精品解析：河北省石家庄市长安区2024-2025学年上学期九年级数学期末试卷

2024-2025学年度第一学期阶段性练习 九年级 数学 注意事项 1．答题前，考生务必使用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、班级、所在学校填写清楚，并在指定区域粘贴好条形码． 2．选择题选出答案后，用2B铅笔将所选答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．请在各试题指定的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸上作答无效． 4．试卷不能折叠，试卷边角上的三角标志不得污损，涂改． 一、选择题（本大题共12个小题．每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知一元二次方程有一个根为1，则k的值为（　　） A. 4 B. 5 C. D. 2. 如图，数轴的原点对应刻度尺的0刻度线，图中的虚线互相平行，则点对应的数是（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 5 3. 已知点，在函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 与的大小不确定 4. 如图，为的直径，，为上两点（不与点，重合），若，则（ ） A. B. C. D. 5. 一组数据：2，4，4，4，6，若去掉一个数据4，则下列统计量中发生变化的是（ ） A. 众数 B. 中位数 C. 平均数 D. 方差 6. 下表是嘉琪填写的数学实践活动报告的部分内容：则树高为（ ） 题目 测量树的高度 测量目标示意图 相关数据 ，， A. B. C. D. 7. 已知，是方程的两个根，则的值为（　　） A. B. C. D. 8. 《九章算术》中有一测量问题：今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？译文为：如图，在矩形城池中，东西城墙长7里，南北城墙长9里，南门点，东门点分别位于，的中点处，，，经过点，里，则的长是（ ） A. 2.15里 B. 2.05里 C. 1.05里 D. 0.95里 9. 如图，某建筑队在一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成一个长方形仓库，仓库总面积为平方米，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设米，则关于的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 10. 已知是外一点，用直尺和圆规过点作的切线．以下是甲、乙两人的作法： 下列判断正确的是（ ） 甲：①如图1，连接，以为直径作圆，交于，两点． ②连接，，，就是的切线． 乙：①如图2，连接，交于点．以点为圆心，为半径画弧，交于点． ②连接，就是的切线． A. 甲、乙的作法都正确 B. 甲、乙的作法都错误 C. 甲的作法错误，乙的作法正确 D. 甲的作法正确，乙的作法错误 11. 两个边长为2的正六边形按如图所示方式放置，则点A的坐标是（ ） A. B. （3，4） C. D. 12. 图1是玻璃水杯的截面图，其左右轮廓线为某抛物线的一部分，杯口，杯底，且，杯深，如图2．将盛有部分水的水杯倾斜，水面正好经过点B（即）．小易在图1中建立了平面直角坐标系（抛物线的顶点在y轴上），对于下列结论，判断正确的是（ ） 结论I：玻璃水杯轮廓线所在抛物线的解析式为； 结论Ⅱ：图2中，点P到杯口距离为5． A. I不对Ⅱ对 B. I对Ⅱ不对 C. I和II都对 D. I和II都不对 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分．第15小题第1个空2分，第2个空1分，第16小题每空1分） 13 计算：______． 14. 二次函数图象的对称轴为__________． 15. 如图是开州区竹溪镇一菜农蔬菜大棚的截面，形状为圆弧型，圆心为O，跨度（弧所对的弦）的长为8米，拱高（弧的中点到弦的距离）为2米．圆弧所在圆的半径为______米；在修建过程中，在距蔬菜大棚的一端（点B）1米处将竖立支撑杆，支撑杆的高度为______米． 16. 如图，在平面直角坐标系中，放置一个等腰直角三角形纸片，，边与轴重合，点，若双曲线(，)与边交于点，与边交于点． （1）点的坐标为______； （2）当点为中点时，双曲线的表达式为______； （3）若双曲线与折线所围成的区域内（含边界）有2个横、纵坐标都是整数的点，则的取值范围是______． 三、解答题（本大题共5个小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）解方程：． （2）如图，在中，，，，求值． 18. 某次数学测验中，一道题满分3分，老师评分分别为0分，1分，2分，3分．李老师为了了解学生此题的得分情况和试题的难易情况，对初三（1）班所有学生的该试题得分进行了分析整理，并绘制了如图所示两幅尚不完整的统计图：难度系数的计算公式为：，其中为难度系数，为样本平均分，为试题满分值．的题为容易题；的题为中档题；的题为较难题．