云南省楚雄彝族自治州2024-2025学年高三上学期1月期末教育学业质量监测数学试题

楚雄州中小学2024一2025学年上学期期末教育学业质量监测 二，选择题：木题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的迭项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得都分分，有选错的得0分 高中三年级数学试卷 .已知随机变量X的分布列为 注意事项： P 1,答题前，考生务必将自己的姓名，考生号，考场号，座位号填写在答题卡上 2.回客选择圈时，选出每小圈答案后，用铅笔把答题卡上对应圈目的容案标号涂 下列结论正确的是 黑。如需改动，用橡皮擦干净后：再选涂其他答案标号。回答非速释题时，将答案写在 且EX)=号 答题卡上。写在本试卷上无效 Lm是 3.考试结束后，将本试卷和答题一并交日 cgx+2)-号 DE(2X)-9 .本试苍主要考试内容：痛考全部内容 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共0分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 0卫知系数化)一告油二·下对结论正确的处 A.f(r)的定义城为R 题目要求的. 1.(2一3别3十)的惠都为 拉/八r)的图象关于直线1一受对称 A.7 B.一7 C.Ti D.-7i Cf(x的最小正周期为x 2.已知向量a,b满足1a-2,a·b一1.划a·《a+2h)- A.1 B.5 C.6 D.7 D:在（受警）上单调递诚 3.已知集合A=(xz'-(2a+1)x十a+d0,若2∈A,a的取值蓖周为 11,空间中，平面上的动点P(,y:)满足方程：A+By+C:一D(A++C>4,则 A.(1,2) B(2,3) C[1.2 D.[2,3] 称P为平面口的方程，同时业称平面口的方程为「，并称n一《A,B.C的为平面的一个法 4.已知等差数列a}的前和项和为S.,且S,=2D,S,=50,划S= 向量，已知方程分别为广：2一y一：一0：3一2y一：一0的平面0：0：的交线为，期 A.0 B15 C.60 D.75 下列结论正确的是 A.经过点M1,D,0),M:(0,1,0),M,(0,0,1D的平面n的方程厂为r十y十：-1 5已知>0.且d≠1，函数f《x)一 -r十4-1r1 在R上单弱递减.划：的取值范围为 llog (r+1).r>1 B若方程为广x十ay+g'x=1t的平面口经过点Q1.1.1).用清足条件的实数a的个 A(分 k(o,》 e[za) D.(o.] 数为3 C若平面口的方程为r:Ar+y+C:一1，塘坐标原点D到平面2的距离为 6.在直三棱柱ACAB,C中，A4:=6,AB=AC一3，∠B4C=120,则减三棱柱外接球的表 面积为 VA+B+C A.144m B.72x C.36m D.18x 7,已知f(x)-√一+6r是倒雨数.且f(一1)-0.期不等式f(r)>r的解集为 D1与方程为乃：r十2y一2：-1的平面，所成角的正弦值为店 三，填空题：本愿共3小题，每小题5分，共15分， A.-1,1) B(o.号 c(-) n[-,) 12.若直线1：x-2y+3=0平分闭C:z+y-ar+(1一a)y=0.期a=▲一 &已知u>为>0，双南线C后-芳-1的高6率为者c一D-1.点M-,与 13已知r+1)r一5)十e1r十4x+…十ar,则a-▲ IL,用d(X,)表示点X与曲线P上任童一点高的最大值已知两数厂，《x)-r'十口一r, 机国后+号一1的脸关系为 y r∈[D.1门，f:(x)=行+(1-)x,x∈[1.2，设P是曲线y=/(x)上的动点.背4∈ A点M在转图E内 B点M在韩图E1 [合]时dP,)的最小值为▲ C.点M在椭图E外 D.不确定 【高三数单第1页共4页)】 ·2否-219C 【高三致学第：页（共4页】 ·25-2190- 四，解答题：本驱共可小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤 18(17分) 15.