轴上纵坐标为0求解； （3）根据第一、三象限的角平分线上的横坐标，纵坐标相等求解． 【详解】（1）当时，为，此时M在第二象限 （2）∵点M在x轴上， ∴ 解得：； （3）∵点在第一、三象限的角平分线上， ∴， 解得：． 【变式2-2】（23-24八年级·陕西渭南·期末）已知，点为平面直角坐标系内一点． (1)若点P在y轴上，则m的值为______； (2)若点P的纵坐标比横坐标大6，则点P在第几象限？ 【答案】(1)3 (2)第二象限 【分析】本题主要考查了y轴上坐标的特点，根据点的坐标判断点所在的象限，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． （1）根据在y轴上的坐标，横坐标为0，计算出m，即可得到P的坐标； （2）根据P的纵坐标比横坐标大6，列出等式，求出m，然后根据四个象限点的符号特点进行判断即可． 【详解】（1）解：∵点在y轴上， ∴， 解得：； 故答案为：3 （2）解：∵点的纵坐标比横坐标大6， ∴， 解得：， ∴点P的坐标为， ∴点P在第二象限． 【变式2-3】（23-24八年级·四川宜宾·期末）点在第二，四象限角平分线上，则 ． 【答案】 【分析】此题考查象限角平分线上点坐标特点，一、三象限角平分线上点的纵横坐标相等；二，四象限角平分线上点的纵横坐标互为相反数．第二、四象限角平分线上点的坐标互为相反数，据此列出关于a的方程求解． 【详解】解：∵点在第二，四象限角平分线上， ∴， ． 故答案为：． 【题型3 根据已知点的坐标在平面直角坐标系中作图】 【例3】（23-24八年级·贵州黔东南·期中）如图是某学校的平面示意图，已知旗杆的位置是，实验室的位置是． (1)根据所给条件在图中建立适当的平面直角坐标系； (2)用坐标表示位置：食堂是______，图书馆是______； (3)已知办公楼的位置是，教学楼的位置是，在图中标出办公楼和教学楼的位置； (4)如果1个单位长度表示，那么宿舍楼到教学楼的实际距离为______． 【答案】(1)作图见详解 (2)， (3)作图见详解 (4) 【分析】本题主要考查坐标表示地理位置，平面直角坐标系的特点， （1）根据旗杆的位置是，实验室的位置是即可确定平面直角坐标系； （2）根据平面直角坐标系即可求解； （3）根据坐标表示地理位置的方法即可求解； （4）根据平面直角坐标系的特点，确定宿舍楼与教学楼之间有几个单位长度，由此即可求解． 【详解】（1）解：已知旗杆的位置是，实验室的位置是， ∴建立平面直角坐标系如图所示， 即大门为坐标原点； （2）解：根据（1）中的平面直角坐标系可得，食堂，图书馆， 故答案为：，； （3）解：办公楼的位置是，教学楼的位置是，如图所示， （4）解：1个单位长度表示，那么宿舍楼到教学楼的实际距离为， 故答案为：． 【变式3-1】（23-24八年级·全国·课后作业）如图，建立平面直角坐标系，使点、的坐标分别为和，写出点、、、、的坐标，并指出它们所在的象限． 【答案】见解析 【分析】本题考查了直角坐标系，解题的关键是掌握直角坐标系中点的坐标特征，根据点、的坐标分别为和，建立直角坐标系即可求解． 【详解】解：建立直角坐标系如图： 在第二象限，在第一象限，在第一象限，在第一象限，在第一象限． 【变式3-2】（23-24八年级·河南商丘·期末）在平面直角坐标系中，点的横坐标与点的横坐标互为相反数． (1)求点，的坐标； (2)点在第三象限，且到轴的距离为1，请在正方形网格图中建立适当的平面直角坐标系，画出三角形，并求出三角形的面积． 【答案】(1)； (2)图见解析；4 【分析】本题主要考查了坐标与图形，相反数的定义，三角形面积的计算，解题的关键是数形结合，根据相反数的定义，建立方程，求出a的值． （1）先根据点的横坐标与点的横坐标互为相反数，得出，求出，然后得出答案即可； （2）先求出点的坐标为，然后根据A、B的坐标建立平面直角坐标系，画出，利用三角形的面积公式求出的面积即可． 【详解】（1）解：点的横坐标与点的横坐标互为相反数， ， 解得， ，， 点，的坐标分别为，. （2）解：点在第三象限，且到轴的距离为1， ， 由（1）得，， ， 点的坐标为， 建立平面直角坐标系并画出的三角形，如图所示.（画法不唯一） 三角形的面积为： 【变式3-3】（23-24八年级·广东阳江·期末）广东省广州市的长隆野生动物世界是国内最大的野生动物保护基地之一，拥有超过500种、逾2万只陆生动物，是游客们了解广州必到的胜地．如图是长隆野生动物世界部分景点的分布示意图，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，并且“五彩广场”和“考拉园”的坐标分别是和． (1)根据题意，画出正确的平面直角坐标系． (2)“百虎山”的坐标为______；“熊猫乐园”的坐标为______． (3)小明现在在“熊猫乐园”，想要前往“百虎山”（只能走网格，每个网格为一个单位长度），可以先向上走______个单位长度，再向______走______个单位长度． 【答案】(1)详见解析 (2)， (3)5，左，1 【分析】本题考查坐标与图形性质，能根据题意建立平面直角坐标系是解题的关键． （1）根据“五彩广场”和“考拉园”的坐标，建立平面直角坐标系即可． （2）根据（1）中所建坐标系即可解决问题． （3）根据“熊猫乐园”和“百虎山”的坐标即可确定； 【详解】（1）解：因为“五彩广场”和“考拉园”的坐标分别是和， 所以平面直角坐标系如图所示． （2）解：由（1）中所建平面直角坐标系可知， “百虎山”的坐标为，“熊猫乐园”的坐标为．   故答案为：，． （3）解：根据“熊猫乐园”的坐标为， “百虎山”的坐标为，可以得出从“熊猫乐园”前往“百虎山”可以先向上走5个单位长度，再向左走1个单位长度， 故答案为：5 ； 左 ； 1． 【考点2 图形在坐标系中的平移】 1.点的平移 在平面直角坐标系中， 将点（x,y）向右平移a个单位长度，可以得到对应点（x＋a ，y）； 将点（x,y）向左平移a个单位长度，可以得到对应点（x－a，y）；“左减右加” 将点（x,y）向上平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y＋b）； 将点（x,y）向下平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y－b）.“下减上加” 2.图形的平移 在平面直角坐标系内如果把一个图形各个点的横坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度. 3.关于坐标轴对称的点的坐标关系 4.坐标方法的简单应用 ①已知三角形的顶点坐标求三角形的面积 将坐标平面上的三角形的面积转化为几个图形的面积的组合（相加）或分解（相减），即将要求的三角形面积转化为一个大的多边形（例如矩形或梯形）与一个或几个较小的三角形面积之差； ②已知多边形各顶点坐标求多边形的面积 将坐标平面上的多边形的面积分割成几个规则的图形组合的面积之和，或转化为一个更大的多边形（例如矩形或梯形）与一个或几个较小的三角形面积之差. 【题型4 坐标系中的平移】 【例4】（23-24八年级·吉林长春·期末）如图：，，若将线段平移至，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，掌握平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解决问题的关键． 根据点A和的坐标确定出横向平移规律，点B和的坐标确定出纵向平移规律，即可求出a、b的值，然后代数求解即可． 【详解】解：∵，，，， ∴平移规律为向右个单位，向上个单位， ∴， ∴． 故答案为：2． 【变式4-1】（23-24八年级·山西朔州·期末）在平面直角坐标系内，将先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，移动后的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了坐标与图形的变化．根据平移变换与坐标变化规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减，可得答案． 【详解】解：∵点， ∴先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后得到的点的坐标是， 即， 故选：C． 【变式4-2】（23-24八年级·安徽·期末）在平面直角坐标系中，若点先向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后位于原点处，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化﹣平移：在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．利用点平移的坐标规律，把A点的横坐标加2，纵坐标加上1，得到原点坐标，则，求出,即可得到点A的坐标． 【详解】解：∵点先向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后位于原点处，， ∴． ∴ ∴点的坐标为点 故答案为：． 【变式4-3】（23-24八年级·四川南充·期末）如图，第二象限有两点，将线段AB平移，使点A，B分别落在两条坐标轴上，则平移后点B的对应点的坐标是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】设平移后点A、B的对应点分别是A′、B′．分两种情况进行讨论：①A′在y轴上，B′在x轴上；②A′在x轴上，B′在y轴上． 【详解】解：设平移后点A、B的对应点分别是A′、B′． 分两种情况： ①A′在y轴上，B′在x轴上， 则A′横坐标为0，B′纵坐标为0， ∵点A′与点A的横坐标的差为：， ∴， ∴点B平移后的对应点的坐标是； ②A′在x轴上，B′在y轴上， 则A′纵坐标为0，B′横坐标为0， ∵， ∴， ∴点B平移后的对应点的坐标是； 综上可知，点B平移后的对应点的坐标是或． 故选C． 【点睛】本题考查平面直角坐标系内图形的平移，掌握平移的性质是解题的关键．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移规律相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 【题型5 关于坐标轴对称的点的坐标特点】 【例5】（23-24八年级·湖南永州·期末）任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中，任意两点P(x1，y1)，Q    (x2，y2)的对称中心的坐标为，如图． （1）在平面直角坐标系中，若点P1(0，-1)，P2(2，3)的对称中心是点A，则点A的坐标为 ； （2）另取两点，．有一电子青蛙从点P1处开始依次作关于点A，B，C的循环对称跳动，即第一次跳到点P1关于点A的对称点P2处，接着跳到点P2关于点B的对称点P3处，第三次再跳到点P3关于点C的对称点P4处，第四次再跳到点P4关于点A的对称点P5处，…，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】（1）根据对称中心的坐标公式代入计算即可 （2）利用中心对称的性质依次计算出，然后找到规律，利用规律即可解题． 【详解】（1）∵点P1(0，-1)，P2(2，3) ∴A的坐标为 （2）由题意可知 ∵点P2 ， P3关于点B对称 ∵点P3，P4关于点C对称 同理可求 所以六次一个循环 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查点的坐标规律的探索，找到规律是解题的关键． 【变式5-1】（23-24八年级·天津河东·期末）在平面直角坐标系中点P（－2，3）关于x轴的对称点在第 象限 【答案】三 【分析】先根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得对称点的坐标，再根据坐标符号判断所在象限即可． 【详解】解：点P（-2，3）关于x轴的对称点为（-2，-3）， （-2，-3）在第三象限． 故答案为：三 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中各象限内点的坐标的符号，以及关于x轴的对称点横坐标相同，纵坐标互为相反数． 【变式5-2】（23-24八年级·广东清远·期末）四盏灯笼的位置如图．已知A，B，C，D的坐标分别是（﹣1，b），（1，b），（2，b），（3.5，b），移动y轴右侧的一盏灯笼，使得y轴两侧的灯笼对称，则移动的方法可以是（    ） A．将B移到（－2，b） B．将B移到（－3.5，b） C．将C移到（－2，b） D．将D移到（－2，b） 【答案】D 【分析】注意到A，B关于y轴对称，只需要C，D关于y轴对称即可，可以将点C（2，b）向左平移到（－3.5，b），平移5.5个单位，或可以将D（3.5，b）向左平移到（－2，b），平移5.5个单位． 【详解】解：∵A，B，C，D这四个点的纵坐标都是b， ∴这四个点在一条直线上，这条直线平行于x轴， ∵A（－1，b），B（1，b）， ∴A，B关于y轴对称，只需要C，D关于y轴对称即可， ∵C（2，b），D（3.5，b）， ∴可以将点C（2，b）向左平移到（－3.5，b），平移5.5个单位， 或可以将D（3.5，b）向左平移到（－2，b），平移5.5个单位， 故选D． 【点睛】本题考查了生活中的平移和关于坐标轴对称的点的坐标关系，注意关于y轴对称的两个点的坐标的关系：横坐标互为相反数，纵坐标不变． 【变式5-3】（23-24八年级·全国·假期作业）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，点E的坐标为，其关于y轴对称的点F的坐标，则 ． 【答案】 【分析】本题考查点的坐标规律、代数式求值，利用关于y轴对称的点纵坐标相同，可得，即可求出答案． 【详解】解：∵点E的坐标为，其关于y轴对称的点F的坐标， ， ， ． 故答案为：． 【题型6 在平面直角坐标系中作图】 【例6】（23-24八年级·河北沧州·期中）如图，将三角形ABC平移后，三角形ABC内任意一点P（x0，y0）的对应点为P1（x0+5，y0﹣3）． （1）三角形ABC的面积为　 　； （2）将三角形ABC平移后，顶点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1，在图中画出三角形A1B1C1； （3）若三角形ABC外有一点M经过同样的平移后得到点M1（5，3），则点M的坐标为　 　；若连接线段MM1，PP1，则这两条线段之间的关系是　 　． 【答案】（1）8.5；（2）见解析；（3），平行且相等 【分析】（1）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积得到△ABC的面积； （2）利用点P和P1的特征确定平移的方向与距离，再利用此平移规律作图即可； （3）把点M1先向左平移5个单位，再向上平移3个单位得到M，从而得到M点的坐标，然后根据平移的性质判断线段MM1，PP1之间的关系． 【详解】解：（1）△ABC的面积＝； （2）如图，△A1B1C1为所作； （3）把点M1先向左平移5个单位，再向上平移3个单位得到M点的坐标为(0,6)， 由平移的性质知，MM1与PP1平行且相等． 故答案为：8.5，(0,6)；平行且相等． 【点睛】本题考查作图-平移变换，平移的性质，解题的关键是掌握由点的坐标确定平移的方向与平移距离． 【变式6-1】（23-24八年级·广西北海·期末）如图，在边长为1的小正方形网格中，△AOB的顶点均在格点上. （1）B点关于y轴的对称点的坐标为 ； （2）将△AOB向左平移3个单位长度得到△A1O1B1，请画出△A1O1B1； （3）在（2）平移过程中，线段OA所扫过的面积为 . 【答案】（1）（-3,1）；（2）作图见解析；（3）9 【详解】（1）根据关于y轴对称的点的坐标特点即可得出结论； （2）根据图形平移的性质画出△A1O1B1即可； （3）利用平行四边形的面积公式即可得出结论. 解：（1）∵B（3，1）， ∴B点关于y轴的对称点的坐标为（-3，1）. 故答案为（-3，1）； （2）如图△A1O1B1即为所求； （3）线段OA所扫过的面积=3×3=9. 故答案为9. 【变式6-2】（23-24八年级·江苏南京·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，三个顶点在格点上．已知点，点． (1)画出平面直角坐标系（要求：画出坐标轴，标注坐标原点）． (2)现将先向下平移4个单位长度，再沿轴翻折得到，在图中画出，连接，则线段的中点坐标为______． (3)若内有一点，则点经过（2）中的平移、对称后得到的点的坐标是______． 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【分析】本题考查作图轴对称变换、平移变换， （1）根据点，的坐标建立平面直角坐标系即可． （2）根据平移和轴对称的性质画图即可；由图可得线段的中点坐标． （3）由平移和轴对称可知，点经过（2）中的平移后得到的点的坐标为，再沿轴翻折得到点的坐标为． 【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如图所示． （2）如图， 即为所求． 由图可知，线段的中点坐标为． 故答案为：． （3）点先向下平移4个单位长度得到的点的坐标为， 再沿轴翻折得到点的坐标为． 故答案为：． 【变式6-3】（23-24八年级·河南洛阳·期末）如图， 在平面直角坐标系中，三角形中，点的坐标是 ，点的标是 ，点的坐标是． 将三角形平移后得到三角形， 其中点的对应点的坐标为． (1)分别写出点和点的坐标： ， ； (2)在坐标系中画出三角形； (3)若点是三角形内的一点，点是三角形内点的对应点，求和 的值． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)， 【分析】本题主要考查平移作图和点的坐标，解题的关键是掌握平移的性质和变化规律． （1）根据点的平移变化规律即可求解； （2）根据（1）得到的、坐标，描出坐标点，再依次连接即可； （3）根据点的平移变化规律，列出方程即可求解． 【详解】（1）解： 的对应点的坐标为 ， 点向右平移个单位，再向下平移个单位得到， 点的标是，点的坐标是， ，， 故答案为：，； （2）如图，三角形即为所求； （3）点是三角形内的一点，点是三角形内点的对应点， 点向右平移个单位，再向下平移个单位得到， 根据题意可得：，， 解得：，， ，． 【题型7 在平面直角坐标系中求图形的面积】 【例7】（23-24八年级·湖北咸宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．    (1)如图1，平移线段到线段，使点A的对应点为D，点B的对应点为C，若点C的坐标为，则点D的坐标为 ； (2)如图2，平移线段到线段，使点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限内． ①此时点D的横坐标为 ，设点D的纵坐标为y，点C的纵坐标用y的代数式表示为 ； ②连接，，若的面积为7，求点C，D的坐标； (3)在（2）的条件下，在y轴上是否存在一点P，使与的面积之比为？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；；②， (3)存在点P，其坐标为或 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中几何图形的变换，掌握图形平移的规律，几何图形的面积的计算方法是解题的关键． （1）根据点，点的坐标可得平移规律，再根据平移规律即可求解； （2）①根据点可得平移规律，即可作答；②连接，根据可求点的平移，再求出点的坐标； （3）根据题意，先计算出，再根据题意，分类讨论：①当P在x轴上方时；②当在轴下方时；根据几何图形面积的计算即可求解． 【详解】（1）解：已知点的坐标为，点的坐标为，平移后点的对应点为的坐标为， 平移后的对应点， 设，， ，， 即：点向左平移个单位，再向上平移个单位得到点， ∴，， 点平移后的对应点； （2）①点在轴上，点在第二象限，，， ∴点向左平移个单位， ∴点向左平移个单位，横坐标为：， 即点的横坐标为， ∵对应点在第二象限，点D的纵坐标为y， ∴设点向上平移了个单位， 线段向左平移个单位，再向上平移个单位，符合题意， ，， ∴，，即点C的纵坐标用y的代数式表示为， 故答案为：，； ②如图所示，连接， ∴， ∴， ， ， ，； （3）由（2）得， ∵，， ∴， ①当P在x轴上方时，如图1， ， ， ∴； ②当在轴下方时，如图2， ， ， ∴， 存在点，其坐标为或． 【变式7-1】（23-24八年级·江西南昌·期中）在平面直角坐标系中，有点，点． （1）当A，B两点关于直线对称时，求的面积； （2）当线段轴，且时，求的值． 【答案】（1）3；（2）0或6 【分析】（1）根据A，B两点关于直线对称求出a、b的值，再画出图象求出的面积； （2）根据轴得到A、B两点横坐标相等，由得到，求出a、b的值，得到的值． 【详解】解：（1）∵A，B两点关于直线对称， ∴，解得， ∴， 则，， 如图所示， ； （2）∵轴， ∴， ∵， ∴，解得或， ∴或． 【点睛】本题考查点坐标的求解，解题的关键是掌握平面直角坐标系中点坐标的对称关系，三角形的面积求解方法． 【变式7-2】（23-24八年级·广西河池·期末）如图，在平面直角坐标系中，A，B是x轴上两点，，，现同时将点A，B分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到A，B两点的对应点C，D，连接． (1)直接写出点C，D的坐标． (2)若平移后得到的四边形为平行四边形，求出四边形的面积． (3)在x轴上是否存在点F，使的面积是的面积的2倍？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或 【分析】本题考查了平移、坐标与图形的性质、点的坐标，解题的关键是熟练掌握平移的性质． （1）直接根据变化情况，写出两点坐标即可； （2）根据平行四边形的面积公式求解即可； （3）根据的面积是的面积的2倍求出的长，进而可求出点F的坐标． 【详解】（1）∵，，现同时将点A，B分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到A，B两点的对应点C，D， ∴，； 故答案为：，； （2） ； （3）存在， ∵，， ∴， ∵的面积是的面积的2倍 ∴ ∴ ∴． ∵， ∴点F的坐标为或． 【变式7-3】（23-24八年级·湖北襄阳·期末）如图1，在平面直角坐标系内，为坐标原点，线段两端点在坐标轴上，点，点，将向右平移4个单位长度至的位置． (1)点的坐标是 ； (2)如图2，过点作轴于点，在轴上有一动点，求三角形的面积； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，是否存在点，使得三角形的面积为22，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)6 (3)点P的坐标为或． 【分析】本题考查了点的平移，在平面直角坐标系中动点产生三角形的面积； （1）由点的平移即可求解； （2）由即可求解； （3）分情况讨论：当在的上方时，将补成直角梯形；当在的下方时，将补成直角梯形，根据割补法求解． 【详解】（1）解：由平移得：即； （2）解：∵，，动点在轴上， ； （3）解：当在的上方时， 如图，将补成直角梯形， 设点P的坐标为，则点E的坐标为，点F的坐标为， 当，则， 此时点P的坐标为， 当在的下方时， 如图，将补成直角梯形， 设点P的坐标为，则点M的坐标为，点M的坐标为， 当，则， 此时点P的坐标为， 综上所述：点P的坐标为或． 【题型8 坐标中的规律探究】 【例8】（23-24八年级·黑龙江鸡西·期末）小颖同学观看台球比赛，从中受到启发，把它抽象成数学问题：如图，小球起始时位于处，沿所示的方向击球，若不考虑阻力，小球运动的轨迹如图所示，小球第一次碰到球桌边时，小球的位置是，那么小球第2024次碰到球桌边时，小球所在的位置用坐标表示是 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标规律探究，根据图象可知，每6次一个循环，进行求解即可． 【详解】解：由图象，可知，第1次到达， 第2次到达， 第3次到达， 第4次到达， 第5次到达， 第6次到达， 第7次到达，； ∴小球每6次一个循环， ∵， ∴小球第2024次碰到球桌边时，小球所在的位置：． 【变式8-1】（23-24八年级·湖北宜昌·期末）在平面直角坐标系中，点A从原点O出发，沿x轴正方向按半圆形弧线不断向前运动，其移动路线如图所示，其中半圆的半径为1个单位长度，这时点的坐标分别为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查找点的坐标规律，根据图形可知点的位置每4个数一个循环，横坐标为脚标数减1，，进而判断与的纵坐标相同，即可求解． 【详解】解：∵， ∴根据图形可知点的位置每4个数一个循环，横坐标为脚标数减1，， ∴与的纵坐标相同， ∴， 故答案为：． 【变式8-2】（23-24八年级·湖北省直辖县级单位·期末）在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点的伴随点．已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，，这样依次得到点，，，，，．若点的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题考查点的坐标规律，理解伴随点的定义并求出每4个点为一个循环组依次循环是解题的关键．根据伴随点的定义依次求出各点的坐标，每4个点为一个循环组依次循环，用2024除以4，根据商和余数的情况确定点的坐标即可． 【详解】解：点的坐标为，根据伴随点的定义得， ，，，， 依此类推，每4个点为一个循环组依次循环， 对于，为正整数，有，，，， ，即当时，有 点的坐标为为． 故答案为：． 【变式8-3】（23-24八年级·广东汕头·期末）如图，如图，在平面直角坐标系中，一动点从出发，按一定规律移动，依次得到，，，，，…点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点坐标的规律，解题的关键是分类讨论奇数点与偶数点的坐标递变规律． 分类讨论奇数点与偶数点的坐标变化规律即可得到结论． 【详解】解：观察图形可得，奇数点坐标 可得奇数点坐标的规律为（n为奇数）； 观察图形可得，偶数点坐标 可得偶数点坐标的规律为（n为偶数）， ∵240为偶数，点的坐标为，即， 故答案为：． 【考点3 函数】 1.常量、变量： 在一个变化过程中,数值发生变化的量叫做变量；数值始终不变的量叫做常量。 2、函数的概念： 函数的定义：一般的，在一个变化过程中,如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数． 3.函数有三种表示形式： （1）列表法 （2）图像法 （3）解析式法 【题型9 函数的概念】 【例9】（23-24八年级·北京东城·期中）如图，是体检时的心电图，其中横坐标表示时间，纵坐标表示心脏部位的生物电流，它们是两个变量．在心电图中， （填“是”或“不是” 的函数． 【答案】是 【分析】根据函数的定义判断即可． 【详解】解：两个变量和，变量随的变化而变化， 且对于每一个，都有唯一值与之对应， 是的函数． 故答案为：是． 【点睛】本题考查了函数的理解即两个变量和，变量随的变化而变化， 且对于每一个，都有唯一值与之对应,正确理解定义是解题的关键． 【变式9-1】（23-24八年级·云南昆明·期末）下列图象中，不能表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查的是函数的定义，掌握自变量确定时，函数值的唯一性是解题的关键．根据函数的定义：对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，即可判断出哪个选项不能表示y是x的函数． 【详解】A、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，故A不符合题意； B、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，故B不符合题意； C、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，故C不符合题意； D、不满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，故D符合题意； 故选：D． 【变式9-2】（23-24八年级·河南许昌·期末）下列关系式中，不是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的概念可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，即可得出答案． 【详解】解：A、对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，是函数但不符合题意； B、对于x的每一个取值，y有两个值，不符合函数的定义，不是函数符合题意； C、对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，是函数但不符合题意； D、对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，是函数但不符合题意． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了函数的概念．函数的概念：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量． 【变式9-3】（23-24八年级·广西河池·期末）下列变量之间是函数关系的有（    ） ①正方形的周长C与边长a；②矩形的周长C与宽a；③圆的面积S与半径R；④y=2x-3中的y与x A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】①正方形的周长C与边长a，由正方形的周长公式列出关系式C=4a； ②矩形的周长C与宽a，由矩形的周长公式列出关系式C=2a+2×长，其中长不确定是变量； ③圆的面积S与半径R，由圆的面积公式列出关系式S=； ④y=2x-3中的y与x，可根据函数的定义判定． 【详解】解：①由正方形的周长公式列出关系式C=4a，其中a，C是变量，4是常量， C与是a的函数； ②由矩形的周长公式列出关系式C=2a+2×长，其中长不确定是变量，所以C与a不是函数关系； ③由圆的面积公式列出关系式S=，其中R，S是变量， S是R的函数； ④y=2x-3中的y与x，可根据函数的定义可得，y是x函数． 综上所述，是函数的有3个． 故选B． 【点睛】主要考查函数的定义，解决本题的关键是要熟练掌握函数的定义. 【题型10 函数值及自变量的取值范围】 【例10】（2024八年级·全国·专题练习）用如图所示的程序框图来计算函数y的值，当输入x为和7时，输出y的值相等，则b的值是（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了程序框图，一次函数的函数值．理解程序框图的运算规则是解题的关键． 当时，；当时，；由题意得，，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，当时，； 当时，． 由题意得，， 解得． 故选：D． 【变式10-1】（23-24八年级·上海·阶段练习）已知二次函数，如果那么 ． 【答案】 【分析】本题考查求函数的函数值，先把代入可得到，然后代入解题即可． 【详解】解：当时，，解得， ∴当时，， 故答案为：． 【变式10-2】（23-24八年级·辽宁铁岭·阶段练习）一辆汽车油箱内有油56升，从某地出发，每行驶1千米，耗油0.08升，如果设油箱内剩油是为y（升），行驶路程为x（千米），则y随x的变化而变化，y与x的关系式为（写出自变量取值范围） ． 【答案】 【分析】本题考查函数关系式，根据“油箱内剩油量油箱内原有油量耗油量”写出y与x的关系式，将代入y与x的关系式，求出x的最大值，从而写出x的取值范围． 【详解】解：根据题意，得， 当时，得，解得， ， 与x的关系式为． 故答案为：． 【变式10-3】（23-24八年级·四川宜宾·期末）对于实数、，定义一种运算“”为：，在函数的图象上的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了新定义，函数图象上的点与图象的关系，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据新定义求得，分别计算验证即可． 【详解】解：由题意得，， A、时，，故不在图象上，故本选项不符合题意； B、时，，故不在图象上，故本选项不符合题意； C、时，，故不在图象上，故本选项不符合题意； D、时，，故在图象上，故本选项符合题意， 故选：D． 【题型11 函数的表示方法】 【例11】（23-24八年级·辽宁沈阳·阶段练习）某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据如下： 温度（） 声速（） 根据表格所得到的信息，下列说法错误的是（    ） A．在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速 B．温度越低，声速越慢 C．当温度每升高时，声速增加 D．当空气温度为时，声音可以传播 【答案】D 【分析】本题考查了函数的表示方法、常量与变量，根据自变量与函数的定义即可判断；通过观察表格数据即可判断；根据计算出空气温度为的声速，即此时每秒传播的距离即可判断；掌握自变量与函数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵声速随温度的变化而变化， ∴自变量是温度，声速是温度的函数，故正确，不符合题意； 从表格数据可知，随着温度的降低，声速变慢，故正确，不符合题意； 从数据可知，温度每升高，声速就增加，故 正确，不符合题意； 由可知，当空气温度为时，声速为，即当空气温度为时，声音每秒可以传播，故错误，符合题意； 故选：． 【变式11-1】（23-24八年级·陕西西安·期末）在关系式中，下列说法： 都是变量，、都是常量； 的值随的值变化而变化； 是变量，它的值可以与无关； 与的关系不能用表格表示； 与的关系还可以用列表法和图象法表示，其中说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数的有关概念，根据函数的概念逐一判断即可，正确理解函数的概念是解题的关键． 【详解】 是自变量，是因变量，故该说法正确； 值随值的变化而变化，故该说法正确； 是变量，随值的变化而变化，故该说法错误； 用关系式表示的可以用表格表示，故该说法错误； 与的关系还可以用列表法和图象法表示，故该说法正确， 综上所述：正确，错误， 故选：． 【变式11-2】（23-24八年级·河北邢台·阶段练习）如图1，一种圆环的外圆的直径是，环宽．如图2，若把个这样的圆环扣在一起并拉紧，其长度为 ，则与之间的关系式是 ． 【答案】y=6x+2． 【分析】根据题意和图形可以分别求得把2个这样的圆环扣在一起并拉紧的长度和把x个这样的圆环扣在一起并拉紧的长度． 【详解】：由题意可得， 把2个这样的圆环扣在一起并拉紧，则其长度为：8+（8-1-1）=14cm， 把x个这样的圆环扣在一起并拉紧，其长度为y与x之间的关系式是：y=8+（8-1-1）（x-1）=6x+2， 故答案为：y=6x+2． 【点睛】本题考查函数关系式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【变式11-3】（23-24八年级·广东深圳·期中）某地的温度T(℃)与海拔高度h(km)之间的关系如下所示：   要算出海拔高度为6km时该地的温度，适宜用第 种形式． 【答案】三 【分析】当h=6时，直接代入关系式中求值最简单. 【详解】用第三种形式，将h=6代入解析式，即可计算出T. 故答案为三 【点睛】本题考查的是函数的三种表示方法，了解各个表示方法的特点是关键. 【题型12 识图并分析图象信息】 【例12】（23-24八年级·贵州贵阳·期中）小明和妈妈2022年3月19日通过自驾去“花溪十里河滩”游玩，早上他们从贵安新区出发，匀速行驶一段时间后，途中遇到堵车原地等待一会儿，然后他们加快速度行驶，按时到达“十里河滩”．游玩结束后，他们自驾匀速返回．其中x表示小明和妈妈驾车从贵安新区出发后至回到贵安新区所用的时间，y表示他们离贵安新区的距离，下面能反映y与x的关系的大致图象是（　　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据匀速行驶路程逐渐增加，堵车时路程不变，加速行驶时路程迅速增加，返回时路程逐渐减少，可得答案． 【详解】解：A．匀速行驶路程逐渐增加，堵车时路程不变，加速行驶时路程迅速增加，返回时路程逐渐减少，故A符合题意； B．加速行驶时路程应迅速增加，故B不符合题意； C．参观时路程不变，故C不符合题意； D．返回时路程逐渐减少，故D错误； 故选：A． 【点睛】本题考查了函数图象，理解题意是解题关键：匀速行驶路程逐渐增加，堵车时路程不变，加速行驶时路程迅速增加，返回时路程逐渐减少． 【变式12-1】（23-24八年级·云南昆明·阶段练习）匀速地向如图所示的容器内注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度h随时间的变化规律可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题首先要弄清横、纵坐标所代表的意义，然后要考虑到上中下三个圆柱的底面积不同，所以水面升高的速度也不同；可依据上面的两点来判断各项的对错． 主要考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． 【详解】解：由题意知：纵坐标表示的是水面的高度，横坐标表示的时间；整个注水过程大致可分为三个阶段：①向容器最下面的圆柱体中注水时，由于注水速度不变，水面逐渐升高，且此段函数是一次函数，排除A和B； ②向容器中间的圆柱体中注水时，由于大圆柱体的底面积大于中间圆柱体的底面积，因此水位上升的幅度会增大，可排除B； ③向容器最上面的小圆柱体中注水时，由于最小圆柱体的底面积小于中间圆柱体的底面积，因此水面上升的幅度会加大， 综上可知，D符合题意． 故选：D． 【变式12-2】（23-24八年级·云南昆明·期末）如图，一铁块完全浸入水中，小明匀速向上将铁块提起，直至铁块完全露出水面一定高度．下图能反映此过程中液面高度h与铁块提起的时间t之间的函数关系的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查函数的图象，解决此类问题，注意将过程分成几个阶段，依次分析各个阶段的变化情况，进而得到整体的变化情况．不一定要通过求解析式来解决． 根据题意，在实验中有3个阶段：（1）铁块在液面以下，（2）铁块的一部分露出液面，但未完全露出时，（3）铁块完全露出时，分别分析液面的变化情况，结合选项，可得答案． 【详解】解：根据题意，在实验中有3个阶段， （1）铁块在液面以下，液面的高度不变； （2）铁块的一部分露出液面，但未完全露出时，液面高度降低； （3）铁块在液面以上，完全露出时，液面高度又维持不变； 即B符合描述； 故选：B． 【变式12-3】（23-24八年级·山东烟台·期末）青少年机器人竞赛是一项综合多学科知识和技能的科技活动．如图是某项机器人竞赛的一段比赛轨道示意图，中间部分为圆形，点P，A，C，Q在同一直线上，，点A，C所连线段、点B，D所连线段均为圆的直径，现有两个机器人分别从P，Q两点同时出发，以相同的速度沿着该轨道匀速运动，其路线分别为和．