解答下列问题： （1）______，______，并补全条形统计图； （2）佳佳认为这个班这道题得分的中位数为分，你同意佳佳的说法吗？说明理由； （3）通过计算判断这道题对于该班级来说，属于哪一类难度的试题？ 19. 如图1，将大小不同的两个含角的三角尺的直角顶点重合，小三角尺的顶点，分别落在大三角尺的直角边，上．已知，，． （1）求的长； （2）如图2，将小三角尺绕点顺时针旋转，当点第一次落在上时，连接，求的度数． 20. 在坡度为3∶4的斜坡与水平地面的纵向截面图上，建立如图所示的平面直角坐标系，一个单位长度代表长．点在斜坡上，，从点向右发射出的小球，其运动路线为抛物线的一部分． （1）直接写出点的坐标，并求，所满足的数量关系； （2）当小球恰好落到原点时，求表达式，并直接写出的顶点坐标； （3）在点右侧处有一面与轴垂直墙，且，若使得小球能碰触到墙面（含点和），直接写出的取值范围． 21. 如图1至图3，在中，，，，点在直线上（在点右侧），．以为直径的半圆与直线相切于点，点为半圆弧上一动点，． （1）如图1，当点与点重合时，求的最小值； （2）若点从点开始沿半圆绕圆心逆时针旋转，速度为每秒15度，同时半圆从点出发沿向左平移，速度为每秒1个单位长度，运动时间为秒． ①如图2，当为何值时，半圆与相切于点，并求此时的度数； ②如图3，当点，，在一条直线上时，求点到的距离及扇形的面积； ③直接写出当弧（包括端点）与边有两个交点时的取值范围．（以上结果均保留根号） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第一学期阶段性练习 九年级 数学 注意事项 1．答题前，考生务必使用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、班级、所在学校填写清楚，并在指定区域粘贴好条形码． 2．选择题选出答案后，用2B铅笔将所选答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．请在各试题指定的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸上作答无效． 4．试卷不能折叠，试卷边角上的三角标志不得污损，涂改． 一、选择题（本大题共12个小题．每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知一元二次方程有一个根为1，则k的值为（　　） A. 4 B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将代入原方程，可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k的值． 【详解】解：将代入原方程得：， 解得：， ∴k的值为． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键． 2. 如图，数轴的原点对应刻度尺的0刻度线，图中的虚线互相平行，则点对应的数是（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段，列出比例式求出，再根据两点间的距离公式求出点在数轴上表示的数即可． 【详解】解：如图，由题意，得：，，， ∴， ∴， ∴点所表示的数为：； 故选：A． 3. 已知点，在函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 与的大小不确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质，根据可知，当时，y随x增大而减小，直接判断即可得到答案． 【详解】解：可知，当时，y随x增大而减小， ∵，点，在函数的图象上， ∴， 故选：A． 4. 如图，为的直径，，为上两点（不与点，重合），若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查的是圆周角定理及其推论；半圆(弧)和直径所对的圆周角是直角；同弧所对的圆周角相等．由于为的直径，由圆周角定理可知，则和互余，欲求需先求出的度数，据此即可得解． 【详解】解：∵为的直径， ，即； 又同弧所对的圆周角相等， ， ， 故选：C． 5. 一组数据：2，4，4，4，6，若去掉一个数据4，则下列统计量中发生变化的是（ ） A. 众数 B. 中位数 C. 平均数 D. 方差 【答案】D 【解析】 【分析】根据众数、中位数、平均数及方差可直接进行排除选项． 【详解】解：由题意得： 原中位数为4，原众数为4，原平均数为，原方差为； 去掉一个数据4后的中位数为，众数为4，平均数为，方差为； ∴统计量发生变化的是方差； 故选D． 【点睛】本题主要考查平均数、众数、众数及方差，熟练掌握求一组数据的平均数、众数及方差是解题的关键． 6. 下表是嘉琪填写的数学实践活动报告的部分内容：则树高为（ ） 题目 测量树的高度 测量目标示意图 相关数据 ，， A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．在和中，解直角三角形即可求解． 【详解】解：在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴树高为， 故选：B． 