(13分) 已知柄数f(r)-rlnr 甲，乙两名运动员即将参加某地运动会的男子100米自由泳比赛，为了评估这次的比赛成 (1)求f(r)的极值. 领，收集了消人近5次的比赛成绩，整理数据得到下表. (2过成P(合，0)能作两条直线与曲线y=)相切，且切点坐标为A1,fx》, 甲 14分51秒 15分3粒 15分11秒 14分三6秒 15分24秒 后分7移 B(x1·fr:》,其中x1<c 14分57秒 15分门秒 15分04秒 15分0所秒 ()求a的取值色再： (1)分别求这两人近5次比赛成锁的平均数 (川)正明：方程4+《u一31士+1一0在(x1,:)上有解， (2)若规定比赛战绩不超过15分钟为优秀，以这两人近5次比赛成领的顿率估计情率，求这 次比赛这两人至少有一人的成绩为优秀的概率 16.(15分) 19.(17分) 如图，在正四棱PACD中，P4一3AB一-2，E,F,G分别为校AD,P,PD的中点. 在平面直角坐标系中，对干曲线C上任意一点P(x,y),总存在点Q(',y)满足关系式g: (1)匠明：PB平面EFG. (2)求平面AFG与平面ABD的夹角的余弦值. 一1r∵a>0>0).则线C变换为确线C称华为平面直角坐标系的饰第变换，记为 y一y umJ. 1吧知尚线C子+号-1，求C经过伸缩变换[，号]后所得南线G的方程 (2)已知n∈N,抛物线E,:y2一2p,r经过伸渐变换华[入，，]，得到抛物线E1ty 2px设p,=1A,-n,一2/8+T, (1求数列p,}的通项公式： ()过地物线E.的焦点且候斜角为30'的直线1与E。相交于点A,,B。,记△AB。 17.(15分) (0为量标原点)的面积为S。,求数列S。的前a项和T., 已知△ABC的的角A,B.C的对边分别为ah.C,血21=24im且 (1)判断△ABC的形状： (②若a-么，P基△ABC内一点，且∠BPC-冬求△CP面积的最大值 【痛三卷年第3页（共4页门 -25-21汇· 【高三数学第4页（共4】 ·5-219·楚雄州中小学2024一2025学年上学期期末教育学业质量监测 高中三年级 数学参考答案 1.B(2-3i)(3+i)=6+2i-9i-3=9-7i,虚部为-7. 2.C因为a=2,a·b=1,所以a·(a+2b)=a2+2a·b=6. 3.A由x2-(2a+1)x十a2十a<0,解得a<x<a十1，则A=(a,a十1).因为2∈A,所以a 2<a十1，解得1<a<2. 4.D由S,-S3=a1十as+ag十a,=50-20=30,得as十a6=15,则S1o= 0×(a,+ao2= 2 5(a1十a1o)=5(a5十a6)=75. -a<0, 5.C因为f(x)在R上单调递减，所以0<a<1, 解得2<a<1. -1≥log.2, 6.B在△ABC中，BC2=AB+AC2-2AB·ACcos∠BAC=27,即BC=3√3，则△ABC外 BC 接圆的半径为2snm∠BAC-3,则直三棱柱ABC-AB,C外接球的半径为√3+3=3,2，面 积为4×(32)2π=72π. 7.D因为f(x)是偶函数，所以f(-x)=f(x),即V/1-a(-x)+bsin(-x)=√1-ax2- bsinx=√1-a.x十bsin x,则b=0.又f(-1)=√1-a=0,所以a=1,则f(x)=√1-x (-1≤x≤1).当-1≤x≤0时，f(x)>x恒成立：当0<x≤1时，由f(x)>x,得1-x2 ,解得0<<号故不等式x)>x的解集为[-1，号》 &A因为e-Da-1>1.所以c--a>0,则6>则a6>a2+6,从面时+号 <1,故点M在椭圆E内. 9AC由g+m+是-1，得m=品则E(X)=1X合+2×是+3×是-号，E(X+2) 5 EX)+2-,E2X)=2E(X0=号， 10.BD由1-sinx≠0，得x≠受+2k元，k∈乙.A不正确.因为f(-x十x) 2+sin(-x十π) 1-sin(-x+) -士si=f(x),所以f(x)的图象关于直线x=受对称，B正确.