精品解析：山东省淄博实验中学2024-2025学年高二上学期1月期末模拟数学试题

2024—2025学年度高二上学期期末模拟检测 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号等填写在答题卡上. 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一.单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若方程表示椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用标准的椭圆方程即可判断参数范围. 【详解】方程变形得：， 该方程要表示椭圆，则需要满足，解得：， 故选：A. 2. 抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，化简方程为，结合抛物线的几何性质，即可求解. 【详解】由抛物线，可得抛物线的标准方程为， 所以抛物线的焦点坐标为. 故选：B. 3. 平面内点P到，的距离之和是8，则动点P的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用椭圆的定义，求得，从而得解. 【详解】由题意，平面内点P到，的距离之和是8， 所以动点的轨迹为椭圆，焦点在轴上，且，即， 所以， 所以动点P的轨迹方程为. 故选：D. 4. 如图，、分别是双曲线：（，）的左、右焦点，过的直线与的左、右两支分别交于点、．若为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的定义求出在中，，则由为等边三角形得，再利用余弦定理可得，从而可求出双曲线的离心率 【详解】解：根据双曲线的定义可得， 因为为等边三角形，所以， 所以， 因为，所以， 因为在中，，， 所以， 即， 所以， 所以双曲线的离心率为， 故选：B 5. 在直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得所成角的余弦值，从而求得所求. 【详解】以点为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴的正方向， 建立空间直角坐标系，如图所示，设， 则，，，， ∴，， ∴直线和直线所成角的余弦值为. 故选：A． 6. 若圆与轴没有交点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出圆心坐标利用几何法得到不等式，解出即可. 【详解】即， ，解得或， 且其圆心坐标为，若该圆与轴没有交点， 则，解得 故选：C. 7. 如图，在三棱锥中，与都是边长为2的等边三角形，且，则点P到平面ABC的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，取中点，连接，由线面垂直的判定定理可得平面，从而可得平面平面，则点P到平面ABC的距离为点P到直线的距离，即可得到结果. 【详解】 取中点，连接， 因为与都是边长为2的等边三角形， 所以，， 且，平面， 所以平面，且平面，所以平面平面， 所以点P到平面ABC的距离为点P到直线的距离， 过点做，所以点P到直线的距离即为， 又，且，所以为等边三角形， 所以， 即点P到平面ABC的距离为. 故选：C 8. 已知 为坐标原点，椭圆的左，右焦点分别为，左、右顶点分 别为，焦距为，以 为直径的圆与椭圆 在第一和第三象限分别交于 两点.且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求得为直径的圆的方程为，与椭圆方程联立方程组可得，根据已知可是，求解即可得椭圆的离心率. 【详解】以 为直径的圆的方程为， 联立，解得， 所以， 又， 所以，， 所以， 所以，所以， 所以，所以， 解得或（舍去）. 所以. 故椭圆的离心率为. 故选：D. 二.多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但选不全对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知双曲线（，），则不因改变而变化的是（ ） A. 焦距 B. 离心率 C. 顶点坐标 D. 渐近线方程 【答案】BD 【解析】 【分析】 将双曲线方程整理为标准方程，写出焦距，离心率，顶点坐标和渐近线方程，判断是否因改变而变化，即可得解. 【详解】整理双曲线方程可得， 该双曲线焦距为：， 离心率为：， 顶点坐标为和， 渐近线方程为， 不因改变而变化的是离心率与渐近线方程. 故选：BD. 【点睛】本题考查了双曲线的简单性质的应用，属于基础题. 10. 在一次歌唱比赛中，以下表格数据是5位评委给甲､乙两名选手评出的成绩（分数），则下列说法正确的是（ ） 甲 乙 87 90 96 91 86 90 86 92 87 95 A. 甲选手成绩的极差大于乙选手成绩的极差 B. 甲选手成绩的75%分位数小于乙选手成绩的75%分位数 C. 从甲的5次成绩中任取2个，均大于甲的平均成绩的概率为 D. 从乙的5次成绩中任取3个，事件“至多1个超过平均分”与事件“恰有2个超过平均分”是对立事件 【答案】ABD 【解析】 【分析】直接由极差、百分位数、古典概型概率以及对立事件的概念依次判断4个选项即可. 【详解】对于A选项，根据极差的概念，可知甲选手成绩的极差为，乙选手成绩的极差为.故A正确； 对于B选项，，则甲成绩的75%分位数是91，乙成绩的75%分位数是92.故B正确； 对于C选项，甲平均成绩为，从甲的5次成绩中任取2次成绩样本空间 有，共10个样本点， 其中均大于甲的平均成绩的样本点只有1个为，故所求概率为，故C错误. 对于D选项，乙的平均成绩为，抽到不超过平均分的个数为0，1，2， 所以事件“至多1个超过平均分”与事件“恰有2个超过平均分”是对立事件，故D正确； 故选：ABD. 11. 如图所示，在棱长为正方体中，，分别是线段，上的动点，则下列说法正确的有（ ） A. 线段长度的最小值为 B. 满足的情况只有种 C. 无论，如何运动，直线都不可能与垂直 D. 