若机器人（看作点）的运动时间为x，两机器人之间的距离为y，则y与x关系的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查动点函数图象．设圆的半径为R，根据机器人移动时最开始的距离为，之后同时到达点A，C，两个机器人之间的距离y越来越小，当两个机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离是直径，当机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离越来越大． 【详解】解：由题意可得：机器人（看成点）分别从P，Q两点同时出发， 设圆的半径为R， ∴两个机器人最初的距离是， ∵两个人机器人速度相同， ∴分别同时到达点A，C， ∴两个机器人之间的距离y越来越小，故排除A，C； 当两个机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离是直径，保持不变， 当机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离越来越大，故排除B，故选：D． 【考点4 一次函数】 1.正比例函数与一次函数的概念： 一般地，形如y=kx(k为常数，且k≠0)的函数叫做正比例函数.其中k叫做比例系数。 一般地，形如y=kx+b (k,b为常数，且k≠0)的函数叫做一次函数. 当b =0 时,y=kx+b 即为 y=kx,所以正比例函数，是一次函数的特例. 2.正比例函数的图象与性质： （1)图象:正比例函数y= kx (k 是常数，k≠0)) 的图象是经过原点的一条直线，我们称它为直线y= kx 。 (2)性质:当k>0时,直线y= kx经过第一，三象限，从左向右上升，即随着x的增大y也增大； 当k<0时,直线y= kx经过二, 四象限，从左向右下降，即随着 x的增大y反而减小。 3.一次函数的图象与性质： 一次函数 [ y=kx+b（k、b是常数，k≠0 ] 概念 如果y=kx+b（k、b是常数，k≠0），那么y叫x的一次函数 .当b=0时，一次函数y=kx（k≠0）也叫正比例函数. 图像 一条直线 性质 k＞0时，y随x的增大(或减小)而增大(或减小)； k＜0时，y随x的增大(或减小)而减小(或增大). 直线y=kx+b（k≠0）的位置与k、b符号之间的关系. （1）k>0，b＞0图像经过一、二、三象限； （2）k>0，b＜0图像经过一、三、四象限； （3）k>0，b＝0 图像经过一、三象限； （4）k＜0，b＞0图像经过一、二、四象限； （5）k＜0，b＜0图像经过二、三、四象限； （6）k＜0，b＝0图像经过二、四象限。 一次函数表达式的确定 求一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）时，需要由两个点来确定；求正比例函数y=kx（k≠0）时，只需一个点即可. 4.一次函数与一元一次方程： x为何值时函数y= ax+b的值为0． 从“数”的角度看，求ax+b=0(a, b是常数，a≠0)的解， 从“形”的角度看，求直线y= ax+b与 x 轴交点的横坐标 5.一次函数与一元一次不等式： 解不等式ax+b＞0(a，b是常数，a≠0) ． 从“数”的角度看，x为何值时函数y= ax+b的值大于0． 解不等式ax+b＞0(a，b是常数，a≠0) ． 从“形”的角度看，求直线y= ax+b在 x 轴上方的部分（射线）所对应的的横坐标的取值范围． 【题型13 正比例函数的图象与性质】 【例13】（23-24八年级·福建泉州·期末）已知、、是正比例函数图象上的三个点，当时，t的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据 两点在 上求出k得出该正比例函数解析式后，由单调性判断即可． 【详解】将点 与点 代入 ，得： ， 两式相减，得： ， ， y随x的增大而减小， 当 时，， 当m＞3时，t＜-， 故答案为：t＜-. 【点睛】本题考查函数解析式的求解与正比例函数的性质，将未知点代入求出解析式为关键，属于中等题． 【变式13-1】（23-24八年级·湖北省直辖县级单位·阶段练习）下列关于正比例函数的结论中，正确的是（    ） A．当时，函数值为2 B．随的增大而增大 C．它的图象经过一、三象限 D．它的图象一定不经过点 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数的性质，根据正比例函数的性质以及图象逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. 当时，函数值为，故该选项不正确，不符合题意；     B. 随的增大而减小，故该选项不正确，不符合题意；     C. 它的图象经过二、四象限，故该选项不正确，不符合题意；     D. 当时，，则它的图象一定不经过点，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【变式13-2】（23-24八年级·河南驻马店·期末）将的正方形网格如图所示的放置在平面直角坐标系中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长都是 1，正方形的顶点都在格点上，若直线与正方形有两个公共点，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分别确定点A和点C的坐标，代入正比例函数的解析式即可求得k的取值范围． 本题考查了正比例函数的性质，解题的关键是求得点A和点C的坐标． 【详解】解：由题意得：点A的坐标为，点C的坐标为， 当正比例函数经过点A时，， 当经过点C时，， 解得， ∵直线与正方形有两个公共点， ∴k的取值范围是， 故答案为：． 【变式13-3】（23-24八年级·陕西宝鸡·期末）如图，点在直线上，过点作轴于点，作轴与直线交于点，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正比例函数的图象与性质，设，得出，结合得出，从而得出，代入，计算即可得出答案，熟练掌握一次函数的图象与性质是解此题的关键． 【详解】解：设， 点在直线上， ， ， ， ， ， ， 点在上， ， ， 故选：D． 【题型14 一次函数的图象与性质】 【例14】（23-24八年级·四川成都·开学考试）已知一次函数和 且，这两个函数的图象可能是（　　） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，正确理解一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】当，时，一次函数的图象经过第一、二、三象限，的图象经过第一、二、三象限，故选项A错误，选项B错误，选项D正确； 当，时，一次函数的图象经过第一、二、四象限，的图象经过第一、三、四象限，故选项C错误； 故选D． 【变式14-1】（2024·湖南邵阳·模拟预测）在一次函数中，若随的增大而增大，则它的图象不经过第 象限． 【答案】四 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，由随的增大而增大可得，进而由，可得一次函数的图象经过第一、二、三象限，据此即可求解，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数中，随的增大而增大， ∴， ∵，， ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限， 故答案为：四． 【变式14-2】（23-24八年级·山东青岛·期中）当 时，函数是一次函数．已知点，都在这个一次函数图像上，则，的大小关系是 ． 【答案】 1 / 【分析】本题考查了一次函数的性质及一次函数的定义，熟练掌握一次函数的性质是解答本题的关键． （1）根据一次函数定义可得，且，再解即可； （2）根据一次函数的性质解答即可． 【详解】解：（1）由题意得：，且， 由可得， 由可得， 由此可得：， （2）一次函数的， 随的增大而增大， ， ． 故答案为：；． 【变式14-3】（2024·山东泰安·三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与x、y轴分别交于点A、B，在直线上截取，过点分别作y轴的垂线，垂足为点，得到；在直线上截取，过点分别作y轴的垂线，垂足为点，得到；在直线直线上被取，过点作y轴的垂线，垂足为点，得到；…；以此类推，第n个的面积是 （用含n的式子表示，n是正整数） 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点．先求出A、B两点的坐标，再设设，，，再求出a、b、c的值，利用三角形的面积公式得出其面积，找出规律即可． 【详解】解：∵一次函数与x、y 轴分别交于点A、B， ∴，， ， 设，，， ， ， 解得∶，（舍去）， ， 同理可得，，， ，， ． 故答案为： 【题型15 求一次函数的解析式】 【例15】（23-24八年级·四川南充·期末）直线与x轴交于点，与y轴交于点，点C在直线上，且，则点C的坐标是（　　） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数解析式，坐标与图形，熟练掌握一次函数解析式，坐标与图形是解题的关键 待定系数法求直线的解析式为，设点C的坐标为，依题意得，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 设点C的坐标为， ∵， ∴， 解得，或， 当时，，即， 当时，，即， 故选：D． 【变式15-1】（23-24八年级·甘肃庆阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，另一条直线经过点A和点，且与x轴交于点D． (1)求直线的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)75 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，用数形结合的思想解答． （1）先直线的解析式求出A点坐标，再根据点A与点C的坐标即可求得直线的解析式； （2）根据直线的解析式求得点B的坐标，根据直线的解析式求得点D的坐标，再根据点A的坐标即可求得的面积． 【详解】（1）∵直线与y轴交于点A， 当时，， ∴． 设直线的解析式为， ∵直线过，， ∴， 解得 ∴直线的解析式为； （2）∵直线与x轴交于点B， 当时，， ∴， ∵直线与x交于点D， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴的面积． 【变式15-2】（23-24八年级·湖北武汉·期末）不论取何值，点都在某一条直线上，则这条直线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查求一次函数解析式，设，，根据点坐标中横纵坐标的关系求解即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴设，， 由得，， ∴， 即不论取何值，点都在某一条直线上， 故答案为：． 【变式15-3】（23-24八年级·山东烟台·期末）如图，已知点在直线上，点坐标为，若点在轴上，且点到，两点距离和最短，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，求一次函数解析式，解题的关键是掌握用待定系数法求函数解析式的方法和步骤，以及利用轴对称的性质，确定点C的位置． 作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点C，先把代入，求出b的值，得出点A的坐标，再得出点的坐标，用待定系数法求出的函数解析式为，即可求出点C的坐标． 【详解】解：作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点C， 把代入得， 解得：， ∴， ∴， 设的函数解析式为， 把，代入得：， 解得：， ∴的函数解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴， 故答案为：． 【题型16 一次函数与方程、不等式的关系】 【例16】（23-24八年级·四川成都·期末）在直角坐标系中，函数的图象如图所示，当时，对于的每一个值，函数的值总大于函数的值，则的取值范围为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，熟知一次函数的图象和性质是解题的关键． 根据题意可得出，当时函数的函数值不小于函数的函数值，据此可解决问题． 【详解】解：因为当时，对于的每一个值，函数的值总大于函数的值， 所以， 解得． 故答案为：． 【变式16-1】（23-24八年级·全国·单元测试）如图，函数的图象经过点，与函数的图象交于点，则关于的方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用正比例函数解析式确定A点坐标，两函数图象交点的横坐标就是关于x的方程的解． 【详解】解：当时，，解得，则， 当时，， 关于的方程的解为， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程，根据图形找出两函数图象交点的横坐标是解题的关键． 【变式16-2】（23-24八年级·河北石家庄·期末）已知函数与函数． (1)在同一平面直角坐标系内，画出这两个函数的图象； (2)求这两个函数图象的交点坐标； (3)根据图象回答，当x在什么范围内取值时，函数的图象在函数的图象下方？ 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了一次函数的图象的画法及位置关系，难度不大． （1）可用两点法来画函数与函数的图象； （2）两函数相交，那么交点的坐标就是方程组的解； （3）由函数图象可得出函数的图象在函数的图象的下方，x的取值范围． 【详解】（1）函数与坐标轴的交点为， 函数与坐标轴的交点为，， 作图为： （2）解：根据题意得 方程组 解得 即交点的坐标是 两个函数图象的交点坐标为 （3）由图像知，当时，函数的图像在函数的图像下方． 【变式16-3】（23-24八年级·江苏南通·阶段练习）如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，一次函数的图象与一元一次不等式的关系，利用数形结合思想解答是解题的关键．先求出点，可得一次函数解析式为，进而得到直线与x轴交于点，然后观察图象可得当时，直线位于x轴上方，且位于直线的下方，或两直线相交，即可求解． 【详解】解：∵函数和的图象相交于点， ∴，解得：， ∴点， 把点代入得：， 解得：， ∴一次函数解析式为， 当时，， ∴直线与x轴交于点， 观察图象得：当时，直线位于x轴上方，且位于直线的下方或两直线相交， ∴不等式的解集为． 故答案为：． 【题型17 一次函数图象的平移问题】 【例17】（2024·陕西咸阳·三模）将直线向左平移个单位长度后得到直线，若直线与轴交点的纵坐标等于直线与轴交点的横坐标，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数图象的平移，一次函数与坐标轴的交点，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．根据“左加右减”的原则得到直线的解析式，再根据解析式分别求出直线与轴交点的纵坐标和直线与轴交点的横坐标，列方程求出的值． 【详解】解：直线向左平移个单位长度后得到直线， 直线，即， 直线与轴交点的纵坐标为， 直线与轴交点的横坐标为2， 依题意有， ． 故选：C． 【变式17-1】（23-24八年级·河北邢台·期末）将直线向右平移个单位，平移后的直线经过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象的平移、一次函数图象上点的坐标特征，根据图象平移的规律“左加右减”得出平移后的解析式，再将坐标代入求解即可，熟练掌握图象平移的规律“左加右减，上加下减”是解题的关键． 【详解】∵将直线向右平移个单位后的解析式为， ∴将点代入，得， 解得：， 故选：． 【变式17-2】（2024·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，直线：与直线：平行，且经过点，则的值为（    ） A．6 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据直线：与直线：平行，得，；把代入得，解得，计算，解答即可． 本题考查了一次函数平行的条件，待定系数法，熟练掌握条件和待定系数法是解题的关键． 【详解】根据直线：与直线：平行， 得，； 把代入 得， 解得， 故， 故选A． 【变式17-3】（23-24八年级·广东惠州·期末）已知点，，将直线沿轴向上平移个单位长度后，与线段有交点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的平移和性质，设平移后直线的解析式为，分别把，代入解析式求出的值，即可得到的取范围，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：设平移后直线的解析式为， 当直线经过点时，， 解得； 当直线经过点时，， 解得； ∴将直线沿轴向上平移个单位长度后，与线段有交点，的取范围为， 故答案为：． 【考点5 一次函数的应用】 【题型18 利用一次函数的性质解决分配方案问题】 【例18】（23-24八年级·安徽·期末）某超市需每天从外地调运鸡蛋千克，超市决定从甲、乙两大型养殖场调运鸡蛋，已知甲养殖场每天最多可调出千克，乙养殖场每天最多可调出千克，从甲、乙两养殖场调运鸡蛋到该超市的路程和运费如表： 到超市的路程（千米） 运费（元千克千米） 甲养殖场 乙养殖场 设从甲养殖场调运鸡蛋千克，总运费为元． (1)从甲养殖场调运鸡蛋的运费，用代数式表示为__________，从乙养殖场需要调运鸡蛋的数量，用代数式表示为__________； (2)求出与的函数关系式； (3)怎样安排调运方案才能使每天的总运费最少？ 【答案】(1)元，千克 (2) (3)从甲养殖场调运斤鸡蛋，从乙养殖场调运斤鸡蛋 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式和不等式组，利用一次函数的性质解答． （1）根据题意直接得出结论； （2）根据题意和表格中的数据，可以得到与的函数关系式； （3）根据（2）中的函数关系式和的取值范围，利用一次函数的性质，即可得到怎样安排调运方案才能使每天的总运费最省． 【详解】（1）解：从甲养殖场调运鸡蛋千克，则从乙养殖场调运鸡蛋千克， 则从甲养殖场调运鸡蛋的运费为：， 故答案为：元，千克； （2）解：根据题意得：， 与的函数关系式为：； （3）解：由（2）知，， ， 随的增大而增大， ，， ， 当时，取得最小值， 此时， 答：当从甲养殖场调运斤鸡蛋，从乙养殖场调运斤鸡蛋时，每天的总运费最省． 【变式18-1】（23-24八年级·辽宁鞍山·期末）学校在“体育节”期间举行羽毛球比赛，需要购买羽毛球及球拍．经了解甲，乙两个商场均对同一品牌的羽毛球用品春季促销．其中甲商场的羽毛球拍打九折，羽毛球打八折；乙商场开展买一赠一优惠：即买一副球拍送一盒羽毛球．已知羽毛球每盒25元，球拍每副90元，若学校打算购买羽毛球拍10副，羽毛球若干，学校去哪家商场购买比较合算． 【答案】当购买羽毛球大于32盒时，选择甲商场比较合算；当购买羽毛球等于32盒时，两个商场都一样；当购买羽毛球小于32盒时，选择乙商场比较合算 【分析】此题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用， 设购买羽毛球x盒，总价格为y元，根据题意表示出，，然后分3种情况即可求解． 【详解】解：设购买羽毛球x盒，总价格为y元，则 若， 解得 ∴当时，选择甲商场比较合算； 当时，两个商场都一样； 当时，选择乙商场比较合算． 