因为f(x十x)= 1-sin 2士sinx士-2二sn≠f(x),所以x不是f(x)的周期，C不正确.f(x)= 2+sin 1-sin(r+)1+sin .x 1-sin x -1十点n当（号号）时1一m>0,且两数y=1-如x单调遂描，所以) 【高三数学·参考答案第1页（共6页）】 ·25-219C· 在（受，）上单调递减，D正确 11.ACD经检验，M11,0,0),M2(0,1,0),M(0,0,1)均满足方程x+y+=1,且M1,M2 M3不共线，则M1,M2,M可以确定唯一平面2，则平面2的方程厂为x十y十之=1，A正 确.若方程为T:a.x十a2y十a3x=14的平面2经过点Q(1,1,1),则a十a+a3=14,整理得 (a-2)(a2十3a+7)=0,因为a2十3a十7=0无实数解，所以a=2,B不正确.显然，点 E(牙，0.0)满足方程T:Ax+By十C=1,则E是平面0内一点，平面n的一个法向量为 n=A,B,C),则O元=（分0,0），点0到平面n的距离d=OE.n n A+B+C C正确.易知方程Γ1，T2,Γ的一组公共解为M(1,1,1),且Γ1，厂2的另一组公共解为O(0, 0,0),则直线1经过M和O,1的一个方向向量为OM=(1,1,1),平面2的一个法向量为 n2=(1,2,-2).设1与平面2所成角的大小为0，则sin0=1cos<OM,n2)= OM·n2l OM2 a店停正 12.2由题可知，l经过C的圆心（号，2a一2）.则号-4a+4+3=0,解得a=2. 13.76(x+1)(x-5)=x2(x-5)3+(x-5)3,则a3=C号(-5)+C9=76. 14.V7令f)=x+1-),则f()=3x2+1-.因为∈[21]，所以f(x)≥0 在[0,2]上恒成立，则f(x)=tx3+(1一t)x在[0,2]上单调递增.由f2(2)=6t+2,可设 M(2,6t+2),则d(P,f2(x)=|MP.由f1(1)=1,可设N(1,1),则d(P,f2(x)≥ |MN|=√1+(6t+1)2>√17. 15.解：1)将两人每次比赛成绩减去15分钟，得其平均数分别为一9+3+1-4+24=5秒， 5 …2分 7一3十21十4十6=7秒，… …4分 故甲近5次比赛成绩的平均数为15分05秒，乙近5次比赛成绩的平均数为15分07秒. 44000*0…44044444e40484044e00e404444444eeee44e4e440404044448e 6分 (2)记事件A=“甲这次比赛成绩为优秀”，B=“乙这次比赛成绩为优秀”，C=“这次比赛这 两人至少有一人的成绩为优秀”， 则PA)=号.P(B)=言 +44 8分 P(C)=P(AB)+P(AB)+P(AB)= ×+×+× 2 …13分 【高三数学·参考答案第2页（共6页）】 ·25-219C· 16.(1)证明：因为E,F,G分别为棱AD,PC,PD的中点，所以EGPA,FGCD.·2分 又P-ABCD为正四棱锥，所以四边形ABCD为正方形，则ABCD,从而FG∥AB.· …3分 因为PA左平面EFG,AB庄平面EFG,EGC平面EFG,FGC平面EFG,…4分 所以PA平面EFG,AB/平面EFG.…5分 又PA∩AB=A,所以平面PAB∥平面EFG.…6分 因为PBC平面PAB,所以PB平面EFG.… …7分 (2)解：因为P-ABCD为正四棱锥，所以以四边形ABCD的中心O 为坐标原点，过点O且与AB平行的直线为x轴，过点O且与AD 平行的直线为y轴，OP所在直线为：轴，建立如图所示的空间直 角坐标系。 由PA=3,AB=2,得OP=√7，…8分 则A(-1-1.0.F分2)6(-g号). …9分 所以-（号受）aG-(合2号） 10分 设平面AFG的法向量为m=(x,y,之)， 337 m·AF=0, 2+ 2y+ 2*=0, 由 得 11分 m·AG=0, 2+2y+ 1 3 2=0, 令y=√7，得m=(0W7,一3).… 12分 由图可知，n=(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量. 13分 cosm,n)=m7=一，故平面AFG与平面ABCD的夹角的余弦值为子 m·n 3 …15分 17.解：(1)因为sin2A=2 asin B ,所以2 sin Acos A= 2asin B 2bsin A …2分 又sinA≠0，所以cosA=白 3分 因为cosA=+c2-a 2bc ,所以+c2-a26 2bc ,整理得c2=a2十b2,…5分 则AC⊥BC,故△ABC为直角三角形.…6分 2)设∠PCB=0.因为∠BPC=3,所以∠PBC=3一8。…7 3 BC BP CP 在△BCP中，由正弦定理得sin∠BPC-sin乙PCB-sin∠PBC·…9分 因为BC=a=2,所以2=BP CP 43 2 sin 0 sin3 sin(5-9） 3· …10分 【高三数学·参考答案第3页（共6页）】 ·25-219C· 则Bp-.Cp-5m(货-小 11分 设△BCP的面积为S.则S=2BP.CPsin∠BPC=4mOsn(赁-O】 …12分 =2sin 0cos 0- 3sin0=sim20+3。 2 …14分 当9十看-受，即0=吾时，S取得最大位号.即△BCP面积的最大值为 …15分 18.(1)解：因为f(x)=xlnx,x>0,所以f'(x)=1+lnx, …1分 令f(x)=0.得x=。当x∈(0，)时fx)<0fx)单调递减：当x∈(。，+o∞)时. f(x)>0,f(x)单调递增。…3分 故当x=。时，x)取得极小值，且极小值为一。，fx)无极大值。……4分 (2)(i)解：由(1)可知，曲线y=f(x)在点A处的切线方程为y一x:nx1=(1+lnx1)(x 一工1），…5分 同理，曲线y=f(x)在点B处的切线方程为y一x2lnx2=(1十nx2)(x一x. =(+(1-z). a 因为点P在这两条切线上，所以 6分 n=1+)-x）, 1+Inzi a= 整理得 …7分 1+In z2 a= x 令g(r)=1+n ，x>0,则由题可知直线y=a与曲线y=g(x)有两个交点.…8分 g'(x)=n,当x∈(0,1)时，g'(x)>0,g(x)单调递增，当r∈(1，十)时，g(x)<0, r? g(x)单调递减，则g(x)mx=g(1)=1.… …9分 因为当x∈(0，)时，g(x<0,当x∈（日，十∞）时，g(x)>0. 所以a的取值范围为(0,1).… 10分 （1)证明：由ar+a-3r+1=0,得a=号则中-n 2(x-1)7 x十1J …12分 令h(x)=lnx- 2>0周u)-a≥0u在0 2(.x-1) 【高三数学·参考答案第4页（共6页）】 ·25-219C· 十∞)上单调递增. 13分 由(1)可知，0<x1<1<,且h)=0,所以hz)<0,h(x:)>0.即nx<+1 2(x1-1) 2(x2-1) In r2 x2十1， …14分 1+ 2(x1-1) 则a 1+ln西<+1，整理得ax+(a-3)x十1<0，…15分 TI TI 同理可得a.x号十(a-3).x2十1>0，… …16分 故方程ax2+(a一3)x十1=0在(x1,x2)上有解. …17分 2, x=2x' 19.解：(1)由题意得 则 …1分 y=3y', 3y, 代入C,的方程，得x8十y2=1,所以C2的方程为x2十y2=1.…3分 (2)(1)设E。上的点P(x,y)经过伸缩变换g[入m]后得点P'(x',y'), x 则 x'=入则 入代人E,的方程，得() =2P.A ,…4分 用 则E1的方程为)-则1- …5分 入 入 因为入，=g,=2n+1,所以=4(n+D …6分 n 又1=1，所以当n≥2时，p。= p·wm》…2 Pn Pn-2 P 1 1=…4"…7分 又p1=1符合上式，所以pw=n·4"-' …8分 (i)由题可知，E.的焦点为号0）1的方程为x=3y+号设A.(cy).B,(cy) (y2=2p., 联立方程组 3y+. 理得y2-2√3pwy一p2=0, 则y]十y2=2y3pny1y2=一p,…9分 所以y1一y2=√(y1+y2)-4y1y2=√(23p)2+4p:=4pw.…10分 S,=7.2yy2p、………1分 由(i)知pm=n·4"-1,所以Sn=n2·16”, …12分 【高三数学·参考答案第5页（共6页）】 ·25-219C· 则T.=12×16°+22×16+32×162+…+n2×16-1,① 则16T.