三棱锥的体积大小只与点的位置有关，与点的位置无关 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A选项，当，分别是线段，的中点时，满足；对于B选项，只能是四种；对于C选项，当与点重合，点与点重合时，故；对于D选项，由于点到平面的距离是，底面的面积随着点的移动而变化即可得答案.. 【详解】对于A选项，当，分别是线段，的中点时，是异面直线，的公垂线，此时线段长度最小，为2，故A选项正确； 对于B选项，只能是面对角线，此时可以是四种，故B选项正确； 对于C选项，当与点重合，点与点重合时，此时的直线（即）与平面垂直，故，故C选项错误； 对于D选项，由于点到平面的距离是，底面的面积随着点的移动而变化，所以三棱锥的体积大小只与点的位置有关，与点的位置无关，故D选项正确. 故选：ABD 【点睛】本题考查空间线线，线面位置关系和距离体积的求法，考查运算和推理能力，转化思想，数形结合思想，是中档题.本题解题的关键在于取特殊的点，寻找使得条件成立的实例，进而求解. 三.填空题：本题共3小题，每小题5分. 共15分. 12. 若点是圆外的一点，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据点与圆的位置关系建立不等式组，解之即可求解. 【详解】圆的标准方程为， 又点是圆外的一点， 所以，解得，即的取值范围是． 故答案为： 13. 短轴长为，离心率的椭圆的两焦点为，过作直线交椭圆于、两点，则周长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据短轴长为，离心率，求得长半轴，再由周长为4a求解. 【详解】因为短轴长为，离心率， 所以，， 又， 解得， 所以周长为， 故答案为：12 14. 已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，直线l：与C相交于点M，若，则离心率e的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的定义，渐近线的性质以及余弦定理求出，，在代入到不等式中即可求解. 【详解】如图，双曲线C的焦点为，，渐近线方程为， 因为直线l的斜率，则直线l与双曲线C的一条渐近线平行，且过点， 设直线l与双曲线C的另一条渐近线相交于点N， 可知，，，， 因为，即， 且，即， 解得，，若， 即，解得，所以，又，所以. 故答案为： 四．解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明. 证明过程或演算步骤. 15. 已知动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为. （1）求的方程； （2）直线与相交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知得到动点到的距离等于到直线的距离，满足抛物线的定义，根据定义即可求解； （2）利用点差法求出直线的斜率即可. 【小问1详解】 由题意知根据已知得到动点到的距离等于到直线的距离， 即动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以轨迹的方程为. 【小问2详解】 设，则 两式相减得，整理可得 因为线段的中点坐标为，所以， 所以直线的斜率， 故直线的方程为，即经检验满足题意. 16. 在如图所示的多面体AFDCBE中，平面BCE，，，，，． （1）在线段BC上是否存在一点G，使得平面AFC？如果存在，请指出G点位置并证明；如果不存在，请说明理由； （2）当三棱锥的体积为8时，求二面角的余弦值． 【答案】（1）存在，点为中点，证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先找到G点位置，由面面平行证明线面平行；（2）建立空间直角坐标系，由体积求解边长，用空间向量求解二面角. 【小问1详解】 存在，点为中点，理由如下： 取线段AB的中点H，连接EH、HG、EG． ∵，， ∴四边形AHEF是平行四边形，∴． 又∵平面AFC，平面AFC，∴平面AFC． ∵H、G分别为AB、BC中点， ∴HG是的中位线，∴． ∵平面AFC，平面AFC，∴平面AFC． ∵，HG、平面EHG， ∴平面平面AFC． ∵平面EHG，∴平面AFC． 【小问2详解】 设， 由， 可得． 以E为坐标原点，EC、EB、EF所在直线分别为x、y、z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系． 由题可知，，，， ，，． 设平面AFC的法向量为， 则， 令，得，， 所以平面AFC的一个法向量为． 设平面AFD的法向量为， 则， 令，得， 所以平面AFD的一个法向量为． ， 由图可知二面角为锐角， 故二面角的余弦值为． 17. 写出下列试验的样本空间： （1）随意安排甲、乙、丙、丁4人在4天节日中值班，每人值班1天，记录值班的情况； （2）从一批产品（次品和正品的个数均大于3件）中，依次任选三件，记录出现正品与次品的情况. 【答案】（1）答案见解析 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）设甲、乙、丙、丁分别为1，2，3，4，然后可列出样本空间； （2）设正品为，次品为，然后根据题意列出样本空间. 【小问1详解】 如图， 设甲、乙、丙、丁分别为1，2，3，4， 所以样本空间，， ，． 【小问2详解】 设正品为，次品为，样本空间． 18. 已知椭圆的焦距为2，且经过点. （1）求椭圆的方程； （2）点是椭圆上的两个动点，若直线的斜率与直线的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出该定值. 【答案】（1） （2）证明见解析， 【解析】 【分析】（1）由已知可得，，结合的关系可求得椭圆的方程； （2）设出直线方程与椭圆方程联立，求出两点坐标，最后根据直线斜率的公式进行求解即可. 【小问1详解】 因为焦距为2，所以， 又， 且， 解得， 椭圆的方程为； 【小问2详解】 设直线方程：得，代入， 得， 设， ， 且，则， ， 又直线的斜率与的斜率互为相反数，在上式中以代，可得 ， 所以直线的斜率， 即直线的斜率为定值，其值为. 19. 