精品解析：江西省全南中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题（B卷）

全南中学高一年级上学期12月份月考 高一数学试卷 一、单选题 1. 我市某所高中每天至少用一个小时学习数学的学生共有1200人，其中一、二、三年级的人数比为，要用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为120的样本，则应抽取的一年级学生的人数为（ ） A. 52 B. 48 C. 36 D. 24 2. 已知集合，若，则集合可以为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，bR，且＜b，则下列不等式一定成立的是（ ） A. +3<b+3 B. 5>b5 C. 2>2b D. 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 某学校为调查学生参加课外体育锻炼的时间，将该校某班的40名学生进行编号，分别为00，01，02，…，39，现从中抽取一个容量为10的样本进行调查，选取方法是从下面的随机数表的第1行第11列开始向右读取数据，直到取足样本，则抽取样本的第6个号码为（ ） A. 07 B. 40 C. 35 D. 23 6. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 7. 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数．现有的物体，放在的空气中冷却．1min后物体的温度是，那么该物体的温度降至还需要冷却的时间约为（参考数据：）（ ） A. 2.9min B. 3.4min C. 3.9min D. 4.4min 8. 已知实数a，b满足，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 某学校对高一学生选科情况进行了统计，发现学生选科仅有物化生、政史地、物化地、物化政、生史地五种组合，其中选考物化地和物化政组合的人数相等，并绘制得到如下的扇形图和条形图，则（ ） A. 该校高一学生总人数为700 B. 该校高一学生中选考物化政组合的人数为80 C. 该校高一学生中选考物理的人数比选考历史的人数多 D. 用比例分配的分层随机抽样方法从该校高一学生抽取20人，则生史地组合抽取6人 10. 若函数在定义域T上的值域为，则区间T可能为（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，，则（ ） A. 若有2个不同的零点，则 B. 当时，有5个不同的零点 C. 若有4个不同的零点，则的取值范围是 D. 若有4个不同的零点，则的取值范围是 三、填空题(5分/题，共15分） 12. 命题：“，”的否定是__________. 13. 已知样本数据，，，的平均数是4，方差为2，现样本加入新数据3，4，5，则加入数据后新样本的方差是_________ 14. 设函数，则不等式的解集是_______. 四、解答题 15. 100名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示．回答下列问题： （1）求频率分布直方图中的值； （2）估计这次考试的平均数、众数和中位数（结果保留一位小数）． 16. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，． （1）求函数的解析式； （2）若，求函数的值域 17. 已知 且，函数是指数函数，且． （1）求和的值； （2）求的解集． 18. 某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W（单位：千克与施用肥料x（单位：（千克）满足如下关系：，肥料成本投入为10x元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x元．已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为（单位：元）． （1）求的函数关系式； （2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 19. 设函数的定义域为，对于区间，若满足以下两条性质之一，则称为的一个“区间”. 性质1：对任意，有； 性质2：对任意，有. （1）分别判断区间是否为下列三个函数的“区间”（直接写出结论）； ①；②；③. （2）已知定义在上，且图象连续不断的函数满足：对任意，且，有.求证：存在“区间”，且存在，使得不属于的所有“区间”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 全南中学高一年级上学期12月份月考 高一数学试卷 一、单选题 1. 我市某所高中每天至少用一个小时学习数学的学生共有1200人，其中一、二、三年级的人数比为，要用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为120的样本，则应抽取的一年级学生的人数为（ ） A. 52 B. 48 C. 36 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分层抽样的抽样比列式计算即得. 【详解】依题意，应抽取的一年级学生的人数为. 故选：C 2. 已知集合，若，则集合可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据子集的定义即可判断. 【详解】因为，所以. 故选：C 3. 