【变式18-2】（23-24八年级·湖北省直辖县级单位·期末）A城有肥料200吨，B城有肥料300吨．现要把这些肥料全部运往C，D两乡，C乡需要肥料240吨，D乡需要肥料260吨，其运往C，D两乡的运费如下表： 两乡 两城 C/（元/吨） D/（元/吨） A 20 24 B 15 17 设从A城运往C乡的肥料为x吨，从A城运往两乡的总运费为元，从B城运往两乡的总运费为元． (1)分别直接写出，与x之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）； (2)当A城运往两乡的总运费不低于4200元时，怎样调运，才能使A，B两城运往两乡的总费用的和最小？并求出最小值． 【答案】(1)，； (2)调运方案为：A城运150吨肥料到C城，运50吨肥料到D城； B城运90吨肥料到C城，运210吨肥料到D城，最小费用为元． 【分析】（1）设总运费为y元，A城运往C乡的肥料量为x吨，则运往D乡的肥料量为吨；  B城运往C、D乡的肥料量分别为吨和吨，然后根据题意写出与x之间的函数关系式； （2）先根据城运往两乡的总运费不低于4200元求出的取值范围，再根据总费用 列出函数解析式，由函数的性质求最小值； 本题考查了一次函数的解析式的运用，一次函数的性质的运用，解答时求出一次函数的解析式是关键． 【详解】（1）解：A城运往C乡的肥料量为x吨，则运往D乡的肥料量为吨； B城运往C、D乡的肥料量分别为吨和吨， ∴， ， ∴与x之间的函数关系式为：， 与x之间的函数关系式为： ； （2）解：依题意， 解得：， 设两城总费用和为元，则 ， ∴随着x的增大而减小， ∴当时， 此时调运方案为：A城运150吨肥料到C城，运50吨肥料到D城； B城运90吨肥料到C城，运210吨肥料到D城，最小费用为元． 【变式18-3】（23-24八年级·河南安阳·期末）为了提高学生的中考体育跳绳成绩，某校计划购买A，B两种跳绳．经市场调查，A种跳绳每根15元，B种跳绳每根10元．若学校准备购买A，B两种跳绳共120条，且购买A种跳绳的数量不少于B种跳绳数量的2倍． (1)设购买A种跳绳为x根，实际付款总金额为y元，请求出y与x之间的函数关系式； (2)在（1）的条件下，请设计出一种购买跳绳的方案，使实际所花费用最省，并求出最省的费用． 【答案】(1) (2)当购买A种跳绳80根，B种跳绳40 根时，实际所花费用最省，最省的费用为1600元 【分析】本题主要考查一次函数的应用式和不等式的应用， 设购买A 种跳绳为x根， 则购买设购买 B种跳绳为根，根据总金额等于数量乘以单价即可列出总金额的函数关系式； 根据题意列出不等式求得购买A 种跳绳数量，结合总金额的函数的性质即可求得最省的购买方案． 【详解】（1）解∶ 设购买A 种跳绳为x根， 则购买设购买 B种跳绳为根． ∴ ∴y与x之间的函数关系式为 （2）∵购买A种跳绳的数量不少于 B种跳绳数量的2倍 ∴ 解得 ∵， ∴y随x的增大而增大 ∴当时， y取得最小值为 此时 ∴当购买A种跳绳80根，B种跳绳40 根时，实际所花费用最省，最省的费用为1600元． 【题型19 利用一次函数的性质解决最大利润问题】 【例19】（23-24八年级·湖南岳阳·期末）汉服是中国古老而美好的生活方式的一个缩影，近年来，“汉服热”席卷中国各大景区，尤其是在节假日期间，“汉服+景区”已然成为当下年轻人的创新玩法.某景区一汉服专卖店计划购进甲、乙两种汉服共120件（2种服装都要），其进价与售价如表所示： 价格类型 进价（元/件） 售价（元/件） 甲 80 100 乙 100 200 若设甲汉服的数量为件，销售完甲、乙两种汉服的利润为元. (1)求与之间的函数关系式，写出自变量范围； (2)若乙汉服的数量不能超过甲汉服数量的2倍，请问当甲汉服购选多少件时，该店在销售完这两种汉服后获利最多？并求出最大利润。 【答案】(1) (2)当甲汉服购进件时，该店在销售完这两种汉服获利最多，最大利润为元 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次 不等式的应用，二元一次方程的应用，读懂题目信息，理解数量关系并确定出等量关系是解答本题的关键； （1）根据总利润=两种服装利润之和列出函数解析式； （2）根据乙汉服的数量不能超过甲汉服数量的2倍，得出x的取值范围，再根据函数的性质求出函数的最值即可． 【详解】（1）解：由题意得 ∴y与x之间的函数关系式为； （2）解：∵乙的数量不能超过甲的数量的２倍， ∴ 解得， ∴， 由（1）知，， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，y取最大值，y最大， 答：当甲汉服购进40件时，该店在销售完这两 种汉服获利最多，最大利润为元． 【变式19-1】（23-24八年级·河南信阳·期末）2024年，第41届中国洛阳牡丹文化节以“牡丹花开又逢君”为主题．在此期间，小王采购牡丹花伞和花环头饰两种商品进行销售，采购10个牡丹花伞和10个花环头饰需要200元，采购20个牡丹花伞和5个花环头饰需要325元． (1)求牡丹花伞和花环头饰的采购价各是多少元？ (2)牡丹花伞和花环头饰的售价分别为25元/个和10元/个，小王决定采购两种商品共200个，但批发商要求采购牡丹花伞的数量不得超过花环头饰数量的一半，小王应如何进货，才能获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1)15元；5元 (2)牡丹花伞66个，花环头饰34个；1330 元 【分析】本题考查二元一次方程组及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组及函数关系式． （1）设牡丹花伞和花环头饰的采购价各是x元和y元，根据题意列二元一次方程组即可； （2）设牡丹花伞进货m个，利润为p元，根据题意列不等式利用一次函数性质求解即可． 【详解】（1）解：设牡丹花伞和花环头饰的采购价各是x元和y元． 根据题意，得 ，解得 答：牡丹花伞和花环头饰的采购价分别是 15元和5元． （2）设牡丹花伞进货m个，利润为p元． 根据题意，得 ，解得 ∵m为整数， 获得的利润                  ∵p随m的增大而增大， ∴当 时，p 最大，最大值为 1 330． 当牡丹花伞进货66个，花环头饰进货134个时，能获得利润最大，此时最大利润是1330 元． 【变式19-2】（23-24八年级·福建龙岩·期末）某商场同时购进甲、乙两种商品共100件，其中甲商品的进价为80元，售价为100元；乙商品的进价为100元，售价为130元． 设购进甲种商品 件，商场售完这100件商品的总利润为 元． (1)写出与的函数关系式； (2)该商场计划最多投入9600元购买甲、乙两种商品，若销售完这些商品，则商场可获得的最大利润是多少元？ (3)商场实际进货时，生产厂家对甲种商品的出厂价下调 元出售，且限定商场最多购进甲种商品60件． 在（2）的条件下，若商场获得最大利润为3300元、求 的值． 【答案】(1) (2)2800元 (3)15 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出对应的函数关系式是解题的关键． （1）根据利润等于（售价减去进价）乘以销售量进行求解即可； （2）根据最多投入9600元，列出不等式，再根据一次函数的性质，即可求解； （3）根据利润等于（售价减去进价）乘以销售量列出函数关系式，再根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：， 即与 的函数关系式为； （2）解：根据题意得：， 解得：， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，y取得最大值，最大值为2800， 即商场可获得的最大利润是2800元； （3）解：根据题意得：， ∵限定商场最多购进甲种商品60件， ∴， ∵， 当，即时，y随x的增大而增大， 此时当时，商场可获得的最大利润， ∴， 解得：（舍去）； 当，即时，所获得利润为3000元，不符合题意； 当，即时，y随x的增大而减小， 当时，商场可获得的最大利润， ∴， 解得：； 综上所述，a的值为15． 【变式19-3】（23-24八年级·山东德州·期末）习近平总书记在中央财经委员会第四次会议上强调，鼓励引导机械设备行业更新与改造．某工程机械厂根据市场要求，计划生产A、B两种型号的大型挖掘机共100台，该厂所筹生产资金不少于22400万元，但不超过22500万元，且所筹资金全部用于生产这两种型号的挖掘机，所生产的这两种型号的挖掘机可全部售出，此两种型号挖掘机的生产成本和售价如表所示： 型号 A B 成本（万元/台） 200 240 售价（万元/台） 250 300 (1)该厂对这两种型号挖掘机有几种生产方案？ (2)该厂如何生产获得最大利润？最大利润为多少？ 【答案】(1)有三种生产方案：A型38台，B型62台；A型39台，B型61台；A型40台，B型60台 (2)生产A型挖掘机38台，B型挖掘机62台时，获得利润最大，最大利润为5620万元 【分析】本题考查一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，读懂题意，并且会用不等式与函数知识去解题，以及会结合自变量的范围讨论函数的最大值． （1）在题目中，每种型号的成本及总成本的上限和下限都已知，所以设生产型挖掘机台，则型挖掘机台的情况下，可列不等式，解不等式，取其整数值即可求解； （2）在知道生产方案以及每种利润情况下可列函数解析式，利用函数的自变量取值范围和性质即可求得函数的最值． 【详解】（1）解：设生产A型挖掘机x台，则B型挖掘机可生产台． 由题意知： 解得： ∵x取正整数， ∴x为38、39、40． ∴有三种生产方案： A型38台，B型62台； A型39台，B型61台； A型40台，B型60台． （2）解：设获得利润为W（万元）．由题意知： ． ∵ ∴W随x的增大而减小， ∵ ∴当时，W最大 答：生产A型挖掘机38台，B型挖掘机62台时，获得利润最大，最大利润为5620万元． 【题型20 一次函数图象的应用】 【例20】（23-24八年级·黑龙江牡丹江·期末）在一条直线上依次有，，三港口，甲，乙两船分别从，港口同时出发，匀速驶向港，在两船行驶的过程中，甲，乙两船距港的路程（单位：千米）与乙船行驶的时间（单位：小时）之间的函数图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题： (1)直接写出甲船的速度和，两港之间的路程； (2)求甲船从港到港的过程中与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； (3)乙船行驶多长时间两船相距的路程为15千米？请直接写出答案． 【答案】(1)甲船的速度为，，两港之间的路程为 (2) (3)乙船行驶小时或小时或小时，两船相距的路程为15千米． 【分析】本题考查的是一次函数的图象及一次函数的应用，解答此题时要注意运用分类讨论的思想，不要漏解． （1）从图中可以计算出结论即可； （2）设甲船从港到港的过程中与的函数关系式为，用待定系数法求解即可； （3）先根据一次函数的图象求出乙的速度，再根据甲在乙船前和乙船后，及甲船已经到了而乙船正在行驶，三种情况进行解答即可． 【详解】（1）从图中可以得出甲船的速度为：， ，两港之间的路程为， 故答案为：120； （2）从图中可以得出甲船从A到B所需要的时间为：， ， 设甲船从港到港的过程中与的函数关系式为， ，解得：， 甲船从港到港的过程中与的函数关系式为； （3）乙船的速度为：， 设乙船行驶小时两船相距的路程为15千米， 甲船追上乙船之前，两船相距的路程为15千米，则： ， 解得：， 甲船追上乙船之后且甲船到达C地之前，两船相距的路程为15千米，则： ， 解得：， 甲船到达C地之后，两船相距的路程为15千米，则： ， 解得：， 综上所述，乙船行驶小时或小时或小时，两船相距的路程为15千米． 【变式20-1】（23-24八年级·吉林松原·期末）蓄电池发展水平是制约新能源汽车发展的关键要素．小明爸爸根据自家电动汽车仪表显示，感觉蓄电池充满电后，用前半部分电量所行驶的路程，总要比用后半部分电量行驶的路程更远一些．折线表示的是蓄电池剩余电量y（千瓦时）和已行驶路程x（千米）之间的关系．    (1)剩余电量为35千瓦时时，汽车已行驶的路程为______千米； (2)求段函数解析式，并写出自变量x的取值范围． (3)该汽车剩余电量为30千瓦时时，已行驶的路程是多少？ 【答案】(1)150 (2) (3)160千米 【分析】本题主要考查一次函数的应用，涉及待定系数法求一次函数的解析式， 根据函数图像求解即可； 利用待定系数法求的线段的函数解析式，结合图像可知其自变量的取值范围； 结合图像可知汽车剩余电量为30千瓦时符合线段的函数解析式，代入求解即可． 【详解】（1）解：由图像可知，剩余电量为35千瓦时时，汽车已行驶的路程为150千米 故答案为：150； （2）解：设段的函数解析式为， 将点和代入解析式得：，解得： 段的函数解析式为； （3）解：当时，， 解得：． 即该汽车剩余电量为30千瓦时时，已行驶的路程是160千米． 【变式20-2】（23-24八年级·山东济宁·期末）甲、乙两个物流公司分别在A、B两地之间进行货物交换，C地为两车的货物中转站，假设A、B、C三地在同一条直线上，甲车以的速度从A地出发赶往C地，乙车从B地出发也赶往C地，两车同时出发，在C地利用一段时间交换货物，然后各自按原速返回自己的出发地，假设两车在行驶过程中各自速度保持不变，设两车行驶的时间为，两车的距离为，图中的折线表示y与x之间的函数关系． (1)A、B两地的距离为　　； (2)求乙的速度； (3)求出线段所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (4)直接写出两车相距时的行驶时间． 【答案】(1) (2) (3) (4)两车相距时行驶时间为小时或小时 【分析】此题考查了一次函数和一元一次方程的应用． （1）直接根据图象和题意即可得到答案； （2）根据路程及行驶时间列方程并解方程即可求出答案； （3）利用待定系数法求出函数解析式即可； （4）分两车相向而行和两车各自返回两种情况，分别列方程并解方程即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意，根据函数图象可知，A、B两地的距离为， 故答案为： （2）解：设乙的速度为，则 ， 解得， 答：乙的速度为； （3）解：设线段所表示的y与x之间的函数关系式为，把点，代入得， 解得，， ∴线段所表示的y与x之间的函数关系式为； （4）两车相距分两种情况： ①设两车相向而行时，两车相距时行驶时间为t小时， 则， 解得， ②设两车各自返回时，两车相距时行驶时间为n小时， 则 解得， 答：两车相距时行驶时间为小时或小时． 【变式20-3】（23-24八年级·黑龙江牡丹江·期末）快、慢两车分别从A，B两地沿同一路线匀速行驶，快车到达 B 地后立即按原路原速返回A 地(快车掉头的时间忽略不计)，慢车在快车出发1小时后出发，到达 A 地后停止行驶，快、慢两车距A 地的路程y(千米)与快车行驶时间x(小时)之间的函数图象如图所示．请结合图象信息解答下列问题： (1)直接写出慢车的行驶速度，并在图中(   )内填上正确的数： (2)求图中线段所在直线的函数解析式； (3)直接写出快车出发后几小时两车相距的路程为 100千米． 【答案】(1)240 (2) (3)小时或小时或小时 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能正确识图． （1）慢车的行驶速度为，括号内的数为， （2）快车的速度是，快车回到甲地的时间是，可得点的坐标是，再用待定系数法可得所在直线的函数解析式； （3）设快车出发后小时两车相距的路程为 100千米，进行分类讨论，列出方程求解即可． 【详解】（1）慢车的行驶速度为， ， 图中(   )内的数是120； （2）快车的速度是：， 快车回到甲地的时间是：， 点的坐标是， 设所在直线的函数解析式为， 把点和点代入得： ， 解得， 所在直线的函数解析式； （3）设所在直线的函数解析式为，将代入得： ，解得：， 所在直线的函数解析式， 设快车出发后小时两车相距的路程为 100千米． 两车第一次相遇前相距的路程为 100千米时，根据题意得： ，解得：， 两车第一次相遇后且快车到达B地前，两车相距的路程为 100千米时，根据题意得： ，解得：， 快车返回A地且两车第二次相遇前，两车相距的路程为 100千米时，根据题意得： ，解得：， 时,两车相距,而， ∴快车与慢车第二次相遇后不存在相距100km的情况， 快车出发后小时或小时或小时两车相距的路程为 100千米． 【考点6 反比例函数】 （1）反比例函数的定义 一般的，形如y= (是常数，k≠0)的函数叫做反比例函数。其它表示形式：y=kx-1，xy=k。 因为x≠0，k≠0，相应地y值也不能为0，所以反比例函数的图象无限接近x轴和y轴，但与x轴、y轴永不相交 ． （2）求反比例函数的解析式 ①所求的反比例函数为:y= (是常数，k≠0); ②根据已知条件(自变量与函数的对应值) 列出含k的方程; ③由代人法解待定系数k的值; ④把k值代人函数关系式y=中。 【题型21 反比例函数的识别】 【例21】（2024·辽宁大连·三模）对于物理学中的库仑定律，我们给出以下公式：．其中为点电荷、之间的作用力大小，为常数，为点电荷所带的电量，为点电荷所带的电量，为两个点电荷之间的距离．若两个点电荷、的电量均为已知，且把整体看作变量，则下列说法正确的是（    ） A．当增大时，随着的增大先减小再增大； B．当增大时，随着的增大而增大； C．若改变题目条件，令已知，为自变量，为因变量，则为关于的反比例函数； D．若改变题目条件，令已知，为自变量，为因变量，则为关于的正比例函数． 【答案】D 【分析】本题考查了函数关系式：反比例函数与正比例函数的判断；根据两类函数的定义即可进行判断．形如的函数分别称为反比例函数与正比例函数，其中k为常数． 【详解】解：当两个点电荷、的电量均为已知时，F关于t是反比例函数，当r增大时，t也增大，此时F随t的增大而减小，故A、B均错误； 当已知，为自变量，为因变量，此时，则为关于的正比例函数，故C错误，D正确； 故选：D． 【变式21-1】（2024·广西百色·八年级期末）下列函数中，不是反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的识别，把形如这样的函数叫做反比例函数，根据反比例函数的概念即可作出判断，掌握反比例函数的定义是解题的关键，注意比例系数． 【详解】、是反比例函数，此选项不符合题意； 、是一次函数，不是反比例函数，此选项符合题意； 、是反比例函数，此选项不符合题意； 、是反比例函数，此选项不符合题意； 故选：． 【变式21-2】（2024·河南·二模）河南是中原粮仓，粮食的水分含量是评价粮食品质的重要指标，粮食水分检测对粮食的收购、运输、储存等都具有十分重要的意义．其中，电阻式粮食水分测量仪的内部电路如图甲所示，将粮食放在湿敏电阻上，使的阻值发生变化，其阻值随粮食水分含量的变化关系如图乙所示．观察图象，下列说法不正确的是（    ） A．当没有粮食放置时，的阻值为 B．的阻值随着粮食水分含量的增大而减小 C．该装置能检测的粮食水分含量的最大值是 D．湿敏电阻与粮食水分含量之间是反比例关系 【答案】D 【分析】本题考查了物理与数学的跨学科综合，成反比例关系的概念，从函数图象获取信息，是解题的关键． 根据图象对每一个选项逐一判断即可． 【详解】解：A、当没有粮食放置时，即水分含量为0，由图象可知的阻值为，故本选项不符合题意； B、由图象可知，的阻值随着粮食水分含量的增大而减小，故本选项不符合题意； C、由图象可知，该装置能检测的粮食水分含量的最大值是，故本选项不符合题意； D、如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于0的常数，那么就说这两个变量成反比例，从图象中得到当水分含量为0时，的阻值为，此时这水分含量 的阻值为0，不符合成反比例关系的定义，故本选项符合题意． 故选：D． 【变式21-3】（2024·北京·八年级期末）下列数表中分别给出了变量与的几组对应值，其中是反比例函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数的自变量与相应函数值的乘积是常数，可得答案． 【详解】解：C中，，其余的都不具有这种关系 C是反比例函数关系，故C正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数，反比例函数的自变量与相应函数值的乘积是常数． 【题型22 反比例函数定义的应用】 【例22】（2024·湖南株洲·八年级期末）若函数是y关于x的反比例函数，则 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查反比例函数的定义，根据定义列出且，求出的值即可． 【详解】解：∵函数是y关于x的反比例函数， ∴且， 解得，． 故答案为：5． 【变式22-1】（23-24八年级·全国·单元测试）若函数是反比例函数，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的定义：形如（为常数，）的函数就叫做反比例函数，解题的关键是根据反比例函数的定义列出关于方程或不等式，求解即可． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴且， 解得：， ∴的值为． 故答案为：． 【变式22-2】（23-24八年级·全国·课后作业）当m取何值时，函数是反比例函数？ 【答案】m=0 【详解】试题分析：根据反比例函数的定义．即y=（k≠0），只需令2m+1=1即可． 试题解析：∵函数是反比例函数， ∴2m+1=1， 解得：m=0． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，熟记反比例函数的一般式y=（k≠0）的特征是解题的关键. 【变式22-3】（23-24八年级·全国·课后作业）已知函数， (1)当m，n为何值时是一次函数？ (2)当m，n为何值时，为正比例函数？ (3)当m，n为何值时，为反比例函数？ 【答案】(1)且 (2) (3) 【分析】（1）根据一次函数的定义知，且，据此可以求得m、n的值； （2）根据正比例函数的定义知，据此可以求得m、n的值； （3）根据反比例函数的定义知，据此可以求得m、n的值． 【详解】（1）解：当函数是一次函数时，，且， 解得：且； （2）当函数是正比例函数时，， 解得：． （3）当函数是反比例函数时，， 解得：． 【点睛】本题考查了一次函数、正比例函数、反比例函数的定义．关键是掌握正比例函数是一次函数的一种特殊形式以及三种函数的形式． 【题型23 利用待定系数法求反比例函数的解析式】 【例23】（23-24八年级·全国·课后作业）已知反比例函数的图像经过点. （1）求与的函数关系式； （2）求当时，的值； （3）这个函数的图像在哪几个象限？随着的增大怎样变化？ （4）点、在此函数的图像上吗？ 【答案】（1）；（2）；（3）函数图像在第二、四象限，在每个象限内，随着的增大而增大；（4）点在函数图像上，点不在函数图像上. 【分析】（1）把（-2，5）代入，求出k值即可得答案；（2）把y=-4代入反比例函数解析式即可求出x的值；（3）根据反比例函数的性质即可得答案；（4）根据k=xy即可得答案. 【详解】（1）∵反比例函数的图像经过点， ∴5=， 解得k=-10， ∴反比例函数的解析式为：y=. （2）∵反比例函数的解析式为：y=， ∴当y=-4时，-4=， 解得：x=. （3）∵-10<0， ∴反比例函数y=的图象在二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大； （4）∵×20=-10，×1=≠-10， ∴点在此函数的图象上，点不在此函数的图象上. 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征及反比例函数的性质，对于y=(k≠0)，当k>0时，图象值一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象在二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大；熟练掌握反比例函数的性质是解题关键. 【变式23-1】（23-24八年级·全国·单元测试）已知反比例函数． 求： （1）关于的函数解析式； （2）当时函数的值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）将x=-3，y=代入y＝ (k≠0)，即利用待定系数法求该函数的解析式； （2）将x=-4代入（1）中的反比例函数解析式，求y值即可． 【详解】解：（1）根据题意，得 ， 解得，； ∴该反比例函数的解析式是； （2）由（1）知，该反比例函数的解析式是， ∴当时，，即． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式．在解答该题时，还借用了反比例函数图象上点的坐标特征，经过函数的某点一定在函数的图象上． 【变式23-2】（23-24八年级·上海金山·期末）已知：，与成正比例，与成反比例．当时，；当时，．求与的函数解析式． 【答案】y＝（x+1）+ 【分析】根据正比例与反比例的定义设出y与x之间的函数关系式，然后利用待定系数法求函数解析式计算即可得解 【详解】解：（1）设y1＝k1（x+1）（k1≠0），y2＝（k2≠0）， ∴y＝k1（x+1）+ ． ∵当x＝1时，y＝7．当x＝3时，y＝4， ∴， ∴， ∴y关于x的函数解析式是：y＝（x+1）+； 【点睛】此题主要考查了待定系数法求函数解析式，关键是掌握待定系数法求函数解析式的方法，熟练准确计算． 【变式23-3】（2024八年级·全国·专题练习）（1）平面直角坐标系中，点A在第二象限，且m为整数，求过点A的反比例函数解析式； （2）若反比例函数的图像位于第二、四象限内，正比例函数过一、三象限，求整数k的值． 【答案】（1）；（2）2． 【分析】（1）由点A在第二象限，可知，，得：，  因为m为整数，即可得：，．设过点A的反比例函数解析式为，即有，得：，即反比例函数解析式为； （2）由反比例函数图像在二、四象限，可知，即，由正比例函数 过一、三象限，可知，由此可得：，则整数的值为2． 【详解】解：（1）点A在第二象限， ∴， 解得：， ∵m为整数， ∴， ∴， 设过点A的反比例函数解析式为， ∴，解得：， 即反比例函数解析式为； （2）∵反比例函数图像在二、四象限， ∴，即， ∵正比例函数 过一、三象限， ∴， 解得：， ∴， ∴整数的值为2． 【点睛】本题考查正比例函数和反比例函数性质的综合应用，坐标与图形，一元一次不等式组的解法，根据函数所在象限判断出相应的比例系数的范围是解本题的关键． 【考点7 反比例函数的图象与性质】 （1）反比例函数的图象及其性质 反比例函数如y= (是常数，k≠0)的图象总是关于原点成中心对称的，它的位置和性质受k的符号的影响. 如y= (是常数，k≠0) k>0 k<0 图　象 所在象限 一、三(x，y同号) 二、四(x，y异号) 性　质 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 （2）反比例函数的k的几何意义 由如y= (是常数，k≠0)的图象上任意一点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面积为|k| .如图①和②，S矩形PAOB＝PA·PB＝|y|·|x|＝|xy|＝|k|；同理可得S△OPA＝S△OPB＝|xy|＝|k|. 【题型24 反比例函数性质的应用】 【例24】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，RtABO的边AO在x轴上，且AO＝2．一个反比例函数y＝的图象经过点B．若该函数图象上的点P（不与点B重合）到原点的距离等于BO，则点P的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】求得B的坐标，然后根据题意得点P横纵坐标的绝对值是2和3或3和2，由此可得出答案． 【详解】解：Rt△ABO的边AO在x轴上，且AO＝2， ∴B的横坐标为﹣2， 把x＝﹣2代入 得，y＝3， ∴B（﹣2，3）， ∵图象上的点P（不与点B重合）到原点的距离等于BO， 设点， ∴或， ∵反比例图像在二四象限， ∴x与y异号， ∴点P的坐标为：， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查反比例函数的对称性，解题关键是熟练掌握反比例函数的性质以及分类讨论的思想． 【变式24-1】（23-24八年级·安徽合肥·期末）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的从小到大的关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，先根据反比例函数中判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大． ∵，， ∴点，位于第二象限， ∴， ∵， ∴. ∵， ∴点位于第四象限， ∴， ∴ 故答案为：． 【变式24-2】（23-24八年级·浙江·期中）已知某函数的图象C与函数的图象关于直线对称．下列命题：①图象C与函数的图象交于点；②点在图象C上；③图象C上的点的纵坐标都小于4，④，是图象C上任意两点，若，则．其中真命题是（    ） A．①② B．①③④ C．②③④ D．①②④ 【答案】A 【分析】根据轴对称的性质和图象点的特征可知①正确；根据点关于y=2的对称点坐标在函数图象上，即可判定②正确；由上任意一点为，则点与对称点的纵坐标为可判断③错误；由关于对称点性质可判断④不正确； 【详解】解：点，是函数的图象的点，也是对称轴直线上的点， ∴点，是图象与函数的图象交于点； ①正确； 点，关于对称的点为点，， ，在函数上， 点，在图象上； ②正确； 中，， 取上任意一点为， 则点与对称点的纵坐标为； 图象C上的点的纵坐标不一定小于4.故③错误； ，，，关于对称点为，，，在函数上， ，， 若，则； 若或，则； ④不正确； 故选． 【点睛】本题考查反比例函数图象及性质及轴对称的性质；熟练掌握函数关于直线的对称时，对应点关于直线对称是解题的关键． 【变式24-3】（23-24八年级·浙江嘉兴·期末）已知点在反比例函数的图象上，若，则a的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】根据反比例函数的增减性和点的位置解答． 【详解】∵， ∴图象经过第一、三象限，在每个象限内，y随着x的增大而减小， ∵， ∴异号， ∵点，在反比例函数（是常数）的图象上， ∴A点在第三象限，B点在第一象限， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数的性质，会根据函数值的大小确定点的位置是解题关键． 【题型25 比例系数k的几何意义的应用】 【例25】（2024·广西贵港·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，梯形OACB的顶点O是坐标原点，OA边在y轴正半轴上，OB边在x轴正半轴上，且OA∥BC，双曲线y=（x＞0）经过AC边的中点，若S梯形OACB=4，则双曲线y=的k值为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】过的中点作轴交轴于，交于，作轴于，如图，先根据“”证明，则，得到，再利用得到，然后根据反比例函数系数的几何意义得，再去绝对值即可得到满足条件的的值. 【详解】过的中点作轴交轴于，交于，作轴于，如图， 在和中， ， （）， ， ， ， ， ， 而， . 故选：. 【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义：从反比例函数图象上任意一点向轴于轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为. 【变式25-1】（2024·内蒙古·二模）如图．已知双曲线经过斜边的中点，且与直角边相交于点．若点A的坐标为，则的面积为（    ） A．12 B．9 C．6 D．4.5 【答案】D 【分析】此题主要考查线段的中点坐标、待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的比例系数k的几何意义，熟练掌握反比例函数的比例系数k的几何意义是解题关键．先根据线段的中点坐标公式得到D点坐标，再根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k，根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到，然后利用的面积进行计算，进而求出结论． 【详解】解：∵点A的坐标为，点D为的中点， ∴D点坐标为， ∴，即反比例函数解析式为， ∴， ∴的面积， ∵点D为的中点， ∴的面积． 故选：D． 【变式25-2】（23-24八年级·山东烟台·期末）如图，平行四边形的顶点在轴上，点在上，且轴，的延长线交轴于点．若，则 ．    【答案】7 【分析】设与轴交于点，连接，由平行四边形的性质可得，，根据三角形的面积公式可得，，由，，可得，由的几何意义进行计算即可得到答案． 【详解】解：设与轴交于点，连接，如图所示，    四边形是平行四边形， ，， ， 轴， 轴，， ，，，， ，， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：7． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，反比例函数系数的几何意义，三角形的面积计算，熟练掌握平行四边形的性质，反比例函数系数的几何意义，添加适当的辅助线，是解题的关键． 【变式25-3】（23-24八年级·福建泉州·期中）如图，的顶点在双曲线上，顶点在双曲线上，的中点恰好落在轴上，已知，则的值为（　　）    A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】连接，过点和点分别作轴的垂线段和，根据全等三角形的判定可得，推得；根据三角形的面积可得，，推得，求解即可，注意． 【详解】 解：连接，过点和点分别作轴的垂线段和，如图：    ∴， 又∵，， ∴； ∴， ∵点在双曲线上， ∴， ∵点在双曲线上， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴， 解得：（正数舍去）， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的几何意义，平行四边形的面积，解决这类问题，要熟知反比例函数图象上点到轴的垂线段与此点与原点的连线组成的三角形面积是． 【考点8 反比例函数的应用】 【题型26 利用反比例函数解决实际问题】 【例26】（23-24八年级·四川乐山·期末）心理学研究发现，一般情况下，在一节40分钟的数学课中，学生的注意力随上课时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持在较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．通过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如图所示，点B的坐标为，点C的坐标为，为反比例函数图象的一部分． (1)求所在的反比例函数的解析式； (2)吴老师计划在课堂上讲解一道推理题，准备花费20分钟讲解，为了达到最佳的教学效果，要求学生的注意力指标数不低于38，请问吴老师的安排是否合理？并说明理由． 【答案】(1) (2)老师安排不合理，理由见解析 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的实际应用，理解题意是关键； （1）设所在反比例函数的解析式为，再代入即可得到答案； （2）先求解，再把代入一次函数与反比例函数计算，再进一步可得结论； 【详解】（1）解：由题意，设所在反比例函数的解析式为 过点， ， ． （2）解：老师安排不合理，理由如下： 由题意，设 ∵直线过点和 解得，， 令， ， 令， ， 老师安排不合理． 【变式26-1】（23-24八年级·山东济南·期末）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示． (1)求该函数的表达式； (2)当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？（精确到） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求反比例函数关系式，应用反比例函数解决实际问题，理解气压和气球体积的关系是解题的关键． （1）设反比例函数关系式，再将点A的坐标代入即可得出答案； （2）将代入关系式，求出解，再判断即可． 【详解】（1）设， 将代入，得，解得， ∴所求函数的表达式为； （2）∵， ∴在第一象限内，p随V的增大而减小． 当时，． ∴为了安全起见，气体的体积应不小于． 【变式26-2】（23-24八年级·浙江衢州·期末）综合与实践：如何测量一个空矿泉水瓶的质量? 素材1：如图1是一架自制天平，支点O固定不变，左侧托盘 A 固定在某处，右侧托盘B 在横梁滑动．在A中放置一个重物，在B中放置一定质量的砝码，移动托盘B可使天平左右平衡．增加砝码的质量，多次试验，将砝码的质量与对应的OB长度记录下来，并绘制成散点图（如图2） ． 素材2：由于一个空的矿泉水瓶太轻，无法称量．小组进行如下操作，保持素材1的装置不变，在托盘 B中放置一个内盛水的矿泉水瓶，移动托盘B，使得天平左右平衡，测得 ． (1)任务 1：请在图1中连线，猜想y关于x的函数类型，并求出函数表达式，且任选一对对应值验证． (2)任务2：求出一个空矿泉水瓶的质量． 【答案】(1)图见解析；反比例函数；；见解析 (2) 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，根据题意确定出反比例函数并求出其表达式是解题的关键． （1）把各点依次连起来，可以猜想是反比例函数的图象，利用待定系数法求出反比例函数解析式即可，并任选一对值验证即可； （2）当时, 即，代入（1）中求出的函数表达式中即可求得x的值，则可求得空矿泉水瓶的质量． 【详解】（1）解：连线如下图所示： 反比例函数；                                         设 y关于x的函数表达式为 ， 把代入函数表达式得，解得，             ∴y关于x的函数表达式为 ．                        把代入函数表达式，得， 成立． （2）解：当时, 即, 解得． 则． 所以空矿泉水瓶的质量为． 【变式26-3】（23-24八年级·江苏扬州·期末）小明家饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温y（）与开机时间x（分）满足一次函数关系，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温y（）与开机时间x（分）成反比例关系，当水温降至时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)当时，求水温y（）与开机时间x（分）的函数关系式； (2)求图中t的值； (3)有一天，小明在上午（水温），开机通电后去上学，中午放学回到家时间刚好，请问此时饮水机内水的温度约为多少？并求：在这段时间里，水温共有几次达到？ 【答案】(1) (2) (3)饮水机内水温约为，共有6次达到 【分析】本题考查了一次函数以及反比例函数的应用，根据题意得出正确的函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法即可得出答案； （2）先求出反比例函数解析式进而得出的值即可得出答案； （3）先求出总时间，再利用每40分钟图象重复出现一次，即可得出答案． 