已知为抛物线的焦点，为坐标原点，为的准线上的一点，直线的斜率为的面积为1． （1）求的方程； （2）过点作一条直线，交于两点，试问在上是否存在定点，使得直线与的斜率之和等于直线斜率的平方？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，或 【解析】 【分析】（1）设点的坐标为，根据直线的斜率为，得到，再根据的面积为求出，即可得解； （2）假设存在点，使得直线与斜率之和等于直线斜率的平方．设直线的方程为，，，，联立直线与抛物线方程，消元列出韦达定理，又，，化简，即可得到方程，求出的值，即可得解. 【小问1详解】 解：由题意知，设点的坐标为， 则直线的斜率为． 因为直线的斜率为，所以，即， 所以的面积， 解得或（舍去）， 故抛物线的方程为． 【小问2详解】 解：假设存在点，使得直线与的斜率之和等于直线斜率的平方． 由（1）得，抛物线的准线的方程为． 设直线的方程为，，，， 联立得， 所以，，． 因为， ， 所以，解得或． 故存在定点，使得直线与的斜率之和等于直线斜率的平方，其坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度高二上学期期末模拟检测 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号等填写在答题卡上. 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一.单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若方程表示椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 平面内点P到，的距离之和是8，则动点P的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，、分别是双曲线：（，）的左、右焦点，过的直线与的左、右两支分别交于点、．若为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 5. 在直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 6. 若圆与轴没有交点，则实数取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在三棱锥中，与都是边长为2的等边三角形，且，则点P到平面ABC的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 8. 已知 为坐标原点，椭圆的左，右焦点分别为，左、右顶点分 别为，焦距为，以 为直径的圆与椭圆 在第一和第三象限分别交于 两点.且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二.多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但选不全对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知双曲线（，），则不因改变而变化的是（ ） A. 焦距 B. 离心率 C. 顶点坐标 D. 渐近线方程 10. 在一次歌唱比赛中，以下表格数据是5位评委给甲､乙两名选手评出的成绩（分数），则下列说法正确的是（ ） 甲 乙 87 90 96 91 86 90 86 92 87 95 A. 甲选手成绩的极差大于乙选手成绩的极差 B. 甲选手成绩的75%分位数小于乙选手成绩的75%分位数 C. 从甲的5次成绩中任取2个，均大于甲的平均成绩的概率为 D. 从乙的5次成绩中任取3个，事件“至多1个超过平均分”与事件“恰有2个超过平均分”是对立事件 11. 如图所示，在棱长为的正方体中，，分别是线段，上的动点，则下列说法正确的有（ ） A. 线段长度的最小值为 B. 满足的情况只有种 C 无论，如何运动，直线都不可能与垂直 D. 三棱锥的体积大小只与点的位置有关，与点的位置无关 三.填空题：本题共3小题，每小题5分. 共15分. 12. 若点是圆外的一点，则的取值范围是_____． 13. 短轴长为，离心率椭圆的两焦点为，过作直线交椭圆于、两点，则周长为_________． 14. 已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，直线l：与C相交于点M，若，则离心率e的取值范围为__________. 四．解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明. 证明过程或演算步骤. 15. 已知动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为. （1）求的方程； （2）直线与相交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 16. 在如图所示的多面体AFDCBE中，平面BCE，，，，，． （1）在线段BC上是否存在一点G，使得平面AFC？如果存在，请指出G点位置并证明；如果不存在，请说明理由； （2）当三棱锥的体积为8时，求二面角的余弦值． 17. 写出下列试验样本空间： （1）随意安排甲、乙、丙、丁4人在4天节日中值班，每人值班1天，记录值班的情况； （2）从一批产品（次品和正品的个数均大于3件）中，依次任选三件，记录出现正品与次品的情况. 18. 已知椭圆焦距为2，且经过点. （1）求椭圆的方程； （2）点是椭圆上的两个动点，若直线的斜率与直线的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出该定值. 19. 已知为抛物线的焦点，为坐标原点，为的准线上的一点，直线的斜率为的面积为1． （1）求的方程； （2）过点作一条直线，交于两点，试问在上是否存在定点，使得直线与的斜率之和等于直线斜率的平方？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$