已知，bR，且＜b，则下列不等式一定成立的是（ ） A. +3<b+3 B. 5>b5 C. 2>2b D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用不等式的性质分析判断 【详解】因为，bR，且＜b， 所以由不等式的性质可得，，，， 所以A正确，BCD错误， 故选：A 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】解分式不等式并根据两范围的大小即可得出结论. 【详解】将不等式可化为，解得或； 所以可得“”可以推出“”，即充分性成立； 而“”时也可能“”，推不出“”，因此必要性不成立； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：B 5. 某学校为调查学生参加课外体育锻炼的时间，将该校某班的40名学生进行编号，分别为00，01，02，…，39，现从中抽取一个容量为10的样本进行调查，选取方法是从下面的随机数表的第1行第11列开始向右读取数据，直到取足样本，则抽取样本的第6个号码为（ ） A. 07 B. 40 C. 35 D. 23 【答案】D 【解析】 【分析】依据随机数表法规则去读取数据，即可得出答案. 【详解】重复的号码只能算作一个，抽取样本号码是24，36，38，07，35，23，18，05，20，15， 所以抽取样本的第6个号码为23. 故选：D 6. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性先排除B，D，再利用特殊值排除选项C，进而求解. 【详解】的定义域为R，，故为偶函数，排除B，D；当时，，排除C. 故选：A. 7. 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数．现有的物体，放在的空气中冷却．1min后物体的温度是，那么该物体的温度降至还需要冷却的时间约为（参考数据：）（ ） A. 2.9min B. 3.4min C. 3.9min D. 4.4min 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定的函数模型，列式并借助对数运算求解即得. 【详解】依题意，由的物体，放在的空气中冷却，后物体的温度是， 得，解得， 该物体的温度降至需要冷却的时间为，则， 于是，两边取对数得， 所以该物体的温度降至还需要冷却的时间约为. 故选：D 8. 已知实数a，b满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数的运算性质，结合基本不等式可证明 ，由此可证明，再构造函数，证明其值小于零，进而结合指数函数的单调性证明，可得答案. 【详解】因为， 故, 即 ，故，即，故 ， 令 ，则， 故 ， 即有，所以， 即，即，故 ， 故， 故选：A. 【点睛】本题考查了有关指数式和对数式的大小比较，考查了对数的运算性质的应用以及对函数知识的应用能力，综合性较强，解答的关键是构造函数，并能证明其小于零，进而推出结论. 二、多选题 9. 某学校对高一学生选科情况进行了统计，发现学生选科仅有物化生、政史地、物化地、物化政、生史地五种组合，其中选考物化地和物化政组合的人数相等，并绘制得到如下的扇形图和条形图，则（ ） A. 该校高一学生总人数为700 B. 该校高一学生中选考物化政组合的人数为80 C. 该校高一学生中选考物理的人数比选考历史的人数多 D. 用比例分配的分层随机抽样方法从该校高一学生抽取20人，则生史地组合抽取6人 【答案】BC 【解析】 【分析】根据政史地人数和占比可确定A正确；计算出物化生的人数后即可确定B错误；分别计算选考历史和物理的人数，则知C正确；确定生史地组合人数占比后，根据分层抽样原则可知D错误. 【详解】对于A，选科为政史地的人数为人200，占比为， 该校高一学生共有人，A错误； 对于B，选科为物化生的人数为人， 选科为物化政的人数为，B正确； 对于C，选考历史的人数有人，选考物理的人数有人， 选考物理的人数比选考历史的人数多，C正确； 对于D，选科为生史地的学生人数占比为， 采用分层抽样抽取20人，生史地组合应抽取人，D错误. 故选：BC. 10. 若函数在定义域T上的值域为，则区间T可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】结合的图象求得. 【详解】由， 由或， 画出的图象如下图所示， 由图可知，区间可能为、. 故选：BC 11. 已知函数，，则（ ） A. 若有2个不同的零点，则 B. 当时，有5个不同的零点 C. 若有4个不同的零点，则的取值范围是 D. 若有4个不同的零点，则的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】作出的图象，由有2个不同的零点，结合图象，可判定A错误；由，令，得到，求得，结合图象，可判定B正确；由对数的运算性质，求得，结合二次函数的对称性得到，进而判定C正确；由，结合对勾函数的性质，可判定D正确． 【详解】由函数，可得， 作出的图象，如图所示． 对于A中，由，可得，若有2个不同的零点， 结合图象知或，所以A错误； 对于B中，当时，由，可得， 令，则有，可得， 结合图像知，有3个不等实根，有2个不等实根，没有实根， 所以有5个不同的零点，所以B正确； 对于C中，若有4个不同的零点， 则，且，则， 由二次函数的对称性得，则， 结合B知，所以，所以的取值范围为，所以C正确； 对于D中，由，其中， 由对勾函数的性质，可得在上为单调递减函数，可得， 所以的取值范围为，所以D正确． 故选：BCD． 【点睛】方法点睛：求解复合函数的零点个数或方程解的个数与范围问题的策略： 1、先换元解“套”，令，则，再作出和的图象； 2、由函数的图象观察有几个的值满足条件，结合的值观察的图象，求出每一个被对应，将的个数汇总后，即为的根的个数，即“从外到内”. 3、由零点的个数结合与的图象特点，从而确定的取值范围，进而决定参数的范围，即“从内到外”，此法成为双图象法（换元+数形结合）. 三、填空题(5分/题，共15分） 12. 