【详解】（1）解：由图象可知，当时是一次函数， 设将代入得： ， 解得， ∴水温y（）与开机时间x（分）的函数关系式为：； （2）在水温下降过程中，设水温y（）与开机时间x（分）的函数关系式为， 依据题意得：，解得， ∴反比例函数解析式为：， 当时，， 解得：； （3）由（2），结合图象，可知每分钟图象重复出现一次， 经历时间为分钟， ， ∴当时，， 答：饮水机内水温约为，共有6次达到． 【题型27 反比例函数与一次函数图象的交点问题】 【例27】（23-24八年级·福建泉州·期中）在同一坐标系中，函数与的图像大概是（    ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数图像性质，熟练掌握两个函数图像与系数之间的关系是解题的关键； 一次函数与反比例函数的图像与系数的符号有关，所以分与两种情况进行讨论；当可以得出与所在的象限以及可以得出与所在的象限，进而求解即可． 【详解】根据题意需分、两种情况讨论： 当时，的图像在第一、三象限，的图像在第一、三、四象限，只有选项C符合； 当时，的图像在第二、四象限，的图像在第二、三、四象限，无选项符合； 故选C． 【变式27-1】（23-24八年级·上海·期末）已知函数中，在每个象限内，的值随的值增大而增大，那么它和函数在同一直角坐标平面内的大致图像是（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质与正比例函数图象的性质，首先根据反比例函数图象的性质判断出k的范围，再确定其所在象限，进而确定正比例函数图象所在象限，即可得到答案． 【详解】解：∵函数中，在每个象限内，y随x的增大而增大， ∴， ∴双曲线在第二、四象限， ∴函数的图象经过第一、三象限， 故选：A． 【变式27-2】（23-24八年级·四川宜宾·期末）一次函数与反比例函数（为常数且均不等于）．在同一坐标系内的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数图象和性质，先根据一次函数图象确定的符号，进而求出的符号，由此可以确定反比例函数图象所在的象限，看是否一致即可求解，熟练掌握相关性质与函数图象的关系是解题的关键． 【详解】解：、∵一次函数图象经过第一、三、四象限， ∴，， ∴， ∴反比例函数图象经过二、四象限，与选项图象不符，故该选项不合题意； 、∵一次函数图象经过第一、二、四象限， ∴，， ∴， ∴反比例函数图象经过二、四象限，与选项图象不符，故该选项不合题意； 、∵一次函数图象经过第一、二、四象限， ∴，， ∴， ∴反比例函数图象经过二、四象限，与选项图象相符，故该选项符合题意； 、∵一次函数图象经过第二、三、四象限， ∴，， ∴， ∴反比例函数图象经过一、三象限，与选项图象不符，故该选项不合题意； 故选：． 【变式27-3】（23-24八年级·山东济宁·阶段练习）若函数和函数的图象在同一坐标系中，则其图象可为下图中的（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，先根据一次函数的性质判断出取值，然后在判断一次函数的图象与轴的交点，最后判断反比例函数图象所在象限即可；关键是由的取值确定一次函数的图象与轴的交点位置． 【详解】解：①：一次函数图象是随的增大而增大，则．与轴交于负半轴，反比例函数图象在一、三象限，故错误，不符合题意； ②：一次函数图象是随的增大而增大，则．与轴交于负半轴，反比例函数图象在一、三象限，故正确，符合题意； ③：一次函数图象是随的增大而减小，则，与轴交于正半轴，反比例函数图象在二、四象限，故正确，符合题意； ④：一次函数图象是随的增大而减小，则，与轴交于正半轴，反比例函数图象在二、四象限，故错误，不符合题意； 故：②③正确， 故选：C． 【题型28 反比例函数与一次函数的综合】 【例28】（23-24八年级·江苏镇江·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数的图象与反比例函数在第二象限的图象交于点，与x轴交于点B，连结并延长交这个反比例函数第四象限的图象于点C． (1)求这个反比例函数的表达式． (2)求的面积． (3)当直线对应的函数值大于反比例函数的函数值时，直接写出x的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数的对称性，三角形面积，解题的关键是数形结合； （1）先求出点的坐标，然后代入反比例函数解析式，求出的值即可； （2）由一次函数的解析式求得点的坐标，利用反比例函数的对称性求得点的坐标，然后根据即可求解； （3）根据图象即可求得． 【详解】（1）解：在一次函数的图象上， ， 解得， 点的坐标为， ， 反比例函数的对应的函数关系为； （2）解：当时，， 解得， 点的坐标为． 点在反比例函数的图象上， ，根据对称性， 点的坐标为， ； （3）解：由图象可得， 当或时，直线的图象在反比例函数的图象的上面 ∴当直线对应的函数值大于反比例函数的函数值时，或． 【变式28-1】（23-24八年级·四川宜宾·期末）如图，直线与双曲线的交点为，与轴的交点为，点为双曲线上的一点． (1)求的值及反比例函数的表达式； (2)如图1，当点的横坐标为4时，判断的形状，并说明理由； (3)如图2，当时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)为直角三角形，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数，勾股定理的逆定理，熟练利用待定系数法求函数解析式，利用数形结合的思想是解题的关键． （1）把代入一次函数，求得一次函数的解析式，再求出点A坐标即可；再将点A坐标代入反比例函数，即可解答； （2）求出点坐标，利用勾股定理的逆定理即可判断为直角三角形； （3）过点做垂直交射线于点，过点做垂直轴交轴于点，过点做垂直交直线于点，利用全等三角形的性质得到点的坐标，求得的解析式，点即为反比例函数与一次函数的交点． 【详解】（1）解：直线过点， ，解得：， 直线的表达式为． 点在直线上， ， 点的坐标为． 又双曲线过点， ， 反比例函数的表达式为． （2）解：为直角三角形，理由如下： 点在上，且点的横坐标为4， 点的纵坐标为， 即点 ， ， ， 为直角三角形； （3）解：如图（2），过点做垂直交射线于点，过点做垂直轴交轴于点，过点做垂直交直线于点． 又 轴， 又 ， 易得， 设的函数解析式为 即 的函数解析式为 联立， 即， ， 即． 【变式28-2】（23-24八年级·山西长治·期末）如图，正比例函数与反比例函数 的图象交于点两点，点纵坐标为． (1)求点的坐标与反比例函数的表达式； (2)观察图象，直接写出满足不等式 的的取值范围； (3)将直线向上平移个单位，交轴于点，当的面积为时，求直线平移后的函数表达式． 【答案】(1)点的坐标为，反比例函数的表达式为； (2)或； (3)． 【分析】（）把代入可得点的纵坐标，进而可得点的坐标，再利用待定系数法即可求出反比例函数的表达式； （）利用对称性求出点的坐标，再根据函数图象即可求解； （）设，则，根据的面积为可得，即得， 得到，由直线向上平移个单位后的函数表达式为，把代入计算即可求解； 本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，一次函数的平移，求一次函数解析式，掌握一次函数和反比例函数的图象及性质是解题的关键 【详解】（1）解：把代入得，， ∴点的坐标为， 把代入得，， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵点是正比例函数与反比例函数图象的交点， ∴点关于原点对称， ∴， 由图象可得，当或时，； （3）解：设，则， ∵的面积为， ∴， 即， ∴， ∴， 将直线向上平移个单位后的函数表达式为，把代入得， ， ∴， ∴直线平移后的函数表达式为． 【变式28-3】（23-24八年级·河南郑州·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，反比例函数的图象分别与交于点和点，且点为的中点．    (1)求反比例函数的表达式和点的坐标； (2)若一次函数与反比例函数的图象相交于点，当点在反比例函数图象上D，E之间的部分时（点可与点D，E重合），直接写出的取值范围． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与反比例函数综合，矩形的性质，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求出反比例函数解析式，根据矩形的性质得到，，，再由为的中点得到点B坐标，从而得到点D的横坐标为3，进而求出点E的坐标即可； （2）求出直线恰好经过D和恰好经过E时m的值，即可得到答案． 【详解】（1）解：反比例函数的图象分别与交于点和点， ， 反比例函数的表达式为 四边形是矩形， ，， 点，且点为的中点． ， ∴点D的横坐标为3， 在中，， ； （2）解：当直线经过点时，则， 解得； 当直线经过点时，则， 解得； ∵一次函数与反比例函数的图象相交于点，当点在反比例函数图象上D，E之间的部分时（点可与点D，E重合） ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题17.15 函数及其图象全章专项复习【8大考点28种题型】 【华东师大版】 【考点1 平面直角坐标系】 2 【题型1 定位法的应用】 3 【题型2 坐标平面内点的坐标特征】 5 【题型3 根据已知点的坐标在平面直角坐标系中作图】 5 【考点2 图形在坐标系中的平移】 7 【题型4 坐标系中的平移】 8 【题型5 关于坐标轴对称的点的坐标特点】 9 【题型6 在平面直角坐标系中作图】 10 【题型7 在平面直角坐标系中求图形的面积】 12 【题型8 坐标中的规律探究】 13 【考点3 函数】 14 【题型9 函数的概念】 15 【题型10 函数值及自变量的取值范围】 15 【题型11 函数的表示方法】 16 【题型12 识图并分析图象信息】 17 【考点4 一次函数】 19 【题型13 正比例函数的图象与性质】 20 【题型14 一次函数的图象与性质】 21 【题型15 求一次函数的解析式】 22 【题型16 一次函数与方程、不等式的关系】 23 【题型17 一次函数图象的平移问题】 24 【考点5 一次函数的应用】 24 【题型18 利用一次函数的性质解决分配方案问题】 24 【题型19 利用一次函数的性质解决最大利润问题】 26 【题型20 一次函数图象的应用】 27 【考点6 反比例函数】 29 【题型21 反比例函数的识别】 29 【题型22 反比例函数定义的应用】 30 【题型23 利用待定系数法求反比例函数的解析式】 30 【考点7 反比例函数的图象与性质】 31 【题型24 反比例函数性质的应用】 32 【题型25 比例系数k的几何意义的应用】 32 【考点8 反比例函数的应用】 34 【题型26 利用反比例函数解决实际问题】 34 【题型27 反比例函数与一次函数图象的交点问题】 35 【题型28 反比例函数与一次函数的综合】 37 【考点1 平面直角坐标系】 1.有序数对 有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对. 2.坐标 数轴上的点与实数（包括有理数与无理数）一一对应，数轴上的每一个点都对应一个实数，这个实数叫做这个点在数轴上的坐标. 3.平面直角坐标系 ①在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系. ②水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴为y轴或纵轴，取向上方向为正方向； ③两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点(坐标轴上的点不属于任何象限，原点既在x轴上，又在y轴上). 4.点的坐标 有了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一个有序数对来表示，a点对应x轴的数值为横坐标，b点对应y轴的数值为纵坐标，有序数对就叫做点A的坐标，记作（a,b）. 书写时先横后纵再括号，中间隔开用逗号. 5.坐标平面图 坐标平面图是由两条坐标轴和四个象限构成的，也可以说坐标平面内的点可以分为六个区域：x轴上，y轴上，第一象限，第二象限，第三象限，第四象限.在这六个区域中，除x轴与y轴的一个公共点（原点）之外，其他区域之间都没有公共点. 6.坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的 对于坐标平面内任意一点M，都有唯一的一对有序实数（x，y）（即点M的坐标）的坐标和它对应；反过来，对于任意一对有序实数（x，y）在坐标平面内都有唯一的一点M，即坐标为(x，y)的点和它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的. 7.象限 平面直角坐标系把坐标平面分成四个象限，从右上部分开始，按逆时针方向分别叫第一象限 (或第Ⅰ象限)、第二象限（或第Ⅱ象限）、第三象限（第Ⅲ象限）和第四象限（或第Ⅳ象限）. 注：ⅰ、坐标轴（x轴、y轴）上的点不属于任何一个象限. ⅱ、平面直角坐标系的原点发生改变，则点的坐标相应发生改变；坐标轴的单位长度发生 改变，点的坐标也相应发生改变. 8.坐标平面内点的位置特点 ①坐标原点的坐标为（0，0）； ②第一象限内的点，x、y同号，均为正； ③第二象限内的点，x、y异号，x为负，y为正； ④第三象限内的点，x、y同号，均为负； ⑤第四象限内的点，x、y异号，x为正，y为负； ⑥横轴（x轴）上的点，纵坐标为0，即（x，0），所以，横轴也可写作：y=0 （表示一条直线） ⑦纵轴（y轴）上的点，横坐标为0，即（0，y）,所以，纵横也可写作：x=0 （表示一条直线） 9.点到坐标轴的距离 坐标平面内的点的横坐标的绝对值表示这点到纵轴（y轴）的距离，而纵坐标的绝对值表示这点到横轴（x轴）的距离. 注: ①已知点的坐标求距离，只有一个结果，但已知距离求坐标，则因为点的坐标有正有负， 可能有多个解的情况，应注意不要丢解. ②坐标平面内任意两点A（x₁，y₁）、B(x₂，y₂)之间的距离公式为：d = 10.坐标平面内对称点坐标的特点 ①一个点A（a,b）关于x轴对称的点的坐标为A＇（a,-b）,特点为：x不变，y相反； ②一个点A（a,b）关于y轴对称的点的坐标为A＇（-a,b）,特点为：y不变，x相反； ③一个点A（a,b）关于原点对称的点的坐标为A＇（-a,-b），特点为：x、y均相反. 11.平行于坐标轴的直线的表示 ①平行于横轴（x轴）的直线上的任意一点，其横坐标不同，纵坐标均相等，所以，可表示为：y=a（a为纵坐标）的形式，a的绝对值表示这条直线到x轴的距离，直线上两点之间的距离等于这两点横坐标之差的绝对值； ②平行于纵轴（y轴）的直线上的任意一点，其纵坐标不同，横坐标均相等，所以，可表示为：x=b（b为横坐标）的形式，b的绝对值表示这条直线到y轴的距离，直线上两点之间的距离等于这两点纵坐标之差的绝对值. 12.象限角平分线的特点 ①第一、三象限的角平分线可表示为y=x的形式，即角平分线上的点的纵坐标与横坐标相等（同号） ②第二、四象限的角平分线可表示为y=-x的形式，即角平分线的点的纵坐标与横坐标互为相反数(异号) 【题型1 定位法的应用】 【例1】（23-24八年级·全国·单元测试）阅读与理解： 如图，一只甲虫在的方格（每个方格边长均为1）上沿着网格线爬行．若我们规定：在如图网格中，向上（或向右）爬行记为“+”，向下（或向左）爬行记为“－”，并且第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． 例如：从A到B记为：， 从D到C记为：．    思考与应用： (1)图中（ ， ）； （ ， ）； （ ， ）． (2)若甲虫从A到P的行走路线依次为：，请在图中标出P的位置． (3)若甲虫的行走路线为，请计算该甲虫走过的总路程． 【变式1-1】（23-24八年级·新疆乌鲁木齐·期末）两个小伙伴拿着如下密码表玩听声音猜动物的游戏，若听到“咚咚﹣咚咚，咚﹣咚，咚咚咚﹣咚”表示的动物是“狗”，则听到“咚咚﹣咚，咚咚咚﹣咚咚，咚﹣咚咚咚”时，表示的动物是 ．（写汉字） 4 Q R S U V X 3 T B E I N P 2 W D A H L M Y 1 O C G F J K Z 1 2 3 4 5 6 7 【变式1-2】（23-24八年级·广东广州·期中）如图，若点表示放置2个胡萝卜，1棵青菜；点表示放置4个胡萝卜，2棵青菜．    (1)请写出其他各点C，D，E，F所表示的意义； (2)若一只小兔子从A到达B（顺着方格线走）有以下几种路径可选择： ①A→C→D→B；②A→E→D→B；③A→E→F→B． 问：走哪条路径吃到的胡萝卜最多？走哪条路径吃到的青菜最多？ 【变式1-3】（23-24八年级·贵州安顺·期中）如图，雷达探测器测得六个目标A，B，C，D，E，F出现，按照规定的目标表示方法，目标C，F的位置表示为，． (1)按照此方法表示目标A，B，D，E的位置．A：_______；B：_______；D：_______；E：_______； (2)若目标C的实际位置是北偏西距观测站，目标F的实际位置是南偏西距观测站，写出目标A，B，D，E的实际位置； (3)若另有目标G在东南方向距观测站处，目标H在南偏东距观测站处，写出G，H的位置表示． 【题型2 坐标平面内点的坐标特征】 【例2】（23-24八年级·新疆乌鲁木齐·期中）已知点，解答下列各题． (1)点在轴上，求出点的坐标； (2)点的坐标为，直线轴；求出点的坐标； (3)若点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，求的值． 【变式2-1】（23-24八年级·河南许昌·期中）在平面直角坐标系中，已知点． (1)当时，点m在第______象限； (2)若点M在x轴上，求m的值； (3)若点M在第一、三象限的角平分线上，求m的值． 【变式2-2】（23-24八年级·陕西渭南·期末）已知，点为平面直角坐标系内一点． (1)若点P在y轴上，则m的值为______； (2)若点P的纵坐标比横坐标大6，则点P在第几象限？ 【变式2-3】（23-24八年级·四川宜宾·期末）点在第二，四象限角平分线上，则 ． 【题型3 根据已知点的坐标在平面直角坐标系中作图】 【例3】（23-24八年级·贵州黔东南·期中）如图是某学校的平面示意图，已知旗杆的位置是，实验室的位置是． (1)根据所给条件在图中建立适当的平面直角坐标系； (2)用坐标表示位置：食堂是______，图书馆是______； (3)已知办公楼的位置是，教学楼的位置是，在图中标出办公楼和教学楼的位置； (4)如果1个单位长度表示，那么宿舍楼到教学楼的实际距离为______． 【变式3-1】（23-24八年级·全国·课后作业）如图，建立平面直角坐标系，使点、的坐标分别为和，写出点、、、、的坐标，并指出它们所在的象限． 【变式3-2】（23-24八年级·河南商丘·期末）在平面直角坐标系中，点的横坐标与点的横坐标互为相反数． (1)求点，的坐标； (2)点在第三象限，且到轴的距离为1，请在正方形网格图中建立适当的平面直角坐标系，画出三角形，并求出三角形的面积． 【变式3-3】（23-24八年级·广东阳江·期末）广东省广州市的长隆野生动物世界是国内最大的野生动物保护基地之一，拥有超过500种、逾2万只陆生动物，是游客们了解广州必到的胜地．如图是长隆野生动物世界部分景点的分布示意图，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，并且“五彩广场”和“考拉园”的坐标分别是和． (1)根据题意，画出正确的平面直角坐标系． (2)“百虎山”的坐标为______；“熊猫乐园”的坐标为______． (3)小明现在在“熊猫乐园”，想要前往“百虎山”（只能走网格，每个网格为一个单位长度），可以先向上走______个单位长度，再向______走______个单位长度． 【考点2 图形在坐标系中的平移】 1.点的平移 在平面直角坐标系中， 将点（x,y）向右平移a个单位长度，可以得到对应点（x＋a ，y）； 将点（x,y）向左平移a个单位长度，可以得到对应点（x－a，y）；“左减右加” 将点（x,y）向上平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y＋b）； 将点（x,y）向下平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y－b）.“下减上加” 2.图形的平移 在平面直角坐标系内如果把一个图形各个点的横坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度. 3.关于坐标轴对称的点的坐标关系 4.坐标方法的简单应用 ①已知三角形的顶点坐标求三角形的面积 将坐标平面上的三角形的面积转化为几个图形的面积的组合（相加）或分解（相减），即将要求的三角形面积转化为一个大的多边形（例如矩形或梯形）与一个或几个较小的三角形面积之差； ②已知多边形各顶点坐标求多边形的面积 将坐标平面上的多边形的面积分割成几个规则的图形组合的面积之和，或转化为一个更大的多边形（例如矩形或梯形）与一个或几个较小的三角形面积之差. 【题型4 坐标系中的平移】 【例4】（23-24八年级·吉林长春·期末）如图：，，若将线段平移至，则的值为 ． 【变式4-1】（23-24八年级·山西朔州·期末）在平面直角坐标系内，将先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，移动后的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24八年级·安徽·期末）在平面直角坐标系中，若点先向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后位于原点处，则点的坐标为 ． 【变式4-3】（23-24八年级·四川南充·期末）如图，第二象限有两点，将线段AB平移，使点A，B分别落在两条坐标轴上，则平移后点B的对应点的坐标是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【题型5 关于坐标轴对称的点的坐标特点】 【例5】（23-24八年级·湖南永州·期末）任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中，任意两点P(x1，y1)，Q    (x2，y2)的对称中心的坐标为，如图． （1）在平面直角坐标系中，若点P1(0，-1)，P2(2，3)的对称中心是点A，则点A的坐标为 ； （2）另取两点，．有一电子青蛙从点P1处开始依次作关于点A，B，C的循环对称跳动，即第一次跳到点P1关于点A的对称点P2处，接着跳到点P2关于点B的对称点P3处，第三次再跳到点P3关于点C的对称点P4处，第四次再跳到点P4关于点A的对称点P5处，…，则点的坐标为 ． 【变式5-1】（23-24八年级·天津河东·期末）在平面直角坐标系中点P（－2，3）关于x轴的对称点在第 象限 【变式5-2】（23-24八年级·广东清远·期末）四盏灯笼的位置如图．已知A，B，C，D的坐标分别是（﹣1，b），（1，b），（2，b），（3.5，b），移动y轴右侧的一盏灯笼，使得y轴两侧的灯笼对称，则移动的方法可以是（    ） A．将B移到（－2，b） B．将B移到（－3.5，b） C．将C移到（－2，b） D．将D移到（－2，b） 【变式5-3】（23-24八年级·全国·假期作业）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，点E的坐标为，其关于y轴对称的点F的坐标，则 ． 【题型6 在平面直角坐标系中作图】 【例6】（23-24八年级·河北沧州·期中）如图，将三角形ABC平移后，三角形ABC内任意一点P（x0，y0）的对应点为P1（x0+5，y0﹣3）． （1）三角形ABC的面积为　 　； （2）将三角形ABC平移后，顶点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1，在图中画出三角形A1B1C1； （3）若三角形ABC外有一点M经过同样的平移后得到点M1（5，3），则点M的坐标为　 　；若连接线段MM1，PP1，则这两条线段之间的关系是　 　． 【变式6-1】（23-24八年级·广西北海·期末）如图，在边长为1的小正方形网格中，△AOB的顶点均在格点上. （1）B点关于y轴的对称点的坐标为 ； （2）将△AOB向左平移3个单位长度得到△A1O1B1，请画出△A1O1B1； （3）在（2）平移过程中，线段OA所扫过的面积为 . 【变式6-2】（23-24八年级·江苏南京·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，三个顶点在格点上．已知点，点． (1)画出平面直角坐标系（要求：画出坐标轴，标注坐标原点）． (2)现将先向下平移4个单位长度，再沿轴翻折得到，在图中画出，连接，则线段的中点坐标为______． (3)若内有一点，则点经过（2）中的平移、对称后得到的点的坐标是______． 【变式6-3】（23-24八年级·河南洛阳·期末）如图， 在平面直角坐标系中，三角形中，点的坐标是 ，点的标是 ，点的坐标是． 将三角形平移后得到三角形， 其中点的对应点的坐标为． (1)分别写出点和点的坐标： ， ； (2)在坐标系中画出三角形； (3)若点是三角形内的一点，点是三角形内点的对应点，求和 的值． 【题型7 在平面直角坐标系中求图形的面积】 【例7】（23-24八年级·湖北咸宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．    (1)如图1，平移线段到线段，使点A的对应点为D，点B的对应点为C，若点C的坐标为，则点D的坐标为 ； (2)如图2，平移线段到线段，使点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限内． ①此时点D的横坐标为 ，设点D的纵坐标为y，点C的纵坐标用y的代数式表示为 ； ②连接，，若的面积为7，求点C，D的坐标； (3)在（2）的条件下，在y轴上是否存在一点P，使与的面积之比为？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式7-1】（23-24八年级·江西南昌·期中）在平面直角坐标系中，有点，点． （1）当A，B两点关于直线对称时，求的面积； （2）当线段轴，且时，求的值． 【变式7-2】（23-24八年级·广西河池·期末）如图，在平面直角坐标系中，A，B是x轴上两点，，，现同时将点A，B分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到A，B两点的对应点C，D，连接． (1)直接写出点C，D的坐标． (2)若平移后得到的四边形为平行四边形，求出四边形的面积． (3)在x轴上是否存在点F，使的面积是的面积的2倍？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式7-3】（23-24八年级·湖北襄阳·期末）如图1，在平面直角坐标系内，为坐标原点，线段两端点在坐标轴上，点，点，将向右平移4个单位长度至的位置． (1)点的坐标是 ； (2)如图2，过点作轴于点，在轴上有一动点，求三角形的面积； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，是否存在点，使得三角形的面积为22，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型8 坐标中的规律探究】 【例8】（23-24八年级·黑龙江鸡西·期末）小颖同学观看台球比赛，从中受到启发，把它抽象成数学问题：如图，小球起始时位于处，沿所示的方向击球，若不考虑阻力，小球运动的轨迹如图所示，小球第一次碰到球桌边时，小球的位置是，那么小球第2024次碰到球桌边时，小球所在的位置用坐标表示是 ． 【变式8-1】（23-24八年级·湖北宜昌·期末）在平面直角坐标系中，点A从原点O出发，沿x轴正方向按半圆形弧线不断向前运动，其移动路线如图所示，其中半圆的半径为1个单位长度，这时点的坐标分别为，则点的坐标为 ． 【变式8-2】（23-24八年级·湖北省直辖县级单位·期末）在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点的伴随点．已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，，这样依次得到点，，，，，．若点的坐标为，则点的坐标为 ． 【变式8-3】（23-24八年级·广东汕头·期末）如图，如图，在平面直角坐标系中，一动点从出发，按一定规律移动，依次得到，，，，，…点的坐标为 ． 【考点3 函数】 1.常量、变量： 在一个变化过程中,数值发生变化的量叫做变量；数值始终不变的量叫做常量。 2、函数的概念： 函数的定义：一般的，在一个变化过程中,如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数． 3.函数有三种表示形式： （1）列表法 （2）图像法 （3）解析式法 【题型9 函数的概念】 【例9】（23-24八年级·北京东城·期中）如图，是体检时的心电图，其中横坐标表示时间，纵坐标表示心脏部位的生物电流，它们是两个变量．在心电图中， （填“是”或“不是” 的函数． 【变式9-1】（23-24八年级·云南昆明·期末）下列图象中，不能表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（23-24八年级·河南许昌·期末）下列关系式中，不是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】（23-24八年级·广西河池·期末）下列变量之间是函数关系的有（    ） ①正方形的周长C与边长a；②矩形的周长C与宽a；③圆的面积S与半径R；④y=2x-3中的y与x A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【题型10 函数值及自变量的取值范围】 【例10】（2024八年级·全国·专题练习）用如图所示的程序框图来计算函数y的值，当输入x为和7时，输出y的值相等，则b的值是（    ） A． B． C．4 D．2 【变式10-1】（23-24八年级·上海·阶段练习）已知二次函数，如果那么 ． 【变式10-2】（23-24八年级·辽宁铁岭·阶段练习）一辆汽车油箱内有油56升，从某地出发，每行驶1千米，耗油0.08升，如果设油箱内剩油是为y（升），行驶路程为x（千米），则y随x的变化而变化，y与x的关系式为（写出自变量取值范围） ． 【变式10-3】（23-24八年级·四川宜宾·期末）对于实数、，定义一种运算“”为：，在函数的图象上的点是（    ） A． B． C． D． 【题型11 函数的表示方法】 【例11】（23-24八年级·辽宁沈阳·阶段练习）某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据如下： 温度（） 声速（） 根据表格所得到的信息，下列说法错误的是（    ） A．在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速 B．温度越低，声速越慢 C．当温度每升高时，声速增加 D．当空气温度为时，声音可以传播 【变式11-1】（23-24八年级·陕西西安·期末）在关系式中，下列说法： 都是变量，、都是常量； 的值随的值变化而变化； 是变量，它的值可以与无关； 与的关系不能用表格表示； 与的关系还可以用列表法和图象法表示，其中说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】（23-24八年级·河北邢台·阶段练习）如图1，一种圆环的外圆的直径是，环宽．如图2，若把个这样的圆环扣在一起并拉紧，其长度为 ，则与之间的关系式是 ． 【变式11-3】（23-24八年级·广东深圳·期中）某地的温度T(℃)与海拔高度h(km)之间的关系如下所示：   要算出海拔高度为6km时该地的温度，适宜用第 种形式． 【题型12 识图并分析图象信息】 【例12】（23-24八年级·贵州贵阳·期中）小明和妈妈2022年3月19日通过自驾去“花溪十里河滩”游玩，早上他们从贵安新区出发，匀速行驶一段时间后，途中遇到堵车原地等待一会儿，然后他们加快速度行驶，按时到达“十里河滩”．游玩结束后，他们自驾匀速返回．其中x表示小明和妈妈驾车从贵安新区出发后至回到贵安新区所用的时间，y表示他们离贵安新区的距离，下面能反映y与x的关系的大致图象是（　　　） A． B． C． D． 【变式12-1】（23-24八年级·云南昆明·阶段练习）匀速地向如图所示的容器内注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度h随时间的变化规律可能是（    ） A． B． C． D． 【变式12-2】（23-24八年级·云南昆明·期末）如图，一铁块完全浸入水中，小明匀速向上将铁块提起，直至铁块完全露出水面一定高度．下图能反映此过程中液面高度h与铁块提起的时间t之间的函数关系的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【变式12-3】（23-24八年级·山东烟台·期末）青少年机器人竞赛是一项综合多学科知识和技能的科技活动．如图是某项机器人竞赛的一段比赛轨道示意图，中间部分为圆形，点P，A，C，Q在同一直线上，，点A，C所连线段、点B，D所连线段均为圆的直径，现有两个机器人分别从P，Q两点同时出发，以相同的速度沿着该轨道匀速运动，其路线分别为和．若机器人（看作点）的运动时间为x，两机器人之间的距离为y，则y与x关系的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【考点4 一次函数】 1.正比例函数与一次函数的概念： 一般地，形如y=kx(k为常数，且k≠0)的函数叫做正比例函数.其中k叫做比例系数。 一般地，形如y=kx+b (k,b为常数，且k≠0)的函数叫做一次函数. 当b =0 时,y=kx+b 即为 y=kx,所以正比例函数，是一次函数的特例. 2.正比例函数的图象与性质： （1)图象:正比例函数y= kx (k 是常数，k≠0)) 的图象是经过原点的一条直线，我们称它为直线y= kx 。 (2)性质:当k>0时,直线y= kx经过第一，三象限，从左向右上升，即随着x的增大y也增大； 当k<0时,直线y= kx经过二, 四象限，从左向右下降，即随着 x的增大y反而减小。 3.一次函数的图象与性质： 一次函数 [ y=kx+b（k、b是常数，k≠0 ] 概念 如果y=kx+b（k、b是常数，k≠0），那么y叫x的一次函数 .当b=0时，一次函数y=kx（k≠0）也叫正比例函数. 图像 一条直线 性质 k＞0时，y随x的增大(或减小)而增大(或减小)； k＜0时，y随x的增大(或减小)而减小(或增大). 直线y=kx+b（k≠0）的位置与k、b符号之间的关系. （1）k>0，b＞0图像经过一、二、三象限； （2）k>0，b＜0图像经过一、三、四象限； （3）k>0，b＝0 图像经过一、三象限； （4）k＜0，b＞0图像经过一、二、四象限； （5）k＜0，b＜0图像经过二、三、四象限； （6）k＜0，b＝0图像经过二、四象限。 一次函数表达式的确定 求一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）时，需要由两个点来确定；求正比例函数y=kx（k≠0）时，只需一个点即可. 4.一次函数与一元一次方程： x为何值时函数y= ax+b的值为0． 从“数”的角度看，求ax+b=0(a, b是常数，a≠0)的解， 从“形”的角度看，求直线y= ax+b与 x 轴交点的横坐标 5.一次函数与一元一次不等式： 解不等式ax+b＞0(a，b是常数，a≠0) ． 从“数”的角度看，x为何值时函数y= ax+b的值大于0． 解不等式ax+b＞0(a，b是常数，a≠0) ． 从“形”的角度看，求直线y= ax+b在 x 轴上方的部分（射线）所对应的的横坐标的取值范围． 【题型13 正比例函数的图象与性质】 【例13】（23-24八年级·福建泉州·期末）已知、、是正比例函数图象上的三个点，当时，t的取值范围是 ． 【变式13-1】（23-24八年级·湖北省直辖县级单位·阶段练习）下列关于正比例函数的结论中，正确的是（    ） A．当时，函数值为2 B．随的增大而增大 C．它的图象经过一、三象限 D．它的图象一定不经过点 【变式13-2】（23-24八年级·河南驻马店·期末）将的正方形网格如图所示的放置在平面直角坐标系中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长都是 1，正方形的顶点都在格点上，若直线与正方形有两个公共点，则k的取值范围是 ． 【变式13-3】（23-24八年级·陕西宝鸡·期末）如图，点在直线上，过点作轴于点，作轴与直线交于点，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【题型14 一次函数的图象与性质】 【例14】（23-24八年级·四川成都·开学考试）已知一次函数和 且，这两个函数的图象可能是（　　） A．B． C． D． 【变式14-1】（2024·湖南邵阳·模拟预测）在一次函数中，若随的增大而增大，则它的图象不经过第 象限． 【变式14-2】（23-24八年级·山东青岛·期中）当 时，函数是一次函数．已知点，都在这个一次函数图像上，则，的大小关系是 ． 【变式14-3】（2024·山东泰安·三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与x、y轴分别交于点A、B，在直线上截取，过点分别作y轴的垂线，垂足为点，得到；在直线上截取，过点分别作y轴的垂线，垂足为点，得到；在直线直线上被取，过点作y轴的垂线，垂足为点，得到；…；以此类推，第n个的面积是 （用含n的式子表示，n是正整数） 【题型15 求一次函数的解析式】 【例15】（23-24八年级·四川南充·期末）直线与x轴交于点，与y轴交于点，点C在直线上，且，则点C的坐标是（　　） A． B． C． D．或 【变式15-1】（23-24八年级·甘肃庆阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，另一条直线经过点A和点，且与x轴交于点D． (1)求直线的解析式； (2)求的面积． 【变式15-2】（23-24八年级·湖北武汉·期末）不论取何值，点都在某一条直线上，则这条直线的解析式为 ． 【变式15-3】（23-24八年级·山东烟台·期末）如图，已知点在直线上，点坐标为，若点在轴上，且点到，两点距离和最短，则点的坐标为 ． 【题型16 一次函数与方程、不等式的关系】 【例16】（23-24八年级·四川成都·期末）在直角坐标系中，函数的图象如图所示，当时，对于的每一个值，函数的值总大于函数的值，则的取值范围为 ． 【变式16-1】（23-24八年级·全国·单元测试）如图，函数的图象经过点，与函数的图象交于点，则关于的方程的解为（    ） A． B． C． D． 【变式16-2】（23-24八年级·河北石家庄·期末）已知函数与函数． (1)在同一平面直角坐标系内，画出这两个函数的图象； (2)求这两个函数图象的交点坐标； (3)根据图象回答，当x在什么范围内取值时，函数的图象在函数的图象下方？ 【变式16-3】（23-24八年级·江苏南通·阶段练习）如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为 ． 【题型17 一次函数图象的平移问题】 【例17】（2024·陕西咸阳·三模）将直线向左平移个单位长度后得到直线，若直线与轴交点的纵坐标等于直线与轴交点的横坐标，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式17-1】（23-24八年级·河北邢台·期末）将直线向右平移个单位，平移后的直线经过点，则（   ） A． B． C． D． 【变式17-2】（2024·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，直线：与直线：平行，且经过点，则的值为（    ） A．6 B．2 C． D． 【变式17-3】（23-24八年级·广东惠州·期末）已知点，，将直线沿轴向上平移个单位长度后，与线段有交点，则的取值范围是 ． 【考点5 一次函数的应用】 【题型18 利用一次函数的性质解决分配方案问题】 【例18】（23-24八年级·安徽·期末）某超市需每天从外地调运鸡蛋千克，超市决定从甲、乙两大型养殖场调运鸡蛋，已知甲养殖场每天最多可调出千克，乙养殖场每天最多可调出千克，从甲、乙两养殖场调运鸡蛋到该超市的路程和运费如表： 到超市的路程（千米） 运费（元千克千米） 甲养殖场 乙养殖场 设从甲养殖场调运鸡蛋千克，总运费为元． (1)从甲养殖场调运鸡蛋的运费，用代数式表示为__________，从乙养殖场需要调运鸡蛋的数量，用代数式表示为__________； (2)求出与的函数关系式； (3)怎样安排调运方案才能使每天的总运费最少？ 【变式18-1】（23-24八年级·辽宁鞍山·期末）学校在“体育节”期间举行羽毛球比赛，需要购买羽毛球及球拍．经了解甲，乙两个商场均对同一品牌的羽毛球用品春季促销．其中甲商场的羽毛球拍打九折，羽毛球打八折；乙商场开展买一赠一优惠：即买一副球拍送一盒羽毛球．已知羽毛球每盒25元，球拍每副90元，若学校打算购买羽毛球拍10副，羽毛球若干，学校去哪家商场购买比较合算． 【变式18-2】（23-24八年级·湖北省直辖县级单位·期末）A城有肥料200吨，B城有肥料300吨．现要把这些肥料全部运往C，D两乡，C乡需要肥料240吨，D乡需要肥料260吨，其运往C，D两乡的运费如下表： 两乡 两城 C/（元/吨） D/（元/吨） A 20 24 B 15 17 设从A城运往C乡的肥料为x吨，从A城运往两乡的总运费为元，从B城运往两乡的总运费为元． (1)分别直接写出，与x之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）； (2)当A城运往两乡的总运费不低于4200元时，怎样调运，才能使A，B两城运往两乡的总费用的和最小？并求出最小值． 【变式18-3】（23-24八年级·河南安阳·期末）为了提高学生的中考体育跳绳成绩，某校计划购买A，B两种跳绳．经市场调查，A种跳绳每根15元，B种跳绳每根10元．若学校准备购买A，B两种跳绳共120条，且购买A种跳绳的数量不少于B种跳绳数量的2倍． (1)设购买A种跳绳为x根，实际付款总金额为y元，请求出y与x之间的函数关系式； (2)在（1）的条件下，请设计出一种购买跳绳的方案，使实际所花费用最省，并求出最省的费用． 【题型19 利用一次函数的性质解决最大利润问题】 【例19】（23-24八年级·湖南岳阳·期末）汉服是中国古老而美好的生活方式的一个缩影，近年来，“汉服热”席卷中国各大景区，尤其是在节假日期间，“汉服+景区”已然成为当下年轻人的创新玩法.某景区一汉服专卖店计划购进甲、乙两种汉服共120件（2种服装都要），其进价与售价如表所示： 价格类型 进价（元/件） 售价（元/件） 甲 80 100 乙 100 200 若设甲汉服的数量为件，销售完甲、乙两种汉服的利润为元. (1)求与之间的函数关系式，写出自变量范围； (2)若乙汉服的数量不能超过甲汉服数量的2倍，请问当甲汉服购选多少件时，该店在销售完这两种汉服后获利最多？并求出最大利润。 【变式19-1】（23-24八年级·河南信阳·期末）2024年，第41届中国洛阳牡丹文化节以“牡丹花开又逢君”为主题．在此期间，小王采购牡丹花伞和花环头饰两种商品进行销售，采购10个牡丹花伞和10个花环头饰需要200元，采购20个牡丹花伞和5个花环头饰需要325元． (1)求牡丹花伞和花环头饰的采购价各是多少元？ (2)牡丹花伞和花环头饰的售价分别为25元/个和10元/个，小王决定采购两种商品共200个，但批发商要求采购牡丹花伞的数量不得超过花环头饰数量的一半，小王应如何进货，才能获得最大利润，最大利润是多少？ 【变式19-2】（23-24八年级·福建龙岩·期末）某商场同时购进甲、乙两种商品共100件，其中甲商品的进价为80元，售价为100元；乙商品的进价为100元，售价为130元． 设购进甲种商品 件，商场售完这100件商品的总利润为 元． (1)写出与的函数关系式； (2)该商场计划最多投入9600元购买甲、乙两种商品，若销售完这些商品，则商场可获得的最大利润是多少元？ (3)商场实际进货时，生产厂家对甲种商品的出厂价下调 元出售，且限定商场最多购进甲种商品60件． 在（2）的条件下，若商场获得最大利润为3300元、求 的值． 【变式19-3】（23-24八年级·山东德州·期末）习近平总书记在中央财经委员会第四次会议上强调，鼓励引导机械设备行业更新与改造．某工程机械厂根据市场要求，计划生产A、B两种型号的大型挖掘机共100台，该厂所筹生产资金不少于22400万元，但不超过22500万元，且所筹资金全部用于生产这两种型号的挖掘机，所生产的这两种型号的挖掘机可全部售出，此两种型号挖掘机的生产成本和售价如表所示： 型号 A B 成本（万元/台） 200 240 售价（万元/台） 250 300 (1)该厂对这两种型号挖掘机有几种生产方案？ (2)该厂如何生产获得最大利润？最大利润为多少？ 【题型20 一次函数图象的应用】 【例20】（23-24八年级·黑龙江牡丹江·期末）在一条直线上依次有，，三港口，甲，乙两船分别从，港口同时出发，匀速驶向港，在两船行驶的过程中，甲，乙两船距港的路程（单位：千米）与乙船行驶的时间（单位：小时）之间的函数图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题： (1)直接写出甲船的速度和，两港之间的路程； (2)求甲船从港到港的过程中与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； (3)乙船行驶多长时间两船相距的路程为15千米？请直接写出答案． 【变式20-1】（23-24八年级·吉林松原·期末）蓄电池发展水平是制约新能源汽车发展的关键要素．小明爸爸根据自家电动汽车仪表显示，感觉蓄电池充满电后，用前半部分电量所行驶的路程，总要比用后半部分电量行驶的路程更远一些．折线表示的是蓄电池剩余电量y（千瓦时）和已行驶路程x（千米）之间的关系．    (1)剩余电量为35千瓦时时，汽车已行驶的路程为______千米； (2)求段函数解析式，并写出自变量x的取值范围． (3)该汽车剩余电量为30千瓦时时，已行驶的路程是多少？ 【变式20-2】（23-24八年级·山东济宁·期末）甲、乙两个物流公司分别在A、B两地之间进行货物交换，C地为两车的货物中转站，假设A、B、C三地在同一条直线上，甲车以的速度从A地出发赶往C地，乙车从B地出发也赶往C地，两车同时出发，在C地利用一段时间交换货物，然后各自按原速返回自己的出发地，假设两车在行驶过程中各自速度保持不变，设两车行驶的时间为，两车的距离为，图中的折线表示y与x之间的函数关系． (1)A、B两地的距离为　　； (2)求乙的速度； (3)求出线段所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (4)直接写出两车相距时的行驶时间． 【变式20-3】（23-24八年级·黑龙江牡丹江·期末）快、慢两车分别从A，B两地沿同一路线匀速行驶，快车到达 B 地后立即按原路原速返回A 地(快车掉头的时间忽略不计)，慢车在快车出发1小时后出发，到达 A 地后停止行驶，快、慢两车距A 地的路程y(千米)与快车行驶时间x(小时)之间的函数图象如图所示．请结合图象信息解答下列问题： (1)直接写出慢车的行驶速度，并在图中(   )内填上正确的数： (2)求图中线段所在直线的函数解析式； (3)直接写出快车出发后几小时两车相距的路程为 100千米． 【考点6 反比例函数】 （1）反比例函数的定义 一般的，形如y= (是常数，k≠0)的函数叫做反比例函数。其它表示形式：y=kx-1，xy=k。 因为x≠0，k≠0，相应地y值也不能为0，所以反比例函数的图象无限接近x轴和y轴，但与x轴、y轴永不相交 ． （2）求反比例函数的解析式 ①所求的反比例函数为:y= (是常数，k≠0); ②根据已知条件(自变量与函数的对应值) 列出含k的方程; ③由代人法解待定系数k的值; ④把k值代人函数关系式y=中。 【题型21 反比例函数的识别】 【例21】（2024·辽宁大连·三模）对于物理学中的库仑定律，我们给出以下公式：．其中为点电荷、之间的作用力大小，为常数，为点电荷所带的电量，为点电荷所带的电量，为两个点电荷之间的距离．若两个点电荷、的电量均为已知，且把整体看作变量，则下列说法正确的是（    ） A．当增大时，随着的增大先减小再增大； B．当增大时，随着的增大而增大； C．若改变题目条件，令已知，为自变量，为因变量，则为关于的反比例函数； D．若改变题目条件，令已知，为自变量，为因变量，则为关于的正比例函数． 【变式21-1】（2024·广西百色·八年级期末）下列函数中，不是反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【变式21-2】（2024·河南·二模）河南是中原粮仓，粮食的水分含量是评价粮食品质的重要指标，粮食水分检测对粮食的收购、运输、储存等都具有十分重要的意义．其中，电阻式粮食水分测量仪的内部电路如图甲所示，将粮食放在湿敏电阻上，使的阻值发生变化，其阻值随粮食水分含量的变化关系如图乙所示．观察图象，下列说法不正确的是（    ） A．当没有粮食放置时，的阻值为 B．的阻值随着粮食水分含量的增大而减小 C．该装置能检测的粮食水分含量的最大值是 D．湿敏电阻与粮食水分含量之间是反比例关系 【变式21-3】（2024·北京·八年级期末）下列数表中分别给出了变量与的几组对应值，其中是反比例函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【题型22 反比例函数定义的应用】 【例22】（2024·湖南株洲·八年级期末）若函数是y关于x的反比例函数，则 ． 【变式22-1】（23-24八年级·全国·单元测试）若函数是反比例函数，则的值是 ． 【变式22-2】（23-24八年级·全国·课后作业）当m取何值时，函数是反比例函数？ 【变式22-3】（23-24八年级·全国·课后作业）已知函数， (1)当m，n为何值时是一次函数？ (2)当m，n为何值时，为正比例函数？ (3)当m，n为何值时，为反比例函数？ 【题型23 利用待定系数法求反比例函数的解析式】 【例23】（23-24八年级·全国·课后作业）已知反比例函数的图像经过点. （1）求与的函数关系式； （2）求当时，的值； （3）这个函数的图像在哪几个象限？随着的增大怎样变化？ （4）点、在此函数的图像上吗？ 【变式23-1】（23-24八年级·全国·单元测试）已知反比例函数． 求： （1）关于的函数解析式； （2）当时函数的值． 【变式23-2】（23-24八年级·上海金山·期末）已知：，与成正比例，与成反比例．当时，；当时，．求与的函数解析式． 【变式23-3】（2024八年级·全国·专题练习）（1）平面直角坐标系中，点A在第二象限，且m为整数，求过点A的反比例函数解析式； （2）若反比例函数的图像位于第二、四象限内，正比例函数过一、三象限，求整数k的值． 【考点7 反比例函数的图象与性质】 （1）反比例函数的图象及其性质 反比例函数如y= (是常数，k≠0)的图象总是关于原点成中心对称的，它的位置和性质受k的符号的影响. 如y= (是常数，k≠0) k>0 k<0 图　象 所在象限 一、三(x，y同号) 二、四(x，y异号) 性　质 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 （2）反比例函数的k的几何意义 由如y= (是常数，k≠0)的图象上任意一点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面积为|k| .如图①和②，S矩形PAOB＝PA·PB＝|y|·|x|＝|xy|＝|k|；同理可得S△OPA＝S△OPB＝|xy|＝|k|. 【题型24 反比例函数性质的应用】 【例24】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，RtABO的边AO在x轴上，且AO＝2．一个反比例函数y＝的图象经过点B．若该函数图象上的点P（不与点B重合）到原点的距离等于BO，则点P的坐标为 ． 【变式24-1】（23-24八年级·安徽合肥·期末）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的从小到大的关系是 ． 【变式24-2】（23-24八年级·浙江·期中）已知某函数的图象C与函数的图象关于直线对称．下列命题：①图象C与函数的图象交于点；②点在图象C上；③图象C上的点的纵坐标都小于4，④，是图象C上任意两点，若，则．其中真命题是（    ） A．①② B．①③④ C．②③④ D．①②④ 【变式24-3】（23-24八年级·浙江嘉兴·期末）已知点在反比例函数的图象上，若，则a的取值范围是 ． 【题型25 比例系数k的几何意义的应用】 【例25】（2024·广西贵港·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，梯形OACB的顶点O是坐标原点，OA边在y轴正半轴上，OB边在x轴正半轴上，且OA∥BC，双曲线y=（x＞0）经过AC边的中点，若S梯形OACB=4，则双曲线y=的k值为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式25-1】（2024·内蒙古·二模）如图．已知双曲线经过斜边的中点，且与直角边相交于点．若点A的坐标为，则的面积为（    ） A．12 B．9 C．6 D．4.5 【变式25-2】（23-24八年级·山东烟台·期末）如图，平行四边形的顶点在轴上，点在上，且轴，的延长线交轴于点．若，则 ．    【变式25-3】（23-24八年级·福建泉州·期中）如图，的顶点在双曲线上，顶点在双曲线上，的中点恰好落在轴上，已知，则的值为（　　）    A． B． C．4 D． 【考点8 反比例函数的应用】 【题型26 利用反比例函数解决实际问题】 【例26】（23-24八年级·四川乐山·期末）心理学研究发现，一般情况下，在一节40分钟的数学课中，学生的注意力随上课时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持在较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．通过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如图所示，点B的坐标为，点C的坐标为，为反比例函数图象的一部分． (1)求所在的反比例函数的解析式； (2)吴老师计划在课堂上讲解一道推理题，准备花费20分钟讲解，为了达到最佳的教学效果，要求学生的注意力指标数不低于38，请问吴老师的安排是否合理？并说明理由． 【变式26-1】（23-24八年级·山东济南·期末）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示． (1)求该函数的表达式； (2)当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？（精确到） 【变式26-2】（23-24八年级·浙江衢州·期末）综合与实践：如何测量一个空矿泉水瓶的质量? 素材1：如图1是一架自制天平，支点O固定不变，左侧托盘 A 固定在某处，右侧托盘B 在横梁滑动．在A中放置一个重物，在B中放置一定质量的砝码，移动托盘B可使天平左右平衡．增加砝码的质量，多次试验，将砝码的质量与对应的OB长度记录下来，并绘制成散点图（如图2） ． 素材2：由于一个空的矿泉水瓶太轻，无法称量．小组进行如下操作，保持素材1的装置不变，在托盘 B中放置一个内盛水的矿泉水瓶，移动托盘B，使得天平左右平衡，测得 ． (1)任务 1：请在图1中连线，猜想y关于x的函数类型，并求出函数表达式，且任选一对对应值验证． (2)任务2：求出一个空矿泉水瓶的质量． 【变式26-3】（23-24八年级·江苏扬州·期末）小明家饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温y（）与开机时间x（分）满足一次函数关系，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温y（）与开机时间x（分）成反比例关系，当水温降至时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)当时，求水温y（）与开机时间x（分）的函数关系式； (2)求图中t的值； (3)有一天，小明在上午（水温），开机通电后去上学，中午放学回到家时间刚好，请问此时饮水机内水的温度约为多少？并求：在这段时间里，水温共有几次达到？ 【题型27 反比例函数与一次函数图象的交点问题】 【例27】（23-24八年级·福建泉州·期中）在同一坐标系中，函数与的图像大概是（    ） A．B．C．D． 【变式27-1】（23-24八年级·上海·期末）已知函数中，在每个象限内，的值随的值增大而增大，那么它和函数在同一直角坐标平面内的大致图像是（ ）． A． B． C． D． 【变式27-2】（23-24八年级·四川宜宾·期末）一次函数与反比例函数（为常数且均不等于）．在同一坐标系内的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式27-3】（23-24八年级·山东济宁·阶段练习）若函数和函数的图象在同一坐标系中，则其图象可为下图中的（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【题型28 反比例函数与一次函数的综合】 【例28】（23-24八年级·江苏镇江·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数的图象与反比例函数在第二象限的图象交于点，与x轴交于点B，连结并延长交这个反比例函数第四象限的图象于点C． (1)求这个反比例函数的表达式． (2)求的面积． (3)当直线对应的函数值大于反比例函数的函数值时，直接写出x的取值范围． 【变式28-1】（23-24八年级·四川宜宾·期末）如图，直线与双曲线的交点为，与轴的交点为，点为双曲线上的一点． (1)求的值及反比例函数的表达式； (2)如图1，当点的横坐标为4时，判断的形状，并说明理由； (3)如图2，当时，求点的坐标． 【变式28-2】（23-24八年级·山西长治·期末）如图，正比例函数与反比例函数 的图象交于点两点，点纵坐标为． (1)求点的坐标与反比例函数的表达式； (2)观察图象，直接写出满足不等式 的的取值范围； (3)将直线向上平移个单位，交轴于点，当的面积为时，求直线平移后的函数表达式． 【变式28-3】（23-24八年级·河南郑州·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，反比例函数的图象分别与交于点和点，且点为的中点．    (1)求反比例函数的表达式和点的坐标； (2)若一次函数与反比例函数的图象相交于点，当点在反比例函数图象上D，E之间的部分时（点可与点D，E重合），直接写出的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$