7. 已知，是方程的两个根，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系得，，然后再整体代入即可解答． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，， ∴， 故选D． 8. 《九章算术》中有一测量问题：今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？译文为：如图，在矩形城池中，东西城墙长7里，南北城墙长9里，南门点，东门点分别位于，的中点处，，，经过点，里，则的长是（ ） A. 2.15里 B. 2.05里 C. 1.05里 D. 0.95里 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的实际应用．证明，运用相似三角形的对应边成比例求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴ 又∵， ∴， ∴（垂直于同一直线的两直线平行） ∴（两直线平行同位角相等） ∴， ∴， ∴(里)． 故选：C． 9. 如图，某建筑队在一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成一个长方形仓库，仓库总面积为平方米，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设米，则关于的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了列函数关系式．根据题意先求出平行于墙的一边长为米，再根据长方形面积计算公式求解即可． 【详解】解：由题意得，平行于墙的一边长为米， ∴， 故选：B． 10. 已知是外一点，用直尺和圆规过点作的切线．以下是甲、乙两人的作法： 下列判断正确的是（ ） 甲：①如图1，连接，以为直径作圆，交于，两点． ②连接，，，就是的切线． 乙：①如图2，连接，交于点．以点为圆心，为半径画弧，交于点． ②连接，就是的切线． A. 甲、乙的作法都正确 B. 甲、乙的作法都错误 C. 甲的作法错误，乙的作法正确 D. 甲的作法正确，乙的作法错误 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了切线的作法，切线的判定．甲：连接、，利用圆周角定理求得，即可证明是的切线；乙：连接，不能证明是的切线． 【详解】解：甲：连接、， 由作图知，是直径， ∴， 又∵、是的半径， ∴是的切线； ∴甲的作法正确； 乙：连接， 由作图知，， ∵， ∴， ∴等边三角形， ∴， 若是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵不一定等于， ∴不一定是的切线， ∴乙的作法不正确； 故选：D． 11. 两个边长为2的正六边形按如图所示方式放置，则点A的坐标是（ ） A. B. （3，4） C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图所示，设左边正六边形的中心为C，连接，先证明是等边三角形，得到，再求出，得到A、C、D三点共线，求出，得到，则，再由，可得． 【详解】解：如图所示，设左边正六边形的中心为C，连接， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵正六边形的一个内角度数为， ∴， ∴， ∴A、C、D三点共线， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了多边形内角和定理，等边三角形的性质与判定，勾股定理，坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质，正确求出的长是解题的关键． 12. 图1是玻璃水杯的截面图，其左右轮廓线为某抛物线的一部分，杯口，杯底，且，杯深，如图2．将盛有部分水的水杯倾斜，水面正好经过点B（即）．小易在图1中建立了平面直角坐标系（抛物线的顶点在y轴上），对于下列结论，判断正确的是（ ） 结论I：玻璃水杯轮廓线所在抛物线的解析式为； 结论Ⅱ：图2中，点P到杯口的距离为5． A. I不对Ⅱ对 B. I对Ⅱ不对 C. I和II都对 D. I和II都不对 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得，，，，可求抛物线的解析式为，再求出直线的解析式，联立即可求出点坐标，继而可判断结论Ⅱ． 【详解】解：由题意得，，，， 设轮廓线，所在抛物线的解析式为，记与轴的交点为， 把、代入得 ，解得：， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ 设直线的解析式为 把、代入得： ，解得：， ∴直线： 由，解得，（舍） 当，， ∴， 此时点P到杯口的距离为， ∴I对Ⅱ不对， 故选：B． 【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，涉及待定系数法求一次函数与二次函数的解析式，等腰三角形的判定，直线与抛物线的交点问题，难度较大，正确求出抛物线的表达式是解题的关键． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分．第15小题第1个空2分，第2个空1分，第16小题每空1分） 13. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了特殊角的三角函数值的运算，代入特殊角的三角函数值进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为： 14. 二次函数图象对称轴为__________． 【答案】直线 【解析】 【分析】（方法1）令，求出两个对称的点的坐标，利用抛物线上对称的点的坐标求出对称轴；（方法2）利用先将二次函数的表达式化成一般形式，再利用求对称轴的公式求解即可． 【详解】（方法1）∵令， 则，， ∴该二次函数图象上两个对称的点的坐标分别为，， ∴该二次函数图象的对称轴为直线． 故答案为：直线． （方法2）∵， ∴该二次函数图象的对称轴为直线． 故答案为：直线． 【点睛】本题考查了二次函数图象的对称轴，熟记二次函数图象的对称轴公式是解题的关键． 15. 如图是开州区竹溪镇一菜农蔬菜大棚的截面，形状为圆弧型，圆心为O，跨度（弧所对的弦）的长为8米，拱高（弧的中点到弦的距离）为2米．圆弧所在圆的半径为______米；在修建过程中，在距蔬菜大棚的一端（点B）1米处将竖立支撑杆，支撑杆的高度为______米． 【答案】 ①. 5 ②. 1 【解析】 【分析】本题考查了矩形判定和性质、勾股定理、垂径定理的应用，解题关键是矩形判定定理和垂径定理的应用． 根据垂径定理的推论得到圆心在的延长线上，设的半径为米，则米．由垂径定理得到米．由勾股定理得，得到方程，解方程即可求出该圆弧所在圆的半径；过点作于点，连，先求出，证明四边形为矩形，则．，求出．根据四边形为矩形即可得到答案． 【详解】解：垂直，点C是弧中点， 圆心在的延长线上． 设的半径为米，则米． ， （米． ， 即， 解得． 过点作于点，连接． 米， （米． ， 四边形为矩形， ，， （米． 米， 米． 米． 故答案为：5；1． 16. 如图，在平面直角坐标系中，放置一个等腰直角三角形纸片，，边与轴重合，点，若双曲线(，)与边交于点，与边交于点． （1）点的坐标为______； （2）当点为中点时，双曲线的表达式为______； （3）若双曲线与折线所围成的区域内（含边界）有2个横、纵坐标都是整数的点，则的取值范围是______． 【答案】 ①. ②. ③. 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质等知识，数形结合是解答本题的关键． （1）作于点F，求出，即可得到点B的坐标； （2）利用中点坐标公式求出点D的坐标即可求解； （3）数形结合，找出临界点求出k的值即可． 【详解】解：（1）作于点F， ∵点坐标为，， ∴． ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴，， ∴； 故答案：； （2）∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； （3）∵点坐标为，， ∴若双曲线与折线、所围成的区域内（含边界）有2个横纵坐标都是整数的点，则这两个点一定是点和点， 把代入得，把代入得， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共5个小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）解方程：． （2）如图，在中，，，，求值． 【答案】（1），；（2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解直角三角形． （1）用公式法求解即可； （2）先利用勾股定理得出，再根据余弦二次函数的定义即可求解． 【详解】（1）解：， ∵，，，， ∴， ∴，； （2）解：∵在中，，，， ∴， ∴． 18. 某次数学测验中，一道题满分3分，老师评分分别为0分，1分，2分，3分．李老师为了了解学生此题的得分情况和试题的难易情况，对初三（1）班所有学生的该试题得分进行了分析整理，并绘制了如图所示两幅尚不完整的统计图：难度系数的计算公式为：，其中为难度系数，为样本平均分，为试题满分值．的题为容易题；的题为中档题；的题为较难题．解答下列问题： （1）______，______，并补全条形统计图； （2）佳佳认为这个班这道题得分的中位数为分，你同意佳佳的说法吗？说明理由； （3）通过计算判断这道题对于该班级来说，属于哪一类难度的试题？ 【答案】（1）25，20；补全条形统计图见解析 （2）佳佳的说法错误；理由见解析； （3）这道题为中档题． 【解析】 【分析】（1）首先根据条形统计图和扇形统计图中的信息求得抽取的总人数是60人，进而得到和的值，从而可以得到得1分的人数并将条形统计图补充完整； （2）根据中位数的概念求解即可； （3）据题意可以算出的值，从而可以判断试题的难度系数． 【小问1详解】 解：由条形统计图可知0分的同学有6人，由扇形统计图可知，0分的同学占， 则抽取的总人数是：（人）， 故得1分的学生数是：（人）， 则，即； ，即． 故答案为：25，20； 补全统计图如下： ； 【小问2详解】 解：从小到大排列，排在第30和31位的数据是都是2分，中位数为分； 故佳佳的说法错误； 【小问3详解】 解：平均数为（分）， ． 因为0.58在中间，所以这道题为中档题． 【点睛】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图、中位数、平均数等知识，解题关键是读懂条形统计图与扇形统计图，并获取有用的信息． 19. 如图1，将大小不同的两个含角的三角尺的直角顶点重合，小三角尺的顶点，分别落在大三角尺的直角边，上．已知，，． （1）求的长； （2）如图2，将小三角尺绕点顺时针旋转，当点第一次落在上时，连接，求的度数． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质． （1）证明，推出，据此求解即可； （2）由，得，由旋转的性质得，证明，推出，据此求得． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得， ∴， 由旋转的性质得， ∴， ∴， ∵， ∴． 20. 在坡度为3∶4的斜坡与水平地面的纵向截面图上，建立如图所示的平面直角坐标系，一个单位长度代表长．点在斜坡上，，从点向右发射出的小球，其运动路线为抛物线的一部分． （1）直接写出点的坐标，并求，所满足的数量关系； （2）当小球恰好落到原点时，求的表达式，并直接写出的顶点坐标； （3）在点右侧处有一面与轴垂直的墙，且，若使得小球能碰触到墙面（含点和），直接写出的取值范围． 【答案】（1）点A的坐标是； （2），抛物线的顶点坐标是 （3）． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，难度不大．利用数形结合与方程思想是解题的关键． （1）作轴于点D，设，则，利用勾股定理列式计算求得a的值，即可求解，将代入求解即可求出，所满足的数量关系； （2）将原点代入求解即可； （3）根据题意知，分别把代入求解即可． 【小问1详解】 解：作轴于点D， ∵坡度为， ∴设，则， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∴点A的坐标是； ∵点A在抛物线上， ∴， ∴ 【小问2详解】 解：当小球落到原点时，点在抛物线上， ∴． ∴． ∴， ∴抛物线的函数表达式为； ∵ ∴抛物线的顶点坐标是 【小问3详解】 解：根据题意知：， ∵． ∴． ∴当抛物线过点时，有：， 解得：； 当抛物线过点时，有：， 解得：． ∴当小球能碰触到墙面时，b的取值范围是． 21. 如图1至图3，在中，，，，点在直线上（在点右侧），．以为直径的半圆与直线相切于点，点为半圆弧上一动点，． （1）如图1，当点与点重合时，求的最小值； （2）若点从点开始沿半圆绕圆心逆时针旋转，速度为每秒15度，同时半圆从点出发沿向左平移，速度为每秒1个单位长度，运动时间为秒． ①如图2，当为何值时，半圆与相切于点，并求此时的度数； ②如图3，当点，，在一条直线上时，求点到的距离及扇形的面积； ③直接写出当弧（包括端点）与边有两个交点时的取值范围．（以上结果均保留根号） 【答案】（1） （2）①；②；；③ 【解析】 【分析】（1）当点与点重合时，利用勾股定理可以求出的长，利用“两点之间，线段最短”可以求出的最小值； （2）①当圆O与相切于点K时，连接，，证明平分，得出，求出，根据勾股定理求出，得出，求出运动时间为秒，然后再求出的度数即可； ②当与D点在一条直线上时，连接，求出，设O点到的距离为h，根据等积法求出，先求出，再根据扇形面积公式求出扇形的面积即可； ③先求出当半圆的圆弧与相切时，当Q点运动到上时，画出图形，求出t的值，然后得出t的取值范围即可． 【小问1详解】 解：如图，连接， 当点P与点M重合时， ∵以为直径的半圆O与相切于点P， ∴， ∵，， ∴， ∴， 当C、H、O三点共线时，的值最小，由为定值，即的值最小， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：①如图，当圆O与相切于点K时，连接，， 则， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， ∵，， ∴平分， ∴， ∴， ∴中，， ∴， ∴运动时间为秒， ∴； ②如图所示，当与D点在一条直线上时，连接， 则， ∵， ∴，， ∴， 设O点到的距离为h， ∵ ∴， ∵，半圆O从M点出发沿做平移运动，速度为1个单位长度/秒， ∴运动了4秒， ∵点H从Q开始绕圆心O逆时针旋转，速度15度/秒， ∴， ∴扇形的面积为； ③如图，当半圆的圆弧与相切时，切点记为N，连接，， 则， ∵，， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∴运动时间为秒， 此时，， ∵， ∴， ∴， ∴此时点H在点N下方； 当Q点运动到上时，如图所示， 此时， ∴， ∴运动时间为秒， 此时，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴此时点E与点H重合， ∴弧（包括端点）与边有两个交点时的取值范围． 【点睛】本题考差了圆的运动问题和圆上的点的运动的问题，涉及到了切线的判定与性质、特殊角的三角函数的应用等，解题关键是找出界点值并进行求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$