=12×16十22×162+32×163+…十n2×16”,②…13分 ①-②得-15T.=1×16°+3×16+5×162+…+(2n-1)×16"-1-n2×16”,③… …14分 则-15×16T.=1×16+3×16+5×163++(2n-1)×16”-n2×16+1,④…15分 ③-④得152T.=1×16+2×16+2×162+…+2×16"1-(2n-1)×16-n2×16+n2 ×161=1+2×21918+(15m-2m+1Dx16-25m-0t1716-17. …16分 15 则T.=225m2-30m+17)16”-17 …17分 3375 【高三数学·参考答案第6页（共6页）】 ·25-219C·Sheet1 楚雄州中小学2024-2025学年上学期期末教育学业质量监测 高三年级 数学 多维细目表 题号 题型 分值 知识模块 必备知识 关键能力 核心素养 考查要求 预估难度系数 1 选择题 5 必修第二册 复数的运算 运算求解 数学运算 基础性 0.9 2 选择题 5 必修第二册 平面向量的运算 运算求解 数学运算 基础性 0.85 3 选择题 5 必修第一册 集合的关系 推理论证 逻辑推理 基础性 0.8 4 选择题 5 选择性必修第二册 等差数列 运算求解 数学运算 基础性 0.6 5 选择题 5 必修第一册 分段函数的单调性 推理论证 逻辑推理 基础性 0.55 6 选择题 5 必修第二册 棱柱的外接球 空间想象 直观想象 基础性 0.45 7 选择题 5 必修第一册 函数与不等式 推理论证 逻辑推理 基础性 0.45 8 选择题 5 选择性必修第一册 圆锥曲线的性质 推理论证 直观想象 综合性 0.25 9 选择题 6 选择性必修第三册 随机变量及其分布 运算求解 数学运算 基础性 0.8 10 选择题 6 必修第一册 三角函数的图象及性质 推理论证 逻辑推理 基础性 0.5 11 选择题 6 选择性必修第一册 新定义空间平面方程 推理论证 数学抽象 综合性 0.3 12 填空题 5 选择性必修第一册 直线与圆的位置关系 运算求解 数学运算 基础性 0.75 13 填空题 5 选择性必修第三册 二项式定理 运算求解 逻辑推理 基础性 0.5 14 填空题 5 选择性必修第二册 新定义距离 推理论证 逻辑推理 综合性 0.2 15 解答题 13 选择性必修第二册 统计与概率 数据处理 数据分析 基础性 0.7 16 解答题 15 选择性必修第一册 空间向量与立体几何 空间想象，推理论证 直观想象，数学运算 基础性 0.6 17 解答题 15 必修第二册 解三角形 运算求解 数学运算 基础性 0.4 18 解答题 17 选择性必修第二册 导数的应用 运算求解 逻辑推理，数学运算 综合性 0.25 19 解答题 17 选择性必修第一、二册 圆锥曲线与数列的综合 推理论证 逻辑推理，数学运算 综合性 0.2 $$荒雄州中小学224一2025学年上学期期未教育学业质量监测 明在各题规里势里色断形区城内将通，道出该区域的溶案无发！ 请在务题呢定伪思色矩和区域内养，超出离区城们答影无敏 高中三年级 数学答题卡 15(5分 16(15分) 时名 陆第影得区 性越 座位母：■ 准意事项 有理有，与.4真种对请新可上同 E5话5g 中 为老电数单料每 标烫 量车热 / == +2, 12 (5分) 会 (5每 4 (5量 春在各题规足们需色用形区城内答题.切属满区域的答聚无意 明能各划规定势见色距用区域内容题.随山度区域的容案无餐！ 请在各睫观定物黑色短形区城内酒题，围由咸区城们答无验 1温三数学期题卡第1项1共2正川 25-1 情在各道规理的领色年形区城内暮道，超出该区域的客案无数 通在各题规理的围色矩形民城内荐温，短出线区线的等案无效： 值在各冠观花的黑色矩万区城内等题，加族风城的答案天效 1T.(15分) 18.(17分 9.7登) 请在各题规定的属色用后区域内容题，园出预区城许暮案无效】 诗在题悦定种图色矩帮区城内答划，超山该区域的容表无敏！ 情在各题候定的期色矩形区城内答题.用南该区城的答案无观： 1高三数序弹明+第2共2页1 -2-21G