命题：“，”的否定是__________. 【答案】， 【解析】 【分析】 根据特称命题的否定是全称命题可得. 【详解】根据特称命题的否定是全称命题， 则命题：“，”的否定是“，”. 故答案为：，. 13. 已知样本数据，，，的平均数是4，方差为2，现样本加入新数据3，4，5，则加入数据后新样本的方差是_________ 【答案】## 【解析】 【分析】根据题设及平均数、方差公式有且新样本平均数，进而求新样本的方差. 【详解】由题意，知，所以， 加入3，4，5后，显然新样本平均数， 则. 故答案为： 14. 设函数，则不等式的解集是_______. 【答案】 【解析】 【分析】判断奇偶性并应用导数求函数的单调性，再应用奇偶性、单调性解不等式求解集. 【详解】由解析式，函数是定义在上的偶函数，即， 由在R上单调递增，，则在上有，上， 所有在上单调递减，在上单调递增， 由题设，得，即， 所以，解得，故解集为. 故答案为： 四、解答题 15. 100名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示．回答下列问题： （1）求频率分布直方图中的值； （2）估计这次考试的平均数、众数和中位数（结果保留一位小数）． 【答案】（1） （2）中位数：，众数：75，平均数： 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图的面积和为1求解即可； （2）由频率分布直方图中中位数两侧的面积相等求中位数，频率与组距之比的最大值的中间值求众数，中间值乘以乘以频率求平均数； 【小问1详解】 由频率分布直方图知组距为10，频率总和为1， 所以有，解得． 【小问2详解】 前两个小矩形面积为，第三个小矩形的面积为， 中位数要平分直方图的面积， ． 众数：75 平均数： 16. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，． （1）求函数的解析式； （2）若，求函数的值域 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数是定义在R上的奇函数可得，利用奇函数的定义可求时的表达式，从而得到的解析式. （2）计算表达式，利用换元法把问题转化为二次函数在区间上的值域问题，结合对称轴和函数单调性即可得到结果. 【小问1详解】 是定义在上的奇函数，． 时，， 当时，， ． 【小问2详解】 由题意得，， 令，问题等价于求的值域， 函数图象开口向上，对称轴为直线， 在上单调递减，在上单调递增， ， ， 函数的值域为． 17. 已知 且，函数是指数函数，且． （1）求和的值； （2）求的解集． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据指数函数的定义求解； （2）利用换元法，结合二次不等式的解法可得答案. 【小问1详解】 由题意得，，解得或 (不符合题意，舍去)，由，且，得． 【小问2详解】 由（1）得，，即为， 设，则原不等式化为解得或， ∵，∴，∴，得，∴原不等式的解集为． 18. 某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W（单位：千克与施用肥料x（单位：（千克）满足如下关系：，肥料成本投入为10x元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x元．已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为（单位：元）． （1）求的函数关系式； （2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当时取得最大利润，最大利润为480元. 【解析】 【分析】（1）利用销售额减去成本投入可得出利润解析式； （2）利用分段函数的单调性及基本不等式计算最值即可. 【小问1详解】 由已知 ； 【小问2详解】 由（1）得， 即由二次函数的单调性可知，当时，， 由基本不等式可知，当时， ， 当且仅当，即时取得最大值， 综上，当时取得最大利润，最大利润为480元. 19. 设函数的定义域为，对于区间，若满足以下两条性质之一，则称为的一个“区间”. 性质1：对任意，有； 性质2：对任意，有. （1）分别判断区间是否为下列三个函数的“区间”（直接写出结论）； ①；②；③. （2）已知定义在上，且图象连续不断的函数满足：对任意，且，有.求证：存在“区间”，且存在，使得不属于的所有“区间”. 【答案】（1）①是，②不是，③不是； （2） 对于任意区间，记， 依题意，在上单调递减，则. 因为，所以， 即S的长度大于的长度，故不满足性质①. 因此，如果为的“区间”，只能满足性质②，即， 即只需存在使得，或存在使得. 因为不恒成立，所以上述条件满足，所以一定存在“区间” . 记，先证明函数有唯一零点； 因为在上单调递减，所以在上单调递减. 若，则为的唯一零点； 若，则，即， 由零点存在定理，结合单调性，可知存在唯一，使得； 若，则，即， 由零点存在定理，结合单调性，可知存在唯一，使得； 综上，函数有唯一零点，即， 已证的所有“区间”都满足条件②，所以. 【解析】 【分析】（1）根据新定义直接判断即可得出结论； （2）由所给函数性质分析出满足性质2，转化为不恒成立，存在“区间”，再构造函数，证明有唯一零点，且. 【小问1详解】 对①，当，，满足性质1， 是函数的“区间”， 对②，当时，，当时，， 故不满足性质1，2，不是函数的“区间”， 对③，当，当时，，当时，， 故不满足性质1，2，不是函数的“区间”. 【小问2详解】 略 【点睛】关键点点睛：根据所给函数的新定义，理解应用新定义，是解决问题的关键，其中注意分类讨论思想、特殊化思想的应用. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $